專題33 閱讀理解與新定義題（31題）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編

PAGE13PAGE14專題33閱讀理解與新定義題（31題）一、單選題1．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：，例如，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【詳解】解：由題意得，，即，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為．故選：B．2．（2024·山東威海·中考真題）定義新運算：①在平面直角坐標系中，表示動點從原點出發(fā)，沿著軸正方向（）或負方向（）．平移個單位長度，再沿著軸正方向（）或負方向（）平移個單位長度．例如，動點從原點出發(fā)，沿著軸負方向平移個單位長度，再沿著軸正方向平移個單位長度，記作．②加法運算法則：，其中，，，為實數(shù)．若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了新定義運算，平面直角坐標系，根據(jù)新定義得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴解得：，故選：B．3．（2024·廣東深圳·中考真題）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了概率公式．根據(jù)概率公式直接得出答案．【詳解】解：二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為，故選：D．4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設(shè)計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設(shè)每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關(guān)系可以表示為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，觀察可知，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是，再根據(jù)長桌的長等于小桌的長加上2倍的小桌的寬列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意可得，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是，∴，故選：B．5．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對記為，那么有序數(shù)對記為對應(yīng)的田地面積為（）A．一畝八十步 B．一畝二十步 C．半畝七十八步 D．半畝八十四步【答案】D【分析】根據(jù)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．本題考查了坐標與位置的應(yīng)用，熟練掌握坐標與位置的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，故對應(yīng)的是半畝八十四步，故選D．二、填空題6．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運算*，規(guī)定運算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．【答案】8【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．本題考查了新定義計算，正確理解定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)定義，得，故答案為：8．7．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為秒．【答案】【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，解題的關(guān)鍵是熟知．根據(jù)題意可知，43阿秒秒，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示出來即可．【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是秒可知，43阿秒秒，故答案為：．8．（2024·甘肅·中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是．（結(jié)果用π表示）【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可．本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵圓心角，，，∴陰影部分的面積是故答案為：．9．（2024·四川瀘州·中考真題）定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移個單位，再繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，這樣的圖形運動叫做圖形的變換．如：點按照變換后得到點的坐標為，則點按照變換后得到點的坐標為．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形．根據(jù)題意，點向上平移2個單位，得到點，再根據(jù)題意將點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，點向上平移2個單位，得到點，

∴，，∴，，∴，根據(jù)題意，將點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴，作軸于點，∴，，∴，∴點的坐標為，故答案為：．10．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實數(shù)，定義運算“※”為，例如，則關(guān)于的不等式有且只有一個正整數(shù)解時，的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于的不等式，再由不等式的解集有且只有一個正整數(shù)解得出關(guān)于的不等式組求解可得．【詳解】解：根據(jù)題意可知，解得：有且只有一個正整數(shù)解解不等式①，得：解不等式②，得：故答案為：．11．（2024·湖北武漢·中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽．在一次綜合實踐活動中，某數(shù)學(xué)小組用無人機測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得黃鶴樓的高度是m．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】51【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長交距水平地面的水平線于點D，根據(jù)，求出，即可求解．【詳解】解：延長交距水平地面的水平線于點D，如圖，由題可知，，設(shè)，∵∴∴∴∴故答案為：51．12．（2024·山東泰安·中考真題）某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小潁準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是．【答案】【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．先列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．13．（2024·湖南長沙·中考真題）為慶祝中國改革開放46周年，某中學(xué)舉辦了一場精彩紛呈的慶?；顒樱F(xiàn)場參與者均為在校中學(xué)生，其中有一個活動項目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數(shù)，比如2010年對應(yīng)的四位數(shù)是2010），得到最終的運算結(jié)果．只要參與者報出最終的運算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是．【答案】2009【分析】本題考查二元一次方程的解，理解題意是解答的關(guān)鍵．設(shè)這位參與者的出生年份是x，從九個數(shù)字中任取一個數(shù)字為a，根據(jù)題意列二元一次方程，整理得，根據(jù)a的取值得到x的9種可能，結(jié)合實際即可求解．【詳解】解：設(shè)這位參與者的出生年份是x，從九個數(shù)字中任取一個數(shù)字為a，根據(jù)題意，得，整理，得∴，∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是為慶祝中國改革開放46周年，且參與者均為在校中學(xué)生，∴x只能是2009，故答案為：2009．14．（2024·上海·中考真題）對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．【答案】4【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，，中存在一點，有，解得，則，拋物線“開口大小”為，故答案為：．15．（2024·重慶·中考真題）一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個“友誼數(shù)”，且，則這個數(shù)為；若是一個“友誼數(shù)”，設(shè)，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值是．【答案】3456【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到，再由可求出a、b、c、d的值，進而可得答案；先求出，進而得到，根據(jù)是整數(shù)，得到是整數(shù)，即是整數(shù)，則是13的倍數(shù)，求出，再按照a從大到小的范圍討論求解即可．【詳解】解：∵是一個“友誼數(shù)”，∴，又∵，∴，∴，∴這個數(shù)為；∵是一個“友誼數(shù)”，∴，∴，∴，∵是整數(shù)，∴是整數(shù)，即是整數(shù)，∴是13的倍數(shù)，∵都是不為0的正整數(shù)，且，∴，∴當(dāng)時，，此時不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，此時不滿足是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，此時可以滿足是13的倍數(shù)，即此時，則此時，∵要使M最大，則一定要滿足a最大，∴滿足題意的M的最大值即為；故答案為：3456；．16．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個“方減數(shù)”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了新定義，設(shè)，則（，）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得，代入，即可求解；根據(jù)除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），得出為整數(shù)，是完全平方數(shù)，在，，逐個檢驗計算，即可求解．【詳解】設(shè)，則（，）由題意得：，∵，“方減數(shù)”最小，∴，則，，∴，則當(dāng)時，最小，為，故答案為：；設(shè)，則（，）∴∵除以余數(shù)為，∴能被整除∴為整數(shù)，又（為整數(shù)）∴是完全平方數(shù)，∵，∴最小為，最大為即設(shè)，為正整數(shù)，則當(dāng)時，，則，則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，當(dāng)時，，則,則是完全平方數(shù)，又，，無整數(shù)解，當(dāng)時，，則，則是完全平方數(shù)，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，，，∴，∴故答案為：，．17．（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點是函數(shù)圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．【答案】③或【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點”．正確理解新定義，熟練掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，是解決問題的關(guān)鍵．（1）①中，取，不存在“近軸點”；②，由對稱性，取，不存在“近軸點”；③，取時，，得到是的“近軸點”；（2）圖象恒過點，當(dāng)直線過時，，得到；當(dāng)直線過時，，得到．【詳解】（1）①中，時，，不存在“近軸點”；②，由對稱性，當(dāng)時，，不存在“近軸點”；③，時，，∴是的“近軸點”；∴上面三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是③故答案為：③；（2）中，時，，∴圖象恒過點，當(dāng)直線過時，，∴，∴；當(dāng)直線過時，，∴，∴；∴m的取值范圍為或．故答案為：或．三、解答題18．（2024·吉林·中考真題）吉林省以“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”為指引，不斷加大冰雪旅游的宣傳力度，推出各種優(yōu)惠活動，“小土豆”“小砂糖橘”等成為一道靚麗的風(fēng)景線，某滑雪場為吸引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運游客，每名幸運游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個項目中隨機抽取一個免費游玩．若三個項目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運游客小明與小亮恰好抽中同一個項目的概率．【答案】【分析】本題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫出樹狀圖，可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個項目的結(jié)果數(shù)有3種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：將“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個項目分別記為事件A、B、C，可畫樹狀圖為：由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個項目的結(jié)果數(shù)有3種，∴幸運游客小明與小亮恰好抽中同一個項目的概率．19．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)對光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經(jīng)真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，（1）根據(jù)，設(shè)，則，利用勾股定理求出，進而可得，問題即可得解；（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據(jù)，可得，則有，在中，設(shè)，，問題隨之得解．【詳解】（1）∵，∴如圖，設(shè)，則，由勾股定理得，，∴，又∵，∴，∴折射率為：．（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，∵，∴，∴．∵四邊形是矩形，點O是中點，∴，，又∵，∴，在中，設(shè)，，由勾股定理得，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴截面的面積為：．20．（2024·青海·中考真題）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是、、、的中點，∴、分別是和的中位線，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中點四邊形是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．【答案】（1）①中位線定理（2）證明見解析（3）②矩形（4）證明見解析（5）補圖見解析；③且；④正方形【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識（1）利用三角形中位線定理即可解決問題；（2）根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問題；（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；（2）證明：∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點四邊形是菱形．（3）②矩形；故答案為：矩形（4）證明∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，，∴．同理可得：．∵∴，∴∴中點四邊形是矩形．（5）證明：如圖4，∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點四邊形是菱形．∵由（4）可知∴菱形是正方形．故答案為：③且；④正方形

21．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當(dāng)火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．(1)若火箭第二級的引發(fā)點的高度為．①直接寫出a，b的值；②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過．【答案】(1)①，；②(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①將代入即可求解；②將變?yōu)?，即可確定頂點坐標，得出，進而求得當(dāng)時，對應(yīng)的x的值，然后進行比較再計算即可；（2）若火箭落地點與發(fā)射點的水平距離為，求得，即可求解．【詳解】（1）解：①∵火箭第二級的引發(fā)點的高度為∴拋物線和直線均經(jīng)過點∴，解得，．②由①知，，∴∴最大值當(dāng)時，則解得，又∵時，∴當(dāng)時，則解得∴這兩個位置之間的距離．（2）解：當(dāng)水平距離超過時，火箭第二級的引發(fā)點為，將，代入，得，解得，∴．22．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）【實際情境】手工課堂上，老師給每個制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．，．求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，中，的平分線交于點．請你從以下兩個條件：①；②中選擇一個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，為的直徑，，的平分線交于點，交于點，連接．求證：．【答案】（1）見解析；（2）選擇②為條件，①為結(jié)論或選擇①為條件，②為結(jié)論；證明見解析；（3）見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等：（1）利用證明，即可；（2）選擇②為條件，①為結(jié)論：在取點N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；選擇①為條件，②為結(jié)論：在取點N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；（3）連接，取的中點F，連接，根據(jù)圓周角定理可得，從而得到，再由為的直徑，可得，從而得到，然后根據(jù)，可得，可證明，從而得到，即可．【詳解】解：（1）在和中，∵，，，∴，∴；（2）解：選擇②為條件，①為結(jié)論如圖，在取點N，使，連接，∵平分，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；選擇①為條件，②為結(jié)論如圖，在取點N，使，連接，∵平分，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，連接，取的中點F，連接，∵的平分線，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．制定加工方案生產(chǎn)背景背景1◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.背景2每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：①“風(fēng)”服裝：24元/件；②“正”服裝：48元/件；③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．信息整理現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：服裝種類加工人數(shù)（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風(fēng)y224雅x1正148探究任務(wù)任務(wù)1探尋變量關(guān)系求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．任務(wù)2建立數(shù)學(xué)模型設(shè)該工廠每天的總利潤為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達式．任務(wù)3擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：；任務(wù)3：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤【分析】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．任務(wù)1：根據(jù)題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，得出加工“正”服裝的有人，然后利用“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，得出關(guān)系式即可得出結(jié)果；任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，然后將2種服裝的獲利求和即可得出結(jié)果；任務(wù)3：根據(jù)任務(wù)2結(jié)果化為頂點式，然后結(jié)合題意，求解即可．【詳解】解：任務(wù)1：根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝，∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，∴加工“正”服裝的有人，∵“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，∴，整理得：；任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：，∴，整理得：∴任務(wù)3：由任務(wù)2得，∴當(dāng)時，獲得最大利潤，，∴，∵開口向下，∴取或，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意；∴，綜上：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤．24．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）定義我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點A，B之間的距離．特別的，當(dāng)時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于．當(dāng)時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于．應(yīng)用如圖，在數(shù)軸上，動點A從表示的點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運動．同時，動點B從表示12的點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動．(1)經(jīng)過多長時間，點A，B之間的距離等于3個單位長度？(2)求點A，B到原點距離之和的最小值．【答案】(1)過4秒或6秒(2)3【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據(jù)“點A，B之間的距離等于3個單位長度”列方程求解即可；（2）先求出點A，B到原點距離之和為，然后分，，三種情況討論，利用絕對值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據(jù)題意，得，解得或6，答，經(jīng)過4秒或6秒，點A，B之間的距離等于3個單位長度；（2）解：由（1）知：點A，B到原點距離之和為，當(dāng)時，，∵，∴，即，當(dāng)時，，∵，∴，即，當(dāng)時，，∵，∴，即，綜上，，∴點A，B到原點距離之和的最小值為3．25．（2024·甘肅·中考真題）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設(shè)計參數(shù)．于是小組成員開展了“測量風(fēng)電塔筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風(fēng)電塔筒垂直于地面，測角儀，在兩側(cè)，，點C與點E相距（點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為，在F處測得筒尖頂點A的仰角為．求風(fēng)電塔筒的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，．）【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過點作于G，連接，則四邊形是矩形，可得，，再證明四邊形是矩形，則，，進一步證明三點共線，得到；設(shè)，解得到；解得到；則，解得，即，則．【詳解】解：如圖所示，過點作于G，連接，則四邊形是矩形，∴，，∵，∴，由題意可得，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴三點共線，∴；設(shè)，在中，，∴∴；在中，，∴∴；∴，解得，∴，∴，∴風(fēng)電塔筒的高度約為．26．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點M．作法如下：①以點M為圓心，長為半徑，作弧交于A，B兩點；②延長交于點C；即點A，B，C將的圓周三等分．(1)請你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）畫出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長為______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；（2）連接，設(shè)的交點為D，得到，根據(jù)的半徑為，是直徑，是等邊三角形，計算即可．本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：則點A，B，C是求作的的圓周三等分點．（2）連接，設(shè)的交點為D，根據(jù)垂徑定理得到，∵的半徑為，是直徑，是等邊三角形，∴，，∴，∴的周長為，故答案為：．27．（2024·河南·中考真題）綜合與實踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有經(jīng)驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形是鄰等對補四邊形，，是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若，，，求的長（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點M，N，使四邊形是鄰等對補四邊形．當(dāng)該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．【答案】(1)②④(2)①．理由見解析；②(3)或【分析】（1）根據(jù)鄰等對補四邊形的定義判斷即可；（2）①延長至點E，使，連接，根據(jù)鄰等對補四邊形定義、補角的性質(zhì)可得出，證明，得出，，根據(jù)等邊對等角得出，即可得出結(jié)論；②過A作于F，根據(jù)三線合一性質(zhì)可求出，由①可得，在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（3）分，，，四種情況討論即可．【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補，圖2和圖4中存在對角互補且鄰邊相等，故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補四邊形，故答案為：②④；（2）解：①，理由：延長至點E，使，連接，∵四邊形是鄰等對補四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；②過A作于F，∵，∴，∵，∴，在中，，∴；（3）解：∵，，，∴，∵四邊形是鄰等對補四邊形，∴，∴，當(dāng)時，如圖，連接，過N作于H，∴，在中，在中，∴，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；當(dāng)時，連接，過N作于H，∵，，∴，∴，即，解得，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；綜上，的長為或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．28．（2024·四川甘孜·中考真題）【定義與性質(zhì)】如圖，記二次函數(shù)和的圖象分別為拋物線C和．定義：若拋物線的頂點在拋物線C上，則稱是C的伴隨拋物線．性質(zhì)：①一條拋物線有無數(shù)條伴隨拋物線；②若是C的伴隨拋物線，則C也是的伴隨拋物線，即C的頂點在上．【理解與運用】（1）若二次函數(shù)和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，則______，______．【思考與探究】（2）設(shè)函數(shù)的圖象為拋物線．①若函數(shù)的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，求d，e的值；②若拋物線與x軸有兩個不同的交點，，請直接寫出的取值范圍．

【答案】（1）2；；（2）①；②或【分析】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及新定義理解，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象求解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意確定點在的伴隨拋物線上，代入求解即可；（2）①根據(jù)題意確定頂點坐標為：，然后代入解析式得出，即可求解；②根據(jù)題意得出頂點坐標在圖像上滑動，然后分情況分析即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）二次函數(shù)和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，∴點在的伴隨拋物線上，代入得：，，解得：，，故答案為：2；；（2）①，∴頂點坐標為：，∵函數(shù)的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，∴，整理得：，∴；②∵與x軸有兩個不同的交點，，由①得：函數(shù)的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，∴頂點坐標在圖像上滑動，頂點為，當(dāng)時，解得：或，拋物線與x軸交兩個點，當(dāng)頂點在下方時，拋物線有兩個交點，，∵若是C的伴隨拋物線，則C也是的伴隨拋物線，即C的頂點在上．∴在上，當(dāng)頂點在下方時，；綜上可得：或．29．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當(dāng)點，滿足時，稱點是點的等和點．(1)已知點，在，，中，是點等和點的有_____；(2)若點的等和點在直線上，求的值；(3)已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點在雙曲線上，點的等和點在直線上，求點的坐標．【答案】(1)和；(2)；(3)或．【分析】（）根據(jù)等和點的定義判斷即可求解；（）設(shè)點的橫坐標為，根據(jù)等和點的定義得點的縱坐標為，即可得點的坐標為，把點的坐標代入即可求解；（）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標為，點的橫坐標為，即得，得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點的橫坐標為，根據(jù)等和點的定義得，代入得，解方程得，，據(jù)此即可求解；本題考查了點的坐標新定義運算，一次函數(shù)點的坐標特征，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，理解等和點的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由，得，，∴點是點的等和點；由，得，，，∵，∴不是點的等和點；由，得，，∴是點的等和點；故答案為：和；（2）解：設(shè)點的橫坐標為，∵點是點的等和點，∴點的縱坐標為，∴點的坐標為，∵點在直線上，∴，∴；（3）解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標為，點的橫坐標為，把代入得，，∴，把代入得，，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點的橫坐標為，∵點是點的等和點，∴點的縱坐標為，∴，∵點在直線上，∴，整理得，，去分母得，，解得，，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴點的坐標為或．30．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)①見解析；②或．【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接；②根據(jù)①中的三種情況討論：第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長、交于點，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無交點，不符合題意．【詳解】（1）解：，為的中點，，，，，，，即，解得，，；故答案為：1；；（2）解：，理由如下：根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點，，；又，，；設(shè)，則，，，，，，，，；（3）解：①第一種情況：作的平行線，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長交于點，，，，，，，即，為的中點；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，故為的中點；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作