2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練51隨機(jī)事件的概率與古典概型

專練51隨機(jī)事件的概率與古典概型[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．[2022·全國甲卷(文)，6]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5)D．eq\f(2,3)答案：C解析：從6張卡片中任取2張的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種不同取法，其中2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種，所以所求概率p＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故選C.2．一道競(jìng)賽題，A，B，C三人可解出的概率依次為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).若三人獨(dú)立解答，則僅有1人解出的概率為()A．eq\f(1,24)B．eq\f(11,24)C．eq\f(17,24)D．1答案：B解析：記A，B，C三人分別解出題為事件A，B，C，則僅有1人解出題的概率P＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).故選B.3．在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同．如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為()A．eq\f(2,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(7,15)D．eq\f(8,15)答案：B解析：方法一從6個(gè)小球中一次隨機(jī)取出2個(gè)球包含的基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15，其中至少有1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝9，因此至少有1個(gè)紅球的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).故選B.方法二從6個(gè)小球中一次隨機(jī)取出2個(gè)球包含的基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15，其中全部是黃球包含的基本事件個(gè)數(shù)是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6，因此至少有1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)是15－6＝9，因此至少有1個(gè)紅球的概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).故選B.方法三設(shè)“一次隨機(jī)取出2個(gè)球，至少有1個(gè)紅球”為事件A，則P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝1－eq\f(6,15)＝eq\f(3,5)，故選B.4．(多選)甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，則下列說法正確的是()A．甲獲勝的概率為eq\f(1,6)B．甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)C．乙輸?shù)母怕蕿閑q\f(2,3)D．乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f(5,6)答案：答案：AD解析：∵甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，∴甲獲勝的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，故A正確；甲不輸?shù)母怕蕿?－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B不正確；乙輸?shù)母怕蕿?－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，故C不正確；乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故D正確．故選AD.5．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(4,5)答案：A解析：從O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)的情況有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10種不同的情況，由圖可知取到的3點(diǎn)共線的有(O，A，C)和(O，B，D)兩種情況，所以所求概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故選A.6．某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，招聘臨時(shí)工參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.臨時(shí)工每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要臨時(shí)工()A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B解析：由題意得第二天訂單不超過1600份的概率為1－0.05＝0.95，故第一天積壓訂單加上第二天的新訂單不超過1600＋500＝2100份的概率為0.95，因?yàn)槌斜旧砟芡瓿?200份訂單配貨，所以需要臨時(shí)工完成的訂單不超過2100－1200＝900份的概率為0.95，因?yàn)?00÷50＝18，所以至少需要18名臨時(shí)工，故選B.7．從編號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第一次抽得的卡片上數(shù)字能被第二次抽得的卡片上的數(shù)字整除的概率為()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,4)C．eq\f(7,18)D．eq\f(1,12)答案：C解析：依題意，基本事件的總數(shù)為6×6＝36，第一次抽得的卡片上數(shù)字能被第二次抽得的卡片上的數(shù)字整除的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，6)，(5，1)，(5，5)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，(3，1)，(3，3)，(2，1)，(2，2)，(1，1)，共14種情況，所以所求的概率P＝eq\f(14,36)＝eq\f(7,18)，故選C.8．[2022·新高考Ⅰ卷，5]從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)答案：D解析：方法一從2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝21(種)結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的結(jié)果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14種，所以所求概率為eq\f(14,21)＝eq\f(2,3).故選D.方法二從2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝21(種)結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的結(jié)果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種，所以所求概率為eq\f(21－7,21)＝eq\f(2,3).故選D.9．(多選)甲、乙、丙三人在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門．若甲同學(xué)必選物理，則下列說法正確的是()A．甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對(duì)立事件B．甲同學(xué)不同的選法共有15種C．已知乙同學(xué)選了物理，則乙同學(xué)選技術(shù)的概率是eq\f(1,6)D．乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是eq\f(9,49)答案：BD解析：甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全不選化學(xué)是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；由于甲同學(xué)必選物理，故只需從剩下的6門學(xué)科中任選2門即可，則甲同學(xué)不同的選法共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15種，故B正確；由于乙同學(xué)選了物理，則乙同學(xué)選技術(shù)的概率是eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(1,3)，故C錯(cuò)誤；乙、丙兩名同學(xué)各自選物理的概率均為eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(3,7)，故乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是eq\f(3,7)×eq\f(3,7)＝eq\f(9,49)，故D正確．故選BD.二、填空題10．[2022·全國甲卷(理)，15]從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．答案：eq\f(6,35)解析：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，所有的取法有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))＝70(種)，4個(gè)點(diǎn)共面的取法共有12種(表面有6個(gè)四邊形，對(duì)角線可構(gòu)成6個(gè)長方形，所以共有12種)，所以4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).11．某校開設(shè)5門不同的選修課程，其中3門理科類和2門文科類．某同學(xué)從中任選2門課程學(xué)習(xí)，則該同學(xué)選到文科類選修課程的概率是________．答案：eq\f(7,10)解析：從5門不同的選修課程中任選2門課程學(xué)習(xí)所包含的基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝10，該同學(xué)選到文科類選修課程包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝7，因此該同學(xué)選到文科類選修課程的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(7,10).12．[2024·全國甲卷(理)]有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球．設(shè)m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則m與n之差的絕對(duì)值不大于eq\f(1,2)的概率為________．答案：eq\f(7,15)解析：記取出的三個(gè)球上的數(shù)字按先后順序分別為a，b，c，則共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝120(種)可能．由題知，|m－n|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\f(a＋b＋c,3)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b－2c,6)))≤0.5，即|a＋b－2c|≤3.根據(jù)對(duì)稱性知c＝1或6時(shí)，均有2種可能；c＝2或5時(shí)，均有10種可能；c＝3或4時(shí)，均有16種可能，故滿足條件的共有2×2＋2×10＋2×16＝56(種)可能，故所求概率P＝eq\f(56,120)＝eq\f(7,15).[能力提升]13．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi)．若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等，則小球最終落入③號(hào)球槽的概率為()A．eq\f(3,32)B．eq\f(15,64)C．eq\f(5,32)D．eq\f(5,16)答案：D解析：若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等，則P左＝P右＝eq\f(1,2)，小球最終落入③號(hào)球槽經(jīng)過5次選擇，其中向左3次、向右2次，則所求概率P＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×(eq\f(1,2))3×(eq\f(1,2))2＝eq\f(5,16)，故選D.14．“仁義禮智信”為儒家“五?！?，由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”．將“仁義禮智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相鄰的概率為()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(2,5)答案：A解析：“仁義禮智信”排成一排，任意排有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相鄰的排法有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種，故所求概率P＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10).故選A.15．[2024·福建漳州質(zhì)檢]廈門山海健康步道云海線全長約23公里，起于郵輪碼頭，終于觀音山夢(mèng)幻沙灘，沿線串聯(lián)筼筜湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等島內(nèi)的“八山三水”．市民甲計(jì)劃從“八山三水”這11個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)瀏覽，則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9)D．eq\f(109,165)答案：C解析：從這11個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，共有9種情況，選取的景點(diǎn)中有“水”的對(duì)立事件是在狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金