遼寧省本溪市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考理

Page142024屆高二第一次月考數(shù)學(xué)試卷(理)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）1.設(shè)集合，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，即可求出，進(jìn)而求出補(bǔ)集.【詳解】,，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，考查并集補(bǔ)集混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.下列各式中錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造基本初等函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推斷.【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，所以，故選項(xiàng)A正確；函數(shù)為增函數(shù)，所以，故選項(xiàng)B正確；函數(shù)為減函數(shù)，所以，故選項(xiàng)C正確；函數(shù)為減函數(shù)，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式大小比較，構(gòu)造合適的函數(shù)是求解的主要策略，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).3.已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【詳解】解：∵x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y，cd=xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”，4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚十尺,兩鼠對(duì)穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問(wèn)幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【詳解】起先，輸入，則，推斷，否，循環(huán)，，則，推斷，否，循環(huán)，則，推斷，否，循環(huán)，則，推斷，是，輸出，結(jié)束.故選擇C.5.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在探討球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧美麗的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如下圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的協(xié)助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋），依據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個(gè)識(shí)圖的形態(tài)．【詳解】∵相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好像兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋），∴其正視圖和側(cè)視圖是一個(gè)圓，∵俯視圖是從上向下看，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，∴俯視圖是有2條對(duì)角線且為實(shí)線的正方形，故選：B．6.對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.{a|a<2} B.{a|a≤2}C.{a|－2<a<2} D.{a|－2<a≤2}【答案】D【解析】【分析】分a－2＝0和a－2≠0兩種狀況進(jìn)行探討，第一種狀況很簡(jiǎn)單驗(yàn)證符合題意，其次種狀況結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)，探討開(kāi)口方向和判別式從而可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，－4<0，恒成立，符合題意；當(dāng)a－2≠0時(shí)，由題意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故選:D．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視了的系數(shù)可能為零這種狀況，只依據(jù)二次函數(shù)來(lái)求參數(shù)，導(dǎo)致求出參數(shù)的范圍比實(shí)際小.7.已知直線過(guò)圓的圓心，且與直線垂直，則直線的方程為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：圓的圓心為點(diǎn)，又因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率．由點(diǎn)斜式得直線，化簡(jiǎn)得，故選D．考點(diǎn)：1、兩直線的位置關(guān)系；2、直線與圓的位置關(guān)系.8.平面對(duì)量與的夾角為60°，，則|等于（）A. B.2 C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】先由已知條件求出，再由可求得答案【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，所以，所以，故選：B9.某函數(shù)的部分圖象如圖所示,則它的函數(shù)解析式可能是A.y=sin(-x+) B.y=sin(x-)C.y=sin(x+) D.y=-cos(x+)【答案】C【解析】【詳解】方法一：不妨令該函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),由題圖知A=1,-,于,即ω=,又是函數(shù)的圖象遞減時(shí)經(jīng)過(guò)的零點(diǎn),于是+φ=2kπ+π,k∈Z,所以φ可以是.方法二：由圖象知過(guò)點(diǎn)，代入選項(xiàng)可解除A、D．又過(guò)點(diǎn)，代入B，C知C正確．10.函數(shù)在處取得最大值，則正數(shù)的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值，即可得解.【詳解】解：依題意得，，，，正數(shù)的最小值為；故選：D.11.若奇函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，且，則不等式的解集為A. B.C. D.【答案】D【解析】詳解】，選D.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式(組)，此時(shí)要留意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)12.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是＝sin，則＝()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】=,選B.點(diǎn)睛：本題采納分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型主要有分段型（如），符號(hào)型（如），周期型（如）二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.存在使不等式成立，則的取值范圍是_____【答案】【解析】【詳解】由題意得14.若正實(shí)數(shù)X，Y滿意2X+Y+6=XY"，則XY的最小值是______【答案】18【解析】【詳解】試題分析：由條件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2+6，令xy=t2，即t=＞0，可得t2--6≥0．即得到(t-3)(t+)≥0可解得t≤-，t≥3，又留意到t＞0，故解為t≥3，所以xy≥18．故答案應(yīng)為1815.實(shí)數(shù)滿意，則z=x-y的最大值是________【答案】2【解析】【詳解】可行域如圖，所以直線z=x-y過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí)z取最大值2點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.須要留意的是：一，精確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要留意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避開(kāi)出錯(cuò)；三，一般狀況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.16.已知球與棱長(zhǎng)均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為_(kāi)__________【答案】【解析】【詳解】試題分析：可采納補(bǔ)體的方法，先畫(huà)一個(gè)正方體，正方體的棱長(zhǎng)為，那么正方體的面對(duì)角線為3，取四點(diǎn)構(gòu)成棱長(zhǎng)為3的三棱錐，若與三棱錐的各棱均相切，即與正方體的各面相切，所以正方體的內(nèi)切球就是所求的球，球的半徑為棱長(zhǎng)一半，即，這樣球的表面積為.考點(diǎn)：幾何體的內(nèi)切球三.解答題17.已知向量，＝，函數(shù)，（1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)的值域．【答案】（1），增區(qū)間是；（2）．【解析】【分析】（1）先依據(jù)向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式，再利用二倍角公式以及協(xié)助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，最終依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先確定的范圍，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求值域．【小問(wèn)1詳解】，

令，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；【小問(wèn)2詳解】因，所以，即．

則，則函數(shù)的值域?yàn)椋?8.函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解折式；（2）在中，角滿意，且其外接圓的半徑，求的面積的最大值．【答案】（1）sin（2）【解析】【詳解】(1)由圖知＝4，解得ω＝2.∵f＝sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)．由－<φ<，得φ＝，∴f(x)＝sin，∴f＝sin＝sin，即函數(shù)y＝g(x)的解析式為g(x)＝sin.(2)∵2sin2＝g＋1，∴1－cos(A＋B)＝1＋sin，∵cos(A＋B)＝－cosC，sin＝cos2C，于是上式變?yōu)閏osC＝cos2C，即cosC＝2cos2C－1，整理得2cos2C－cosC－1＝0，解得cosC＝－或1(舍)，∴C＝π.由正弦定理得＝2R＝4，解得c＝2，于是由余弦定理得cosC＝－＝，∴a2＋b2＝12－ab≥2ab，∴ab≤4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)，∴S△ABC＝absinC＝ab≤.∴△ABC的面積的最大值為.19.如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，且點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為SB的中點(diǎn)．(1)求證：CD⊥平面SAD．(2)求證：PQ∥平面SCD．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【詳解】試題分析：（1）由正方形性質(zhì)得，再利用面面垂直性質(zhì)定理得線面垂直：CD⊥平面SAD．（2）取中點(diǎn)N，利用平面幾何學(xué)問(wèn)證四邊形為平行四邊形，得，再依據(jù)線面平行判定定理得PQ∥平面SCD．試題解析：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以,因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，所以CD⊥平面SAD．（2）取中點(diǎn)N，則四邊形為平行四邊形，即,因此PQ∥平面SCD．20.已知數(shù)列中，，，數(shù)列中，，其中；（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)等差數(shù)列定義，即證為常數(shù)，將用代人，結(jié)合條件，可得（2）先依據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和得，再利用裂項(xiàng)相消法求和試題解析：解:(1)數(shù)列中,,,數(shù)列中,,其中.,,═常數(shù),數(shù)列是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為1,(2),即點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項(xiàng)相消法求和，常見(jiàn)的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類(lèi)隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.21.某學(xué)校藝術(shù)專業(yè)300名學(xué)生參與某次測(cè)評(píng)，依據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，運(yùn)用分層抽樣方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的300名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．【答案】（1）0.4（2）15人（3）3∶2【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖求出樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率，用頻率估計(jì)概率值；（2）計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)小于50的頻率和頻數(shù)，估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的人數(shù)；（3）由題意計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)以及男生、女生人數(shù)，求男生和女生人數(shù)的比例．【詳解】解：（1）依據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4．所以從總體的300名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)值為0.4．（2）依據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分?jǐn)?shù)小于50的頻率為0.1，故分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5．所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為．（3）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為．所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2．所以依據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為3∶2．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分層抽樣原理應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題