初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）高一預(yù)習(xí)3.3 冪函數(shù)（教師版）

3.3冪函數(shù)【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識(shí)點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．2．當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．5．在第一象限作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．【基礎(chǔ)自測(cè)】1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是________．①y＝x0； ②y＝x3；③y＝2x； ④y＝x－1.【答案】③2．冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，即可判斷；【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D3．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2【答案】C【詳解】由冪函數(shù)的定義知k＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，從而k＋α＝eq\f(3,2).4．函數(shù)的定義域?yàn)開______，值域?yàn)開__________．【答案】

【詳解】，所以，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?故答案為：；.5．已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，則___________.【答案】1【詳解】由題意得，∴或1，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù).故答案為：1.【例題詳解】一、冪函數(shù)的概念例1(1)給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是冪函數(shù)的有（

）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】由冪函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】由冪函數(shù)的定義：形如（為常數(shù)）的函數(shù)為冪函數(shù)，則可知①和④是冪函數(shù).故選；B.(2)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念求出，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求出，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，則，又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，所以.故選：A(3)若冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】由冪函數(shù)可得，解得或，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則a為偶數(shù)，所以．故答案為：跟蹤訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷.【詳解】形如（為常數(shù)且）為冪函數(shù)，所以，函數(shù)為冪函數(shù)，函數(shù)、、均不是冪函數(shù).故選：C.(2)（多選）如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（

）A． B． C． D．無解【答案】BC【分析】利用已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，解得或.故選：BC.(3)已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解析式是_____.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解.【詳解】解：是冪函數(shù)，，解得或，若，則，在上不單調(diào)遞減，不滿足條件；若，則，在上單調(diào)遞增，滿足條件；即.故答案為：二、冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)如圖，下列3個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐個(gè)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)是反比例函數(shù)，其對(duì)應(yīng)圖象為①；函數(shù)的定義域?yàn)椋瑧?yīng)為圖②；因?yàn)榈亩x域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，故應(yīng)為圖③.故選：A.(2)函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷出結(jié)果．【詳解】由題意得，，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，根?jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在第一象限為單調(diào)遞減函數(shù)，故選：A．跟蹤訓(xùn)練2(1)圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)即可得出指數(shù)的可能取值．【詳解】由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對(duì)應(yīng)的，C2對(duì)應(yīng)的，C3對(duì)應(yīng)的，結(jié)合選項(xiàng)知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.(2)在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分和討論，利用排除法，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，若時(shí)，函數(shù)在遞增，此時(shí)遞增，排除D；縱軸上截距為正數(shù)，排除C，即時(shí)，不合題意；若時(shí)，函數(shù)在遞減，又由遞減可排除A，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、比較冪值的大小例3(1)1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小關(guān)系是（

）A．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1B．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1C．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1D．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1【答案】D【解析】由1.5－3.1=，2－3.1＝，利用冪函數(shù)y＝x3.1的單調(diào)性判斷大小.【詳解】1.5－3.1=，2－3.1＝，又冪函數(shù)y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且＜＜2，∴＜＜23.1，故選：D.(2)下列比較大小中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，又，所以，故C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，在上是遞增函數(shù)，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。驹斀狻繕?gòu)造冪函數(shù)，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，故故選：B(2)已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)值大小，即可得a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，，所以，則.故選：D.四、冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例4(1)若冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（16，8），則f（x）<f（x2）的解集為（）A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1）C．（–∞，0） D．（1，+∞）【答案】D【分析】先根據(jù)冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（16，8）求出α=>0，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到0<x<x2，解不等式即得不等式的解集.【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式是f（x）=xα，將點(diǎn)（16，8）代入解析式得16α=8，解得α=>0，故函數(shù)f（x）在定義域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）遞增，故，解得x>1．故選D．【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查冪函數(shù)的概念和解析式的求法，考查冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)冪函數(shù)在是增函數(shù)，，冪函數(shù)在是減函數(shù)，且以兩條坐標(biāo)軸為漸近線.(2)已知，若，則下列各式中正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上遞增判斷即可．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，又，．故選：．(3)已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知，在上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再求最值即可得答案.【詳解】解：由題意，，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以，在上的增函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，只需，即所以?shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C跟蹤訓(xùn)練4(1)對(duì)于冪函數(shù)，若0<a<b，則，的大小關(guān)系是________．【答案】【分析】先作出函數(shù)的圖象，設(shè)A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，再作出即得解.【詳解】?jī)绾瘮?shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，大致圖象如圖所示．設(shè)A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，則AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E，則|AB|＝f(a)，|CD|＝f(b)，|EF|＝f.∵|EF|>(|AB|＋|CD|)，∴f故答案為：(2)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么的解析式為____________；不等式的解集為____________.【答案】

【分析】計(jì)算得到冪函數(shù)為，解不等式得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，過點(diǎn)，所以解得，所以，，即，即解得，故答案為：；(3)已知冪函數(shù)（）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)．（=1\*romani）求m的值；（=2\*romanii）求滿足不等式的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（=1\*romani）；（=2\*romanii）.【分析】（=1\*romani）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性，得到或2，（=2\*romanii）結(jié)合第一問中求出的函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，得到，求出a的取值范圍.【詳解】（=1\*romani）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，所以.因?yàn)?，所以?.又函數(shù)圖象關(guān)y軸對(duì)稱，所以是偶數(shù)，所以.（=2\*romanii）不等式等價(jià)于，解得．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【課堂鞏固】1．下列冪函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝【答案】A【詳解】其中y＝x－2和y＝x2是偶函數(shù)，y＝x－1和y＝不是偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B，D，又y＝x2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不合題意，y＝x－2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，符合題意，故選A.2．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，故為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除C、D；當(dāng)時(shí)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，但是增長(zhǎng)趨勢(shì)越來越慢，故B錯(cuò)誤；故選：A3．（多選）下列關(guān)于冪函數(shù)說法不正確的是（

）A．一定是單調(diào)函數(shù) B．可能是非奇非偶函數(shù)C．圖像必過點(diǎn) D．圖像不會(huì)位于第三象限【答案】AD【分析】根據(jù)冪函數(shù)隨著變化的圖像與性質(zhì)，即可判斷正誤.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的解析式為.當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，則都是單調(diào)函數(shù)不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，此函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋撕瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，所以可能是非奇非偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，無論取何值，都有，圖像必過點(diǎn)，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，圖像經(jīng)過一三象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AD.4．對(duì)冪函數(shù)，填空：（1）當(dāng)，時(shí)，圖象恒過______和______兩點(diǎn)；其中當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的______方；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的______方．（2）當(dāng)，時(shí)，圖象也恒過______和______兩點(diǎn)；其中當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的______方；當(dāng)，冪函數(shù)圖象在圖象的______方．（3）當(dāng)，時(shí)，圖象恒過點(diǎn)______．【答案】

下

上

上

下

【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，圖象恒過和兩點(diǎn)；其中當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的下方；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的上方．（2）當(dāng)，時(shí)，圖象也恒過和兩點(diǎn)；其中當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的上方；當(dāng)，冪函數(shù)圖象在圖象的下方．（3）當(dāng)，時(shí)，圖象恒過點(diǎn)點(diǎn).故答案為：；；下；上；；；上；下；.5．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為______．【答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義，冪函數(shù)的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得m=1或m=-3，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以實(shí)數(shù)m的值為-3.故答案為：-36．已知2.4α>2.5α，則α的取值范圍是________．【答案】α<0【詳解】∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故α<0.7．已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為________.【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)可得，求得m，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)確定m的取值，可得答案.【詳解】由是冪函數(shù)可得，解得或，當(dāng)時(shí)，滿足，為奇函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足，不合題意，故，故答案為：28．已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價(jià)不等式組，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且是遞減函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.9．比較下列各組數(shù)的大?。?1)；(2)，.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)在的單調(diào)性即可求解，（2）根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞增即可求解.【詳解】（1）由于函數(shù)在單調(diào)遞減，，所以.（2）由于函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以故.10．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù).(1)求和的值；(2)求滿足的的取值范圍.【答案】(1)或3，；(2)或.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得系數(shù)為1，進(jìn)而可求或3，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可求解，（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）∵冪函數(shù)，∴，解得或3，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，∴，解得，∵，∴或，又因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，符合題意；當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不合題意，綜上，或3，；（2）由（1）可得，∴原不等式可化為而函數(shù)在和上分別為減函數(shù)，所以不等式可化為：或或，解得或.11．已知冪函數(shù)的表達(dá)式為，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且滿足，求的值．【答案】【分析】由題知，，進(jìn)而結(jié)合題意得，進(jìn)而得答案.【詳解】∵為冪函數(shù)，∴，解得；又，∴，解得．∵，∴或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不合題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，∴．∴．12．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1為偶函數(shù)．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，又f(x)為偶函數(shù)，則m＝3，所以f(x)＝x2.(2)g(x)＝x2－ax－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－3－eq\f(a2,4)在[1,3]上不單調(diào)，則對(duì)稱軸x＝eq\f(a,2)滿足1<eq\f(a,2)<3.即2<a<6.所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,6)．【課時(shí)作業(yè)】1．“當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的（

）條件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，所以有，所以冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的充分不必要條件，故選：C2．已知冪函數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，求出的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，排除不正確的值.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，滿足；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不滿足，綜上：.故選：C.3．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由奇偶性可排除D；由冪函數(shù)性質(zhì)可排除AC，由此可得結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)?，且，為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除；，由冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，但增長(zhǎng)速度越來越慢，可排除AC.故選：B.4．給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征判斷即可【詳解】由題，滿足條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征可知只有④滿足.故選：A5．冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），若0<a<b<1，則下列各式正確的是（）A．f（a）<f（b）<f（） B．<f（b）<f（a）C．f（a）<f（b） D．【答案】A【分析】先求得冪函數(shù)的解析式，由解析式得到該函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)及單調(diào)性得出正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)冪函數(shù)y=f（x）=xα，∵該冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），∴4α=2，解得，∴f（x）=，∵0<a<b<1，∴，∴f（a）<f（b）<f（）．故選A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查冪函數(shù)解析式的求法，考查冪函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)值比較大小，屬于基礎(chǔ)題.6．在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與冪函數(shù)圖像的關(guān)系可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，二次函數(shù)開口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，二次函數(shù)開口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，二次函數(shù)開口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越快，不符合題意；對(duì)于D，二次函數(shù)開口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越慢快，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像的分析，在同一個(gè)坐標(biāo)系中同時(shí)考查二次函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)即可得解，考查學(xué)生的分析試題能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.7．已知冪函數(shù)與的部分圖像如圖所示，直線，與，的圖像分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】表示出，由冪函數(shù)的圖象可得，從而得，，再由，代入化簡(jiǎn)計(jì)算，即可求解出答案.【詳解】由題意，，，根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，可?故選：B8．函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，且，滿足，若，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】A【詳解】由已知函數(shù)是冪函數(shù)，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，且，滿足，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以，此時(shí)，又，可知異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，則恒大于，故選A.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的定義的應(yīng)用，考查了推理與計(jì)算能力，試題有一定的抽象性，屬于中檔試題，對(duì)于函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性判定常見的方法：1、平時(shí)學(xué)習(xí)過的基本初等函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性；3、函數(shù)的四則運(yùn)算判斷，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；4、導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.9．（多選）已知冪函數(shù)，則（

）A． B．定義域?yàn)镃． D．【答案】AC【分析】根據(jù)為冪函數(shù)得可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)的解析式可判斷B；利用單調(diào)性可判斷C；計(jì)算可判斷D.【詳解】為冪函數(shù)，，得，A對(duì)；函數(shù)的定義域?yàn)?，B錯(cuò)誤；由于在上為增函數(shù)，，C對(duì)；，，D錯(cuò)誤，故選：AC.10．（多選）下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則解析式為B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點(diǎn)和D．若冪函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則【答案】ACD【分析】設(shè)出冪函數(shù)解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)冪指數(shù)與0的關(guān)系以及函數(shù)的性質(zhì)，可判斷B項(xiàng)；代入即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)已知可求出，根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)冪函數(shù)解析式為，代入點(diǎn)，可得，所以，解得，所以解析式為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由已知為冪函數(shù)，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可得，，解得或.又冪函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，.所以有，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義和奇偶性直接求解即可.【詳解】為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不合題意；綜上所述：.故答案為：.12．不等式的解為______.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)確定冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可解不等式.【詳解】解：冪函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，又，則為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.13．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則的取值范圍是______.【答案】【分析】設(shè)冪函數(shù)，將點(diǎn)代入求出的值，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得