高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第四章 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算演練知能檢測(cè) 文

第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算[全盤鞏固]1．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．|a|＝|b|且a∥bB．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)＝2b解析：選D∵eq\f(a,|a|)表示與a同向的單位向量，∴a與b必須方向相同才能滿足eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|).2.(·紹興模擬)已知如圖所示的向量中，＝eq\f(4,3)，用，表示，則等于()A.eq\f(1,3)－eq\f(4,3)B.eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)C．－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)D．－eq\f(1,3)－eq\f(4,3)解析：選C＝＋＝＋eq\f(4,3)＝＋eq\f(4,3)(－)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3).3.如圖所示，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的重心，則＋－等于()A．0B．4C．4D．4解析：選C連接MF，則C，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且＝2，∴＋－＝2－(－2)＝4.4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：選A＝＋＋＝3a＋6b＝3.因?yàn)榕c有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．5．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，且有＋2＋3＝0，則△ABC的面積和△AOC的面積之比為()A．3B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(3,2)解析：選A設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則已知條件可化為(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，說(shuō)明M，O，N三點(diǎn)共線，則O為中位線MN上靠近N點(diǎn)一個(gè)三等分點(diǎn)，S△AOC＝eq\f(2,3)S△ANC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,3)S△ABC，所以eq\f(S△ABC,S△AOC)＝3.6.(2014·石家莊模擬)已知：如圖，||＝||＝1，與的夾角為120°，與的夾角為30°，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，則eq\f(λ,μ)等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(1,2)D．2解析：選D過(guò)C作OB的平行線交OA的延長(zhǎng)線于D.由題意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2CD，又∵＝λ，＝μ，∴λ||＝2μ||，即λ＝2μ，故eq\f(λ,μ)＝2.7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝________________(用a，b表示)．解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋eq\f(1,2)b，所以＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是________．解析：因?yàn)椋剑?，?dāng)，同向時(shí)，||＝8－5＝3；當(dāng)，反向時(shí)，||＝8＋5＝13；當(dāng)，不共線時(shí)，3<||<13.綜上可知3≤||≤13.答案：[3,13]9．(·湖州模擬)如圖，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________.解析：由＋＋＝0，知G為△ABC的重心，取AB的中點(diǎn)D，則＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)(＋)＝eq\f(1,6m)＋eq\f(1,6n)，由P，H，Q三點(diǎn)共線，得eq\f(1,6m)＋eq\f(1,6n)＝1，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝6.答案：610.如圖，在梯形ABCD中，||＝2||，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)．若＝e1，＝e2，用e1，e2表示，，.解：＝eq\f(1,2)＝eq\f(e1,2)；＝＋＝－＋＝＋－＝－eq\f(1,2)＝e2－eq\f(1,2)e1；＝＋＋＝－eq\f(1,4)－＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)－＝eq\f(1,4)e1－e2.11．已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))解得t＝eq\f(6,5).故存在實(shí)數(shù)t＝eq\f(6,5)使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上．12．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3＋4＋5＝0，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，.解：∵＝－＝－a，＝－＝－b，又3＋4＋5＝0，∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，∴＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b.設(shè)＝t(t∈R)，則＝eq\f(1,3)ta＋eq\f(5,12)tb.①又設(shè)＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．而＝＋＝a＋.∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＝1－k，,\f(5,12)t＝k，))解得t＝eq\f(4,3).代入①得＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.∴＝eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b，＝eq\f(4,9)a＋eq\f(5,9)b.[沖擊名校]1．如圖，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于F，設(shè)＝a，＝b，＝xa＋yb，則(x，y)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,2)))解析：選C令＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)＋eq\f(1,2)λ；令＝μ，則＝＋＝＋μ＝＋μ＝eq\f(1,2)μ＋(1－μ).由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,2)μ，,\f(1,2)λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3).2．設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2·已知點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則下面說(shuō)法正確的是()A．C可能是線段AB的中點(diǎn)B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C，D可能同時(shí)在線段AB上D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上解析：選D根據(jù)已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根據(jù)eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，得eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點(diǎn)，則c＝eq\f(1,2)，代入eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2得，eq\f(1,d)＝0，此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說(shuō)法不正確；同理選項(xiàng)B的說(shuō)法也不正確；若C，D同時(shí)在線段AB上，則0<c≤1,0<d≤1，此時(shí)eq\f(1,c)≥1，eq\f(1,d)≥1，eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)≥2，若等號(hào)成立，則只能c＝d＝1，根據(jù)定義，C，D是兩個(gè)不同的點(diǎn)，矛盾，故選項(xiàng)C的說(shuō)法也不正確；若C，D同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，即c>1，d>1，則eq\f(1,c)＋eq\f(