概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 第3章 第1講 二維隨機變量及其分布（新編）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第1講二維隨機變量及其分布第3章多維隨機變量及其分布2到目前為止,從二維隨機變量開始我們只討論了一維隨機變量及其分布.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠,而需要用多個隨機變量來描述.第1講

二維隨機變量及其分布01二維隨機變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機變量04二維連續(xù)型隨機變量本講內(nèi)容則稱(X,Y)為二維隨機變量或二維隨機向量二維隨機變量4

??定義表示？幾何意義？01

二維隨機變量如何描述二維隨機變量的概率特性二維隨機變量大部分內(nèi)容與一維類似.離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)概率密度5及其每個隨機變量之間的關(guān)系？??一維隨機變量：分布律首先介紹二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù).01

二維隨機變量01二維隨機變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機變量04二維連續(xù)型隨機變量本講內(nèi)容為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),簡稱為分布函數(shù).設(shè)(X,Y)為二維隨機變量,聯(lián)合分布函數(shù)7??定義稱對于任意的02

聯(lián)合分布函數(shù)??結(jié)論聯(lián)合分布函數(shù)描述了所有二維隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律.(x,y)xy分布函數(shù)的幾何意義8用平面上的點(x,y),表

示二維隨機變量(X,Y)則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入的一組可能的取值，下圖中角形區(qū)域的概率.02

聯(lián)合分布函數(shù)①對每個變量單調(diào)不減②對每個變量右連續(xù)③xy(x,y)9聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)02

聯(lián)合分布函數(shù)(X,Y)落在矩形區(qū)域x1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)yxo10利用分布函數(shù)求概率可用分布函數(shù)表示內(nèi)的概率02

聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中

A,B,C

為常數(shù).11（1）確定A,B,C

；（2）求??例102

聯(lián)合分布函數(shù)(1)12解02

聯(lián)合分布函數(shù)13(2)02

聯(lián)合分布函數(shù)1402

聯(lián)合分布函數(shù)解

試問：函數(shù)??例2是否可作為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)？然F(x,y)單調(diào)不減且關(guān)于

x和

y都是右連續(xù).又且但因為對于(0,0),(2,2)有因此函數(shù)F(x,y)不能作為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù).01二維隨機變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機變量04二維連續(xù)型隨機變量本講內(nèi)容若二維隨機變量(X,Y)所有可能的取值為有限個或要描述二維離散型隨機變量的概率特性及其每個隨機變量之間的關(guān)系，常用其聯(lián)合分布律和邊緣分布律.二維離散型隨機變量1603二維離散型隨機變量??定義則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.??注無限可列個,設(shè)(X,Y)的所有可能的取值為或分布律.為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布,簡稱概率分布顯然,1703二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律x1xi

XYy1yj1803二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律的求法聯(lián)合分布律1903二維離散型隨機變量??利用乘法公式??利用古典概型等方法.已知聯(lián)合分布律可以求概率G0xy2003二維離散型隨機變量盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,2103二維離散型隨機變量在其中任??例3取4只球,以X

表示取到黑球的只數(shù),以X

表示取到黑球的只數(shù),以Y

表示取到紅球的只數(shù),求(X,Y)的聯(lián)合分布律.2203二維離散型隨機變量解取4只球X

Y01230001020??注求分布律方法：先定值再求概率0只黑球,2只紅球,2只白球1只黑球,1只紅球,2只白球2303二維離散型隨機變量1只黑球,2只紅球,1只白球X

Y012300010202403二維離散型隨機變量

1001000.200.200.150200250設(shè)隨機變量(X,Y)的概率分布為0.100.050.30求概率2503二維離散型隨機變量??例4??注X--車險的免賠額，Y--財險的免賠額26解求概率:03二維離散型隨機變量2703二維離散型隨機變量解

一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正品，3件次品.??例5次，定義隨機變量X和Y如下：求(X,Y)的分布律.每次從中取1件產(chǎn)品檢驗質(zhì)量，不放回抽取，連續(xù)抽兩第一次取到次品，第一次取到正品，第二次取到次品，第二次取到正品，01二維隨機變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機變量04二維連續(xù)型隨機變量本講內(nèi)容

2904二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量及其分布??定義

使得稱??(??,??)為聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).

在f(x,y)的連續(xù)點處,f(x,y)與F(x,y)3004二維連續(xù)型隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)——

(X,Y)落入矩形區(qū)域內(nèi)的概率聯(lián)合概率密度——(X,Y)落入任意區(qū)域內(nèi)的概率??優(yōu)點f(x,y)的性質(zhì)3104二維連續(xù)型隨機變量

某食品制造商正在研制一種速溶健康飲品，主要成分為花生、芝麻和大豆，假設(shè)配方中所含的花生比例用X表示，芝麻比例用Y表示，若(??,??)的聯(lián)合概率密度為??例6求（1）常數(shù)

A；

（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率.32（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率為04二維連續(xù)型隨機變量解

(1)根據(jù)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為yoy=x21x3304二維連續(xù)型隨機變量??例7其他(1)求常數(shù)??；(2)求P{X≥Y}；04二維連續(xù)型隨機變量（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)，得解

隨機變量(X,Y)的概率密度為34其他yoy=xy=x21x3504二維連續(xù)型隨機變量(2)P{X≥Y}設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,若隨機變量(X,Y)的概率密度為則稱(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,記作(X,Y)~U(G)3604二維連續(xù)型隨機變量常用的二維連續(xù)型隨機變量??二維均勻分布面積為S其他則

D

G,若(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,幾何概型面積之比3704二維連續(xù)型隨機變量設(shè)D的面積為設(shè)隨機變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布.3804二維連續(xù)型隨機變量??例8解其他其中G由x–y=0,x+y=2,y=0圍成，求P{(X,Y)∈D}.11o2xy面積之比(2)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).設(shè)隨機變量(X,Y)服從區(qū)域B上的均勻分布.3904二維連續(xù)型隨機變量??例9解(1)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù);其中B由y=2x+1,x=0,y=0圍成的三角形區(qū)域，求y-1/2ox4004二維連續(xù)型隨機變量4104二維連續(xù)型隨機變量故(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布

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