初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第07講 基本不等式（教師版）

第07講基本不等式1．了解基本不等式代數(shù)和幾何兩方面的背景，了解幾何平均數(shù)和代數(shù)平均數(shù)的概念；2．理解基本不等式的代數(shù)證法和幾何證法；嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范表達(dá)不等式證明過(guò)程；3．熟練地掌握基本不等式及其不變形形式，并能熟練運(yùn)用基本不等式來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，求某些函數(shù)的最大（?。┲?，證明簡(jiǎn)單的不等式；4．會(huì)應(yīng)用基本不等式模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。一、基本不等式的概念1、兩個(gè)不等式（1）重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）.常見(jiàn)變形公式：、（2）基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.常見(jiàn)變形公式：；【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”.（3）我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2、由公式和引申出的常用結(jié)論①（同號(hào)）；②（異號(hào)）；③或二、基本不等式的證明1、法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有.得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）2、法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.三、基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，,，過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、.易證，那么，即.這個(gè)圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立.四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三取等.①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.2、積定和最小，和定積最大（1）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為eq\f(s2,4).（2）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值,且這個(gè)值為2eq\r(p).考點(diǎn)一：對(duì)基本不等式的理解例1．不等式中，等號(hào)成立的條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：.【變式訓(xùn)練】（多選）已知a，，且，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，不等式不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)滿足，但，此時(shí)，故D不正確.故選：BC.考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小例2．設(shè)（、為互不相等的正實(shí)數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】、為互不相等的正實(shí)數(shù)，則，所以，，時(shí)，，所以．故選：A．【變式訓(xùn)練】若，，，則，，2ab，中最大的一個(gè)是______．【答案】/【解析】，，，則，，，綜上所述：最大的一個(gè)是.故答案為：考點(diǎn)三：利用基本不等式求和的最小值例3．若，則的最值情況是（）A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2【答案】B【解析】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，所以若時(shí)，有最小值為6，無(wú)最大值.故選：B.【變式訓(xùn)練】若，且，求的最小值．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．考點(diǎn)四：利用基本不等式求積的最大值例4．已知，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)，取得最大值.故選：B.【變式訓(xùn)練】若，，且，則的最大值為（）A．5B．6C．8D．9【答案】D【解析】因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為9.故選:D.考點(diǎn)五：利用基本不等式證明不等式例5．已知，，且，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故原題得證.【變式訓(xùn)練】已知，，，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，同理：，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，以上三式相加得：，當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.考點(diǎn)六：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題例6．用長(zhǎng)度為20米的籬笆圍成一矩形場(chǎng)地，則矩形的最大面積為__________．【答案】【解析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為米，則矩形的寬為米，且，所以矩形的面積為平方米，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以矩形的最大面積為平方米.故答案為：平方米.【變式訓(xùn)練】如圖設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長(zhǎng)為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點(diǎn)P．設(shè)AB＝xcm．（1）若，求x的取值范圍；（2）設(shè)△ADP面積為S，求S的最大值及相應(yīng)的x的值．【答案】（1）；（2），【解析】（1）由矩形周長(zhǎng)為，可知，設(shè)，則∵，∴．在中，，即，得，由題意，，即，解得，由得，，∴，即x的取值范圍是．（2）因?yàn)?，．化?jiǎn)得．∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，.1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（）A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項(xiàng)均為正數(shù)，所以不等式成立的前提條件為，即.故選：B.2．下列不等式中等號(hào)可以取到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故A不符合；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故B不符合；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C符合；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故D不符合.故選：C.3．若正實(shí)數(shù)、滿足，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.4．已知正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】根據(jù)基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時(shí)；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D5．的最小值等于（）A．3B．C．2D．無(wú)最小值【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值等于.故選：A6．已知a、b為正實(shí)數(shù)，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，綜上：.故選：B7．（多選）下列命題中正確的是（）A．對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立B．若a≠0，則a＋≥2＝4C．若a，b∈R，則ab≤D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，則ab≤64【答案】CD【解析】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，才能成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)才能使用基本不等式求最小值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，C正確；對(duì)于D，，，所以，D正確.故選：CD.8．（多選）已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．的最小值是2B．的最大值是1C．的最小值是4D．的最大值是2【答案】AB【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是2，故A正確；因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，等號(hào)成立，所以的最大值是1，故B正確；由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，等號(hào)成立，所以的最小值是,故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是，故D錯(cuò)誤；故選：AB.9．（多選）若，且，則在四個(gè)數(shù)中正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由于，則，又，所以，又，即.故選：ABD10．已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（1）16；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為16.（2）當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.11．（1）已知，，，求證：；（2）已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)閍，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，所以.12．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在國(guó)慶期間留住員工在本市過(guò)節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國(guó)慶期間加班追產(chǎn)提供（萬(wàn)元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬(wàn)元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬(wàn)件）．同時(shí)波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬(wàn)件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬(wàn)元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項(xiàng)補(bǔ)貼成本．（1）求波司登制衣有限公司國(guó)慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬(wàn)元）的表達(dá)式；（2）高郵政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬(wàn)元時(shí)，波司登制衣有限公司國(guó)慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬(wàn)元）最大？【答案】（1）；（2）6萬(wàn)元【解析】（1）．因?yàn)椋裕?）因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）所以即當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，取最大值30萬(wàn)元．1．若，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，又，所以.故選：B.2．已知，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最大值為.故選：C3．已知，則的最小值是（）A．3B．4C．5D．2【答案】B【解析】由于，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為4，故選：B4．某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是（）A．20B．25C．28D．30【答案】D【解析】設(shè)一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為，顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：D5．已知，且.則下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，，所以BD選項(xiàng)錯(cuò)誤.A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確.C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C正確.故選：AC6．（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的最小值為3B．的最大值為1C．的最小值為2D．的最小值為2【答案】ABD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m、n，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2，即m=n=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值3，A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)，mn取得最大值1，B正確；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，故≤2即最大值為2，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此處取得最小值2，故D正確.故選：ABD7．已知，則與的大小關(guān)系是____________【答案】.【解析】∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：.8．已知，，，則的最大值為______．【答案】/2.25【解析】因?yàn)椋?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”故答案為：.9．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為___________．【答案】【解析】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為，故答案為：10．證明：（1）；（2）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，顯然的值不存在，所以等號(hào)不成立，所以.11．利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】都是正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即.12．（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最