第20講 相似多邊形（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級(jí)北師大版）

第20講相似多邊形1.相似多邊形的有關(guān)概念.2.掌握相似三角形的性質(zhì).一、相似圖形及比例線段相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.要點(diǎn)：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等；二、相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”三、相似多邊形相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．要點(diǎn)：用相似多邊形定義判定特殊多邊形的相似情況：（1）對(duì)應(yīng)角都相等的兩個(gè)多邊形不一定相似，如：矩形；（2）對(duì)應(yīng)邊的比都相等的兩個(gè)多邊形不一定相似，如：菱形；（3）邊數(shù)相同的正多邊形都相似，如：正方形，正五邊形.考點(diǎn)1：相似圖形的判斷例1．下面一定相似的一組圖形為（

）A．兩個(gè)等腰三角形B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形．例2．下列說法中，不正確的是（

）A．等邊三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似 D．正八邊形都相似例3．下列說法正確的是（

）A．菱形都是相似圖形B．各邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形C．等邊三角形都是相似三角形D．矩形都是相似圖形例4．下列說法正確的有（

）．①形狀差不多的兩個(gè)圖形相似；②國(guó)旗上的大五角星與小五角星是相似的；③大小不等的兩個(gè)六邊形的形狀可能相似；④放大鏡下看到的圖形與原來的圖形的相似．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)2：相似多邊形的性質(zhì)及對(duì)應(yīng)性例5．兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別_________，邊成_________，那么這兩個(gè)多邊形叫做_________．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做_________．由相似多邊形的定義可知，相似多邊形的對(duì)應(yīng)角_________，對(duì)應(yīng)邊_________．例6．如圖的兩個(gè)四邊形相似，則∠a的度數(shù)是（

）A．120° B．87° C．75° D．60°例7．圖中的兩個(gè)四邊形相似，則______．例8．與是兩個(gè)相似三角形，，，，則的度數(shù)可以是______．例9．如圖，如果五邊形五邊形，且對(duì)應(yīng)邊上的高之比為3：2，那么五邊形和五邊形的周長(zhǎng)之比是（

）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4考點(diǎn)3：相似多邊形性質(zhì)的應(yīng)用例10．裝裱一幅寬長(zhǎng)的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的部分的上下的寬都為，若裝裱上去的左右部分的寬都為，則__________．例11．如圖，一塊矩形綢布的長(zhǎng)，寬，按照?qǐng)D中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，即，那么a的值應(yīng)當(dāng)是多少？例12．如圖所示，矩形ABCD的長(zhǎng)AD為20cm，寬AB為12cm，在它的內(nèi)部有一個(gè)矩形EFGH（EH＞EF），設(shè)AD與EH之間的距離、BC與FG之間的距離都為acm，AB與EF之間的距離、DC與HG之間的距離都為bcm．當(dāng)a，b滿足（）時(shí)，矩形ABCD∽矩形EFGH．A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn) C．a(chǎn)b D．a(chǎn)b考點(diǎn)4：相似多邊形性質(zhì)的動(dòng)態(tài)問題例13．如圖，取一張長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小長(zhǎng)方形紙片，若要使小長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形相似，則原長(zhǎng)方形紙片的邊應(yīng)滿足的條件是（）A． B． C． D．例14．如圖1，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4．（1）求矩形ODEF的面積；（2）將圖1中的矩形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，ACE的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．例15．如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形，它的面積為1；取和各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形，如圖（2）中陰影部分；取和各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形，如圖（3）中陰影部分；如此下去……，則正六角星形的面積為__________．一、單選題1．（2019·甘肅·中考真題）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于(

)．A．平移變換 B．相似變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對(duì)稱變換2．（2018·重慶·中考真題）制作一塊3m×2m長(zhǎng)方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍，那么擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的成本是（）A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元3．（2016·山西·中考真題）寬與長(zhǎng)的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二、填空題4．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似5．（2019·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在同一直線上，且，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，分別以為邊，在同側(cè)作三個(gè)正方形，得到三個(gè)平行四邊形（陰影部分）的面積分別記作，若，則_____．一、單選題1．下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形C．兩個(gè)等腰直角三角形 D．兩個(gè)矩形2．兩個(gè)相似多邊形的一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別為，，那么它們的相似比為（

）A． B． C． D．3．一個(gè)四邊形的各邊之比為1∶2∶3∶4，和它相似的另一個(gè)四邊形的最小邊長(zhǎng)為，則它的最大邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．已知矩形中，，下列四個(gè)矩形中與矩形相似的是（

）A． B． C． D．5．某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖），若車頭與倒車鏡的水平距離為1.58米，則該車車身總長(zhǎng)約為（

）米．A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.826．若，且與的相似比為m，與的相似比為n，則（.）：A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，，分別為，與的中點(diǎn)，且矩形矩形，的值為（）A．2 B． C． D．8．在研究相似問題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（

）．A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)9．書畫經(jīng)裝裱后更便于收藏．如圖，畫心ABCD為長(zhǎng)90cm、寬30cm的矩形，裝裱后整幅畫為矩形A′B′C′D′，兩矩形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，且AB與A′B'的距離、CD與C′D′的距離都等于4cm．當(dāng)AD與A′D′的距離、BC與B'C′距離都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'時(shí)，整幅書畫最美觀此時(shí)，a的值為（）A．4 B．6 C．12 D．2410．如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在菱形的四條邊上，．將，分別沿邊，折疊，當(dāng)重疊部分為菱形且面積是菱形面積的時(shí)，則為（

）A． B．2 C． D．二、填空題11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望遠(yuǎn)鏡看月亮，看到的圖象是相似的圖形；②用彩筆在黑板上寫上三個(gè)大字，，，它們是相似圖形；③用粉筆在黑板上寫上“天”和用毛筆在紙上寫上“天”，這兩個(gè)字是相似圖形；以上說法你認(rèn)為正確的是________，錯(cuò)誤的是________．（填序號(hào)）12．如圖，四邊形和四邊形相似，已知，，，，，，則______，______．13．一個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)分別是3，4，5，6，另一個(gè)與它相似的四邊形最小邊長(zhǎng)為6，則另一個(gè)四邊形的最長(zhǎng)邊是________.14．蛋糕店制作兩種高度相同的圓柱形蛋糕，一種半徑是15cm，一種半徑是30cm，如果半徑是15cm的蛋糕能夠2個(gè)人吃，半徑是30cm的蛋糕能夠_________個(gè)人吃.15．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD＝_____．16．如圖，在矩形ABCD中，截去一個(gè)正方形ABFE后，使剩下的矩形對(duì)折后與原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=_________．17．甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊土地（如圖所示），今年這兩個(gè)農(nóng)戶決定共同投資開發(fā)一個(gè)新的項(xiàng)目，需要將這四塊土地?fù)Q成一塊土地，而這塊地的寬為米，為了使換的土地與原四塊土地面積和形狀相同，交換后的土地的長(zhǎng)應(yīng)該是________米．18．如圖，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，連接AC，以對(duì)角線AC為邊，按逆時(shí)針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再連接AC1，以對(duì)角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形ABnCnCn-1的面積為________________．三、解答題19．如圖，圖形（a）~（f）中，哪些與圖形（1）或（2）相似？20．如圖，兩個(gè)四邊形相似，求未知邊x、y的長(zhǎng)度及角α的大?。?1．如圖，矩形矩形，它們的相似比是2∶3，已知，求，的長(zhǎng)．22．已知四邊形與四邊形相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)、點(diǎn)B與點(diǎn)、點(diǎn)C與點(diǎn)、點(diǎn)D與點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)．(1)已知，，，求的度數(shù)；(2)已知，，，，，求四邊形的周長(zhǎng)．23．如圖，四邊形相似于四邊形，求，，的度數(shù)以及x，y，z的值．24．如圖，四邊形∽四邊形(1)的度數(shù)為_______，四邊形與四邊形的相似比為_______；(2)分別求邊BC與邊的長(zhǎng)度．25．如圖，四邊形和四邊形相似，，，，，，．（1）求、的長(zhǎng)度；（2）求、的大??；（3）若，求四邊形和四邊形的周長(zhǎng)的比．26．矩形紙片的邊長(zhǎng)為，動(dòng)直線l分別交于E、F兩點(diǎn)，且∶(1)若直線l是矩形的對(duì)稱軸，且沿著直線l剪開后得的矩形與原矩形相似，試求的長(zhǎng)？(2)若使，試探究：在邊上是否存在點(diǎn)E，使剪刀沿著直線l剪開后，所得到的小矩形紙片中存在與原矩形相似的情況．若存在，請(qǐng)求出的值，并判斷E點(diǎn)在邊上位置的特殊性；若不存在，試說明理由．27．（1）定義1：若一個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積分別是另一個(gè)矩形周長(zhǎng)和面積的2倍，則稱這個(gè)矩形是原矩形的“加倍矩形”問題1：一個(gè)正方形是否存在一個(gè)“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）；問題2：長(zhǎng)為3，寬為1的矩形的“加倍矩形”的長(zhǎng)為______，寬為______；（2）定義2：若一個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積分別是另一個(gè)矩形周長(zhǎng)和面積的，則稱這個(gè)矩形是原矩形的“減半矩形”．問題3：長(zhǎng)為4，寬為1的矩形的“減半矩形”是否存在？答______（