高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第六章 第二節(jié) 一元二次不等式及其解法突破熱點(diǎn)題型 文

第二節(jié)一元二次不等式及其解法高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解法是高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度適中，屬中檔題．2．高考對一元二次不等式解法的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)與函數(shù)的奇偶性等相結(jié)合，考查一元二次不等式的解法；(3)已知一元二次不等式的解集求參數(shù)．[例1](1)(·廣東高考)不等式x2＋x－2<0的解集為______________．(2)(·江蘇高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________________．(3)(·重慶高考)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則aA.eq\f(5,2)B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4)D.eq\f(15,2)[自主解答](1)由x2＋x－2<0，得(x－1)(x＋2)<0，∴－2<x<1，即不等式x2＋x－2<0的解集為{x|－2<x<1}．(2)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，,0，,－x2－4x，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x＝0，,x<0.))①當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)>x，得x2－4x>x，解得x>5；②當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)>x無解；③當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)>x，得－x2－4x>x，解得－5<x<0.綜上得不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為(－5,0)∪(5，＋∞)．(3)法一：∵不等式x2－2ax－8a2<0的解集為(x1，x2∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2由韋達(dá)定理知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2a，,x1x2＝－8a2，))∴x2－x1＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2a2－4－8a2)＝15，又∵a>0，∴a＝eq\f(5,2).法二：由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，∴不等式x2－2ax－8a2<0的解集為(－2a,又∵不等式x2－2ax－8a2<0的解集為(x1，x2)，∴x1＝－2a，x2＝4∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，解得a＝eq\f(5,2).[答案](1){x|－2<x<1}(2)(－5,0)∪(5，＋∞)(3)A一元二次不等式的解法問題的常見類型及解題策略(1)直接求解一元二次不等式．①對于常系數(shù)一元二次不等式，可以用因式分解法或判別式法求解；②對于含參數(shù)的不等式，首先需將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，若二次項(xiàng)系數(shù)不能確定，則需討論它的符號，然后判斷相應(yīng)的方程有無實(shí)根，最后討論根的大小，即可求出不等式的解集．(2)與函數(shù)的奇偶性相結(jié)合的一元二次不等式的解法．先借助函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的解析式，然后求解，或直接根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解．(3)已知一元二次不等式的解集求參數(shù)．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．1．已知關(guān)于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a解析：不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a<0，∴0<a<8，即答案：(0,8)2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值為________．解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域?yàn)閇0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－eq\f(a2,4)＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋eq\f(a2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2.又∵f(x)<c的解集為(m，m＋6)，∴m，m＋6是方程x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＝0的兩根．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋6＝－a，,mm＋6＝\f(a2,4)－c，))解得c＝9.答案：93．解關(guān)于x的不等式：x2－(3＋a)x＋3a解：∵x2－(3＋a)x＋3a>0，∴(x－3)(x－a①當(dāng)a<3時(shí)，x<a或x>3，不等式的解集為{x|x<a或x>3}；②當(dāng)a＝3時(shí)，不等式為(x－3)2>0，不等式的解集為{x|x∈R且x≠3}；③當(dāng)a>3時(shí)，x<3或x>a，不等式的解集為{x|x<3或x>a}．考點(diǎn)二一元二次不等式的恒成立問題[例2]設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．[自主解答](1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0；若m≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))?－4<m<0.所以m的取值范圍為(－4,0]．(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1,3])，又因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).令y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))，因?yàn)閠＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)在[1,3]上是增函數(shù)，所以y＝eq\f(6,x2－x＋1)在[1,3]上是減函數(shù)．因此函數(shù)的最小值ymin＝eq\f(6,7).所以，m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).【互動(dòng)探究】在本例條件下，求使f(x)<0，且|m|≤1恒成立的x的取值范圍．解：將不等式f(x)<0整理成關(guān)于m的不等式為(x2－x)m－1<0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1<0，,g1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x－1<0，,x2－x－1<0，))解得eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2)，即x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，\f(1＋\r(5),2))).【方法規(guī)律】不等式恒成立問題的求解方法(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a.①當(dāng)a∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為[－3,1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,a<－1，,g－1≥0.))解得－3≤a≤1.故a的取值范圍是[－3,1]．考點(diǎn)三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用[例3]某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件．現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤．已知這種商品每件銷售價(jià)每提高1元，銷售量就要減少10件，則他將銷售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能使得每天所獲的利潤最大？銷售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能保證每天所獲的利潤在300元以上？[自主解答]設(shè)每件提高x元(0≤x≤10)，則每件獲利潤(2＋x)元，每天可銷售(100－10x)件，又設(shè)每天獲的利潤為y元，由題意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.當(dāng)x＝4時(shí)，y取得最大值360.∴當(dāng)售價(jià)定為每件14元時(shí)，每天所獲利潤最大，為360元．要使每天所獲的利潤在300元以上，則有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－eq\r(6)<x<4＋eq\r(6).故每件定價(jià)在(4－eq\r(6))元到(4＋eq\r(6))元之間[不含(4－eq\r(6))元和(4＋eq\r(6))元]時(shí)，才能保證每天所獲的利潤在300元以上．【方法規(guī)律】求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系．(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義．(4)回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果．某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．(1)寫出降稅后稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．解：(1)降低稅率后的稅率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(1＋2x依題意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝eq\f(1,50)a(100＋2x)·(10－x)(0<x<10)．(2)原計(jì)劃稅收為200a·10%＝20依題意得eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化簡得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.即x的取值范圍為(0,2]．———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)過程——一元二次不等式的求解過程解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號)，二算(計(jì)算判別式，判斷方程根的情況)，三寫(寫出不等式的解集)．2種思想——分類討論和轉(zhuǎn)化思想(1)分類討論的思想：含有參數(shù)的一元二次不等式一般需要分