高中排列組合方法大全(無答案)

排列與組合的八大典型錯誤、24種解題技巧和三大模型

總論：

一、知識點歸納

二、常見題型分析

三、排列組合解題備忘錄

1.分類討論的思想

2.等價轉(zhuǎn)化的思想

3.容斥原理與計數(shù)

4.模型構(gòu)造思想

四、挑列組合中的8大典型錯誤

1.沒有理解兩個基本原理出錯

2.判斷不出是排列還是組合出錯

3.重復計算出錯

4.遺漏計算出錯

5.忽視題設(shè)條件出錯

6.未考慮特殊情況出錯

7.題意的理解偏差出錯

87.解題策略的選擇不當出錯

五、挑列組合24種解題技巧

1.排序問題

相鄰問題捆綁法

相離問題插空排

定序問題縮倍法（插空法）

定位問題優(yōu)先法

多排問題單排法

圓排問題單排法

可重復的排列求塞法

全錯位排列問題公式法

2.分組分配問題

平均分堆問題去除重復法（平均分配問題）

相同物品分配的隔板法

全員分配問題分組法

有序分配問題逐分法

3.排列組合中的解題技巧

至多至少間接法

染色問題合并單元格法

交叉問題容斥原理法

構(gòu)造遞推數(shù)列法

六.排列組合中的基本模型

分組模型（分堆模型）

錯排模型

染色問題

一.知識點歸納

L排列的概念：從〃個不同元素中，任取加（m<n）個元素（這里的被取元素

各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出加個元素的一

個排烈.

2.排列數(shù)的定義：從〃個不同元素中，任取加（m<n）個元素的所有排列的個

數(shù)叫做從〃個元素中取出加元素的排列數(shù)，用符號表示.

3.排列數(shù)公式：A"-n（n-1）（?-2）???（?-m+1）（m,neN*,m<n）

4.階乘：加表示正整數(shù)1至！J〃的連乘積，叫做〃的階乘.規(guī)定0!=l.

5.排列數(shù)的另一個計算公式：=“

（n-m）!

6.組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出加個元素并成一組，叫做

從〃個不同元素中取出m個元素的一個組合.

7.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出加（加<〃）個元素的所有組合的個數(shù)，

叫做從〃個不同元素中取出，"個元素的組令教.用符號表示.

8.組合數(shù)公式：仁"=韁=〃（〃-1）（”2>《一”+1）

n,

或Cn-----（〃,m&N,,且加</!）-

機!（〃一根）！

9.組合數(shù)的性質(zhì)1：C；=CL.規(guī)定：C；；=1；

10.組合數(shù)的性質(zhì)2：C：;=C：+C：T.

d+C；+C：+…=C+c；+C+…=2"T；d+C+…c;=2"

11.“16字方針”是解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：

分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合,|。

12.“21個技巧”是迅速解決排列組合的捷徑

二.基本題型講解

例1分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)

(1)6名學生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；

(2)6名學生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；

(3)從6名運動員中選出4人參加4X100米接力賽，甲不跑第一棒，

乙不跑第四棒；

(4)6人排成一排，甲、乙必須相鄰；

(5)6人排成一排，甲、乙不相鄰；

(6)6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊(甲、

乙、丙可以不相鄰)

例2假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法

各多少種？

(1)沒有次品；(2)恰有兩件是次品；(3)至少有兩件是次品

例3求證:①Ad=砍；②2C：=C；；2

例4已知/是集合A={a,dc,力到集合3={0,1,2}的映射

(1)不同的映射/有多少個？

(2)若要求/(.)+/?)+/?+/(d)=4則不同的映射/有多少個？

例5四面體的頂點和各棱的中點共10個點入

BMC

（1）設(shè)一個頂點為A,從其他9點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，

不同的取法有多少種？

（2）在這10點中取4個不共面的點，不同的取法有多少種？

三、排列組合解題備忘錄：

⑴m個不同的元素必須相鄰，有成種“捆綁”方法.

⑵m個不同元素互不相鄰，分別“插入”到n個“間隙”中的m個位置有P；；'

種不同的“插入”方法.

⑶m個相同的元素互不相鄰，分別“插入”到n個“間隙”中的m個位置，

有種不同的“插入”方法.

⑷若干個不同的元素“等分”為m個組，要將選取出每一個組的組合數(shù)的乘

積除以琮

四.排列組合問題中的數(shù)學思想方法

（一）.分類討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問題往往情境復雜，層次多，視角廣，

這就需要我們在分析問題時，選擇恰當?shù)那腥朦c，從不同的側(cè)面，把原問題變

成幾個小問題，分而治之，各種擊破。

例.已知集合A和集合B各含有12個元素，A口8含有4個元素，求同時滿足下

列條件的集合C的個數(shù)：

1）CuAUB且C中含有3個元素，2）

工

（二）.等價轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問題的解決，如果能跳出題沒有限定的

“圈子”，根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計出一個等價轉(zhuǎn)化的途徑，可使問題的解決呈

現(xiàn)出“要柳暗花明”的格局。

1.具體與抽象的轉(zhuǎn)化

例.某人射擊7槍，擊中5槍，問擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？

2）不同的數(shù)學概念之間的轉(zhuǎn)化

例.連結(jié)正方體8個頂點的直線中，為異面直線有多少對？

（三）容斥原理與計數(shù)

1、文氏圖：

在文氏圖中，以下圖形的含義如下：

矩形：其內(nèi)部的點表示全集的所有元素；

矩形內(nèi)的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合;

圓（或閉曲線）內(nèi)部的點：表示相應(yīng)集合的元素。

2、三交集公式：A+B+C=AUBUC+AAB+BnC+AnC-AnBAC

（AUBUC指的是E,AflBDC指的是D）

（四）模型構(gòu)造

例1.4名同學各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人寫的賀

卡，則四張賀卡的不同分配方式共有種.

例2.將編號為1,2,3,4的四個小球分別放入編號為1,2,3,4的四個盒子

中，要求每個盒子放一個小球，且小球的編號與盒子的編號不能相同，則共有

種不同的放法.

這兩個問題的本質(zhì)都是每個元素都不在自己編號的位置上的排列問題，我們把

這種限制條件的排列問題叫做全錯位排列問題.

例3.五位同學坐在一排，現(xiàn)讓五位同學重新坐，至多有兩位同學坐自己原來的

位置，則不同的坐法有種.

解析：可以分類解決：

第一類，所有同學都不坐自己原來的位置；

第二類，恰有一位同學坐自己原來的位置；

第三類，恰有兩位同學坐自己原來的位置.

對于第一類，就是上面講的全錯位排列問題；對于第二、第三類有部分元素還

占有原來的位置，其余元素可以歸結(jié)為全錯位排列問題，我們稱這種排列問題

為部分錯位排列問題.

設(shè)〃個元素全錯位排列的排列數(shù)為乙，則對于例3,第一類排列數(shù)為“，第二

類先確定一個排原來位置的同學有5種可能，其余四個同學全錯位排列，所以

第二類的排列數(shù)為5T4,第三類先確定兩個排原位的同學，有C；=10種，所以第

三類的排列數(shù)為10%因此例3的答案為：T5+5A+10T3.

五.排列組合中的易錯題

1沒有理解兩個基本原理出錯

排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類

用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.

例1從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組

裝計算機各兩臺，則不同的取法有一種.

例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的

奪冠情況共有()種.

(A)A：(B)43(C)34(D)ci

2判斷不出是排列還是組合出錯

在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有

順序的是排列，無順序的是組合.

例3有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種

不同的排列方法？

3重復計算出錯

在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免

重復計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。

例45本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為

（）

（A）480種（B）240種（C）120種（D）96種

例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至

少值2天，其不同的排法共有（）種.

（A）5040（B）1260（C）210（D）630

4遺漏計算出錯

在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。

例6用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）

（A）36個（B）48個（C）66個（D）72個

5忽視題設(shè)條件出錯

在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不

然就可能多解或者漏解.

例7如圖，一個上二3^一~

地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色,

要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4

種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）

例8已知--。=0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、fee[1,23,4）,求解集不同的

一元二次方程的個數(shù).

6未考慮特殊情況出錯

在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.

例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張，

100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是()

(A)1024種(B)1023種(C)1536種(D)1535種

7題意的理解偏差出錯

例10現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法

有()種.

(A)⑷.8(B)A；-A：.A：(C)(D)履-A；

8解題策略的選擇不當出錯

有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要采取適當?shù)慕鉀Q策略,

如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問題的解決.

例10高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中

工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有().

(A)16種(B)18種(C)37種(D)48種

六.練習

1五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其

中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有()

種種CC：種DA：種

2在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5

整除的數(shù)共有個

3有12個座位，現(xiàn)安排2人就座并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的

種數(shù)是—

4某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，二

班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3

位同學恰好被排在一起（指演講序號相連，不管人的順序），而二班的2位同學

沒有被排在一起的概率為：（）

A.—B.—C.—D.—

102040120

5用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相

鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個

6把一同排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人，

每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法

種數(shù)（）

A.168B.96C.72D.144

7將標號為1,2,…，10的10個球放入標號為1,2,…，10的10個盒子

里，每個盒內(nèi)放一個球，恰好3個球的標號與其在盒子的標號不一致的放入方

法種數(shù)為（）

A.120B.240C.360D.720

8從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每

班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案

共（）種

A.210種B.420種C.630種D.840

9從集合｛P,Q,R,S｝與｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任選2個

元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復）.每排中字母0和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)

一個的不同排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）.

10從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求

每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎

游覽，則不同的選擇方案共有（）

A.300種B.240種C.144種D.96種

11四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱代表的化工

產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同

一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號為①、②、③、④的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)

品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（）

A96B48C.24D0

124棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有一種

13某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4

種不同的品種現(xiàn)在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以

上的不同選擇，則餐廳至少還需要不同的素菜品種種（結(jié)果用數(shù)值表

示）

14設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的五個盒

子現(xiàn)將這五個球投放入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)投放一球，并且恰好有

兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法有多少種？

15球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分,

欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，擊球方法有幾種？

七.排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法

（—排序問題

1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素

參與排列.

例1.A,8,C,O,E五人并排站成一排，如果A,8必須相鄰且8在A的右邊，則不同的排

法有（）

A、60種B、48種C、36種D、24種

2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素

全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是

（）

A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種

3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮

小倍數(shù)的方法.

例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果8必須站在A的右邊（A8可以不相鄰）

那么不同的排法有（）

A、24種B、60種C、90種D、120種

11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素;

再排其它的元素。

例11.現(xiàn)有1名、老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不

同的排法有多少種？

12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例12.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種

數(shù)是（）

A、36種B、120種C、720種D、1440種

（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前

排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？

16.圓排問題單排法:把〃個不同元素放在圓周〃個無編號位置上的排列，順序

（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可

以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而無首位、

末位之分，下列〃個普通排列：

q,生,%，4,…，4i在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，

故認為相同，〃個元素的圓排列數(shù)有工種.因此可將某個元素固定展成單排，其

n

它的〃-1元素全排列.

例16.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？

17.可重復的排列求基法:允許重復排列問題的特點是以元素為研究對象，元素

不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地〃個不同元素排在〃，個不同位

置的排列數(shù)有川種方法.

例17.把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？

14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定

的位置上，可用先取后排法.

例14.（1）四個不同球放入編號為1,2,3,4的四個盒中，則恰有一個空盒的

放法有多少種？

（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓練，有

多少種不同的分組方法？

4.標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，

第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.

例4.將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù),

則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有()A、6種B、9

種C、11種D、23種

22.全錯位排列問題公式法:全錯位排列問題(賀卡問題，信封問題)記住公式

即可

瑞士數(shù)學家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：用A、B、C……表示寫

著n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。把錯裝的總

數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a錯裝進B里了，包含著這個錯誤的一切錯裝法分兩類:

(1)b裝入A里，這時每種錯裝的其余部分都與A、B、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)

種錯裝法。

(2)b裝入A、B之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把(除a之外的)份

信紙b、c……裝入(除B以外的)n—1個信封A、C……，顯然這時裝錯的方

法有種。

總之在a裝入B的錯誤之下,共有錯裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C,裝入D……

的n—2種錯誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯裝法，因此：

得到一個遞推公式：f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)},分別代入n=2、3、4等可推

得結(jié)果。

也可用迭代法推導出一般公式：/(〃)=〃!(1一(+3一5+……+(一1)",)

例.五位同學坐在一排，現(xiàn)讓五位同學重新坐，至多有兩位同學坐自己原來的位

置，則不同的坐法有種.

(二)分組分配問題

24.平均分堆問題去除重復法

例2.從7個參加義務(wù)勞動的人中，選出6個人，分成兩組，每組都是3人，有

多少種不同的分法？

例66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？

練習：1.6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？

2.某年級6個班的數(shù)學課，分配給甲乙丙三名數(shù)學教師任教，每人教兩個班,

則分派方法的種數(shù)。

5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組

法.

例5.(1)有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中

選出4人承擔這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是()A、1260種B、2025

種C、2520種D、5040種

(2)12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，

則不同的分配方案有()

JCVc種

A、種B、I284C、種D、可種

6.全員分配問題分組法：

例6.(1)4名優(yōu)秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則不同

的保送方案有多少種？

(2)5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)

為()

A、480種B、240種C、120種D、96種

7.名額分配問題隔板法(無差別物品分配問題隔板法)：

例7：10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不

同分配方案？

8.限制條件的分配問題分類法：

例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部

經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？

(三)排列組合問題中的技巧

10.交叉附整集合法(容斥原理)：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用

集合中求兀素個數(shù)公式"(4uB)="(A)+"(B)-"(Ac8)

例10.從6名運動員中選出4人參加4X100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙

不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？

13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：

例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視

機各一臺，則不同的取法共有()A、140種B、80種C、

70種D、35種

23.構(gòu)造數(shù)列遞推法

例一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯,

共有多少種不同的走法?

15.部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)

中減去不符合條件數(shù)，即為所求.

例15.(1)以正方體的頂點為頂點的四面體共有()

A、70種B、64種C、58種D、52種

(2)四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取

法共有()

A、150種B、147種C、144種D、141種

18.復雜排列組合問題構(gòu)造模型法：

例18.馬路上有編號為1,2,3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉

其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩

端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？

19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法：

例19.設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的盒子現(xiàn)將

這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒

子號碼相同，問有多少種不同的方法？

9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的

幾類情況分別計數(shù)再相加。

例9(1)由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字

小于十位數(shù)字的共有()

A、210種B、300種C、464種D、600種

(2)從1,2,3…，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整

除，這兩個數(shù)的取法(不計順序)共有多少種？

(3)從1,2,3,…，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取

法(不計順序)有多少種？

20.復雜的排列組合問題也可用分解與合成法：

例20.(1)30030能被多少個不同偶數(shù)整除？

(2)正方體8個頂點可連成多少對異面直線？

21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可

以將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.

例21.(1)圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？

(2)某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從A到B的

最短路徑有多少種？

例17圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交

點最多有多少各?

(四)染色問題

24.染色問題合并單元格解決

八、排列組合中常見模型

(一)分組問題

由于涉及的面比較廣，所以是排列、組合中的難點。如果只是斷章取義的

去教學，不從根本上去加以理解、歸納，那么就很難正確的解答各類題型，下

面通過例題予以淺談。

1、非均勻分組

所謂“非均勻分組”是指將所有元素分成元素個數(shù)彼此不相等的組。

例1.七個人參加義務(wù)勞動，按下列方法分組有多少種不同的分法？

(1)分成三組，分別為1人、2人、4人；

(2)選出5個人再分成兩組，一組2人，另一組3人。

2、均勻分組

所謂“均勻分組”是指將所有元素分成所有組元素個數(shù)相等或部分組元素個數(shù)

相等的組。

(1)全部均勻分組

例2.從7個參加義務(wù)勞動的人中，選出6個人，分成兩組，每組都是3人，有

多少種不同的分法？

(2)部分均勻分組

例3.將十個不同的零件分成四堆，每堆分別有2個、2個、2個、4個，有多

少種不同的分法？

3、編號分組

(1)非均勻編號分組

例4.從7個參加義務(wù)勞動的人中選出2人一組、3人一組，輪流挖土、運土，

有多少種分組方法？

(2)部分均勻編號分組

例5.有5本不同的書全部分給3人，每人至少一本，有多少種不同的分法？

例6.已知集合A含有4個元素，集合B含3個元素，現(xiàn)建立從A到B的映射f：

A-B,使B中的每個元素在A中都有原象的映射有多少個？

(二)全錯位排列問題

每個元素都不在自己編號的位置上的排列問題，我們把這種限制條件的排列問

題叫做全錯位排列問題.

1.錯位排列問題

例1.4名同學各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人寫

的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式共有種.

例2.將編號為1,2,3,4的四個小球分別放入編號為1,2,3,4的四

個盒子中，要求每個盒子放一個小球，且小球的編號與盒子的編號不能相同，

則共有種不同的放法.

這兩個問題的本質(zhì)都是每個元素都不在自己編號的位置上的排列問題，我

們把這種限制條件的排列問題叫做全錯位排列問題.

例3.五位同學坐在一排，現(xiàn)讓五位同學重新坐，至多有兩位同學坐自己原

來的位置，則不同的坐法有種.

2.關(guān)于全錯位排列數(shù)的一個遞推關(guān)系式：7；=5-1)(〃/+7k2)，(G3)

(1).一般地,設(shè)幾個編號為1、2、3、…、，、…、j、…、及的不同元素。1、

“2、。3、…、的、…、勾、…、Q”，排在一排，且每個元素均不排在與其編號相同

的位置，這樣的全錯位排列數(shù)為T”，則72=h73=2,4=(上1)(4一1+7；一2),(n

23).

(2).遞推關(guān)系的確立

顯然對于"=1,2時有Ti=O,T2=l.

當n23時一，在〃個不同元素中任取一個元素必不排在與其編號相對應(yīng)的i

位，必排在剩下上1個位置之一，所以?有分1種排法.

對勿每一種排法，如的排在j位,對應(yīng)/位的元素期的排位總有兩種情況:

第一種情況：勾恰好排在i位上，如表(1)

123...i...j???n

為3

表(1)

此時，的排在j位，為排在i位，元素而為排位已定，還?！?2個元素，

每個元素均有一個不能排的位置，它們的排位問題就轉(zhuǎn)化為〃-2個元素全錯位

排列數(shù)，應(yīng)有4-2種;

第二種情況：為不排在，?位上，如表(2)

123.../...j.??n

ai

_t__

的不排，?位

表(2)

此時，卬仍排在/位，勾不排在，位，則0?有〃-1個位置可排，除《外，還

有小1個元素，每個元素均有一個不能排的位置，問題就轉(zhuǎn)化為止1個元素全錯

位排列，排列數(shù)為乙一1，由乘法原理和加法原理可得：〃=(小1)(乙一1+4.2)，(〃與

3).

利用此遞推關(guān)系可以分別算出7>9,7>44,所以題三的答案為44+5X9+10

X2=109.

3.關(guān)于全錯位排列數(shù)的一個通項公式：7；,=?!.[1-1+...+(-1)-.1](〃e2).

2!3!n\

⑴.探索

規(guī)定黑=1(〃￡N*),試計算以下各式的值：

(1)-A：+；

(2)々-&+4-父；

(3)+-4+/1P

很容易計算三式白勺值依次為9,44,265.而這與利用上面的遞推關(guān)系式得

到的A,T5,心剛好吻合，即

74=A：-A：+;

公=6一4+々一四；

Ta=4-星+可-4+4>.

(2).猜想

i艮據(jù)上面的探索，我們可以猜想n個元素全錯位排列的排列數(shù)為

3尸耳了一耳了+…+匚]).4(〃與2)(*)

為了更容易看清其本質(zhì)，我們對這個式子進行變形，得到：

T,尸A：-2-A；7+…+

771?加I!I

=彳-彳+…+(-1)"…+(-1)"T

2?3*//i!2?3?AZ?

(3).證明(數(shù)學歸納法)

〃=2,3時(*)式顯然成立；

假設(shè)片女,k-1時(*)式成立，則當/2=攵+1時，有上面的遞推關(guān)系式可得:

Tk+\~k(Tk+Tk-\)

=%{kg-：+…+(-1)"?。+供-1)!?4-(+…+(-1產(chǎn)?“二"}

人1?J?/V?乙?J?y?vJ*

"?(-)!?{h七一土+…+西由+導宗…+㈠尸?春”

=k!?(-1/.1]

2!3!伏一1)!k!

=kl?[￡±l_￡±l+...+(,iy-i._￡±L+(左+1)?(-1/---(-1y?—]

2!3!(%—1)!k!k!

=kl?[A11_^11...,I/-'._LLL(%+])?(-l/.l-(-l/—^-]

2!3!++((%-1)!+k[a+1)!

=攵！?[AH_A±1+...+(_I/-I.JLLL+(Z+I)?

2!3!(%-1)!kl(A+l)!

=(女+1)!?[—-—+---+(-l)t-11—+(-1/?—+(-l/+l--].

2!3!(攵—1)!%!(Jt+1)!

/.n=k+l時(*)式也成立.

由以上過程可知n個元素全錯位排列的排列數(shù)為：

^=A；；-2-<3+-+(-i)nA?=^-^+-+(-ir~

2!3!n\

=〃嗚一上+…+(—I)".](心2).

4.關(guān)于全錯位排列數(shù)的另一個遞推關(guān)系式：。=必“+(-1)〃

由石=1,刀=2,。=9,為=44,耳=265可得：

-=372—1；

A=4T3+1;

75=574-1；

八二6公+1.

于是猜想Tn=nTn-l+(-^n.

證明：由上面已證明的全錯位排列數(shù)公式可知

右邊=〃?(?-1)!?[—-—++?—?—]+(-1)"

2!3!(n-1)!

=n!{l_l+...+(_irL_l_]+(_ir.^1

=…+(-l)"T=左邊.

所以Tn=nTn.\+(-iy.

(三)高考數(shù)學中涂色問題的常見解法及策略

與涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣，近年已經(jīng)在高考題中出現(xiàn)，其中包含著豐富

的數(shù)學思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，因而這類問題有利于培

養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學生的智力。

本文擬總結(jié)涂色問題的常見類型及求解方法

一.區(qū)域涂色問題

(1)根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本

方法。

1.用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④的各部分涂色，每部分只

涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？

例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6/、區(qū)域,且相鄰兩個區(qū)域不能同色。

分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類:

(1)②與⑤同色、④與⑥同色，則有國；

(2)③與⑤同色、④與⑥同色，則有段;

(3)②與⑤同色、③與⑥同色，則有用;

(4)③與⑤同色、②與④同色，則有蜀；(5)②與④同色、③與⑥同色，則

有國;

所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5M=120

例3、如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，

現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，

現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種?

(2)涂色方法總數(shù)。

例4用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區(qū)域內(nèi)，每個區(qū)域涂

一種顏色，相鄰兩個區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種

不同的涂色方法？

分析：可把問題分為三類：

(1)四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為6；

(2)有且僅兩個區(qū)域相同的顏色，

(3)即只

有一組對角小方格涂相

同的顏色，涂法種數(shù)為

2Gm；

2)兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為

因此，所求的涂法種數(shù)為封+2C；M+&=260

(3)根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類分類

例5如圖，6個扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F,現(xiàn)給這6個區(qū)域著色，

要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有

4種不同的顏色可從解(1)當相間區(qū)域A、C、E著同一種顏色時，

有4種著色方法，此時，

B、D、F各有3種著色方法，

此時，B、D、F各有3種著色方法

故有4x3x3x3=108

種方法。

(2)當相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時，有弓片種著色方法,

此時B、D、F有3x2x2種著色方法，故共有C；A：x3x2x2=432種著色方法。

(3)當相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時有國種著色方法，此

時B、D、F各有2種著色方法。此時共有禺x2x2x2=192種方法。

故總計有108+432+192=732種方法。

說明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問題還可以用數(shù)列中的遞推公來解決。

如：如圖，把一個圓分成”(〃22)個扇形，每個扇形用紅、白、藍、

黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？

解：設(shè)分成n個扇形時染色方法為氏種A

(1)當n=2時&有A：=12種，即出=12；'4、

(2)當分成n個扇形，如圖，A與4不同色，A?與乳不同\""j

色，…，A1-i

與A,不同色，共有4X3”T種染色方法，但由于4與4

鄰，所以應(yīng)排除4與A同色的情形；與4同色時，可把從、A看成一個扇形,

與前”2個扇形加在一起為“7個扇形，此時有峭種染色法，故有如下遞推關(guān)

系：

1,,-2

?！?4x3"~'-an_.：.an=+4x3"-=~（~an_2+4x3）+4x3”-

-j+4x3—-4x3二:禧丁+…+…

二.點的涂色問題

方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點是否同

色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。

例6、將一個四棱錐S-ABC。的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩

端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？

解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。

例7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂

一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共

有多少種不同的涂色方法？

例8、用六種顏色給正四面體A-質(zhì)力的每條棱染色，要求每條棱只染

一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？

例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，

每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？

例10、四棱錐P-ABCO,用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求

相鄰不同色，有多少種涂法？

用三種不同的顏色填涂如右圖3x3方格中的9個區(qū)域，要求

每行、每列的三個區(qū)域都不同色，則不同的填涂方法種數(shù)共有（）

A、48、B、24C、12D、6

四、染色模型在“立幾”中的計數(shù)問題應(yīng)用

在近幾年的高考試題和各地模擬試題中頻繁出現(xiàn)以“立幾”中

的點、線、面的位置關(guān)系為背景的計數(shù)問題，這類問題題型新穎、

解法靈活、多個知識點交織在一起，綜合性強，能力要求高，有一定的難度，

它不僅考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識，而且注重對數(shù)學思想方法和數(shù)學能力的考查?，F(xiàn)

結(jié)合具體例子談?wù)勥@種問題的求解策略。

1.直接求解

例1：從平面a上取6個點，從平面￡上取4個點，這10個點最多可以確定多

少個三棱錐？

例2:在四棱錐P-ABCD中，頂點為P,從其它的頂點和各棱的中點中取3個，

使它們和點P在同一平面上，不同的取法有A.40B.48C.

56D.62種

例3:空間10個點無三點共線，其中有6個點共面，此外沒有任何四個點共面,

則這些點可以組成多少個四棱錐？

2.結(jié)合“立幾”圖形求解

如果把兩條異面直線看作“一對"，那么六棱錐的棱和底面所有的12條直線中,

異面直線有：A.12B.24C.36D.48B

3.構(gòu)造幾何模型求解

在正方體的8個頂點的所有連線中，有多少對異面直線？

與空間不共面的四點距離相等的平面有多少個？

以平面六面體A5CD-A/CA的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩

個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為

A迎B.空—D型A

385385385385

一、對于已知直線a,如果直線b同時滿足下列三個條件：①與直線a異面;

②與直線a所成的角為定值③與直線a的距離為定值d.那么這樣的直線

b有

A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條

2.如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.

在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線

面對”的個數(shù)是

A.48B.36C.24D.18

3.設(shè)四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面。去截這個四棱錐,使得截

面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面7

A.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無窮多個

4.如圖，點/匕…國。分別是四面體的頂點或棱的中點，那么在同一平面上的四點

組化,￡山,［）共有個

5.在正方體的一個面所在的平面內(nèi)，任意畫一條直線，則與它異面的正方體的棱

的條數(shù)是一

6.正方體的8個頂點中任取4個不在同一平面上的頂點組成的二面角

為P-MN-Q的大小可能值有個.

答案

1.D2.B3.D4.335.4或6或7或86.8個

附錄

排列組合題型總結(jié)

排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題

的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理

辯明，避免重復遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準確求解。

直接法

1.特殊元素優(yōu)先法

例1用1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字組成無重復的四位數(shù)，試求滿足下列

條件的四位數(shù)各有多少個

(1)數(shù)字1不排在個位和千位

(2)數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。

二.間接法

例2有五張卡片，它的正反面分別寫。與1,2與3,4與5,6與7,8與

9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三維

書？

三.插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。

例3在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原

節(jié)目順序，有多少中插入方法？

四.捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。

例44名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種?

練習1.四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，

則不同的放法有一種（道）

1.某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一

所學校，其中有一所學校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，

則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（以,思）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30

天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有心其余的就是19所學校選

28天進行排列）

五.隔板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采隔板用法

例5某校準備組建一個由12人組成籃球隊,這12個人由8個班的學生組成,

每班至少一人，名額分配方案共一種。

練習1.（a+b+c+d）"有多少項？

練習2.有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1,2,3的三個盒子里，要求每

個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（片）

3.不定方程X1+X2+X3+…+X5°=100中不同的整數(shù)解有（叫

六.平均分堆問題

例66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？

練習：1.6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？

2.某年級6個班的數(shù)學課，分配給甲乙丙三名數(shù)學教師任教，每人教兩個班,

則分派方法的種數(shù)。

4-.V七.合并單元格解決染色問題

例7（全國卷（文、理））如圖1,一個地區(qū)分為5

個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用

同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有一種（以數(shù)

字作答）。

練習1（天津卷（文））將3種作物種植

12345

在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，

不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（72）

2.某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3）,現(xiàn)要栽種4

種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽

種方法有種（以數(shù)字作答）.（120）

圖3圖4

3.如圖4,用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一

顏色，但同一種顏色可以反復使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種

數(shù).（540）

4.如圖5：四個區(qū)域坐定4個單位的人，有四種不同顏

色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同,

不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方

法是種（84）

圖5圖6

5.將一四棱錐（圖6）的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若

只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共種（420）

八.遞推法

例八一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯,

共有多少種不同的走法？

九.幾何問題

1.四面體的一個頂點位A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使它們和點A在

同一平面上，不同的取法有一種）

2.四面體的棱中點和頂點共10個點（1）從中任取3個點確定一個平面，共能

確定多少個平面？

（2）以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？

十.先選后排法

例9有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選派4

人承擔這三項任務(wù)，不同的選派方法有（）

A.1260種B.2025種C.2520種D.5054種

十一.用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題

例10.某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不

中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種.

例11.個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶

法.

例12從1,2,3,…，1000個自然數(shù)中任取10個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少

種不同的去法.

例13某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從

西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種.

例14一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺

階，一共有多少種不同的走法.

例15求（a+b+c）的展開式的項數(shù).

例16亞、歐乒乓球?qū)官悾麝牼?名隊員，按事先排好的順序參加擂

臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，

直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程.那么所有可能

出現(xiàn)的比賽過程有多少種？

十二.轉(zhuǎn)化命題法

例17圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交

點最多有多少各？

十三.概率法

例18一天的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、化學、英語、體育六節(jié)課，如

果數(shù)學必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？

十四.除序法例19用1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字

的七位數(shù)中，

（1）若偶數(shù)2,4,6次序一定，有多少個？

（2）若偶數(shù)2,4,6次序一定，奇數(shù)1,3,5,7的次序也一定的有多少個？

十五.錯位排列

例20同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的

卡片，則不同的分配方法有種（）

練習有五位客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會結(jié)束后每人

戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位

客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（

14種策略7大模型“絕殺”排列組合

排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路

靈活，