高二年級上冊期末【壓軸60題考點】（選修一+選修二）-2022-2023學年高二數(shù)學考試滿分全攻略（人教A版2019選修第一冊）（解析版）

高二上學期期末【壓軸60題考點專練】

（選修一+選修二）

一、單選題

1.（2022?湖北?鄂州市教學研究室高二期末）已知6，G分別是雙曲線CJ-/=l（a>0,b>0）的左、右焦點,

以百鳥為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P,設△Pf；6的面積為S,若（怛￡|+|尸居『=12S,則雙曲線C

的離心率為（）

A.2B.—C.應D.20

2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形勾股定理及面積公式列式，再結(jié)合雙曲線定義即可計算作答.

【詳解】依題意,PF^PF2,令4（-C,0）,F2（C,0）,則有|PK|2+|P6|2=H6|2=4C2,

22

由（|即|+|P瑪|）=12S得：|尸"2+|尸5|2+2|尸耳||PF2\=6\PFt\\PF2\,即有|PF\||PF2\=c,

而4/=（|「不-|「居|）2=|尸甲2+|刊訐―2|「耳"居|=2。2,所以e，=0.

a

故選：C

【點睛】思路點睛：雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關

的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|「用-|尸勾|=2%得到a，C的關系.

2.（2021?天津市西青區(qū)楊柳青第一中學高二期末）已知雙曲線1-￡=1S>0）的右焦點到其一條漸近線的

距離等于亞，拋物線丁=2px（p>0）的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線

4：4x-3y+8=0和4：4=-3的距離之和的最小值為（）

11「14_16>21

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，借助雙曲線求出拋物線焦點廠的坐標，再結(jié)合拋物線定義及幾何意義求解最值作

答.

【詳解】雙曲線'-*=1（匕>0）的漸近線法士&y=0,右焦點尸（7^萬,0），

依題意，辛士￡=近，解得匕=血，因此拋物線的焦點為尸（2,0）,方程為>2=8X，其準線為X=_2,

卜[4x-.3y+8=0消t去X并整「理得:

由y2-6y+16=0,A=62-4xl6<0,即直線4與拋物線丁=8x相離,

過點F作/于點P,交拋物線于點M,過M作用QI/2于點。交直線工=-2于點N,

4x2+8+1衛(wèi)

則有|“「|+|/。|=|加「|+|仰|+|可0|=|叱|+|板|+1=|五尸|+1=

比2+(-3)25，

在拋物線y2=8x上任取點”，過“作MP//「于點尸，作MQ'//?于點Q',交準線于點M,連M'F,FP',

顯然I"尸|+也。|=|〃戶'1+1加*'1+1'。|=|/〃1+1"戶1+1習尸產(chǎn)以0|,當且僅當點M與點M重合時

取等號，

21

所以拋物線上一動點M到直線卜4x-3y+8=0和/?：》=-3的距離之和的最小值為g.

故選：D

【點睛】思路點睛：涉及拋物線上的點到定點與到焦點距離和或到定直線與準線距離和的最小值問題，利

用拋物線定義轉(zhuǎn)化求解即可.

3.(2022?江蘇?蘇州中學高二期末)對任意x>0,若不等式方2we*+odnx(a>0)恒成立，則。的取值范圍

為()

A.(0,2e]B.(0,e]C.(0,1]D.[l,e]

【答案】B

【分析】將以24/+以111無(4>0)變形為《-〃111《20,設/(x)=《(x>0),利用導數(shù)求得了(x"e,

XXX

r=—,(/>e),則，-alnfNO,所以?！炊?QNe)恒成立，構(gòu)造函數(shù)gQ)=7^-,QNe),利用導數(shù)求得其最小

xInrInz

值，即可求得答案.

【詳解】對任意x>0,若不等式6We"+odnx(。>0)恒成立,

BP-——6z(x-lnx)>0，HP-—tzln—>0,

XXX

設/(x)=父(x>0)，則/(x)=e(X~l)，/⑴=0，

XX

當Ovxvl時,f\x)<0,，(x)在Ovxvl時單調(diào)遞減,

當x>l時，f'(x)>0,/(X)在X>1時單調(diào)遞增，

故當x=l時，/*)取得極小值也是最小值，即/(x)2〃l)=e,

☆f=J,(f2e),則f-aln/NO,所以“4」-,(r2e)恒成立，

xIn/

設gQ)=j"2e),.⑴=>0,

Inr(In/)

故g(r)=L，(rNe)是單調(diào)遞增函數(shù)，故g(r)2g(e)=e，

Inf

所以aVe,又因為a>0,

所以。的取值范圍為(0，e],

故選：B

【點睛】本題考查了不等式的恒成立成立問題，解答時要注意對不等式進行恰當?shù)淖兪?，從而分離參數(shù)，

構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決.

4.(2022?吉林?高二期末)下列命題為真命題的個數(shù)是()

@ln3<^ln2;?lnn<J|；③2歷<15；④3eln2>40.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題首先可以構(gòu)造函數(shù)/(x)=用，然后通過導數(shù)計算出函數(shù)/(x)=F的單調(diào)性以及最值，然

后通過對①②③④四組數(shù)字進行適當?shù)淖冃?，通過函數(shù)/(x)=W的單調(diào)性即可比較出大小.

【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)〃力=\土，則/(萬)=上詈，

當Ovxve時，>0,x>e時，/z(x)<0,

所以函數(shù)“對=—在(0?上遞增，在(e,行)上遞減，

所以當x=e時“X)取得最大值g,

In3<^ln2?21nx/3<^ln2<=>^^<—,

G2

由百<2<e可得/（g）<〃2）,故①正確;

In%〈喑，由&<6<e,可得f（G）</（五），故②錯誤;

In2lnV15In4lnV15

2作<15<^V151n2<lnl5<=>——<-7=^O——<—

2V154V15

因為函數(shù)/3=平在3”）上遞減,

所以〃4）</（岳），故③正確；

因為2夜>e，所以/（20）<〃e）,

日n1n2&Inesn31n>/21m.rr

即---T=—<------>即----j=~<—>則3eln5/^<，

2V2e2V2e

即3eln2<4/，故④錯誤，

綜上所述，有2個正確.

故選：B.

【點睛】本題考查如何比較數(shù)的大小，當兩個數(shù)無法直接通過運算進行大小比較時，如果兩個數(shù)都可以轉(zhuǎn)

化為某個函數(shù)上的兩個函數(shù)值，那么可以構(gòu)造函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷兩個數(shù)的大小，考查函

數(shù)思想，是難題.

5.（2022.全國?高二期末）將數(shù)列｛2〃-1｝中的各項依次按第一個括號1個數(shù)，第二個括號2個數(shù)，第三個括

號4個數(shù)，第四個括號8個數(shù)，第五個括號16個數(shù)，…，進行排列，（1）,（3,5）,

（7,9,11,13）,（15,17,19,21,23,25,27,29）....則以下結(jié)論中正確的是（）

A.第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為1025B.2021在第11個括號內(nèi)

C.前10個括號內(nèi)一共有1025個數(shù)D.第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和Se（2?220）

【答案】D

【分析】由第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列｛2〃-1｝的第512項，最后一個數(shù)為數(shù)列｛2"-1｝的第1023項，

進行分析求解即可

【詳解】由題意可得，第〃個括號內(nèi)有2"T個數(shù)，

對于A,由題意得前9個括號內(nèi)共有1+2+2,+…+28=上幺=29-1=511個數(shù)，

1-2

所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列｛2〃-1｝的第512項，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為

2x512-1=1023,所以A錯誤，

i_710

對于C,前10個括號內(nèi)共有1+2+2"+…+29=-----=21°-1=1023個數(shù)，所以C錯誤,

1-2

對于B,令2”-1=2021,得”=1011,所以2021為數(shù)列｛2,-1｝的第1011項，由AC選項的分析可得2021

在第10個括號內(nèi)，所以B錯誤，

對于D,因為第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為2x512-1=1023,最后一個數(shù)為2*1023-1=2045,所以第10

個括號內(nèi)的數(shù)字之和為S=29（1023+2045）=義匕34e（2|9,220），所以D正確，

2

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：此題考查數(shù)列的綜合應用，解題的關鍵是由題意確定出第10個括號內(nèi)第一個數(shù)和最

后一個數(shù)分別對應數(shù)列｛2〃-1｝的哪一項，考查分析問題的能力，屬于較難題

6.（2022?上海市控江中學高二期末）已知〃（。,3）是拋物線C：丁=2/5>0）上一點，且位于第一象限，

點M到拋物線C的焦點尸的距離為4,過點P（4,2）向拋物線C作兩條切線，切點分別為A,B,貝=

（）

A.-1B.1C.16D.-12

【答案】B

【分析】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程，再設4（不，3）,8（々,必），然后求出嘉.晶并化簡，然后

求出直線AB的方程并代入拋物線方程，最后結(jié)合根與系數(shù)的關系求得答案.

【詳解】如示意圖，由拋物線的定義可知點M到拋物線準線y=-5的距離為4,則3+]=4n0=2,即拋

物線C:/=4y,則尸（0,1）.

設A（%,y）,8（孫力），則

—>—>—>—>啥-蛔+小1

AF-BF=E4-FB=(X,,y,-1)?(x2,y2-1)=芭々-+%)+1=XW

厘-扣+/+|中

v2111

由丫=丁ny'=jx,則怎/>=5再，%<=5々，所以

4N乙乙

!”：y_y=

x2x-2y+2y2-x1=0=>x2x-2y-2y2=0,

X-4-2-2-2yl=0_4x,-2y,-4=0

因為點P（4,2）在這兩條直線上，所以Xj-4-2-2-2y,=0^4,_2；-4=0'于是點4方都在直線

4x-2y-4=0上，即&,:y=2x-2,代入拋物線方程并化簡得：x2-8x+8=O,由根與系數(shù)的關系可知

x,+x2=XjX2=8.

TT爐]Q

于是A月BF=--------X82+-X8+1=I.

1642

故選：B.

【點睛】本題運算較為復雜，注意要先求出&.而，再判斷題目到底需要什么，另外本題求解直線AB的

方法需要熟練掌握.

7.（2022.全國?高二期末）已知函數(shù)=?若數(shù)列｛叫的前〃項和為S,，且滿足5,=〃。,用），4=”“，

則4的最大值為（）

A.9B.12C.20D.—

4

【答案】C

2

【分析】先得到q.吟及遞推公式（一+4,）（%-《「2）=0,要想為最大，則分兩種情況，見為負數(shù)

且最小或。2為正數(shù)且最大，進而求出最大值.

【詳解】4=2-￡?、?當"=1時，4=]■若，當〃22時,S“T所以①一②得：

%=；a；+i,整理得：（。"+1+4,）（4用一?！耙?）=0,所以或",=2,

當。，…，4o是公差為2的等差數(shù)列,且知=-即>時，%最小,可最大,此時4（）=%+8x2=-a“=-4,所

以（4）2?=一8,此時4=20；

當為=-%且％，…，即是公差為2的等差數(shù)列時，的最大，%最大，此時即=。3+8、2=-4+16=%,所以

（%）max=8,此時q=12

綜上：%的最大值為20

故選：C

【點睛】方法點睛：數(shù)列相關的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進

行求解.

二、多選題

8.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高二期末）已知圓C:（x-3）2+（y-4）2=l和兩點A（-利,1）,8（見-1）（加>0）,若圓C上存在

點P,使得NAP3=90。，則巾可能的取值為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】CD

【分析】先求動點P的軌跡，再利用圓與圓的位置關系可求機的取值范圍，從而可得正確的選項.

【詳解】設尸（x，N），則AP=（x+〃?,y-l）,3P=（x-m,y+l）,

因為NAP3=90。，故".BP=0即*2+；/=加2+],

故尸的軌跡為圓。（原點為圓心，半徑為J〃，+i,不含AB兩點），

因為AB分別在第二象限和第四象限，而圓C在第一象限，

又P在圓C:（x-3）2+（y-4f=l上，故圓C與圓。有公共點，

所以y/m2+\—141cq<1+\Jm2+1即1病+1—1<5<1+\/m2+1，

解得<m<\/26,

故選：CD.

【點睛】思路點睛：直線與圓中的隱圓問題，大多需要考慮動點的軌跡（常為圓），從而把動點的存在性問

題歸結(jié)圓與圓的位置關系問題.

9.（2022?廣東深圳?高二期末）已知曲線C的方程為尸（x,y）=0,集合T={（x,y）|F（x,y）=0},若對于任意

的（％，X）eT,都存在（々,當）門，使得玉成立，則稱曲線C為Z曲線.下列方程所表示的曲線中，

是Z曲線的有（）

A.y+^-=lB.x2-y2=\C.y2=2xD.|y|=|x|+l

【答案】AC

【分析】問題轉(zhuǎn)化為P（4M）eT,存在。（々,以）€7,使得OPLOQ,根據(jù)這一條件逐一判斷即可.

【詳解】A：[+]=1的圖象既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，且圖象是封閉圖形.所以對于任意的點

P（xt,yt）eT,存在著點Q（玄，”）使得。尸，。。，所以滿足；

B：產(chǎn)=1的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為±1,所以漸近線將平面分為四個夾角為90。的區(qū)域,

當P,Q在雙曲線同一支上，此時/尸。。＜90。，當P,。不在雙曲線同一支上，此時/尸。。＞90。，所以

NPOQ*90°,OP，不滿足；

C：V=2x的圖象是焦點在x軸上的拋物線，且關于x軸對稱，設P為拋物線上一點，過。點作OP的垂線,

則垂線一定與拋物線交于。點，所以ZPOQ=90。,，所以OPLOQ

D：取P（0,1）,若OPLOQ,則有力=0顯然不成立，所以此時OP_LOQ不成立，

故選：AC

【點睛】關鍵點睛：運用圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關鍵.

10.（2022?河北滄州?高二期末）如圖，在正四棱柱A8CO-4SGA中，DC=DA=2,DQ=4,點、E在CQ

上，且CE=1.則下列說法正確的是（）

B.異面直線A。與所成角的正切值為2

C.AC_L平面

D.直線BE與平面所成角的正弦值為名叵

【答案】ACD

【分析】以。為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)線線垂直、線面垂直的向量判斷方法，線線角和線面

角的向量求法依次判斷各個選項即可.

【詳解】以。為坐標原點，D4,OC,￡>〃為x，，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則A(2,0,4),B,(2,2,4),5(2,2,0),C(0,2,0),￡>(0,0,0),￡(0,2,1),

對于A,4。=(一2,0,-4),8￡=(-2,0,1),.?.A?3E=0，A正確;

對于B,AZ)=(-2,0,T),B4=(0,0,4),設異面直線4。與同B所成角為。，

162石1

...3。=卜』_^=卷,.?.tane=B錯誤；

碼2j5x452

,/、.、/、A,CDE=0

對于C,AC=(_2,2,Y),DE=(0,2,1),OB=(2,2,0),OB—。，

[\CVDE

又DEcDB=D,OE,OBu平面..AC，平面。BE,C正確;

[A,C±DB

對于D,AO=(—2,0,T),DE=(0,2,1),設平面AOE的法向量”=(x,y,z),

\Dn=-2x-4z=0

令y=l,則z=—2,x=4,.,.n=(4,l,-2),

DEn=2y+z=0

?I\BE-n\io2\f\05

又BE=V(-2,0,71),「.1cos(加1

\BE\U75X72121

即直線8E與平面AOE所成角的正弦值為名叵，D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：利用空間向量法求解直線AB與平面a所成角的基本步驟為：

（1）建立空間直角坐標系，利用坐標表示出所需的點和向量；

\AB-4

（2）求得平面。的法向量〃，設所求角為凡則sin?=^^.

HH

（3）根據(jù)Oe0,-可求得線面所成角的大小.

11.（2022?福建?泉州鯉城北大培文學校高二期末）若圓C,：V+y2=l與圓C”（“短+（丫-。）2=1的公共

弦AB的長為1,則下列結(jié)論正確的有（）

A.a2+b2=1

B.直線43的方程為2ar+2b-3=0

C.A3中點的軌跡方程為V+y2=；

4

D.圓G與圓C?公共部分的面積為2一走

32

【答案】BC

【分析】兩圓方程相減求出直線48的方程，進而根據(jù)弦長求得片+分=3,即可判斷AB選項；然后由圓

的性質(zhì)可知直線CC垂直平分線段A8,進而可得（0,0）到直線2ar+2勿-/-從=0的距離即為48中點

與點G的距離，從而可求出AB中點的軌跡方程，因此可判斷C選項；對應扇形的面積減去三角形的面積

乘以2即可求出圓G與圓C?公共部分的面積，即可判斷D選項.

【詳解】兩圓方程相減可得直線AB的方程為/+從一2如-2制=0,g|J2ax+2by-a2-h2=0,

因為圓G的圓心為C1（0,0）,半徑為1,且公共弦AB的長為1,貝IJC（0,0）至IJ直線2ar+物，-6—〃=0的距

、ha2+b26

離為券，所以桃2+及）=不解得a?+〃=3,

所以直線A8的方程為2奴+2勿-3=0,故A錯誤，B正確；

1

由圓的性質(zhì)可知直線C,C2垂直平分線段A3,所以C|（0,0）到直線lax+lby-a=0的距離即為AS中點

與點C1的距離，設AB中點坐標為（x,y）,因此J（x-O）2+（y-O）2=#,即/+/=],故c正確；

因為A8=GA=G8=1,所以N3CA=1,即圓G中弧A3所對的圓心角為1,所以扇形的面積為

J_x;rxl2=fL'三角形CAB的面積為」、1義1義4=正，所以圓G與圓G公共部分的面積為

2死6

2x住一夕|=g-￡故D錯誤.

(64J32

故選：BC.

【點睛】圓的弦長的常用求法：

(1)幾何法：求圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為/,貝打=2折二T'；

(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關系及弦長公式：=-xj

12.(2022.廣東深圳.高二期末)聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成

的，純音的數(shù)學函數(shù)為＞=Asin?x,其中A影響音的響度和音長，。影響音的頻率，平時我們聽到的音樂都

是有許多音構(gòu)成的復合音，假設我們聽到的聲音函數(shù)是〃x)=sinx+!sin2x+?sin3x+--+1sinnx+--^

23n

力(x)=t)sin丘則下列說法正確的有()

k=lk

A.力(x)是奇函數(shù)

B.，(x)是周期函數(shù)

C.y=△(x)的最大值為g

rrrr

D.人(x)在上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【分析】由奇偶性定義可知A正確；由＜(%+24)=力(可知B正確；利用導數(shù)可求得力(x)在[0,句上的值

域，結(jié)合奇偶性和周期性可確定力(x)最大值，知C錯誤；求導后可證得4(x)20,由此可知D正確.

【詳解】對于A,￡(-x)=fJsin(-3=-f]sinh=-￡,(x),."(x)是奇函數(shù)，A正確；

太=1k*=ik

?1n1

對于B,，(x+2乃)=Z7sin(丘+2萬)=Z￡sinfcr=/；(x),二2乃是/.(x)的一個周期，B正確；

*=ikJt=ik

2

對于C,.f2(x)=sin—sin2x,.\^(x)=cosx+cos2x=2cosx+cosx-l=(2cosx-l)(cosx+l)；

當xe[O,句時,cosx+120,則當xe吟）時，力'（力＞。；當小信》時,月（小0；

.?/（》）在[。,￡|上單調(diào)遞增，在（半萬]上單調(diào)遞減，

又人（。）=力（萬）=0,f2

則當xe[0,句時，04人（力4亭；

力（x）為奇函數(shù)，，當xe[-7,0]時，-力（x）40;

又力（x）周期為2萬，.?「竽4￡（力4乎，即力（x）最大值為乎，C錯誤;

對于D,「?力’(X)=cosX+cos2x+cos3x；

,7C7T._37r34

當時，2xe3xe

44T,T

,近i

cos2xe[0,l],cos3xe----，]，?"'(x)2

2

jrjr

.?/（x）在上單調(diào)遞增，D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性和最值的求法；求解關鍵是能夠充分理

解所給函數(shù)的表達式，靈活應用導數(shù)求解函數(shù)在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和值域，通過函數(shù)的周期性推導得

到結(jié)果.

13.（2022?全國?高二期末）已知S“是數(shù)列｛4｝的前〃項和，若4=1,”,產(chǎn)0（〃eN*）,〃以“=3S“-1（〃eN）,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.七=2B.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

C.an+an+i=2an+2D.$。=3。0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件探求出數(shù)列｛4｝的特性，再逐項分析、計算判斷作答.

【詳解】〃wN*,《4+1=35“一1,當〃22時，a"”=3S,i-1,兩式相減得：an(an+l-a?_l)=3a,I,而30,

則4,+|-凡-|=3,

當〃=1時，=3S[-1=3q-1=2,則4=2,A正確;

因4=q+3=4,%-4=1，/-。2=2,即%-“2，數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列，B不正確；

因“eN",4,+2-a”=3,則%+4-%+2=3,即有?！?4一%+2=?！?2-。“，”“+”田=2q+2成立，C正確；

由C選項的判斷信息知，數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項是以4=1為首項，3為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛q｝的偶數(shù)項是以外=2為首項，3為公差的等差數(shù)列，

S2（）=（%+。3++49）+（%+。4++。2。）=（1。。1+45x3）+（10?2+45x3）=300,D正確.

故選：ACD

【點睛】易錯點睛：等差數(shù)列定義是判斷數(shù)列是等差數(shù)列的重要依據(jù)，但易漏掉定義中的“從第2項起”與“同

一個常數(shù)”的條件.

14.（2022?浙江?溫州中學高二期末）如圖，在棱長為1的正方體中，點M為線段上的

動點（含端點），下列四個結(jié)論中，正確的有（）

A.存在點〃，使得和“，平面4Q8

B.存在點〃，使得直線AM與直線4c所成的角為45

C.存在點M,使得三棱錐A-CQM的體積為9

O

D.不存在點〃，使得￡>〃，其中a為二面角M-AA-8的大小，4為直線與直線AB所成的角

【答案】ACD

【分析】以點B為坐標原點，BC、BA、B瓦所在直線分別為X、》、z軸建立空間直角坐標系，利用空間

向量法可判斷各選項的正誤.

【詳解】以點8為坐標原點，BC.BA,B與所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標

系,

則4(0,1,0)、8(0,0,0)、C(l,0,0),0(1,1,0)、A(0，U)、4(0,0,1)、

c,(1,0,1),<(,1,1),設即點其中04Y1.

對于A選項，假設存在點M,使得GM,平面AOB,

應)=(1,1,0),網(wǎng)=(0,1,1),則忱:d：,解得T，

?C|/V7,D/\.=zr-i=uz

故當點M為線段B2的中點時，q/J.平面4/力，A對；

對于B選項，AM4c=(1,0,-1),

由已知可得卜酬<AM,BG>|=|瑞|晨卜。則AMIB?,B錯；

對于C選項，5.改=gxF=；，點加到平面8Z)C的距離為IT,

則％-G&W=〃-CQ9彳，解得r=0,c對；

對于D選項，AA=(0,0,1),設平面的用的法向量為川=(x,y,z),

m-AA=z=0,、

則｛，.彳/八，取X=1T,可得m=(l-f/,0),

tn-AM=/x+(f—l)y+/z=0'

易知平面的一個法向量為，=(1,0,0),

I?"〃|1-?

由圖可得cosa=|cos<〃>|=F|丁!產(chǎn)--,

11)

H-HJ(1T)2+“

AM=（3，1）,BA=（0,1,0）,

因為0<J*+（_r）24#+2（IH,l-re[0,l],

JTTT

Qa、0,-,且余弦函數(shù)y=cosx在0,-上單調(diào)遞減，則D對.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：

（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件,

解對應的三角形，即可求出結(jié)果；

（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與

平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.

15.（2022?福建龍巖?高二期末）若正方體4BCD-A蜴GA的棱長為1，S.AP^niAD+nAA,,其中

zne[0,l],ne[0,l],則下列結(jié)論正確的是（）

A.當〃?=；時，三棱錐尸-8。用的體積為定值

B.當〃=g時，三棱錐P-BO4的體積為定值

C.當加+〃=1時，P4+P3的最小值為二十3

2

D.若/PR8=NBQ超，點尸的軌跡為一段圓弧

【答案】AC

【分析】當機=；時，可得點P的軌跡，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)，可得P到平面用的距離不變,

即可判斷A的正誤；當”=；時，可得點尸的軌跡，利用反證法可證，P到平面用的距離在變化，即可

判斷B的正誤；當M+〃=1時，可得A、P、。三點共線，利用翻折法，可判斷C的正誤；如圖建系，求得

各點坐標，分別求得NPR8和/與R8的余弦值，列出方程，計算分析，可判斷D的正誤，即可得答案.

>

【詳解】因為A/=mA￡）+〃A41,其中,

所以點P在平面AORA內(nèi)運動，

對于A：取4。中點E、AA中點F,連接EF,

所以EF//4A//8與，

因為EF<Z平面BDB、,BB、u平面BDB、,

所以E尸〃平面8。四，

11

當〃7=一時，則AP=-4O+“A4,,

22

所以點P在線段EF上運動，

因為跳7/平面BOB-

所以無論點P在EF任何位置，尸到平面BOB1的距離不變，即高不變,

所以三棱錐尸-B。片的體積為定值，故A正確：

對于B：取力A中點G,?？谥悬cH,連接G",

當〃=J■時，AP=mAD+^AA,,

所以點P在GH上運動，

假設GH//平面BDB],

又GA//BB、,G4O平面8。片，BB|U平面Big,

所以GA//平面

因為64門6〃=6,64,64<=平面6印》，

所以平面GHZM//平面8￡>與，與已知矛盾，故假設不成立,

所以G4不平行平面8。片,

所以P在G”上運動時，P到平面BD用的距離在變化,

所以三棱錐尸-8。片的體積不是定值，故B錯誤;

對于C：連接A。，BD,當帆+〃=1時，可得A、P、。三點共線,

將；明。沿A,。翻折至與平面ABD共面，如下圖所示

連接AB,當P為AB與AQ交點時一，PA+PB最小,即為A8,

因為AB,A,D,BD均為面對角線，

所以A3=AO=8O=0，即,AB。為等邊三角形，

又幺&。=90°,AA=4C=1,

所以NAOB=NAAB=105°,ADB^AAtB,

所以ZABZ)=30。

在?做中,由正弦定理得鼻AD

sinZABD

>/2+>/6

所以AB=-----------xsin105°=2(sin450cos60。+cos45。sin60°)=故C正確;

sin30°2

D,G

對于D：分別以04、DC、為x,y,z軸正方向建系，如圖所示,

則8(1,1,0),2(0,0,1),設尸(x,0,z),

所以。尸=(x,0,z-1),AB=(1,1,—1),

,.?D、P?D、Bx-z+1

所以8S〃Dr*=E=kE

因為BB11平面agCQi，BRu平面A4GA,

所以

又B、D1=M,BD[=6,

所以cosN8QB=^=4,

DL)X3

x-z+176

所以Jf+(Z-l)2/—.整理得d+z2+2xz-2x-2z+l=0,

所以(x+z-l)2=(),即x+z—1=0,XG[0,1],ZG[0,1]

故選：AC

【點睛】解題的關鍵是熟練掌握線面平行判定與性質(zhì)，向量共線、數(shù)量積求夾角等知識，綜合性較強，難

度較大，考查學生分析理解，計算求值的能力，屬難題.

16.(2022?重慶市實驗中學高二期末)已知直線/：履—y-Z+l=0與圓C：(x-Z)?+(y+2p=16相交于A,

B兩點，。為坐標原點，下列說法正確的是()

A.|4同的最小值為2指B.若圓C關于直線/對稱，則上=3

C.若ZACB=2NCAB,貝1」％=1或左=-‘D.若4,B,C,。四點共圓，則憶=一，

73

【答案】ACD

【分析】判斷出直線/過定點結(jié)合勾股定理、圓的對稱性、點到直線的距離公式、四點共圓等知識

對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】直線/：y=A(xT)+l過點。(I4)，

0C:(x-2)2+(y+2)2=16,B|Jx2+y2-4x+4>'-8=0@,

圓心為C(2,-2),半徑為r=4,

由于(1一2『+(1+2『<16,所以。在圓C內(nèi).[8|=1(2-1)2+(-2-1)2=M，

所以|A或山=2,以-(而『=2遙,此時ABYCD,所以A選項正確.

若圓C關于直線/對稱，則直線/過C,。兩點，斜率為棄?=-3,所以B選項錯誤.

2-1

7T

設Z4a=2NC4B=2e,則。+。+2夕=元,，=:，此時三角形A8C是等腰直角三角形，

C到直線48的距離為4x變=2&,即憎

2收+1

解得左=1或%=-；，所以C選項正確.

對于D選項，若A,反C,O四點共圓，設此圓為圓E,圓E的圓心為E(a,b),

O，C的中點為(1,-1),k比=T，

所以OC的垂直平分線為/：y+i=xTy=x-2,則》=“-2②，

圓E的方程為(x-a)2+(y-4=a2+b2,

整理得》2+八2以-2b，=（^,

直線43是圓C和圓E的交線，

由①-③并整理得43：（4-加卜-（沙+4）），+8=0,

將0（1,1）代入上式得（4-加）-（加+4）+8=0,a+b-4=0④，

由②④解得a=3,。=1,

所以直線A8即直線/的斜率為==D選項正確.

2A+463

故選：ACD

【點睛】求解直線和圓位置關系有關題目，首先要注意的是圓和直線的位置，是相交、相切還是相離.可通

過點到直線的距離來判斷，也可以通過直線所過定點來進行判斷.

17.（2022?山東德州?高二期末）如圖，在棱長為1的正方體A8CO-A4CQ中，M為棱的中點，P為

線段BC上的動點（包含8,C兩個端點），則下列說法正確的是（）.

9

平面MBG截正方體A2C3-4耳GA所得截面圖形的面積為:

O

存在一點尸，使得直線AA與直線OP的公垂線段長為運

直線CP與平面MBG所成角的最小值為當

D.當P從8移動到G的過程中，直線。尸與直線MB的夾角由小變大

【答案】ABD

【分析】取棱AR中點，作出截面并求其面積判斷A；建立空間直角坐標系，借助空間向量計算判斷B,C,

D作答.

【詳解】對于A,取棱AR中點E,連接用旦GEAA，如圖,

%

Cl

正方體A8CQ—A8cA中，對角面A8G。是矩形，M為棱AA的中點，則ME//AR//8G，

ME=-BC.=—,BM=GE=叵,等腰梯形是平面MBG截正方體ABC。-A4G。所得截面,

222

等腰梯形BC,EM的高/,=麻;匹=羋，SBC<EM=ME；B3./?=，，

V242o

因此，平面MBG截正方體A88-AgGR所得截面圖形的面積為亮9，A正確；

8

以點。為原點，射線D4,OC,。。分別為x,y,z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖,

D(0,0,0),A(l,0,0),B(l,1,0),C,(0,1,1),4(1,0,1),M(1,0,1),e=(0,0,1),=(-1,0,1),

因尸為線段BG上的動點，設加=出弓=(一「,0,力，0</<1,點P(l-f,l,r),DP=(l-t,l,t),

對于B,令與例、OP都垂直的向量為〃=(%,y,Z]),則(-不/_7_，

Ift,HAt3sBnV

InDP=(1—t)xt+Vi+tz,=0

一」\DA-n\12y/5

令X=l,得〃=(lj_l,0),D4=(l,0,0),異面直線A%與直線OP的距離d=c-=~y^=^^=-^-,

\n\^/l2+(r-l)25

而04Y1,解得f=g,點P為BQ的中點，即存在一點P,使得直線A4與直線OP的公垂線段長為半,

B正確；

Im-BM=—y+—z=0

BA/=(0,-1,-),令平面Mg的法向量為機=(9,%*2)，則o2o2,

[m-BC]=-x2+z2=0

令%=1,得m=(2』,2),令直線QP與平面MBG所成角為巴

則SEC〉1=氤麗落石07rM。/后當，顯然°最小值

TT

為二，c不正確；

4

對于D,令直線OP與直線MB的夾角為a,則cosa=|cos〈BM,DP)?J夕”?OP|

|BM||DP\

.1,___________,_____________

2

—__M--------=2T=h/-4f+4=J_j_(4—,3/；,

好J(1T)2+］+*"10(/T+I)V10r-t+1v10r-t+1

當，=0時，cosa=巫，當fe(O,l］時，cosa=記(4-11)對fe(O,l］遞減,

5Y?-7+1

即cosa隨r的增大而減小，而銳角a隨cosa的增大而遞減，

因此，當戶從8移動到G的過程中，直線。尸與直線MB的夾角由小變大，D正確.

故選：ABD

【點睛】思路點睛：涉及幾何體中動點按規(guī)律移動問題，可以建立空間直角坐標系，利用空間向量的運算

解決.

18