高考數一輪復習 第九章 第七節(jié) 數系的擴充與復數的引入突破熱點題型 文

第七節(jié)數系的擴充與復數的引入考點一復數的有關概念[例1](1)(·安徽高考)設i是虛數單位，若復數a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數，則a的值為()A．－3B．－1C．1(2)(·山東高考)復數z滿足(z－3)(2－i)＝5(i是虛數單位)，則z的共軛復數eq\x\to(z)為()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i[自主解答](1)∵a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i為純虛數，∴a－3＝0，即a＝3.(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋3＝eq\f(52＋i,5)＋3＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.[答案](1)D(2)D【互動探究】若將本例(2)中的“z－3”改為“z－i”，則eq\x\to(z)為何值？解：∵(z－i)(2－i)＝5，則z－i＝eq\f(5,2－i)，∴z＝i＋eq\f(5,2－i)＝i＋(2＋i)＝2＋2i，∴eq\x\to(z)＝2－2i.【方法規(guī)律】解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．1．設復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數為eq\x\to(z)＝a－bi，則z－eq\x\to(z)為()A．實數B．純虛數C．零D．零或純虛數解析：選D由題意知z－eq\x\to(z)＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，當b＝0時，z－eq\x\to(z)為0；當b≠0時，z－eq\x\to(z)為純虛數．2．若復數z＝1＋i(i為虛數單位)，eq\x\to(z)是z的共軛復數，則z2＋eq\x\to(z)2的虛部為()A．0B．－1C．1解析：選A∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虛部為0.考點二復數的幾何意義[例2](1)(·江西高考)已知復數z的共軛復數eq\x\to(z)＝1＋2i(i為虛數單位)，則z在復平面內對應的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(·四川高考)如圖，在復平面內，點A表示復數z，則圖中表示z的共軛復數的點是()A．AB．BC．CD．D(3)(·遼寧高考)復數z＝eq\f(1,i－1)的模為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2[自主解答](1)由共軛復數的定義知：z＝1－2i，則復數z在復平面內對應的點的坐標為(1，－2)，位于第四象限．(2)設z＝－a＋bi(a>0，b>0)，則z的共軛復數eq\o(z,\s\up6(－))＝－a－bi.它對應的點為(－a，－b)，是第三象限的點，即圖中的B點．(3)∵z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(i＋1,i－1i＋1)＝eq\f(i＋1,－1－1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).[答案](1)D(2)B(3)B【方法規(guī)律】判斷復數在平面內的點的位置的方法首先將復數化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根據實部a和虛部b的符號來確定點所在的象限．1．在復平面內，復數6＋5i、－2＋3i對應的點分別為A，B，若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：選C由題意得A(6,5)，B(－2,3)，所以AB中點C的坐標為(2,4)，所以點C對應的復數為2＋4i.2．已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應的點分別為A，B，C.O為坐標原點，若＝x＋y，則x＋y的值是________．解析：由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))故x＋y＝5.答案：5高頻考點考點三復數代數形式的運算1．復數代數形式的四則運算是每年高考的必考內容，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題．2．高考對復數代數形式的運算的考查主要有以下幾個命題角度：(1)復數的乘法運算；(2)復數的除法運算；(3)利用復數相等求參數．[例3](1)(·浙江高考)已知i是虛數單位，則(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i(2)(·新課標全國卷Ⅰ)eq\f(1＋2i,1－i2)＝()A．－1－eq\f(1,2)iB．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)iD．1－eq\f(1,2)i(3)(·廣東高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，則復數x＋yi的模是()A．2B．3C．4[自主解答](1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.(2)eq\f(1＋2i,1－i2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(1＋2ii,－2ii)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.(3)由已知得x＋yi＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，故|x＋yi|＝eq\r(42＋－32)＝5.[答案](1)C(2)B(3)D復數代數形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復數的乘法．復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復數的除法．除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．(3)利用復數相等求參數．a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．1．若復數z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數單位)，則z為()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i解析：選A由題意知z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.2．i為虛數單位，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝()A．－iB．－1C．iD．1解析：選Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝i2014＝i2＝－1.3．設a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數單位)，則a＋b的值為________．解析：∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.答案：8———————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————1個分類——復數的分類對復數z＝a＋bi(a，b∈R)，當b＝0時，z為實數；當b≠0時，z為虛數；當a＝0，b≠0時，z為純虛數．2個技巧——復數的運算技巧(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數相等和相關性質將復數問題實數化是解決復數問題的常用方法．(2)在復數代