高中數(shù)學(xué)人教A版 （2019）必修第一冊(cè)第二章一2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)A

高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)第二章一2.1等式

性質(zhì)與不等式性質(zhì)A

未命名

一、單選題

1.已知實(shí)數(shù)〃，b,c,若a>b,則下列不等式成立的是（）

A.—<7B.ac2>be2C.a-c>b-cD.\a+c\>\b+c\

ab

2.已知關(guān)于%的方程/+如；+相=o有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍為（）

A.B."z〉4或"2<0

C.加24或加工0D.0<m<4

3.若cwR,且，>>，則下列不等式中一定成立的是（）

2

A.a+b>b—cB.ac>bcC.——>0D.（a—b）c2>0

a-b

4.實(shí)數(shù)x、y、z滿(mǎn)足Y=4x+z—y—4且x+/+2=0,則下列關(guān)系成立的是

()

A.y>x>zB.z">y

C.y>z>xD.z>y>x

5.下列不等式中成立的是（）

A.若.>6>0,貝I］產(chǎn)丁

B.若。V》V。,則a?<必<〃

C.若。>。>0,則/

D.若"6<0,則

ab

6.關(guān)于尤的不等式（x-a）（x-3）>。成立的一個(gè)充分不必要條件是貝。。的取

值范圍是（）

A.a<—lB.a<0C.a>2D.a>l

二、多選題

7.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為符號(hào)使用，

后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“〈”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引

入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若。，b,ceR,則下列命題正確的是（)

A.若〃>々>0,貝!B.若則

ab

C.若a>b,c>d,則a+c>Z?+dD.ac1>be2,則

8.若〃>b>0,則下列不等式成立的是（）

A.y[a>yfbB.—r>-y

ab

C.ac1>be1D.a—>b——

ab

三、填空題

9.給出下列命題：①ac2>be1;②網(wǎng)，a2>b2;③a>b,a3>b3；④

\a\>b,/>火其中正確的命題序號(hào)是.

10.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足-2<x+2y<3,-2<2x-y<0,則3x-4y的取值范圍為

11.用錘子以均勻的力敲擊鐵釘釘入木板，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會(huì)越來(lái)

越大，使得每次釘入木板的釘子長(zhǎng)度后一次為前一次的：(ZeN*),已知一個(gè)鐵釘受擊

4

3次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的：，請(qǐng)從這

個(gè)實(shí)例中提煉出一個(gè)不等式組：.

12.請(qǐng)根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個(gè)不等式：(設(shè)糖水為。克，含糖

為b克，加入的糖為相克).

四、解答題

cd

13.已知三個(gè)不等式：ab>0be—ad>0,---->0(其中〃，b,c,d均為實(shí)數(shù))，

fab

用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，請(qǐng)寫(xiě)出可組

成正確命題的兩個(gè)命題.

14.(1)比較31一%+1與2爐+工一1的大小;

db

(2)已矢口求證：---->----.

c-ac-b

15.對(duì)于實(shí)數(shù)判斷下列命題的真假.

(1)若。>人，則ac<Z?c.

(2)若ac?>be?,則a”.

(3)若avbvO,貝！]/>">/.

(4)若avbvO,貝!]1。卜1".

ah

(5)若c>a>Z?>0,貝!J------>-------.

c-ac-b

(6)若,則a>O,〃vO.

ab

16.已知14a+bW5,-l<a-b<3,求3a—2Z?的取值范圍.

參考答案:

1.c

【解析】

直接利用不等式的基本性質(zhì)即可.

【詳解】

由0=1/=—2可判斷A錯(cuò)誤，

由a=-L》=-2,c=0可判斷BD錯(cuò)誤，

由不等式的性質(zhì)易知C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

由一元二次方程存在兩個(gè)實(shí)根，有判別式A20即可求機(jī)的取值范圍.

【詳解】

由題意知：A=zn2-4/77>0,解之得或機(jī)VO,

故選：C

3.D

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

【詳解】

人顯然錯(cuò)誤，例如"=3,6=2,。=-10,a+b<b-c；

c<0時(shí)，由得ac<bc,B錯(cuò)；

a>b=^>a-b>0,但c=0時(shí)，----=0,C錯(cuò)；

a-b

a>b=>a-b>0,Xc2>0,所以D正確.

故選：D.

4.D

【解析】

答案第1頁(yè)，共8頁(yè)

【分析】

分別把兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化，寫(xiě)成z-y=f-4關(guān)+4=(尤-2)220及x=-(V+2)的形式，從而比較

數(shù)的大小.

【詳解】

由Y=4x+z-y-4知，

z-y=x2-4x+4=(x-2)2>0,即z2y；

由x+y2+2=0知,x=—(y~+2),

i7

貝°y_x=y2+2+y=(y+1)2+彳>0,即y>x；

綜上，z2y>x

故選：D

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A,若貝！1/-2。6+/>0,所以2/+2加>/+2。6+從，所以

a~+b~a~+2ab+匕匚zi<72+b"a+b4f..、口

------>-----------,所以J---------->-------,故1lA錯(cuò)誤；

24V22

對(duì)于B,若。<6<0,則/>仍，ab>b2,所以a?〉"〉/?"故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若。>6>0,則a?〉。)，ab>b2,所以a?〉/??,故C正確；

對(duì)于D,若。<6<0,則工>:,故D錯(cuò)誤.

ab

故選：C

6.D

【解析】

【分析】

由題意可知，(-1,1)是不等式(N-。)(3-3)>0解集的一個(gè)真子集，然后對(duì)4與3的大小關(guān)

系進(jìn)行分類(lèi)討論，求得不等式的解集，利用集合的包含關(guān)系可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

答案第2頁(yè)，共8頁(yè)

【詳解】

由題可知(-1,1)是不等式(X-a)(x-3)>0的解集的一個(gè)真子集.

當(dāng)。=3時(shí),不等式(x-a)(x-3)>0的解集為｛琲-3｝,此時(shí)(-1,1)｛小彳3｝；

當(dāng)a>3時(shí)，不等式(x-o)(x-3)>0的解集為(-00,3)5。，+°°)，

???(-1,1)(-8,3),合乎題意;

當(dāng)a<3時(shí)，不等式(%—4(％-3)>0的解集為(-OO,4)53,+°0)，

由題意可得(-1,1)(—oo,a),此時(shí)14a<3.

綜上所述，a>l.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用充分不必要條件求參數(shù)，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

7.ACD

【解析】

【分析】

分別由不等式的同加同乘性質(zhì)可得，注意選項(xiàng)B中c為0的情況.

【詳解】

選項(xiàng)A：r.ab)。.在不等式兩邊同除以必得,〉工，A正確；

ab

選項(xiàng)B：當(dāng)c=0時(shí)，ac-bc,B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：同向不等式相加，不等號(hào)方向不變，C正確；

選項(xiàng)D：二。2>0,兩邊同除以c2得，a>b,D正確.

故選：ACD.

8.AD

【解析】

【分析】

利用不等式的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).

【詳解】

答案第3頁(yè)，共8頁(yè)

對(duì)于A：由可得,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：由4>/?>0可得/>/?2>0，所以—故選項(xiàng)B不正確；

ab

對(duì)于C：當(dāng)c=0時(shí)，由Q>b>0可得a。?=慶2,故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于D：由a>b>0可得一<不，所以-所以?！?gt;b——,故選項(xiàng)D正確；

ababab

故選：AD.

9.(2X3)

【解析】

【分析】

利用不等式的性質(zhì)或取特殊值代入逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

①當(dāng)c2=0時(shí)不成立；②一定成立；③當(dāng))時(shí)，a3-b3=(<2-Z?)(6Z2+ab+b2^

=("b),+j+，2>0成立；④當(dāng)b<0時(shí)，不一定成立，如：但2?<(-3>

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查與不等式的性質(zhì)有關(guān)的命題真假的判斷，屬常規(guī)考題.

10.L-7,2]

【解析】

【分析】

設(shè)3尤-4產(chǎn)皿尤+2y)+〃(2元-了)，利用待定系數(shù)法求出牡〃的值，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)

即可求解.

【詳解】

fm+2n=3[m=—l

解：設(shè)3x-4y=皿x+2y)+〃(2x-y),貝1乂_,解得<、,

[2m-n=-4[n=2

所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),

因?yàn)椤?Vx+2y43,—2M2x—yW0,

所以-34—(x+2y)42,-4<2(2x-y)<0,

所以-7V3x-4yM2,

答案第4頁(yè)，共8頁(yè)

故答案為：[-7,2].

【解析】

【分析】

由第二次敲擊鐵釘沒(méi)有全部進(jìn)入木板，第三次敲擊鐵釘全部進(jìn)入木板可得.

【詳解】

解：依題意，知第二次敲擊鐵釘沒(méi)有全部進(jìn)入木板，第三次敲擊鐵釘全部進(jìn)入木板，所以

[44]

—+——<1,

<77k

<444-

----1--------1—]?

[77k7k之

故答案為：

3三+工發(fā)

[77k1k2

…bb+m7八八、

12.—<-------(za>b>0,m>0)

aa+m

【解析】

【分析】

a克糖水中有6克糖若再添加克糖(旭>0),濃度發(fā)生了變化，只要分別計(jì)算出

添糖前后的濃度進(jìn)行比較即得.

【詳解】

克糖水中有6克糖，

b

糖水的濃度為：

a

a克糖水中有6克糖(a>b>0),若再添m克糖(m>0),

則糖水的濃度為"竺，

a+m

又糖水變甜了，說(shuō)明濃度變大了，

工」f-bb+m.，八八、

故答案為：一<-----,(a>b>0,m>0)

aa+m

13.答案見(jiàn)解析

答案第5頁(yè)，共8頁(yè)

【解析】

【分析】

先任意選擇兩個(gè)不等式，看能否推出剩下的不等式，再判斷得解.

【詳解】

cd

解：若次?>0,/一加>0成立，不等式。c一或Z>0兩邊同除以必可得---->0,

ab

cd

即命題1：cib>0,be—ad>0=>------->0.

ab

cdcd

若ab>0,—7>0成立，不等式---^>0兩邊同乘。人，可得6。一々7>0,

abab

cd

即命題2：cib>0,------->0=>be—ad>0.

ab

什cd△,,eq—.icdbe-ad八

右---->0,be—ad>0則n-----=------>0.

ababab

又be—ad,貝UaZ?>0,

cd

即命題3：------>0,be—ad>0=ab>0.

ab

(以上三個(gè)命題中可以任意選擇兩個(gè)命題都可以)

14.(1)3X2-X+1>2X2+X-1;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)求差法進(jìn)行大小比較即可；

(2)求差法去證明即可解決.

【詳解】

(1)由(3/—x+1)—(2丁+%—=x2—2x+2=(%—I)?+1>0,

3x?-x+1>2*+x-1.

aba^c—b^—b^c—a)(a-b)c

一c—ac—b(c—?)(c—Z?)(c—(2)(c—Z?)'

c>tz>Z?>0,a—b>Q,>0,c-b>0,

.(a-b)c.a、b

??—6)，??仁>口?

15.(1)假命題；(2)真命題；(3)真命題；(4)真命題；(5)真命題；(6)真命題.

【解析】

答案第6頁(yè)，共8頁(yè)

【分析】

利用不等式的性質(zhì)即可判斷這6個(gè)小題的真假.

【詳解】

(1)由于c的符號(hào)未知，因而不能判斷就與兒的大小，故該命題是假命題.

(2)\*ac1>bc19c2>0,:.a>b,故該命題為真命題.

[a<b,fa<b,

2221

(3)/.a>ab.又〈，八ab>bJ