高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第九章 第七節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入突破熱點(diǎn)題型 文

第七節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念[例1](1)(·安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－3B．－1C．1(2)(·山東高考)復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)為()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i[自主解答](1)∵a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝0，即a＝3.(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋3＝eq\f(52＋i,5)＋3＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.[答案](1)D(2)D【互動(dòng)探究】若將本例(2)中的“z－3”改為“z－i”，則eq\x\to(z)為何值？解：∵(z－i)(2－i)＝5，則z－i＝eq\f(5,2－i)，∴z＝i＋eq\f(5,2－i)＝i＋(2＋i)＝2＋2i，∴eq\x\to(z)＝2－2i.【方法規(guī)律】解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．1．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)＝a－bi，則z－eq\x\to(z)為()A．實(shí)數(shù)B．純虛數(shù)C．零D．零或純虛數(shù)解析：選D由題意知z－eq\x\to(z)＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，當(dāng)b＝0時(shí)，z－eq\x\to(z)為0；當(dāng)b≠0時(shí)，z－eq\x\to(z)為純虛數(shù)．2．若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋eq\x\to(z)2的虛部為()A．0B．－1C．1解析：選A∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虛部為0.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義[例2](1)(·江西高考)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(2)(·四川高考)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A．AB．BC．CD．D(3)(·遼寧高考)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i－1)的模為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2[自主解答](1)由共軛復(fù)數(shù)的定義知：z＝1－2i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2)，位于第四象限．(2)設(shè)z＝－a＋bi(a>0，b>0)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝－a－bi.它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－a，－b)，是第三象限的點(diǎn)，即圖中的B點(diǎn)．(3)∵z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(i＋1,i－1i＋1)＝eq\f(i＋1,－1－1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).[答案](1)D(2)B(3)B【方法規(guī)律】判斷復(fù)數(shù)在平面內(nèi)的點(diǎn)的位置的方法首先將復(fù)數(shù)化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根據(jù)實(shí)部a和虛部b的符號(hào)來確定點(diǎn)所在的象限．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i、－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：選C由題意得A(6,5)，B(－2,3)，所以AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.2．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝x＋y，則x＋y的值是________．解析：由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))故x＋y＝5.答案：5高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算是每年高考的必考內(nèi)容，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題．2．高考對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)．[例3](1)(·浙江高考)已知i是虛數(shù)單位，則(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i(2)(·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)eq\f(1＋2i,1－i2)＝()A．－1－eq\f(1,2)iB．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)iD．1－eq\f(1,2)i(3)(·廣東高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi的模是()A．2B．3C．4[自主解答](1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.(2)eq\f(1＋2i,1－i2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(1＋2ii,－2ii)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.(3)由已知得x＋yi＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，故|x＋yi|＝eq\r(42＋－32)＝5.[答案](1)C(2)B(3)D復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式．(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)．a(chǎn)＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．1．若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i解析：選A由題意知z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.2．i為虛數(shù)單位，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝()A．－iB．－1C．iD．1解析：選Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝i2014＝i2＝－1.3．設(shè)a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．解析：∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.答案：8———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)分類——復(fù)數(shù)的分類對(duì)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)b＝0時(shí)，z為實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，z為虛數(shù)；當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，z為純虛數(shù)．2個(gè)技巧——復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法．(2)在復(fù)數(shù)代