第07講 AASHL證全等及角平分線的性質（原卷版）-初中數學暑假自學課講義（8年級人教版）

第07講AAS，HL證全等及角平分線的性質【人教版】·模塊一兩角及對邊證全等·模塊二斜邊及一條直角邊證全等·模塊三角平分線的性質·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一兩角及對邊證全等全等三角形的判定角角邊(AAS)：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等?！究键c1用AAS判定三角形全等】【例1.1】如圖，AB=AC，若利用“AAS”判定△ABE≌△ACD，則需要添加的一個直接條件是（

）A．AD=AE B．∠B=∠C C．BE=CD D．∠AEB=∠ADC【例1.2】如圖，點E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，求證：△ABE≌△DCF．【例1.3】如圖，已知AD=AE，∠B=∠C，則圖中全等的三角形有（

）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【變式1.1】如圖，已知∠ACB=∠ACD，要用“AAS”直接證明△ABC≌△ADC，則需添加的一個條件是______．【變式1.2】如圖所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么給出的條件不能得到△ADF≌△CBE是（）A．∠B＝∠D B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CF【變式1.3】如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線l上，且過A，B兩點分別作直線的垂線，垂足分別為D，E，請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明它們全等的過程．【考點2AAS判定定理的應用】【例2.1】如圖，一個等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O=90°），若OA=40cm，OB=30cm，則點C離地面的距離是【例2.2】如圖，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，點D、E、F、C在同一條直線上，對于下列四個結論：①△ABD≌△ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④△BCE≌△BAD．其中正確結論的序號是____．【例2.3】如圖，AD是△ABC的中線，CE∥AB交AD的延長線于點E，AB=5，AC=7，則AD的取值不可能是（A．3 B．4 C．5 D．6【變式2.1】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，且AD，BE交于點F．若BF=AC，CD=3，【變式2.2】如圖，已知AC與BF相交于點E，AB∥CF，點E為BF中點，若CF=6，AD=4，則BD=________．

【變式2.3】如圖在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點D，作∠BDE=∠B，交BC于點E，求證：CA=CE．模塊二模塊二斜邊及一條直角邊證全等全等三角形的判定斜邊、直角邊(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。【考點1用HL判定直角三角形全等】【例1.1】如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO＝CO，AB＝CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS【例1.2】下列不能夠判定兩個直角三角形全等的條件是（

）A．有兩條直角邊對應相等 B．有一條斜邊和一個銳角對應相等C．有一條直角邊和一條斜邊對應相等 D．有兩個銳角對應相等【例1.3】如圖，已知AD,BC相交于點O，AB=CD，AM⊥BC于點M，DN⊥BC于點N，BN=CM．求證：△ABM≌【變式1.1】如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，AC=CE，B，C，D三點在同一直線上，添加下列條件，不能判定△ABC≌△CDE的是（A．AB=CD B．AB=DE C．∠ACE=90° D．∠A+∠E=90°【變式1.2】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F，且DE=DF．求證：Rt△BDE≌Rt△CDF．【變式1.3】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，P、Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，要使【考點2HL判定定理的應用】【例2.1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點D，BC＝BD，若ACA．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【變式2.1】如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB∥CD，∠B=∠DCE=90°，AC與DE相交于點F．(1)求證：Δ(2)判斷線段AC與DE的位置關系，并說明理由．【變式2.2】如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，則∠EDF=________________．【變式2.3】如圖，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求證：點D是EF的中點．模塊三模塊三角平分線的性質1.角平分線的作法a.以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點N、M；b.分別以點M、N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，相交于點Pc.畫射線OP,OP即為所求角平分線。角平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線的判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上?！究键c1角平分線的作法】【例1.1】如圖，利用尺規(guī)作∠AOB的平分線，作法如下：①以點O為圓心，以m為半徑畫弧，交OA于點D，交OB于點E；②分別以點D，E為圓心，以n為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部交于點C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線．則m，n需要滿足的條件是（

）A．m，n均無限制 B．m>0，n>1C．m有最小限制，n無限制 D．m≥0，n<1【例1.2】如圖，直線l1∥l2，點C、A分別在l1、l2上，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AC、l2于點D、E；分別以D、E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧交于點F；作射線AF交lA．20° B．25° C．30° D．50°【例1.3】如圖，已知在△ABC中，∠A=70°．(1)分別作∠B，∠C的平分線，它們交于點O（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求∠BOC的度數．【變式1.1】利用尺規(guī)，作∠AOB的平分線，并說明理由．（保留作圖痕跡，不寫作法）【考點2角平分線的性質】【例2.1】點P在∠ABC的平分線上，點P到BA邊的距離等于3，點D是BC邊上的任意一點，則關于PD長度的選項正確的是（

）A．PD>3 B．PD≥3 C．PD<3 D．PD≤3【例2.2】如圖，O是△ABC的角平分線的交點，△ABC的面積和周長都為12，則點O到AC的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2.3】如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC=80°，∠ABC和∠ACD的平分線相交于點E，連接AE，則∠CAE的度數是___________．【變式2.1】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E．若AC=m，BE=n，則△BDE的周長為________【變式2.2】如圖△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AB=3，DE=2，則△ABD的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【變式2.3】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

(1)若∠C=32°，求∠A的度數．(2)畫∠ABC的平分線BD交AC于點D，過點D作DE⊥AB于點E．若AB=3，BC=4，求【變式2.4】如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．(1)求∠CAD的度數；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)若AB=5，AD=3，CD=6，且S△ACD=12，求【考點3角平分線的判定】【例3.1】如圖，已知點P在△ABC的外部，在∠DAE的內部，若點P到BD，CE的距離相等，則下列關于點P的位置的說法中，正確的是()A．在∠DBC的平分線上 B．在∠BCE的平分線上C．在∠DAE的平分線上 D．在∠A和∠DBC的平分線的交點處【例3.2】如圖，三條公路兩兩相交于A、B、C三點，現計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，則可供選擇的地方有______處?(陰影部分不能修建超市)【例3.3】如圖，點O是△ABC的兩個外角平分線的交點，下列結論：①點O在∠A的平分線上：②點O到△ABC的三邊的距離相等；③OB=OC，以上結論正確的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【變式3.1】如下圖，一把直尺壓住射線OB，另一把完全一樣的直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠AOB的平分線．”這樣說的依據是________________．【變式3.2】如圖所示，∠AOB=70°，QC⊥OA于點C，QD⊥OB于點D，若QC=QD，則∠AOQ=________．【變式3.3】如圖，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，連接AD．求證：AD是∠BAC的外角平分線．模塊四模塊四課后作業(yè)1．如圖，已知AD⊥BD，BC⊥AC，AC=BD．則△CAB≌△DBA的理由是（A．HL B．SAS C．AAS D．ASA2．如圖，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為點A，B，BD=AC．根據這些條件不能推出的結論是（

）A．AD∥BC B．AD=BC C．AC平分∠DAB D3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一點，且BE=BC，過E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=4cm，則AD+DE等于（A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm4．如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中點，DE⊥AB，垂足為點F，且AB=DE．若BD=8cm，則AC的長為(

A．2cm B．3cm C．4cm5．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點D，E，再分別以點D、E為圓心，大于12DE為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若BG=1，AC=4，則△ACG

A．1 B．32 C．2 D．6．如圖，公路MN∥PQ，公路AB交公路MN于A，交公路PQ于B，若要建一汽車旅店到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（

）

A．1處 B．2處 C．3處 D．4處7．如圖，點P是△ABC內部的一點，點P到三邊AB，AC，BC的距離PD=PE=PF，∠BPC=130°，則A．65° B．80° C．100° D．70°8．如圖，已知AD是△ABC的中線，E、F分別是AD和AD延長線上的點，且BF∥CE，連接BF，CE，下列說法中：①BD=CD；②△BDF≌△CDE；③∠BAF+∠ABC=∠CDE；④CE=AE．正確的是（A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．如圖，CD⊥AB于點D，EF⊥AB于點F，且CD=EF．若要根據HL證明Rt△ACD≌Rt△BEF10．如圖△ABC中，AD⊥BC于D．BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，BD=5，CD=3，則AF的大小是___________．11．如圖，