高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 4.3 換元積分法

§4.3換元積分法

一、第一類換元法(湊微分法)

二、第二類換元法內(nèi)容提要利用不定積分的直接積分法所能計(jì)算的積分是十分有限的，因此，有必要進(jìn)一步研究不定積分的求法．最常用的積分方法是換元積分法，簡(jiǎn)稱換元法.換元積分法就是通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，使所求積分在新變量下具有積分基本公式的形式或用直接積分法求解．一、第一類換元法(湊微分法)例1：求

分析：因?yàn)楸环e函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，基本積分公式中沒有這樣的公式，所以不能直接應(yīng)用公式解

因?yàn)楹瘮?shù)是和復(fù)合成的，所以例1的解法特點(diǎn)是引入新變量，從而將原積分化為積分變量為的積分，再用積分基本公式求解．第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction定理4-1若，且有連續(xù)函數(shù)，則這種先“湊”微分，再作變量代換的方法，稱為第一類換元積分法，也稱為湊微分法.一般地，我們可以得到如下的結(jié)論：第一類換元積分法的特點(diǎn)是被積函數(shù)由兩部分組成，即復(fù)合函數(shù)和(復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù))，換元(湊微分)是將內(nèi)層函數(shù)進(jìn)行換元(湊微分).第一換元積分是復(fù)合函數(shù)微分的逆運(yùn)算.在使用湊微分過程中，最常見的有以下類型：例2求不定積分（1）（2）（3）（4）,

.

（1）因?yàn)?，所以解?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋越饫脺愇⒎址ㄇ蟛欢ǚe分需要一定的技巧，而且往往要作多次試探，初學(xué)者不要怕失敗，應(yīng)注意總結(jié)規(guī)律性的技巧，當(dāng)運(yùn)算熟練以后，變量代換和回代這兩個(gè)步驟，可省略不寫，直接按得出結(jié)果.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

二、第二類換元法

在第一類換元積分法中，是選擇新變量u代換被積函數(shù)中的可微函數(shù)進(jìn)行換元.但有些積分，如等，卻不易用上述方法代換，我們?cè)O(shè)想，如果令進(jìn)行換元，那么則積分一般地，我們可以得到如下的結(jié)論：定理4-2若

是連續(xù)函數(shù)，

有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)

,其反函數(shù)存在且可導(dǎo)，又設(shè),則有換元公式：這種換元的方法稱為第二類換元積分法.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction常見的第二類換元積分方法有：（一）簡(jiǎn)單根式代換例6求下列不定積分：（1）（2）解（1）因?yàn)楸环e函數(shù)含有根號(hào)，為了去掉根號(hào)，可先換元，令，即，于是

，所以（2）令，，則，于是有再回代，得出注使用第二類換元積分法的關(guān)鍵是如何選擇函數(shù).如果被積函數(shù)中含有根式時(shí)，一般可作變量代換去掉根式.*（二）三角代換例7求下列不定積分：（1）（2）

（3）

（1）為了去掉根號(hào)，考慮變量代換構(gòu)造直角三角形(如圖4-2)，則

，鄰邊，于是因?yàn)椋?，由圖4-2，顯然有代入上面的結(jié)果，有圖4-2（2）為了去掉根號(hào)，考慮作變量代換(對(duì)于的情形可類似考慮)，構(gòu)造直角三角形(如圖4-3)，則，于是有根據(jù)圖4-3，顯然有，，回代得出圖4-3，其中（3）對(duì)于()，構(gòu)造直角三角形(如圖4-4)，作變量代換，則斜邊.于是有圖4-4注如果被積函數(shù)含有可分別作，，的變換去掉根式，這種代換統(tǒng)稱為三角代換.第二類換元積分法是變量代換法，主