概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答(第5章)

第5章習(xí)題答案三、解答題1.設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布，且X～P()，，試?yán)闷醣戎x夫不等式估計(jì)的下界。解：因?yàn)閄～P()，由契比謝夫不等式可得2.設(shè)E(X)=–1，E(Y)=1，D(X)=1，D(Y)=9，XY=–0.5，試根據(jù)契比謝夫不等式估計(jì)P{|X+Y|3}的上界。解：由題知==0Cov===-1.5所以3.據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布．現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的．求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率．解：設(shè)i個(gè)元件壽命為Xi小時(shí)，i=1,2,......,16，那么X1，X2，...，X16獨(dú)立同分布，且E(Xi)=100，D(Xi)=10000，i=1,2,......,16，，由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知：近似服從N(1600,1.610000)，所以==1-0.7881=0.21194.某商店負(fù)責(zé)供給某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時(shí)間內(nèi)每人需要用一件的概率為0.6，假定在這一時(shí)間段各人購(gòu)置與否彼此無(wú)關(guān)，問(wèn)商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會(huì)脫銷〔假定該商品在某一時(shí)間段內(nèi)每人最多可以買一件〕．解：設(shè)商店應(yīng)預(yù)備n件這種商品，這一時(shí)間段內(nèi)同時(shí)間購(gòu)置此商品的人數(shù)為X，那么X~B〔1000，0.6〕，那么E(X)=600，D(X)=240，根據(jù)題意應(yīng)確定最小的n，使P{X≤n}=99.7%成立.那么P{X≤n}所以，取n=643。即商店應(yīng)預(yù)備643件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會(huì)脫銷。5.某種難度很大的手術(shù)成功率為0.9，先對(duì)100個(gè)病人進(jìn)行這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P{84<X<95}．解：依題意,X~B〔100，0.9〕，那么E(X)=90，D(X)=9，6.在一零售商店中，其結(jié)帳柜臺(tái)替顧客效勞的時(shí)間〔以分鐘計(jì)〕是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1．求對(duì)100位顧客的總效勞時(shí)間不多于2小時(shí)的概率．解：設(shè)柜臺(tái)替第i位顧客效勞的時(shí)間為Xi，i=1,2,3.....100.那么Xi，i=1,2,3.....100獨(dú)立同分布，且E(Xi)=1.5，D(Xi)=1，由獨(dú)立同分布中心極限定理知，近似的有所以即對(duì)100位顧客的效勞時(shí)間不多于兩個(gè)小時(shí)的概率為0.0013.7.筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺(tái)，為了以99.7%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問(wèn)：此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購(gòu)置該種配件多少件？解：設(shè)此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購(gòu)置n件該種配件，其中合格品數(shù)為X，那么X~B(n，0.8),0.997=P{X10000}=QUOTEy≥xQUOTEy-npnp(1-p)≤10000-npnp(1-p)，,查表，即解得n=12655QUOTE≥12655即此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購(gòu)置12655件改種配件才能滿足以99.7%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件。8.一本300頁(yè)的書中，每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從參數(shù)為0.2的泊松分布，試求整書中的印刷錯(cuò)誤總數(shù)不多于70個(gè)的概率．解：記每頁(yè)印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為，i=1，2，3，…300，那么它們獨(dú)立同服從參數(shù)為0.2的泊松分布，所以E〔Xi〕=0.2，D(Xi)=0.2所以9.設(shè)車間有100臺(tái)機(jī)床，假定每臺(tái)機(jī)床是否開工是獨(dú)立的，每臺(tái)機(jī)器平均開工率為0.64，開工時(shí)需消耗電能a千瓦，問(wèn)發(fā)電機(jī)只需供給該車間多少千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)？解：設(shè)發(fā)電機(jī)只需供給該車間m千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)，記X為100臺(tái)機(jī)床中需開工的機(jī)床數(shù)，那么X~B(100，0.64)，E(X)=64，D(X)=100×0.64×0.36=23.04由伯努利中心極限定理知X近似服從N(64，23.04)，所以依題意，應(yīng)使，所以，從而.10.某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元．假設(shè)老人在該年內(nèi)死亡，公司付給家屬1萬(wàn)元．設(shè)老年人死亡率為0.017，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率．解：設(shè)當(dāng)年內(nèi)投保老人的死亡數(shù)為X，那么X~B(10000,0.017)，根據(jù)中心極限定理X近似服從N(1000×0.017,1000×0.017×0.983).公司在一年內(nèi)的保險(xiǎn)虧本的概率為所以保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率是0.01四、應(yīng)用題1.某餐廳每天接待400名顧客，設(shè)每位顧客的消費(fèi)額〔單位：元〕服從區(qū)間(20，100)上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的，求該餐廳的日營(yíng)業(yè)額在其平均營(yíng)業(yè)額760元內(nèi)的概率．解：設(shè)每位顧客的消費(fèi)額為Xi，i=1,2,…400,且Xi~U(20，100)，那么，由獨(dú)立同分布的中心極限定理,所以2.設(shè)某型號(hào)電子元件的壽命〔單位：小時(shí)〕服從指數(shù)分布，其平均壽命為20小時(shí)，具體使用時(shí)當(dāng)一元件損壞后立即更換另一新元件，每個(gè)元件進(jìn)價(jià)為110元，試問(wèn)在年方案中應(yīng)為此元件作多少元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供給〔假定一年工作時(shí)間為2000小時(shí)〕．解：設(shè)應(yīng)為這種元件作m元的預(yù)算，即需進(jìn)m/110個(gè)元件，記第件的壽命為Xi小時(shí)，i=1，2，3···,m/110，且Xi~E(20)，所以E〔Xi〕=20，D(Xi)=400，==0.95，所以所以m=12980即在年方案中應(yīng)為此元件作12980元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供給.3.據(jù)調(diào)查某村莊中一對(duì)夫妻無(wú)孩子、有1個(gè)孩子、有2個(gè)孩子的概率分別為0.05，0.8，0.15．假設(shè)該村共有400對(duì)夫妻，試求：(1)400對(duì)夫妻的孩子總數(shù)超過(guò)450的概率；(2)只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率．解：(1)設(shè)第k對(duì)夫妻孩子數(shù)為Xk，那么Xk的分布律為Xk012p0.050.80.15那么，故即400對(duì)夫妻的孩子總數(shù)超過(guò)450的概率為0.1357(2)設(shè)Y為只有一個(gè)孩子的夫妻對(duì)數(shù)，那么Y~B(400,0.8)，即只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率為0.9938．〔B〕1.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，m為正整數(shù)，證明：〔提示：利用Chebyshev不等式〕．證明：E〔X〕=f(x)d=，由切比雪夫不等式==2.設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev