抽象代數(shù)完整版本

第一章古典代數(shù)以研究代數(shù)方程求解為中心，其歷史源遠(yuǎn)流長。19世紀(jì)初，年輕數(shù)學(xué)家伽羅華（Galois）應(yīng)用群的概念對高次代數(shù)方程是否可用根式求解問題進(jìn)行了透徹研究并給出了明確回答，他成為抽象代數(shù)新思想的啟蒙者。隨后，這種把代數(shù)變成集合論的、公理化的科學(xué)的改造不斷強(qiáng)化，產(chǎn)生了很多新的方法、新的觀點(diǎn)、新的結(jié)果。到了20世紀(jì)20年代，數(shù)學(xué)最古老的分支之一的代數(shù)學(xué)完成了一次根本性的革命，完成了初等代數(shù)到近世代數(shù)的“飛躍”，即從研究數(shù)的運(yùn)算到研究抽象代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)之“飛躍”。他的標(biāo)志是范德瓦爾登的《近世代數(shù)學(xué)》一書的出版。時至今日抽象代數(shù)已經(jīng)成為很多數(shù)學(xué)分支中最常用的工具，空前普及。以至近年來，人們不再把這門學(xué)問冠以“近世”“抽象”等高貴頭銜，而樸素地稱它為“一般代數(shù)學(xué)”“基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)”甚至“代數(shù)學(xué)”。本書仍稱為《抽象代數(shù)》只是想把它與僅僅討論以數(shù)為對象的那種經(jīng)典代數(shù)加以區(qū)別。抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)中最適合于自學(xué)的學(xué)科之一，本課程只假定讀者學(xué)過中學(xué)代數(shù)并知道一點(diǎn)矩陣運(yùn)算規(guī)則，此外不要求任何高等數(shù)學(xué)內(nèi)容作為準(zhǔn)備知識。學(xué)好本課程的關(guān)鍵在于對“公理化方法”實(shí)質(zhì)和一些重要抽象概念的理解。切忌把抽象代數(shù)單純作為“知識”來學(xué)，平均使用力量，每個定義都能背下來，但沒有一個能“悟出真諦”。學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的一個重要目的就是要提高“抽象思維”能力。本書共7章，本人將著重介紹二、三、四、五、六章，第一張過于基礎(chǔ)，都是些普通的概念，第七章的內(nèi)容已在《GaloisTheory》中詳細(xì)介紹。大致內(nèi)容包括：群，環(huán)，域，三個方面，三、四章主要介紹群的定義，及幾類特殊群；第四章介紹了群同態(tài)——僅僅是保運(yùn)算的一種n對1的對應(yīng)關(guān)系，n取決于ker中元素個數(shù)。同樣第四章完成的是環(huán)的這方面的介紹。第五章主要是對域的一些定義性的介紹，以及如何構(gòu)造域，當(dāng)然也對多項(xiàng)式環(huán)做了一點(diǎn)介紹，主要是為第六章研究多項(xiàng)式分解做一點(diǎn)鋪墊。學(xué)完抽象代數(shù)印象最深的就是代數(shù)系統(tǒng)的定義方式，僅僅是滿足幾條公理的體系，以至于學(xué)拓?fù)涓杏X很代數(shù)，很親切！再一個就是同態(tài)的那種對應(yīng)關(guān)系，看似復(fù)雜的定理形式實(shí)際的內(nèi)涵確實(shí)如此的簡單，明了！第一章集合映射和關(guān)系這一章是抽象代數(shù)的基礎(chǔ)，也差不多是所有現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。大家一定早已熟練，在此只簡要介紹。1.1集合定義：集合、元素、集合相等、空集、子集合、真子集、冪集（集合A的所有子集所形成的集合）、并集、交集在此略下。子集族：設(shè)J是一個非空集合（可以有無限多個元素），每個j∈J對應(yīng)集合S的一個子集Aj，則通常說，Aj是S的一個以J標(biāo)號的子集族，J稱為指標(biāo)集。當(dāng)然還有子集族的交集和并集，余集的定義在此也略下。1.2笛卡兒積和關(guān)系定義1對任意集合A和B，集合A*B={（a，b）la∈A,b∈B}稱為A,B的笛卡兒積。（從實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)對的構(gòu)造方法）定義2設(shè)A,B都是集合。任取笛卡兒積A*B的一個子集R，我們都說確定了A和B的一個關(guān)系R。對任意a∈A，b∈B，如果（a，b）∈R，則說a和b有R關(guān)系，記為aRb。（一個新的定義）1.3等價關(guān)系、分類和商集定義1等價關(guān)系（在高等代數(shù)已介紹過，在此略下）定義2設(shè)~是集合A上的一個等價關(guān)系，對每個x∈A，稱A的子集Sx={yly~x}為元素x的等價類。命題1.3.1符號如定義2所設(shè)，則對于任意x∈A，Sx非空；對任意x，y∈A，若Sx≠Sy，則必有Sx∩Sy=?；A恰為其所有不同等價類的并集。（這個命題很不一般，直接推導(dǎo)出拉格朗日（Lagrange）定理：有限群G的任意子群H的階數(shù)一定整除G的階數(shù)）（證明：首先A的所有元素都在一個等價類里，就算每個元素自己在一個等價類里x~x（反身性），其次假如Sx與Sy交非空，則由等價關(guān)系的傳遞性必有Sx=Sy。每個A中的任意元素都分到一個等價類里，且只能在一個等價類里）命題1.3.2若有集合A的一個分類，既有A的子集族Si，i∈△滿足（1）Si∩Sj=?，i≠j，（2）A=∪Si，規(guī)定，對任意a，b∈A，a~b當(dāng)且僅當(dāng)a，b屬于同一Si，則~為A上等價關(guān)系，且諸Si，i∈△恰為~對應(yīng)的不同的等價類。（根據(jù)定義證明比較平凡）定義3設(shè)~是集合A上的一個等價關(guān)系。說A的子集T是關(guān)系~下的一個等價類表示的完全集，如果T中不同元素的等價類也不同，且A=∪St。定義4設(shè)~是集合A上的等價關(guān)系，T是關(guān)系~之下的一個完全集則集合A（上一短線）={Stlt∈T}稱為對等價關(guān)系~的商集（等價類為元素的集合，和以后的商群，商環(huán)稍有聯(lián)系,都是集合的集合）1.4映射首先可以定義映射關(guān)系，映射定義略，和以前了解的一樣。定理1.4.1十分平凡，恒等映射、嵌入映射、投影（笛卡兒積A*B到A或B的映射）、等價關(guān)系確定的自然映射（元素對應(yīng)其等價類的映射）在此只簡述。引理1.4.1對任意m∈I，恒有q，r∈I使得m=qn+r，0≤r＜n。而且，滿足上述要求的q，r均由m唯一確定。（高等代數(shù)的多項(xiàng)式中早已介紹過更一般的結(jié)論）映射像Img（f），單、滿、雙射、復(fù)合映射、復(fù)合映射滿足結(jié)合律、單射滿射的復(fù)合依舊是單射和滿射、g*f是滿射，則g是滿射；g*f是單的，則f是單的、可逆映射、定理1.4.2：映射f是可逆的，必要而只要f是雙射。逆映射都不詳述。命題1.4.6設(shè)f：A→B，對B的任意子集T，都有f（f原像（T））=T∩Img（f）。（f不一定是滿射，這條命題在3.3節(jié)有個小應(yīng)用，命題3.3.7，類似的群的映射結(jié)論）1.5置換只含有限個元素的集合稱為有限集，非空有限集A到A本身的可逆映射稱為A上的置換，也說是A的一個置換。（就是可逆變換）定義一數(shù)碼1,2，……，n的每一個有確定次序的排列稱為一個n。在一個n排列中，如果較大的數(shù)排在較小的數(shù)之前，則說這兩個數(shù)構(gòu)成了一個反序，該排列中出現(xiàn)的反序的個數(shù)稱為它的反序數(shù)。（和高代行列式中的定義一樣，和之后已證的結(jié)論也一樣）以下結(jié)論不予證明:命題1.5.2若把一個n排列中某相鄰兩數(shù)碼互換位置，則所得到的新排列的反序數(shù)與與原排列的反序數(shù)差1.命題1.5.3當(dāng)n＞1時，n！個n排列中，反序數(shù)為偶數(shù)者恰有一半（任何人對奇偶排列都沒有偏見）命題1.5.4將一n排列之兩數(shù)碼（未必相鄰）對調(diào)，得到的新排列與原排列的反序數(shù)奇偶性相反。排列為偶數(shù)的置換稱為偶置換，反之為奇置換。命題1.5.5可由命題1.5.6平凡推出。兩個奇偶性相同的置換復(fù)合后必為偶置換，兩個奇偶性相反的置換復(fù)合后必為奇置換。（復(fù)合為序數(shù)的和差）命題1.5.7置換p的逆映射（在此稱為逆置換）p逆與p的奇偶性相同。（由P的定義顯然）1.6運(yùn)算在抽象代數(shù)中，所說的運(yùn)算是以千差萬別的集合為對象的，不只限于數(shù)的運(yùn)算而已。定義1設(shè)S是非空集合，把S*S到S的映射稱為S上的二元運(yùn)算，簡稱為S的運(yùn)算。（定義很簡單，不過需要特別注意兩點(diǎn)，1，運(yùn)算封閉；2，相同元素對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果相同，良定義。還有以后在判斷是否構(gòu)成群的時候首先要注意規(guī)定的運(yùn)算是否合理，是否是二元運(yùn)算?。┙酉聛淼墓ぷ魇茄诱崭叩却鷶?shù)第一章多項(xiàng)式的內(nèi)容，定義整除，再簡略介紹點(diǎn)相關(guān)的結(jié)論，在此僅摘錄，證明及解釋可參看高等代數(shù)第一章的總結(jié)。定義若一個整數(shù)a可以表示成a=bc，其中b和c都是整數(shù)，則說b和c是a的因子，或說它們能整除a，記為bla，cla。如果正整數(shù)p不等于0,1且它只有因子1和p，則稱p為素?cái)?shù)。引理1.6.1任意兩個非零整數(shù)a，b恒有最高公因子d，且必有s，t∈I使d=sa+tb。（高代定理1.3.2）引理1.6.2設(shè)b為正整數(shù)，a為任意整數(shù)，則a和b的最高公因子d可表為d=sa+tb，s，t∈I，0≤s＜b（這條引理稍有新意，在原有的上一條引理的基礎(chǔ)上d=ja+hb，將j用b帶余分解，再合并同類項(xiàng)既得）推論設(shè)p為素?cái)?shù)。對任意i*∈Ip，如果i≠0，則必有j＜p使i*×j*=1*（此條的證明相對簡單，應(yīng)用卻在Ip（p為素?cái)?shù)）構(gòu)成群上十分廣泛）結(jié)合律及交換律的定義就不多說了！第二章第二章群與子群一個集合，對于它上的一個運(yùn)算，滿足結(jié)合律等幾條極簡單又極自然的要求，即說該集合對這個運(yùn)算構(gòu)成群。群是抽象代數(shù)最先遇到的代數(shù)系統(tǒng)，很基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)以后內(nèi)容的前提，也是很有代表性的一個，很有代數(shù)的風(fēng)格。2.1群的定義定義1一個集合G和G上的一個運(yùn)算·滿足下列條件，則說G對·構(gòu)成群，或說（G，·）是個群，在不致引起混亂時,也可簡單地說，G是個群：（0）·是二元運(yùn)算；（1）結(jié)合律；（2）有恒等元，即有e∈G，使對任意a∈G，都有e·a=a·e=a；（3）每個元都有逆元素，即對任意a∈G，都有b∈G使得a·b=b·a=e。（封閉，結(jié)合律，有單位元，再加上有逆元，使得群內(nèi)任意元素都能建立關(guān)系，比方說環(huán)在乘法下就沒有這么好的性質(zhì)）下面，我們來看，一個群具有怎樣的簡單性質(zhì)。將來，一旦驗(yàn)證了某個集合及其上的一個運(yùn)算滿足了群的定義中的三條要求，那么，它就一定有這些性質(zhì)，就不需每次都來證明它有這種共性了。這正是公理化方法的優(yōu)點(diǎn)。命題2.1.1設(shè)（G，·）是個群，那么G中任意元素a只有唯一的一個逆元素。（證明的手法是拆分單位元，在以后證明唯一性的時候經(jīng)常遇到）命題2.1.2設(shè)G是個群。對任意a，b∈G有（a逆）逆=a，b逆a逆=（ab）逆。（很平凡，根據(jù)定義驗(yàn)證就可以）命題2.1.3設(shè)G為群。對任意a，b，c∈G，ab=ac，蘊(yùn)涵b=c，ba=ca蘊(yùn)涵b=c，并分別稱為左，右消去律。（有逆元即滿足消去律，無逆的系統(tǒng)就沒有這么好的性質(zhì)。而對于有限的集合，還可以自己證明二元運(yùn)算滿足左右消去律的還能推出有逆元，和單位元，即構(gòu)成群；對于二元運(yùn)算滿足分配律的，如環(huán)，滿足消去律等價于無零因子）推論略定理2.1.1設(shè)·是集合G上的一個運(yùn)算，只要他滿足（1）結(jié)合律；（2）有左單位元；（3）有左逆。則（G，·）是個群("削減"了群的形成條件，在以后經(jīng)常會由此推出集合為群。證明的主要手法是拆分e，再加上考慮每個元素的左逆即可湊出所要得出的結(jié)論，最好自己證一下，加深印象)定理2.1.2設(shè)·是集合G上的一個運(yùn)算且滿足結(jié)合律。那么（G，·）是個群，必要而只要，對任意a，b∈G都有唯一的c，d∈G使得a·c=b，d·a=b（這條等價條件應(yīng)用比較少，形式上很容易能推出單位元和逆）命題2.1.4對任意正整數(shù)n，都有a^(-n)=(a^-1)^n（平凡）命題2.1.5設(shè)a是群G的一個元素。對任意的m，n都必有a^m·a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^mn.（平凡）群（G，·）的運(yùn)算通常稱為乘法。當(dāng)群的運(yùn)算·滿足交換律時，則稱之為交換群或阿貝爾（abel）群。交換群的運(yùn)算可稱之為加法。單位元稱為零元素，元素a的逆元素改稱為a的負(fù)元素，記為-a，m個a相加記為ma。2.2子群定義1設(shè)（G，·）是個群，如果G的子集H對同一運(yùn)算·也構(gòu)成群，則說（H，·）是（G，·）的子群?；蛘撸唵蔚卣f，H是G的子群。（很自然的一個定義，子結(jié)構(gòu)在代數(shù)系統(tǒng)一直都占有一定的重要地位）命題2.2.1如果H是G的子群，那么H的恒等元f等于G的恒等元e；也就是說e∈H。（很顯然，任意元素和其逆的積都等于e,同樣在以后子域零元和單位元都保留）定理2.2.1設(shè)（G，·）是個群，H是G的子集。那么，H是G的子群，當(dāng)且僅當(dāng)（1）H非空；（2）如果a，b∈H，則a·b∈H；（3）如果a∈H，則a在G中的逆元屬于H。（首先結(jié)合律不需要驗(yàn)證，首先要驗(yàn)證·是否是子集合上的二元運(yùn)算，即封閉性（2），（3）保證了逆和單位元）定理2.2.2設(shè)G是個群，H是G的一個子集。那么H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)（1）H非空；（2）對任意a，b∈H，都有a·b逆∈H。（近一步簡化子群的等價條件，和上定理類似，個人解釋也類似，可自己驗(yàn)證，這條等價條件很常用）命題2.2.2設(shè)G是個群。對于G的任意的一個子群族，它們的交集仍為G的子群。（運(yùn)算封閉，結(jié)合律，單位元，逆自然在每個集合中都滿足，當(dāng)然在交集中也滿足，自然構(gòu)成群）命題2.2.3設(shè)H和K都是群G的子群。如果它們的并集也是G的子群，那么必有一個子群包含另一個子群。（反證，在各自的集合找非公共的元素h和k，由于構(gòu)成群h·k屬于并集，則必屬于H或K，由消去律知另一個也屬于H或K，與假設(shè)矛盾。在此想起了向量空間的一條性質(zhì)，內(nèi)部和外部作用一定屬于外部?。┟}2.2.4設(shè)G是個群，a是G的元素。則<{a}>={a^ili∈I}。（循環(huán)群，每個群中最基本的子結(jié)構(gòu)，稍有些“拼湊”的意思?。┒ɡ?.2.3符號如上所述，則<S>=H。（略）2.3對稱群和置換群群的初等理論中相當(dāng)多的問題都來自于幾何學(xué)，特別是來自對稱性的討論。時至今日，群倫最活躍的幾個領(lǐng)域中，如平面或空間運(yùn)動，晶體結(jié)構(gòu)，生物遺傳等，群的威力仍主要體現(xiàn)在處理各式各樣的對稱問題上。集合S={1,2，……，n}上所有置換在映射合成之下構(gòu)成群。今后稱這個群為n次對稱群，記為Sn。同時，實(shí)際上，我們也證明了，S上的所有偶置換，在映射的合成之下也構(gòu)成群，這是Sn的一個最重要的子群，通常記為An，稱為n次交代群。定義1n階對稱群Sn的任意一個子群都稱為置換群。（集合上映射構(gòu)成的群，研究集合上的映射的重要性可以參看GaloisTheory，域上的自同構(gòu)與方程有無根式解有緊密關(guān)系）命題2.3.1當(dāng)n≥3時，Sn不是可交換的。（反例易舉，有交叉，不可交換）定義2如果n階置換P，把1到n中若干個數(shù)碼i1，i2，……，ik按下方式對應(yīng)P（i1）=i2，P（i2）=i3，……，P（ik）=i1，而對其余數(shù)碼不變，則說P是一個K循環(huán)，記P=（i1，i2，……，ik）。（著重定義了一種表示方法）定義3循環(huán)（i1，i2，……，ik）與（j1，j2，……，jl）稱為不交的，如果it≠jst=1,2，……，k，s=1,2，……，l。（針對映射交換的定義）命題2.3.2若兩循環(huán)不交，則它們可交換。（兩個循環(huán)沒什么交叉的地方，沒什么關(guān)系，互不影響）定理2.3.1在Sn中，任何一個不等于恒等映射的置換必可表成若干個互不相交的循環(huán)的乘積。（很容易證明，只需操作一下，看看先從第一個元素開始映成了什么，依次下來直到回到第一個元素，這就構(gòu)成了一個循環(huán)，再看剩下的第一個，依次下來的各循環(huán)都不相交）定理2.3.2設(shè)P是個n置換P=P1P2……Pl=Q1Q2……Qk，其中P1P2……Pl與Q1Q2……Qk都是兩兩不交的循環(huán)，則必有k=l，且可將Qi順序適當(dāng)調(diào)整，使得P1=Q1，P2=Q2，……，Pk=Qk，此循環(huán)不包括1循環(huán)在內(nèi)。（實(shí)際操作計(jì)算一下很容易，很顯然得出的結(jié)論）命題2.3.3任意一個k循環(huán)都可以表成若干個2循環(huán)的乘積。（任意循環(huán)都可以一步一步變兩個元素得到）命題2.3.4在Sn中k循環(huán)生成的子群是p階循環(huán)群。（很平凡，尤其是看完下一節(jié)）命題2.3.5設(shè)G是S={1,2，…，n}上的一個置換群，對于S的任意一個子集T，令GT={P∈GlP（t）=t，對每個t∈T}。則GT是G的一個子群。（根據(jù)定義，很規(guī)范的過程）命題2.3.6設(shè)G是S={1,2，……，n}上的一個置換群，T是S的一個子集。令G^T={P∈GlP（T）包含于T}，則G^T是G的一個子群。（也是根據(jù)定義驗(yàn)證就可以，此種集合T以后會知道稱為不變子集，與不變子空間，不動點(diǎn)體都很相近，本書會直接衍變成下一章很重要的不變子群的概念）2.4循環(huán)群進(jìn)一步學(xué)習(xí)群論還會發(fā)現(xiàn)，有一些地位相當(dāng)重要的群，實(shí)際上，可由這種由單個元素生成的子群“拼湊”而成。定義1群G稱為循環(huán)群，如果有g(shù)∈G，使得G=<g>。也有人稱循環(huán)群為巡回群。（很基本的一個群的子結(jié)構(gòu)）命題2.4.1設(shè)G是個群，g∈G。如果有不同的整數(shù)r和k使得g^r=g^k，則存在一個正整數(shù)m使得（1）g^m=e；（同乘其中次數(shù)較小者的逆）（2）當(dāng)1≤i＜j≤m時，g^i≠g^j；（與m最小矛盾）（3）如果有整數(shù)t，使得g^t=e,則mlt；（m最?。?）<g>={e，g，g^2，…，g^(m-1)}.（循環(huán)群的結(jié)構(gòu)形式）命題2.4.2設(shè)G是個群，g∈G。如果對任意的不同的整數(shù)r，k都有g(shù)^r≠g^k,則<g>是個無限群。（很容易理解，沒有重復(fù)的當(dāng)然是無限的）定理2.4.1設(shè)g是循環(huán)群G的一個生成元，那么（1）當(dāng)有正整數(shù)r≠k時，使g^r=g^k時，G是m階循環(huán)群，當(dāng)i，j小于m時g^i≠g^j；（2）當(dāng)對任意正整數(shù)r≠k時均有g(shù)^i≠g^j，G={…，e，g，g^2，…}（完全可由上兩個命題平凡推出）命題2.4.3設(shè)G={e，g,g^2,…，g^(m-1)}正整數(shù)p與m互素且p＜m，那么G=<g^p>（以提到過的1.6節(jié)引理1.6.2的推論直接推出，算是數(shù)論性質(zhì)的一個簡單應(yīng)用，p與m互素，則p和小于m的任意元素相乘可得到除以m余小于m的所有元。以后還會用到，注意感受?。┻@個命題比較完整地回答了循環(huán)群生成元唯一性的問題。命題2.4.4無限循環(huán)群的每個子群都是循環(huán)群。（還是取次數(shù)最小元的一個手法應(yīng)用，結(jié)論比較工整好記，與無限沒什么關(guān)系）命題2.4.5和命題2.4.5略2.5階數(shù)定義1群G中元素的個數(shù)稱為G的階數(shù)。當(dāng)G有無窮多個元素時，說G是無限階的；當(dāng)G的元素的個數(shù)有限的時候，用lGl代表G的元素的個數(shù)。對于群G的元素a，如果有非負(fù)整數(shù)n使得a^n=e，且n為使上等式成立的最小整數(shù)，則說n是有限階的，階數(shù)為n。（關(guān)于群元素?cái)?shù)量上的一個定義，方便在數(shù)量上考慮群的性質(zhì)。與本書以后提到的特征數(shù)char（）關(guān)系緊密，特征數(shù)實(shí)為加法階數(shù)）命題2.5.1設(shè)a是G的一個元素。那么a的階數(shù)與子群<a>的階數(shù)相等。（由定義顯然）定義2設(shè)H是G的一個子群，H在群G中確定關(guān)系~如下：a，b∈G，a~b當(dāng)且僅當(dāng)ab逆∈H，稱~是H在G中確定的右關(guān)系。（由子群定義的一個關(guān)系，而且是等價關(guān)系，由第一章的內(nèi)容可將G劃分成等價類，而且每個等價類中的元素個數(shù)相等，從而得出Lagrange定理，這是本節(jié)的主線）命題2.5.2設(shè)H是G的子群，則H在G中上確定的右關(guān)系~是個等價關(guān)系。（由等價關(guān)系定義的反身性，對稱性，傳遞性驗(yàn)證即可）定義3對G之任意非空自己A，B，稱G的子集｛g∈Glg=ab，a∈A，b∈B｝為A與B的乘積，記為AB。（類似笛卡兒積）當(dāng)A為子群，B=時，記Ab=AB，并稱Ab是A在G中的一個右陪集。類似的也可以定義左陪集。（為了和左右關(guān)系建立聯(lián)系，當(dāng)然在不變子群的等價定義上也發(fā)揮了很大作用）命題2.5.3設(shè)H是G的子群，~是H在G中確定的右關(guān)系，那么元素a∈G在等價關(guān)系~之下的等價類恰好是H的右陪集Ha。（右陪集和右關(guān)系的緊密聯(lián)系就在這里，等價類就是陪集，比較直觀，證明也很簡單）推論設(shè)H是G的子群，a，b∈G。那么ab逆∈H當(dāng)且僅當(dāng)Ha=Hb。（a與b等價當(dāng)然在一個等價類里，陪集就相同，即Ha=Hb）命題2.5.4如果H是G的有限子群，則子集Ha的元素的個數(shù)等于H的階數(shù)。（推出下面重要定理比較關(guān)鍵的一步。Ha明顯階數(shù)小于等于H的階數(shù)，只需證明Ha元素各不相同，這一點(diǎn)由群的消去律可以給出）拉格朗日（Lagrange）定理設(shè)G是個有限群。那么G的任意子群H的階數(shù)一定整除G的階數(shù)。（定義2總結(jié)的主線各個問題都已解決）（值得注意的是并不是G階數(shù)的因子數(shù)就是某子群的階數(shù)，如四次交代群無六階子群）推論1設(shè)G是個有限群。那么，它的任意元素a的階數(shù)都能整除G的階數(shù)。（a的階數(shù)等于<a>的階數(shù)，<a>是子群）推論2設(shè)G是個有限群，lGl是個素?cái)?shù)。那么G只有{e}和G兩個子群。（只有兩個平凡因子）推論3設(shè)G是個有限群，lGl是個素?cái)?shù)。那么G必為循環(huán)群。（顯然）命題2.5.5設(shè)G是個有限交換群。如果a∈G的階數(shù)t大于或等于G中所有元素的階數(shù)，那么每個元素的階數(shù)均可整除t。（結(jié)論稍奇特，沒發(fā)現(xiàn)什么應(yīng)用，證明不難，需要簡單構(gòu)造一下，打字形式稍復(fù)雜，略下）本書關(guān)于直積的知識略。第三章第三章群的同態(tài)兩個群同構(gòu)時，猶如一個是另一個的復(fù)制品，其大小和結(jié)構(gòu)完全相同（代數(shù)性質(zhì)完全復(fù)制）。比同構(gòu)更一般的概念是同態(tài)，猶如從照片上反映人物特性，后者表現(xiàn)前者在一定要求下的基本屬性，不要求一模一樣。同態(tài)乃是一個群到另一個群的映射，不要求是雙射，這樣，這樣映射的像通常比原來群要來得“小”些（原來群與同態(tài)像階數(shù)上有嚴(yán)格倍數(shù)關(guān)系，等于Ker中元素個數(shù)，同態(tài)像與商群同構(gòu)--同態(tài)基本定理（本章最主要的結(jié)論））。同態(tài)概念同樣在環(huán)論，模論等幾乎所有代數(shù)學(xué)領(lǐng)域廣泛使用，是代數(shù)學(xué)的最重要概念之一。這一階段是整個抽象代數(shù)學(xué)習(xí)過程中思想方法上的一次飛躍，如果順利通過本章各個環(huán)節(jié)，那么在其后的內(nèi)容的學(xué)習(xí)上將不會有根本性障礙！3.1群的同構(gòu)定義1設(shè)（G，△）是個群，（H，·）也是個群。如果f：G→H是個雙射，且對任意a，b∈G恒有f（a△b）=f（a·b），則說f是G到H的同構(gòu)映射，G和H同構(gòu)。（可以自己想想一個群有什么，就是元素和它們之間的運(yùn)算關(guān)系，再無其他。在代數(shù)上，元素一一對應(yīng)而且保持之間的運(yùn)算關(guān)系就可以看作是同一系統(tǒng)）命題3.1.1設(shè)G和H同構(gòu)，則同構(gòu)映射f把G中的恒等元映成H中的恒等元。(代數(shù)結(jié)構(gòu)相同，恒等元是很特殊且唯一的一個元素，保持下來很顯然且自然）命題3.1.2條件如命題3.1.1，那么對于G中的任意元素a，都有f（a逆）=f（a）逆。（和上一命題一樣，證明起來比較容易，主要就是保運(yùn)算加上群中元素的逆存在且同態(tài)推得，與第三節(jié)同態(tài)保持的性質(zhì)一樣）命題3.1.3設(shè)A={（G，△），（H，·），（K，#），…}是由一些群構(gòu)成的一個集合。我們在A中定義關(guān)系≈，（G，△）≈（H，·）當(dāng)且僅當(dāng)G同構(gòu)H。那么≈是A上的等價關(guān)系。（結(jié)論顯然，亦可根據(jù)等價關(guān)系的定義驗(yàn)證）命題3.1.4任意n階循環(huán)群都同構(gòu)于（In，+）。（沒什么好說的，顯然）命題3.1.5任意無限循環(huán)群都同構(gòu)于整數(shù)加法群（I，＋）。（同上，當(dāng)然都可以用定義步驟證明）命題3.1.6設(shè)群（G，△）同構(gòu)于群（H，·），而G是個循環(huán)群，則H也是循環(huán)群。（所有代數(shù)性質(zhì)都保持，當(dāng)然保結(jié)構(gòu)）命題3.1.7略。命題3.1.8設(shè)A是有n個元素的集合，G是A到A的所有可逆映射在映射合成之下構(gòu)成的群。那么G同構(gòu)于Sn。（顯然置換就是可逆映射）3.2群上的可逆變換這一節(jié)要討論群G上的所有可逆映射在映射合成之下構(gòu)成的群I（G）的性質(zhì)。最重要的結(jié)論是，任意群必同構(gòu)于其上可以映射構(gòu)成群的一個子群。一般的群，由于背景各異而千差萬別，有了如上的“表示定理”，我們只要把群上可逆映射所構(gòu)成的群討論充分，則其他出之各處的群也就清楚了。定義1設(shè)（G，·）是個群。將G到G的可逆映射稱為G上的可逆變換。G上的所有可逆變換在映射的合成之下構(gòu)成群，記為I（G）。（本節(jié)主要討論可逆變換）群G到G本身的同構(gòu)映射稱為G的自同構(gòu)。命題3.2.1G的所有自同構(gòu)的集合Aut（G）是I（G）的一個子群。（由子群的定義或等價條件很容易驗(yàn)證）命題3.2.2設(shè)G是個群，a是G的一個固定元素。通過a可以得到G上的一個變換λa，規(guī)定每個x∈G對應(yīng)ax，即λa（x）=ax，x∈G。則λa是G上的可逆變換，稱為a左乘變換。（驗(yàn)證可逆即可，λa導(dǎo)出的元素個數(shù)小于等于G中元素個數(shù)，只驗(yàn)證單射即一定是滿射。對于任意x，y∈G，若ax=ay，由消去律自然有x=y，故為單射，即左乘變換為可逆變換。當(dāng)然也可類似定義右乘變換。）命題3.2.3設(shè)G是個群，G中元素的所有左乘變換的集合L={λala∈G}是I（G）的一個子群。（結(jié)論顯然，用子群的定義簡單驗(yàn)證即可）命題3.2.4設(shè)G為任意一個群，L是其元素導(dǎo)出的所有左乘變換形成的群，則G同構(gòu)于群L。（規(guī)定a→λa，結(jié)論顯然）定理3.2.1（凱萊定理）每個群G都同構(gòu)于其上所有可逆變換構(gòu)成的群I（G）的一個子群。（G同構(gòu)于左乘變換群，右乘變換稍有不同）推論每個n階有限群必同構(gòu)于n階對稱群Sn的一個子群。（可逆變換群同構(gòu)于Sn）命題3.2.5設(shè)G是個群，a是G的一個固定元素，通過a可導(dǎo)出一個G到G的映射γa，γa（x）=axa逆，x∈G。那么γa必為G到G的同構(gòu)映射。（可逆，保運(yùn)算，形式上比較好驗(yàn)證。形式上比較對稱）定義2設(shè)G是個群。G的元素a所導(dǎo)出的映射γa稱為a導(dǎo)出的內(nèi)自同構(gòu)。（內(nèi)自同構(gòu)是群很重要的一個研究方向，在GaloisTheory中有很重要的性質(zhì)和結(jié)論（不動點(diǎn)體上的可離擴(kuò)張，伽羅華定理等），主要是刻畫群中各元素之間的等價屬性，反應(yīng)群的結(jié)構(gòu)，此處只是給出了非交換群內(nèi)自同構(gòu)的一種構(gòu)造方法，當(dāng)然還有其他非此類的自同構(gòu)關(guān)系）在2.3節(jié)關(guān)于置換群的討論中，我們知道，對有限集S的任意一個子集T，若G是S上的一個置換群，則GT={那些使T不動的的置換}是G的一個子群。一般地，若f是G到G本身的一個映射，T是A的子集，且f（T）包含于T，則說T是f的一個不變子集，此時f在T上的限制就是T到T本身的一個映射。這個概念廣泛的用于數(shù)學(xué)的各個分支，特別是線性代數(shù)，拓?fù)鋵W(xué)，泛函分析，等等。定義3設(shè)G是個群，H是G的一個子群。如果H在每個內(nèi)自同構(gòu)映射之下都不變，即對任意a∈G，任意h∈H，都有aha逆∈H，則說H是G的不變子群。并記成H?G。（可簡單理解為在G中除本身沒有與H中元等價（代數(shù)性質(zhì)相同，可替換）的元，或者等價也是H中的元。與不動點(diǎn)體相似）命題3.2.6設(shè)H是G的子群。那么H是G的不變子群的充分必要條件是對任意g∈G，gH=Hg。（換序是不變子群最大的優(yōu)勢！是構(gòu)造商群推到群同態(tài)基本定理必不可少的特性，當(dāng)然下一章會介紹一個與其作用相當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)-理想）命題3.2.7設(shè)G是個群，K是其子群，N是G的不變子群。則KN=NK，且NK也是G的子群。（由于N是不變子群，故易得KN=NK，而且NK=KN是KN是子群的等價條件：由2.5節(jié)的定義知KN={x∈Glx=kh，k∈K，h∈N}，首先需驗(yàn)證運(yùn)算封閉，k1h1k2h2是否屬于KN,由于KN=NK，交換順序可以證明封閉，而且顯然滿足結(jié)合律，ee是單位元，任意逆元屬于KN，所以KN=NK是子群）命題3.2.8設(shè)N和H都是群G的不變子群，則NH也是G的不變子群。（由于N,H都是不變子群，易知任意NH的左陪集等于右陪集）命題3.2.9設(shè)G是個群，Nα都是G的不變子群，α∈M，那么這些子群的交也是G的不變子群。（首先由子群的結(jié)論知不變子群的交是子群，其次用內(nèi)自同構(gòu)定義容易驗(yàn)證驗(yàn)證是不變子群）3.3群的同態(tài)簡單地說：同態(tài)就是把原群映成原群（同構(gòu)），或者除去幾個循環(huán)群單位及它們交叉乘項(xiàng)后的群（除去的是Ker中元素），其他性質(zhì)不變。與由Ker生成的商群代數(shù)結(jié)構(gòu)完全相同！定義1設(shè)（G，·）是個群，（H，#）也是個群。那么，G到H的映射f稱為G到H的同態(tài)映射，如果對任意a，b∈都有f（a·b）=f（a）#f（b）。粗略地說，同態(tài)就是保運(yùn)算的映射。（映射保持了元素間的關(guān)系，沒有保持的是對應(yīng)數(shù)量關(guān)系）命題3.3.1設(shè)f是群G到H的同態(tài)映射，eG和eH分別是它們的恒等元。那么f（eG）=eH。（原因與同構(gòu)保持的性質(zhì)相同--保運(yùn)算及群中消去律，只能把恒等元映成恒等元。）命題3.3.2設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射，。那么，對G中任意元素g，元素f（g）在H中的逆元素恰為f（g逆），即f（g逆）=f（g）逆。（保運(yùn)算且逆元素存在且唯一推得）命題3.3.3設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射，那么H中恒等元eH的原像K=f逆（eH）={g∈Glf（g）=eH}是G的不變子群。定義2設(shè)f是群G到H的一個同態(tài)映射，那么稱eH的原像為映射f的核，記為Ker（f）。（很重要的一個結(jié)構(gòu)，以下敘述方便僅記為Ker）命題3.3.4如果f是群G到群H的同態(tài)映射，g是群H到群K的同態(tài)映射，則gf是群G到群K的一個同態(tài)映射。（這個映射過程的結(jié)論比較簡單）定理3.3.1設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射，g是群H到群K的同態(tài)映射。那么，有Ker（gf）=f原像（Ker（g））。（很平凡，過程簡單，很好想出。）定理3.3.2設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射，g是群H到群K的同態(tài)映射，那么Img（gf）=g（Img（f））。（比上一個還平凡，在第一章介紹過）命題3.3.5設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射。如果A是G的子群，則f（A）是H的子群；如果B是H的子群，則f逆（B）是G的子群。（由本節(jié)開篇總結(jié)的過程可容易得出結(jié)論，A的一些循環(huán)群單位及交叉項(xiàng)原封不動，其余的循環(huán)群單位及交叉項(xiàng)映成eH；反過來的過程也是類似的，可以自己推得。拋開定義證明，感受這種同態(tài)映射的實(shí)際過程是很重要的?。┟}3.3.6設(shè)f是群G到群H的滿同態(tài)映射，A是G的不變子群，B是H的不變子群。那么f（A）是H的不變子群，f逆（B）是G的不變子群。（A是G的不變子群，就是對于G上的任意自同構(gòu)只能把A的元素映到A中，A中的元素不可能與A之外的元素等價。按照同態(tài)的映射過程，A會保持一些循環(huán)群單位及交叉項(xiàng)不變，其余映成H的單位元，而H上的內(nèi)自同構(gòu)會少一些，但一定不會把A的像同構(gòu)到A的像的外邊，故f（A）是H的不變子群；反過來的過程類似，不變子群的原像是不變子群與Ker中元素作用生成的群，而原群是Ker與H作用（同構(gòu)意義下）生成的群，因?yàn)锽是H的不變子群，即B在H中沒有與B同構(gòu)意義下等價的元素，那么在原群中任意同構(gòu)都不可能把B不與Ker作用的原像映成H不與Ker作用的原像中的元素，但是不能保證不把Ker中的元素映成H的不與Ker中元素作用的原像，這種理解的漏洞主要在于定義不變子群的內(nèi)自同構(gòu)不是群上的所有內(nèi)自同構(gòu)，所以反過來的證明可以參考書上“形式上的證明”。結(jié)論還是挺重要的）定理3.3.3設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射，eG和eH分別是G和H的恒等元。那么，f是單射的充分必要條件是Ker（f）={eG}。（由同態(tài)實(shí)質(zhì)可簡單推出）命題3.3.7設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射，B為H的子群。則f（f逆（B））=B∩Img（f）。（很容易理解，前面提到過類似的結(jié)論）命題3.3.8設(shè)f是群G到群H的同態(tài)映射，A是G的子群，則f逆（f（A））=AKer（f）。（f逆（f（A））等于A和Ker作用生成的群，而Ker是不變子群，由命題3.2.7可寫成AKer（f）由前面的鋪墊容易得出，結(jié)論也從側(cè)面反映了同態(tài)的過程）命題3.3.9群G到群H的滿同態(tài)映射f是同構(gòu)映射，當(dāng)且僅當(dāng)Ker（f）={eH}，其中eH是H的恒等元。（同態(tài)把一部分原封不動，一部分映成eH，現(xiàn)在只有單位元映成單位元，就是全部原封不變）3.4商群總結(jié)一下同態(tài)在數(shù)量上的對應(yīng)關(guān)系：已經(jīng)反復(fù)提過，同態(tài)就是把群中的一部分循環(huán)群及交叉項(xiàng)同構(gòu)，剩下的映成像的單位元。而元群的階數(shù)等于兩部分元素個數(shù)的乘積，而同態(tài)像元素個數(shù)等于第一部分元素的個數(shù)，故同態(tài)是n對1的保運(yùn)算的映射，n取決于Ker中元素的個數(shù)。定理3.4.1設(shè)N是群G的一個不變子群，G/N代表G對N的所有陪集構(gòu)成的集合。規(guī)定，任意aN，bN∈G/N，對應(yīng)G/N的元素（a·b）N，則得到G/N的一個運(yùn)算，記為#，即aN#bN=（a·b）N。進(jìn)一步，（G/N，#）是個群。（不變子群的換序發(fā)揮了很大作用，主要使定義合理，“相同”的元素作用結(jié)果應(yīng)相同唯一，即良定義。其余的結(jié)合律，左單位元，左逆元都不是實(shí)質(zhì)上的問題，都比較好解決，所以（G/N，＃）構(gòu)成群）定義1設(shè)N是群G的不變子群。在商集G/N中規(guī)定aN#bN=（a·b）N，aN，bN∈G/N。則（G/N，#）構(gòu)成群，稱為群G對不變子群N的商群。（我們來看看這個群，對應(yīng)數(shù)量上肯定是n對1，陪集的元素個數(shù)等于N中元素的個數(shù)，是上一章的結(jié)論，和同態(tài)映射未映成單位元的元素原像是aKer（f）相同，而且形式上也是一模一樣的，推導(dǎo)出同構(gòu)是十分自然的！此定義就是為了轉(zhuǎn)換了一下形式闡述同態(tài)映射性質(zhì)而定義的！當(dāng)然轉(zhuǎn)換形式會一定程度上簡化形式，不過也會使規(guī)律結(jié)論失去一定的原本的面目?。┟}3.4.1如果G是個群，N是G的不變子群，那么映射f：G→G/N，f（a）=aN，對任意a∈G，是滿同態(tài)映射，且Ker（f）=N。（Ker（f）=N顯然，滿同態(tài)也比較自然，滿的話，肯定任意陪集都有原像，保運(yùn)算在定義之初證合理性時就涉及到了）定理（同態(tài)基本定理）設(shè)G和H都是群，f是G到H的滿同態(tài)映射，Ker（f）=K。那么有映射φ：G/K→H，使得φ（aK）=f（a），對每個aK∈G/K，且φ是G/K到H的同構(gòu)映射。從而G/K≈H。（由前幾個問題的解釋得出結(jié)論是平凡的!)敘述手法比較隨意，個人感覺解釋比較清楚，只是寫的一點(diǎn)總結(jié)也就不潤色了，當(dāng)然理解清楚本人的方式可能還需一定的思考過程。第四章第四章環(huán)與理想前兩張討論的群是個僅有一個二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)。本書的后幾章將要學(xué)習(xí)同時具有兩種二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)。當(dāng)然，一個集合上的兩種二元運(yùn)算各有各的規(guī)律，這就需要讀者首先掌握好有一種二院運(yùn)算的系統(tǒng)的研究方法，特別是群論的研究方法。初步學(xué)習(xí)環(huán)時可以不比過多在意乘法運(yùn)算，只當(dāng)是群上加法運(yùn)算的一個附加運(yùn)算即可。所以本章的大部分內(nèi)容都是按照前兩章的思路平凡地推廣一下：群推廣→環(huán)；子群→子環(huán)；不變子群→理想；商群→商環(huán)；群同態(tài)→環(huán)同態(tài)。同時，一個集合上的兩種二元運(yùn)算的配合在一起形成一個整體，進(jìn)一步研究時就需要密切注意這兩種運(yùn)算之間的聯(lián)系，而不是討論那類兩種二元運(yùn)算“不搭邊”的各自獨(dú)立無關(guān)系統(tǒng)。（這里主要是域研究的內(nèi)容方向）近世代數(shù)學(xué)中常見的有兩個二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)有結(jié)合環(huán)、Lie環(huán)、Jordan環(huán)、格和Boole代數(shù)，等等。其中結(jié)合環(huán)背景最為廣泛，研究的歷史最長，已成為近世代數(shù)學(xué)的最基本的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。4.1環(huán)的定義定義1設(shè)集合R上有兩種二元運(yùn)算，一個叫加法，記為+，一個叫乘法，記為?，且（1）（R，+）是個交換群；（2）乘法?在R上是結(jié)合的；（3）對任意a，b，c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，（b+c）·a=b·a+c·a（分配律）。則說（R，+，·）是個結(jié)合環(huán)，簡單地，說它是個環(huán)。（新的代數(shù)系統(tǒng)，卻不是全新的，只不過是交換群上多加了一個滿足結(jié)合律的新運(yùn)算，兩運(yùn)算間滿足一定的分配律）命題4.1.1設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，0是（R，+）的零元素，-a代表（R，+）中a的負(fù)元素。那么，對任意a，b，c∈R，有（1）0·a=a·0=0；（2）a·（-b）=（-a）·b=-a·b；（3）（-a）·（-b）=a·b；（4）a·（b-c）=a·b-a·c，（a-b）·c=a·c-b·c。（分配律所保持的性質(zhì)，第一條用到了加法群中零元及負(fù)元的簡單性質(zhì)；第二條比較關(guān)鍵，用到了負(fù)元的存在及唯一性，后面兩條就直接得出了）定義2設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，如果R的乘法有單位元e，則說R是個有單位元環(huán)，或稱有1環(huán)。稱e為R的單位元；對于環(huán)R的元素a，若有b≠0以及c≠0使ab=0以及ca=0，則說a是R的一個零因子（那些非零元卻可以發(fā)揮類似零元作用的元素）；如果環(huán)R不含非零的零因子，則稱R為無零因子環(huán)；如果環(huán)R的乘法是可換的，則說R是個交換環(huán)；有1的交換的無零因子環(huán)稱為整環(huán)或整區(qū)（整環(huán)的要求就比較高了，當(dāng)然性質(zhì)也比較好，第六章因子分解理論大部分結(jié)論都是在整環(huán)的基礎(chǔ)上的；整環(huán)的規(guī)整程度大致可以看作域了，只是非零乘法上不一定構(gòu)成交換群，不過在我們之前討論的有限集合上，滿足分配律、無零因子即滿足消去律就會存在逆，即構(gòu)成域?。Ｃ}4.1.2如果（R，+，·），那么R的乘法滿足消去律；即a，b，c∈R，a≠0，則a·b=a·c蘊(yùn)涵b=c。（群中滿足消去律主要是每個元素都有逆，此處用分配律及零因子來推導(dǎo)出了環(huán)中的消去律）命題4.1.3如果環(huán)（R，+，·）有乘法恒等元，設(shè)為e，那么對任意n∈I，a∈R，有na=（ne）a。（顯然的結(jié)論，分配律可以證明）R上所有n階方陣的集合在矩陣的加法和乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個環(huán)，稱為R上的n階全陣環(huán)。（很恰當(dāng)?shù)睦?，代?shù)上再普通不過的矩陣?yán)?，很符合環(huán)的定義）定義3設(shè)R是個有單位元1的環(huán)。R的元素a稱為R的一個單位，如果有b∈R使ab=ba=1（環(huán)中的單位的另一種說法是乘法下可逆的元素，如全陣環(huán)中的可逆矩陣，在第六章會有一些特殊的地方）4.2子環(huán)與理想定義1設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，S是R的一個非空子集。如果+和·也是S的運(yùn)算，且（S，+，·）也是個換，則說（S，+，·）是（R，+，·）的一個子環(huán)。（子群向子環(huán)的平凡推導(dǎo)，沒什么新意）命題4.2.1設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，S是R的非空子集。那么，S是R的子環(huán)的充分必要條件是（1）對任意a，b∈S，有a+b∈S；（2）對任意a∈S，有-a∈S；（3）對任意a，b∈S，有a·b∈S。（首先（1）、（3）驗(yàn)證了運(yùn)算封閉，即為二元運(yùn)算，其次由于是環(huán)的子集，當(dāng)然都滿足結(jié)合律及分配律，（1）、（2）是第二章第二節(jié)構(gòu)成子群的等價條件，綜合以上構(gòu)成了子環(huán)）命題4.2.2設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，S是R的非空子集。那么，S是R的子環(huán)的充分必要條件是（1）（S，+）是（R，+）的子群；（2）對任意a，b∈S，有a·b∈S。（這個太直接了）命題4.2.3設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，S是R的非空子集。那么，S是R的子環(huán)的充分必要條件是（1）對任意a，b∈S，有a-b∈S；（2）對任意a，b∈S，a·b∈S。（此結(jié)論進(jìn)一步簡化了命題4.2.1，在子群的等價條件中出現(xiàn)過）命題4.2.4環(huán)R的任意一族子環(huán)的交仍是R的子環(huán)。（首先環(huán)亦是群，一族子群的交仍為子群，這是前面介紹過的結(jié)論，在加法群的基礎(chǔ)上，由上面的命題可知只需驗(yàn)證乘法封閉即可，任意兩元素的積必在每個子環(huán)中，當(dāng)然在它們的交集中，故命題得出）定義2設(shè)R是個環(huán)，a∈R。作R的子環(huán)族A={S是R的子環(huán)la∈S}，我們把S的交稱為由R的元素a生成的子環(huán)，記為<a>。（以后的符號（），[],<>，{}都會出現(xiàn)，注意記準(zhǔn)每個的含義。此定義為單個元素生成循環(huán)群的推廣）推論設(shè)R是個環(huán)，a∈R，那么，由a生成的子環(huán)<a>是R的所有包含元素a的子環(huán)中的最小者。（任意包含a的子環(huán)都包含這樣一個“單位”，很容易想）命題4.2.5設(shè)R是個環(huán)，a∈R。那么，R中所有形如ma，ma+na^2,……,m1a+m2a+……+mta^t,……的元素做成的集合S恰好就是a生成的子環(huán)<a>。（環(huán)中無非就是元素加法和乘法相互作用，首先考慮加法即ma，然后考慮乘法a^n，再將它們交叉相加相乘即得到子環(huán)，化簡后即為命題形式）命題4.2.6設(shè)T是環(huán)R的非空子集，則T在R中生成的子環(huán)恰為由下述形式元素組成的集合。a1+……an+b1c1+……bmcm+d1e1f1+……+……x1x2……xl+……+z1z2……zl，其中諸ai，bj，……zk均為T中元素或它們的負(fù)元。（無非就是加法和乘法的相互作用，使其封閉，第一項(xiàng)是任意兩數(shù)相加，第二項(xiàng)是任意兩數(shù)相乘后再相加，第三項(xiàng)后依此類推…這種構(gòu)造性的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造本身就給出了證明）定義3設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，A是R的非空子集。如果（1）（A，+）是（R，+）的子群；（2）對任意x，y∈A和a，b∈R都有ay∈A，xb∈A，則說A是R的理想，從定義中可以看出，A為R的理想則A必為R的子環(huán)。因此，有人也稱環(huán)的理想為環(huán)的理想子環(huán)。（不變子群在環(huán)中的推廣，主要是為了使商環(huán)良定義，從而得到環(huán)同態(tài)基本定理。理想體現(xiàn)吸附性，和任意元素作用都會被吸進(jìn)去，當(dāng)然這種性質(zhì)是被要求從而得到的）從定義中可以看出，A為R的理想則A必為R的子環(huán)。（乘法封閉）命題4.2.7設(shè)R是個環(huán)，R的一族理想的交集必然也是R的理想。（此種手法又一次用到了，首先子環(huán)的交還是子環(huán)，其次吸附性在每個理想中都存在當(dāng)然在它們的交中存在）定義4設(shè)R是個子環(huán)，T包含于R，T非空。作R的理想族B={I是R的理想，T包含于I}，I的交集得到的理想稱為R的由子集T生成的理想，記為（T）。（又給出了子集構(gòu)造或生成理想的定義，這種定義早在生成向量空間、子群、子環(huán)…就出現(xiàn)過，算是比較常見的定義類型。給出定義當(dāng)然下面就會討論生成理想的具體形式了）定理4.2.1設(shè)T是環(huán)R的非空子集。那么，R中所有形如如下的元素的集合恰為（T）：n1a1+……+ntat+r1b1+……+rkbk+c1s1+……+clsl+x1d1y1+……+xidiyi,其中n是整數(shù)，a，b，c，d是T中元素，而r，s，x，y是R的元素。（目的就是包含所有R中與T作用的元素。首先是自封閉加法，然后兩項(xiàng)是吸附性的構(gòu)造，比較簡單，就是這樣的形式）推論1設(shè)R是個環(huán)，a∈R。那么（a）恰為所有形如下的元素構(gòu)成的集合：na+ra+as+x1ay1+……+xiayi,其中n為整數(shù)，r，s，x，y都是R中的元素。（由上一定理平凡得出）推論2設(shè)R是個有恒等元素e的環(huán)，a∈R。那么a生成的主理想（a）恰為所有形如下的元素構(gòu)成的集合：x1ay1+……+xjayj,其中x，y是R的任意元素。（只留了第三類項(xiàng)，x或y為e可得出第二類，都為e得出第一類）命題4.2.8設(shè)A.B是R的理想。那么A+B=（A∪B)。（稍不太平凡的形式。首先證明A+B為子環(huán)，由命題4.2.3很容易判定，其次乘法的吸附性由A,B都是理想也容易得到。接下來證明A+B=(A∪B)，思路就是互相包含，后者包含前者顯然，其次（A∪B）是包含A，B最小的理想當(dāng)然包含于A+B，故得證）類似的結(jié)論也可以看一下例題7.4.3理想與商環(huán)（I）定理4.3.1設(shè)（R，+，·）是個環(huán)，A是R的理想，作為加法群，得商群R/A，#加法。再在加法群上定義乘法，令任意a+A，b+A，對應(yīng)ab+A，則構(gòu)成環(huán)。(在加法上，由于滿足交換律，對任意子群都可定義商群，關(guān)于群同態(tài)的結(jié)論自然不消細(xì)說；然而對于乘法滿足群同態(tài)的性質(zhì)，保乘法及分配律則并非對于任意子環(huán)都成立，由定義的合理性自然需要子環(huán)的吸附性，這也是理想定義產(chǎn)生的原因，就是滿足商環(huán)定義的合理性，即同一等價類運(yùn)算作用結(jié)果相同，分配律的驗(yàn)證就比較平凡了)定義設(shè)R是個環(huán)，A是R的理想，在商集R/A中規(guī)定任意a+A，b+A，加法對應(yīng)（a+b）+A，乘法對應(yīng)ab+A，得到的環(huán)稱為環(huán)對理想A的商環(huán)，或稱剩余環(huán)。（對于環(huán)同態(tài)的解釋，由于對群同態(tài)印象比較深，也可能是對環(huán)論接觸的比較少，在環(huán)中的特殊含義不太清楚，也沒太感覺。個人的理解還是在群同態(tài)元素的數(shù)量及加法對應(yīng)的基礎(chǔ)上添加的乘法及分配律都滿足的一種系統(tǒng)對應(yīng)，普通的環(huán)于我而言還是加法群上添加了附加的，不太重要的乘法及分配律的結(jié)構(gòu)）4.4環(huán)的同態(tài)映射定義1設(shè)（R，+，·）和（S，+，⊙）都是環(huán)。R到S的映射φ稱為R到S的環(huán)同態(tài)映射,如果對任意a，b∈R恒有φ（a+b）=φ（a）#φ（b），φ（a·b）=φ（a）⊙φ（b）。（保運(yùn)算，同態(tài)的基本要求，沒什么新意）特別地，當(dāng)φ是滿射時，稱S是R的同態(tài)像。（R→S滿同態(tài)）當(dāng)φ是雙射時，說φ是R到S的環(huán)同構(gòu)映射。（一一對應(yīng)，且保運(yùn)算就是代數(shù)結(jié)構(gòu)完全相同，就是同構(gòu)）定義2設(shè)φ是環(huán)（R，+，·）到環(huán)（S，#，⊙）的環(huán)同態(tài)映射，那么，稱集合Img（φ）={s∈Sl有r∈R使s=φ（r）}為映射φ的像，稱集合Ker（φ）={r∈Rlφ（r）=0}為映射φ的核。（群到環(huán)比較平凡的推廣）命題4.4.1設(shè)φ是環(huán)（R，+，·）到環(huán)（S，#，⊙）的環(huán)同態(tài)映射。那么φ的像Img（φ）是環(huán)S的子環(huán)。（首先由上一章的結(jié)論，Img（φ）的像一定是加法群，故只需驗(yàn)證乘法封閉，由保運(yùn)算，像中任意元素間作用都可以對應(yīng)到R中的元，故封閉。）命題4.4.2設(shè)φ是環(huán)（R，+，·）到環(huán)（S，#，⊙）的環(huán)同態(tài)映射。如果φ是滿的，R有恒等元e，則環(huán)S必為恒等元，而且恰好就是φ（e）。（一般而言，R與S同態(tài)，二者的恒等元沒有什么關(guān)系，主要是S中大多數(shù)元素可能與R沒什么關(guān)系，書上有比較好的例子。當(dāng)然對于滿同態(tài)而言，這種保運(yùn)算保結(jié)構(gòu)的映射，保持恒等元就再平凡不過了?。┟}4.4.3設(shè)φ是環(huán)（R，+，·）到環(huán)（S，#，⊙）的滿的同態(tài)映射。那么，如果R是交換的，則S必然也是交換的。（這和上一命題都是那種但凡熟悉同態(tài)就無需證明的結(jié)論！）命題4.4.4設(shè)φ是環(huán)（R，+，·）到環(huán)（S，#，⊙）的環(huán)同態(tài)映射。ψ是（S，#，⊙）到環(huán)（K，*，△）的同態(tài)映射。那么復(fù)合映射ψ·φ是R到K的環(huán)同態(tài)映射。（不好再說平凡了，按定義自己證一下吧）命題4.4.5設(shè)φ是環(huán)（R，+，·）到環(huán)（S，#，⊙）的環(huán)同態(tài)映射。那么φ的核Ker（φ）必然是環(huán)R的理想。（我們來終結(jié)一下環(huán)同態(tài)的過程！概括起來就是定理4.4.1，首先就是上一章總結(jié)了好多遍的群同態(tài)過程，此處為加法可交換意義下的形式，接下來就要考慮乘法。由于乘法的定義沒有固定形式，加上乘法系統(tǒng)本身就不太成體系，需要深入研究，比方域論的研究，給出嚴(yán)格驗(yàn)證詳細(xì)的介紹不太現(xiàn)實(shí)，想看都也不太容易。但是符合已由群同態(tài)映過來的的元素體系是一定的，正如群同態(tài)時循環(huán)群間交叉項(xiàng)形成（通過階數(shù)）循環(huán)群一樣（根據(jù)原本的乘法系統(tǒng)，雖說這個由于沒有固定形式也無法輕易給出推斷，不過根據(jù)定義可以嚴(yán)格證明環(huán)同態(tài)的基本過程），而Ker的形式比較特別，由于任意元素和0相乘都等于零，可以很容易得出結(jié)論）推論同態(tài)映射φ為單射的充分必要條件是Ker（φ）={0}。（無需在意環(huán)，只從群倫的角度考慮即可，上一章已有的結(jié)論）命題4.4.6如果A是環(huán)R的理想，那么φ：r→r+A是環(huán)R到環(huán)R/A的滿的同態(tài)映射。（證明下一定理的最后一步工序，滿射及保運(yùn)算都比較好驗(yàn)證，就是要和以A為Ker的同態(tài)像建立聯(lián)系！）定理4.4.1設(shè)f是環(huán)（R，+，·）到環(huán)（S，#，⊙）的滿的同態(tài)映射。Ker（f）=A。那么R/A同構(gòu)于環(huán)（S，#，⊙）。（群同態(tài)加上附加的群上的乘法及分配律的自然符合這一系統(tǒng)得出的群上附加的乘法及分配律得到的環(huán)的同態(tài)規(guī)律，詳細(xì)的過程上面已經(jīng)總結(jié)完了。）第五章第五章從環(huán)到域我們已經(jīng)見過許多種結(jié)合環(huán)，盡管這些代數(shù)系統(tǒng)都滿足環(huán)的定義中要求的幾條公理，但具體的集合在有了加乘運(yùn)算之后形成的代數(shù)系統(tǒng)（同構(gòu)之下不計(jì)差異）仍然各有特點(diǎn)。本章主要討論幾種環(huán)的重要類型及各類型的關(guān)系的關(guān)系及轉(zhuǎn)換。5.1除環(huán)和域定義1設(shè)（R，+，·）是個至少含2個元素的環(huán)。用R0代表R中所有非零元的集合。如果R0在R的乘法下是個群，則說（R，+，·）是個除環(huán)。進(jìn)一步，若（R，+，·）是交換環(huán)，又是除環(huán)，則說（R，+，·）是個域。有人稱除環(huán)為體、除體、斜域。有人稱域?yàn)榻粨Q除環(huán)或交換體。（我會把環(huán)看作是交換群上附加了乘法及結(jié)合律的代數(shù)結(jié)構(gòu)，主要是環(huán)在乘法結(jié)構(gòu)下不太有嚴(yán)格體系，比較雜亂，性質(zhì)也不好。然而為了更好討論運(yùn)算間的關(guān)系，這里使乘法系統(tǒng)有了更規(guī)整的結(jié)構(gòu)，即構(gòu)成群。當(dāng)然這會讓大家更熟悉）定義2設(shè)（R，+，·）是個至少含2個元素的環(huán)。如果（1）R有乘法恒等元1；（2）對任意r∈R有，只要r≠0，則必有s∈R使得rs=sr=1則說環(huán)（R，+，·）是個除環(huán)。（很初級的集合構(gòu)成群的驗(yàn)證）命題5.1.1只含有限個元素的除環(huán)必為域。（之前提過好多遍的結(jié)論，最早是在第二章提到過，基本思想就是滿足消去律的有限集合，而且有滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算，則集合構(gòu)成群）命題5.1.2域不含非平凡的理想。（要么只含零元，要么單位元一定屬于理想，由之前知道的理想的形成過程，域中每個元素和單位元相乘都屬于理想，當(dāng)然得到的理想是平凡的）命題5.1.3設(shè)φ是環(huán)R到S的環(huán)同態(tài)，且為滿射。如果R是個域，則φ或者是同構(gòu)映射，或者將R的所有元素映成S的零元。（環(huán)同態(tài)中Ker為{0}或R）定義3域（F，+，·）的子集S稱為F的子域，如果它是F的子環(huán)且它在F的運(yùn)算之下本身是個域。（很平凡的定義類型--子結(jié)構(gòu)，不過與群或環(huán)不同，域的擴(kuò)張的研究是很大的代數(shù)分支，在本書第7章介紹，當(dāng)然那只是GaloisTheory的一小部分）定義4設(shè)R是個環(huán)。如果有自然數(shù)m使得，對每個r∈R均有mr=0，而小于m的自然數(shù)都不具備該性質(zhì)，則說環(huán)R的特征數(shù)char為m，如果找不到滿足上述要求的自然數(shù)，則說環(huán)R的特征數(shù)為0。（僅當(dāng)作加法運(yùn)算下的元素階數(shù)即可，而且可以明確的說是單位元e的加法階數(shù)，因?yàn)槿我庠豠都可以寫成ea，稍有不同之處下面的命題會給出）命題5.1.4有限環(huán)的特征數(shù)比整除其元數(shù)。（拉格朗日定理，第二章階數(shù)最主要的結(jié)論）命題5.1.5域F的特征數(shù)或?yàn)?或?yàn)樗財(cái)?shù)。（此處稍有不同，主要是結(jié)合了乘法的性質(zhì)。me=0，若m不是素?cái)?shù)，m=pq，則me=peqe，由于F是個域，滿足消去律，無零因子，故pe=0或qe=0矛盾）命題5.1.6設(shè)域F的特征數(shù)為p≠0，那么，對任意a，b∈F，恒有（a+b）^p=a^p+b^p.（張開驗(yàn)證一下即知其余項(xiàng)都為0）命題5.1.7設(shè)環(huán)（R，+，·）有1，那么，當(dāng)1在群（R，+）中階數(shù)無限時，R之特征數(shù)為0，當(dāng)1的階數(shù)為正整數(shù)n時，R之特征數(shù)恰為n。（環(huán)R的特征數(shù)即為1的加法階數(shù)，可平凡得出結(jié)論）5.2理想與商環(huán)（II）定義1環(huán)R的理想M≠R稱之為R的極大理想，如果對R的任意理想A，M包含于A，其M≠A蘊(yùn)涵A=R。換言之，在R中真比A大的理想只有環(huán)R本身。（需特殊注意的就是R的極大理想可能不唯一）定理5.2.1設(shè)R是個有1的交換環(huán)，A是它的一個理想。那么，剩余環(huán)R/A為域的充分必要條件是A為R的一個極大理想。(主要體現(xiàn)極大理想的作用，稍樸實(shí)的證明方式：R/A是域主要就是需要乘法下構(gòu)成交換群，結(jié)合律及交換律都是保持的，單位元為1+A，最大的問題是乘法的逆元，對于任意的a+A（a不屬于A），必能在R/A找到其逆b+A使得ab+A=1+A。有前面的命題可知，R是有1交換環(huán)，（a）={y∈Rly=ax，x∈R}，由于（a）+A也是理想且≠A，由極大性只能=R，故1∈（a）+A，1∈ab+A，1+A=（a+A）（b+A）于是b+A就是a+A的逆，于是R/A是個域。當(dāng)R/A是個域時，設(shè)B是理想，A包含于B，A≠B，b∈B不屬于A，b+A≠A故為非零元，由于R/A是域，則有逆c+A，使得（b+A）（c+A）=1+A，即1=bc+a，由于B是理想，bc∈B，A包含于B，所以1∈B，B=R，A是極大理想)定義2設(shè)R是個交換環(huán)，P是R的一個理想。如果P≠R且對任意的a，b∈R，ab∈P蘊(yùn)涵a∈P或b∈P，則說P是R的一個素理想。（這種由需要（剩余環(huán)為無零因子環(huán)）而構(gòu)造的定義不太好直接給出理解，主要突出元素與集合間被包含的較直接的關(guān)系，在第六章還會有類似的素元的定義）如果{0}是環(huán)R的素理想，則說R是個素環(huán)。（沒太見過應(yīng)用）命題5.2.1設(shè)R是個交換環(huán)。那么，環(huán)R的理想P（≠R）為其素理想的充分必要條件是剩余環(huán)R/P為無零因子環(huán)。（任意元a+P和b+P，若ab+P=P則當(dāng)P是主理想整環(huán)，則a或b屬于P，即a+P或b+P為零元；當(dāng)R/P無零因子，則a+P或b+P為零元，即a或b屬于P，P是素理想）命題5.2.2設(shè)R是個環(huán)，A是R的理想。環(huán)R/A為交換環(huán)的充分必要條件是A包含R中所有形如xy—yx，x，y∈R的元素。（如上面的方法，都是比較正規(guī)的證明過程，沒什么新意，也比較平凡，可以自己練習(xí)）5.3嵌入問題（本節(jié)的主要目的就是介紹由環(huán)構(gòu)造擴(kuò)張成域的過程）命題5.3.1設(shè)R是個環(huán)，I是整數(shù)環(huán)。在I*R中，規(guī)定運(yùn)算，對任意（m，a），（n，b）∈I*R，（m，a）#（n，b）=（m+n，a+b），（m，a）⊙（n，b）=（mn，mb+na+ab）。則（I*R，#，⊙）是個環(huán)，R同構(gòu)于它的一個子環(huán)。（通過突破性的構(gòu)造去得出結(jié)論是比較困難的，然而已知構(gòu)造方式去驗(yàn)證結(jié)論卻是比較容易的，此處就是根據(jù)定義驗(yàn)證（I*R，#，⊙）構(gòu)成環(huán)，比較基礎(chǔ)。證明同構(gòu)只需將任意元素a→（0，a）即可得出結(jié)論）推論任意交換環(huán)R必同構(gòu)于一個有1交換環(huán)的子環(huán)。（交換性顯然，由上一構(gòu)造過程的驗(yàn)證可知（I*R，#，⊙）的恒等元為（1,0））命題5.3.2特征數(shù)為n的環(huán)恒同構(gòu)于一個特征數(shù)為n的有1環(huán)的子環(huán)。（由第一個命題的構(gòu)造方式，只需驗(yàn)證（I*R，#，⊙）的恒等元（1,0）的加法階數(shù)為n即可）定理5.3.1設(shè)R是個交換的無零因子環(huán)。那么，R必同構(gòu)于某個域的一個子環(huán)。（定理的證明過程也就是把R同構(gòu)意義下擴(kuò)成域的過程，構(gòu)造出來的域就是包含R的最小的域稱為R的分式域，這種構(gòu)造在GaloisTheory中是很基礎(chǔ)的，正如上面的構(gòu)造方式構(gòu)造出恒等元是相對容易的，此處的分式主要體現(xiàn)的是關(guān)鍵步驟環(huán)中逆的構(gòu)造，再加上R是個交換無零因子環(huán)就構(gòu)成了域。把環(huán)擴(kuò)成域的方式是比較基礎(chǔ)且實(shí)用的手法，書上分了八步，這里的具體內(nèi)容就不介紹了，可以自己嘗試練習(xí)）命題5.3.3設(shè)R同構(gòu)于R’，它們是可交換的無零因子環(huán)，Q和Q’分別是它們的分式環(huán)，那么，Q同構(gòu)于Q’。（同構(gòu)在代數(shù)上就是一樣的！R和R’一樣，Q和Q’也一樣）5.4交換環(huán)上的多項(xiàng)式定義1設(shè)（S，+，·）是個有1交換環(huán)。每個形如下面的表達(dá)式f（x）=a0+a1x+…+anxn，均稱為是環(huán)S上的一個關(guān)于x的多項(xiàng)式。（早在高等代數(shù)第一章最開始就給出過的定義，好懷念??！只是那里給出的是實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式的定義，這里的是建立在有1交換環(huán)上的多項(xiàng)式，對系數(shù)系統(tǒng)要求放低了，當(dāng)然具有更一般的結(jié)論，當(dāng)然較域而言稍不太規(guī)整）定義2多項(xiàng)式的加法和乘法的定義，形式稍麻煩，內(nèi)容較簡單，在此略下。定理5.4.1設(shè)S是個有1的交換環(huán)，那么，S[x]在上面規(guī)定的多項(xiàng)式的加法和乘法之下作成一個有1的交換環(huán)。（關(guān)于環(huán)的按照定義的證明再來回顧一下：加法是S[x]是其上的二元運(yùn)算，滿足結(jié)合律，0是零元，元素加負(fù)號即為負(fù)元，構(gòu)成交換群；乘法是其上的二元運(yùn)算，由多項(xiàng)式乘法的定義滿足交換律結(jié)合律，1即為單位元，滿足分配律，S[x]構(gòu)成有1交換環(huán)）定義3環(huán)（S[x]，+，·）稱為環(huán)S上關(guān)于x的多項(xiàng)式環(huán)。（把多項(xiàng)式放入代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)一步系統(tǒng)研究的一個基礎(chǔ)定義）定義4多項(xiàng)式f（x）=a0+a1x+…+anx^n+…+amx^m中，如果an≠0，而an+1=…=am=0，則說f（x）的次數(shù)為n，記為degf（x）=n。（和高等代數(shù)中沒什么兩樣）命題5.4.1對任意f（x），g（x）∈S[x]，恒有兩多項(xiàng)式相加的次數(shù)小于等于其一次數(shù)的最大值；（無須解釋）兩多項(xiàng)式相乘的次數(shù)小于等于二者次數(shù)的加和。（小于的情況是對于一般環(huán)可能有零因子）推論當(dāng)S是整環(huán)時，S[x]亦為整環(huán)。（多項(xiàng)式的預(yù)算x除了系數(shù)的增加再沒有什么，其余都是系數(shù)也就是環(huán)中元素的運(yùn)算，S無零因子，S[x]亦無零因子）命題5.4.2設(shè)R是有1交換環(huán)，R[x]是R上關(guān)于x的多項(xiàng)式環(huán)。那么，取定u∈R時，φ：a0+a1+…+anx^n→a0+a1u+…+anu^n是環(huán)R[x]到R的環(huán)同態(tài)映射。（按定義很正規(guī)的證明，也可很容易感受出保運(yùn)算，而且是多對一。結(jié)構(gòu)上的意義在于建立了一種S[x]到S的對應(yīng)聯(lián)系）定義5設(shè)S是有1交換環(huán)，f（x）∈S[x]。說元素r∈S是多項(xiàng)式f（x）的一個根，如果f（r）=0.也可以說r滿足多項(xiàng)式f（x）。（和高等代數(shù)中和大家熟知的沒什么差別）命題5.4.3設(shè)R是有1交換環(huán)，S是R的子環(huán)且有（自己的）恒等元，r∈R。如果r不是S[x]中任何非零多項(xiàng)式的根，那么，R的由S∪{r}生成的子環(huán)同構(gòu)于S上的多項(xiàng)式環(huán)。（即使不了解域的擴(kuò)張，也可容易感受到r和x對于S的意義是一樣的，都是和自己本身沒什么關(guān)系的東西）命題5.4.4設(shè)F是個域，f（x），g（x）∈F[x].那么二者相乘的次數(shù)等于二者次數(shù)的加和。（域非零元構(gòu)成群，無零因子）定義6首系數(shù)：次數(shù)最高項(xiàng)的系數(shù)。（高代中一般叫首項(xiàng)系數(shù)）命題5.4.5設(shè)D是個整環(huán)。f（x）∈D[x]，g（x）是D（x）中首系數(shù)為1的多項(xiàng)式。那么，必有q（x），r（x）∈D[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次數(shù)小于g的。（在高代里就解釋過，帶余除法自然的過程，當(dāng)然那是在數(shù)域上，也就是下面的定理，這里稍有不同的就是在于，環(huán)在乘法下不構(gòu)成群，任意元素不能在乘法下建立聯(lián)系，所以這里做出了一點(diǎn)要求，即g（x）是D（x）中首系數(shù)為1的多項(xiàng)式，任意元都能和1建立聯(lián)系）定理5.4.2設(shè)F是個域。那么，任意f（x），g（x）∈F[x]，只要g（x）≠0，必有q（x），r（x）∈F[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次數(shù)小于g的，包括r=0。（F是域乘法下任意元素間都能建立聯(lián)系（任意元都有逆元））定理5.4.3設(shè)F是個域。那么，環(huán)F[x]的每個理想都是主理想。（結(jié)論很特別很好記，證明方法是以前非常慣用的一種手法，取得次數(shù)最低的多項(xiàng)式，在高代及本書第一章都有較強(qiáng)的應(yīng)用（還有一些在習(xí)題里），當(dāng)然最貼近最類似的應(yīng)用就是在證明循環(huán)群的子群是循環(huán)群）命題5.4.6設(shè)F是個域，f（x）∈F[x]，a∈F。那么，a是f(x)的根，當(dāng)且僅當(dāng)x-a整除f（x）。（和高等代數(shù)中沒什么差別）命題5.4.7設(shè)f（x）是域F上的n次多項(xiàng)式，n≥1.那么，F(xiàn)中至多有n個不同的元素是f（x）的根。（在高等代數(shù)1.6中有較詳細(xì)的個人證明）命題5.4.8設(shè)F是個域，f（x）=a0+a1x+…+anx^n,an≠0，I是f（x）在F[x]中生成的主理想。那么，剩余環(huán)F[x]/I的每個元素均可唯一地表示成如下形式：（b0+b1x+…+bn-1x^n-1）+I，b∈F，而且F’={b+Ilb∈F}是F[x]/I的子域，它同構(gòu)于F。（由理想的形成過程，I={g（x）f（x）lg（x）∈F[x]}，I就是大于等于n的所有多項(xiàng)式，任意多項(xiàng)式g（x）用f（x）除之得g（x）=f（x）q（x）+r（x），顯然g（x）+I=r（x）+I，唯一性由多項(xiàng)式除法可容易得到；F→F’同構(gòu)也是平凡的，只需對任意a→a+I即可）現(xiàn)在可以回頭審視一下，多項(xiàng)式中“x”到底是個什么東西，用GaloisTheory的域的擴(kuò)張來解釋比較合適，也就是域上添加了一個超越元（不需要借助分式域內(nèi)容構(gòu)造逆），與它是“x”還是“y”沒什么關(guān)系。不了解與擴(kuò)張也可以簡單地把x當(dāng)成相對于數(shù)量的文字也可以，就是和數(shù)沒什么關(guān)系的東西。定義7二元多項(xiàng)式略定理5.4.4設(shè)F是個域，那么環(huán)F[x][y]和環(huán)F[x，y]同構(gòu)。（可以參看GaloisTheory域擴(kuò)張的基礎(chǔ)知識，也是本書第七章的內(nèi)容）命題5.4.9設(shè)R是個環(huán)，S是R的有1可交換的子環(huán)，T是R的一個子集。則S∪T在R中生成的子環(huán)恰好是S[T].（由子環(huán)的生成過程，S∪T生成子環(huán)的過程就是S[T]）5.5素域定義1設(shè)（F，+，·）是個域。F的子集S稱為（F，+，·）的子域。如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子環(huán)；（2）（S，+，·）本身是個域。（第一節(jié)給過的定義）命題5.5.1設(shè)S是F的一個子環(huán)，且至少含2個元素。那么，S是F的子域，當(dāng)且僅當(dāng)，s∈S，s≠0蘊(yùn)涵s逆∈S。（乘法構(gòu)成群就是需要有恒等元和逆，這個條件提供了這個需要）推論如果S是域F的子域，那么它們的恒等元相同。（子群保恒等元）命題5.5.2設(shè)F是個域，F(xiàn)的一族子域的交集仍為F的子域。（由群的結(jié)論，一族子群的交集還是子群，對于加法和乘法分別形成子群就構(gòu)成域）定義2設(shè)F是個域，T是F的一個非空子集，F(xiàn)的所有包含T的子域的交集稱為是T生成的子域（很普通的定義方式，在之前出現(xiàn)過好多遍）。特別地，由F的零元素0和恒等元1生成的子域稱為F的素域。（由最必要的元素，生成域最小的子域）定理5.5.1設(shè)（F，+，·）是個域。那么，F(xiàn)的素域P或者同構(gòu)于有理數(shù)域或者同構(gòu)于Ip，其中p是個素?cái)?shù)。（比較顯然，在GaloisTheory中有介紹，連同下面的推論1）推論1域F的素域同構(gòu)于Ip的沖要條件是它的特征數(shù)為p；F的素域同構(gòu)于Q的充分必要條件。F的特征數(shù)為0.（域也是群，考慮加法階數(shù)就可以解決這一問題）推論2設(shè)F是個域，P是它的素域。那么F的任意子集T在F中生成的子域與T∪P生成的子域恒相等。（任意子域都包含零元和恒等元，