概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版）課件 第3章 第1講 二維隨機(jī)變量及其分布（新編）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第1講二維隨機(jī)變量及其分布第3章多維隨機(jī)變量及其分布2到目前為止,從二維隨機(jī)變量開(kāi)始我們只討論了一維隨機(jī)變量及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠,而需要用多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.第1講

二維隨機(jī)變量及其分布01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容則稱(X,Y)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)變量4

??定義表示？幾何意義？01

二維隨機(jī)變量如何描述二維隨機(jī)變量的概率特性二維隨機(jī)變量大部分內(nèi)容與一維類似.離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)概率密度5及其每個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系？??一維隨機(jī)變量：分布律首先介紹二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù).01

二維隨機(jī)變量01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),簡(jiǎn)稱為分布函數(shù).設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,聯(lián)合分布函數(shù)7??定義稱對(duì)于任意的02

聯(lián)合分布函數(shù)??結(jié)論聯(lián)合分布函數(shù)描述了所有二維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.(x,y)xy分布函數(shù)的幾何意義8用平面上的點(diǎn)(x,y),表

示二維隨機(jī)變量(X,Y)則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入的一組可能的取值，下圖中角形區(qū)域的概率.02

聯(lián)合分布函數(shù)①對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減②對(duì)每個(gè)變量右連續(xù)③xy(x,y)9聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)02

聯(lián)合分布函數(shù)(X,Y)落在矩形區(qū)域x1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)yxo10利用分布函數(shù)求概率可用分布函數(shù)表示內(nèi)的概率02

聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中

A,B,C

為常數(shù).11（1）確定A,B,C

；（2）求??例102

聯(lián)合分布函數(shù)(1)12解02

聯(lián)合分布函數(shù)13(2)02

聯(lián)合分布函數(shù)1402

聯(lián)合分布函數(shù)解

試問(wèn)：函數(shù)??例2是否可作為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)？然F(x,y)單調(diào)不減且關(guān)于

x和

y都是右連續(xù).又且但因?yàn)閷?duì)于(0,0),(2,2)有因此函數(shù)F(x,y)不能作為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù).01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容若二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能的取值為有限個(gè)或要描述二維離散型隨機(jī)變量的概率特性及其每個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，常用其聯(lián)合分布律和邊緣分布律.二維離散型隨機(jī)變量1603二維離散型隨機(jī)變量??定義則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.??注無(wú)限可列個(gè),設(shè)(X,Y)的所有可能的取值為或分布律.為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布,簡(jiǎn)稱概率分布顯然,1703二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律x1xi

XYy1yj1803二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律的求法聯(lián)合分布律1903二維離散型隨機(jī)變量??利用乘法公式??利用古典概型等方法.已知聯(lián)合分布律可以求概率G0xy2003二維離散型隨機(jī)變量盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,2103二維離散型隨機(jī)變量在其中任??例3取4只球,以X

表示取到黑球的只數(shù),以X

表示取到黑球的只數(shù),以Y

表示取到紅球的只數(shù),求(X,Y)的聯(lián)合分布律.2203二維離散型隨機(jī)變量解取4只球X

Y01230001020??注求分布律方法：先定值再求概率0只黑球,2只紅球,2只白球1只黑球,1只紅球,2只白球2303二維離散型隨機(jī)變量1只黑球,2只紅球,1只白球X

Y012300010202403二維離散型隨機(jī)變量

1001000.200.200.150200250設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為0.100.050.30求概率2503二維離散型隨機(jī)變量??例4??注X--車險(xiǎn)的免賠額，Y--財(cái)險(xiǎn)的免賠額26解求概率:03二維離散型隨機(jī)變量2703二維離散型隨機(jī)變量解

一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正品，3件次品.??例5次，定義隨機(jī)變量X和Y如下：求(X,Y)的分布律.每次從中取1件產(chǎn)品檢驗(yàn)質(zhì)量，不放回抽取，連續(xù)抽兩第一次取到次品，第一次取到正品，第二次取到次品，第二次取到正品，01二維隨機(jī)變量02聯(lián)合分布函數(shù)03二維離散型隨機(jī)變量04二維連續(xù)型隨機(jī)變量本講內(nèi)容

2904二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布??定義

使得稱??(??,??)為聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù).

在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)處,f(x,y)與F(x,y)3004二維連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)——

(X,Y)落入矩形區(qū)域內(nèi)的概率聯(lián)合概率密度——(X,Y)落入任意區(qū)域內(nèi)的概率??優(yōu)點(diǎn)f(x,y)的性質(zhì)3104二維連續(xù)型隨機(jī)變量

某食品制造商正在研制一種速溶健康飲品，主要成分為花生、芝麻和大豆，假設(shè)配方中所含的花生比例用X表示，芝麻比例用Y表示，若(??,??)的聯(lián)合概率密度為??例6求（1）常數(shù)

A；

（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率.32（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率為04二維連續(xù)型隨機(jī)變量解

(1)根據(jù)聯(lián)合概率密度的性質(zhì)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為yoy=x21x3304二維連續(xù)型隨機(jī)變量??例7其他(1)求常數(shù)??；(2)求P{X≥Y}；04二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)，得解

隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為34其他yoy=xy=x21x3504二維連續(xù)型隨機(jī)變量(2)P{X≥Y}設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,若隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為則稱(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,記作(X,Y)~U(G)3604二維連續(xù)型隨機(jī)變量常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量??二維均勻分布面積為S其他則

D

G,若(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,幾何概型面積之比3704二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)D的面積為設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布.3804二維連續(xù)型隨機(jī)變量??例8解其他其中G由x–y=0,x+y=2,y=0圍成，求P{(X,Y)∈D}.11o2xy面積之比(2)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域B上的均勻分布.3904二維連續(xù)型隨機(jī)變量??例9解(1)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù);其中B由y=2x+1,x=0,y=0圍成的三角形區(qū)域，求y-1/2ox4004二維連續(xù)型隨機(jī)變量4104二維連續(xù)型隨機(jī)變量故(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布

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