高中數(shù)學(xué)學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊 總體離散程度的估計(jì)

9.2.4總體離散程度的估計(jì)

因畫島圈官國(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、

極差).2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

教學(xué)重點(diǎn)：理解樣本數(shù)據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用并會計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差.

教學(xué)難點(diǎn)：從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理解釋，能估計(jì)總

體的離散程度.

核心素養(yǎng)：通過應(yīng)用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差估計(jì)總體離散程度的過程提

升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

拓展

L方差的簡化計(jì)算公式：^+3+第+…+召一方］,或?qū)懗?=儲+

%H-+Z)-T2.即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

2.平均數(shù)、方差公式的推廣

(1)若數(shù)據(jù)Xi,及，…，X”的平均數(shù)為x，那么mxx+a,mx,+a,…，mx?+a

的平均數(shù)是71+a.

(2)若數(shù)據(jù)為，論，…，乂的方差為那么

①數(shù)據(jù)為+a,%+a,…，x〃+a的方差也是/；

②數(shù)據(jù)ax”ax2,ax“的方差是，s)

,就評價(jià)自測氏

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打"X")

(1)方差越大，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越強(qiáng).()

(2)在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)較大的一組方差較大.()

(3)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起反映總體數(shù)據(jù)的取值信息.一般地，絕大部分

數(shù)據(jù)落在［x-2s,x+2s］內(nèi).()

(4)平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動大

小.()

2.做一做

(1)下列說法不正確的是()

A.方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方

B.標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差

C.若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0

D.標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小,

表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散

(2)某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

則：①平均命中環(huán)數(shù)為一；

②命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為一.

(3)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3,若該樣本的平均值為1,

則該樣本的方差為.

核心素養(yǎng),

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與方差的求法

例1從甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測得它們的株高如下:

甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；

乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；

試計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

［跟蹤訓(xùn)練1］某班40名學(xué)生平均分成兩組，兩組學(xué)生某次考試成績情況

如下表所示:

組別平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

第一組904

第二組806

求這次考試成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.

-----Fx-nx2}

7

題型二樣本標(biāo)準(zhǔn)差、方差的實(shí)際應(yīng)用

例2某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)，他們在培訓(xùn)期間參加的8

次測試成績記錄如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

(1)哪個工人的成績較好？

(2)甲、乙成績位于二一s與T+s之間有多少？

［跟蹤訓(xùn)練2］從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射箭比賽，為此需要對他

們的射箭水平進(jìn)行測試.現(xiàn)這兩名學(xué)生在相同條件下各射箭10次，命中的環(huán)數(shù)如

下:

甲897976101086

乙10986879788

(1)計(jì)算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；

(2)比較兩個人的成績，然后決定選擇哪名學(xué)生參加射箭比賽.

題型三由統(tǒng)計(jì)圖求標(biāo)準(zhǔn)差、方差

例3樣本數(shù)為9的四組數(shù)據(jù)，他們的平均數(shù)都是5,條形圖如下圖所示，則

標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A.第一組B.第二組

C.第三組D.第四組

［跟蹤訓(xùn)練3］甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形

統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()

頻數(shù)

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

題型四分層隨機(jī)抽樣的方差

例4甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg,方差為

200,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之

比為1：4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么？

［跟蹤訓(xùn)練4］某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)在假期招收了A,6兩個數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班，/班10人,

8班30人，經(jīng)過一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)行了一次測試，在該測試中，4班的平均成績?yōu)?/p>

130分，方差為115,8班的平均成績?yōu)?10分，方差為215.求在這次測試中全體

學(xué)生的平均成績和方差.

隨堂水平達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.下列選項(xiàng)中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)

C.方差D.眾數(shù)

2.（多選）對于樣本數(shù)據(jù)2,4,6,8,10,下列說法正確的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6

B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8

C.這組數(shù)據(jù)的極差是6

D.這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是2g

3.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動會射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方

差如下表所示:

甲乙丙丁

平均環(huán)數(shù)78.38.88.88.7

方差523.53.62.25.4

若要從這四人中選擇一人去參加該運(yùn)動會射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是—(填

“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個).

4.在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下表:

班級人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

甲20X甲2

乙

30X乙3

其中二甲=7乙，則兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為.

5.甲、乙兩機(jī)床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取

6件測量，數(shù)據(jù)為：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；

(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

課后課時,

KEHOUKESHIJINGLIAN

理霍學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.與原數(shù)據(jù)單位不一樣的是()

A.眾數(shù)B.平均數(shù)

C.標(biāo)準(zhǔn)差D.方差

2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田，這〃塊地的畝產(chǎn)量

（單位：kg）分別為吊，及，…，黑，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝

產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.石，x-i,???,%,的平均數(shù)

B.X”如…，X,的標(biāo)準(zhǔn)差

C.用，及，…，％,的最大值

D.X”及，…，％,的中位數(shù)

3.某公司10位員工的月工資（單位：元）分別為小，用，…，*。，其平均數(shù)

和方差分別為1和乙若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工

下月工資的平均數(shù)和方差分別為（）

A.T,s2+1002B.7+100,s2+1002

C八.一x,s2D.1+100,s2

4.如圖，樣本月和6分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為二

“和3如樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為&和礪則（）

A.X>XB，S〉SRB.xA<xB，s^S/i

C.x>XB，S&SBD.X《XgS《SR

5.（多選）若某同學(xué)連續(xù)三次考試的名次（第一名為1,第二名為2,以此類推

且沒有并列名次情況）不大于3,則稱該同學(xué)為該班級的尖子生.根據(jù)甲、乙、丙、

丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次數(shù)據(jù)，可以斷定為尖子生的是（）

A.甲同學(xué)：平均數(shù)是2,中位數(shù)是2

B.乙同學(xué)：平均數(shù)為2,方差小于1

C.丙同學(xué)：中位數(shù)是2,眾數(shù)是2

D.丁同學(xué)：眾數(shù)是2,方差大于1

二、填空題

6.已知一組數(shù)據(jù)：4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是.

7.下列四個結(jié)論中正確的有.

①在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等；

②如果一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這一組數(shù)的平均數(shù)改變，

方差不改變；

③一個樣本的方差是$2=4[（不一3）2+5—3尸+…+（加-3）2],則這組樣

本數(shù)據(jù)的總和等于60；

④數(shù)據(jù)a,a?,a：”…，a”的方差為分，則數(shù)據(jù)2al,2a2.2a：；,…，2a”的方差為

4代

8.若40個數(shù)據(jù)的平方和是56,平均數(shù)是手，則這組數(shù)據(jù)的方差是一，

乙

標(biāo)準(zhǔn)差是一.

三、解答題

9.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)教師職稱及年齡，中級職稱教師的人數(shù)為50,其平均年齡為

38歲，方差是2,高級職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該

校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數(shù)和方差.

10.某校高一（1）、（2）班各有49名學(xué)生，兩班在一次數(shù)學(xué)測試中的成績統(tǒng)計(jì)

如下表：

班級平均分眾數(shù)中位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

高一（1）班79708719.8

高一（2）班7970795.2

（1）請你對下面的一段話給予簡要分析：

高一⑴班的小剛回家對媽媽說：“昨天的數(shù)學(xué)測試中，全班的平均分為79

分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

（2）請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析兩班的測試情況，并提出教學(xué)建議.

B級?

1.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x,%10,ll,9（x,ye

N*）,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則富一引的值為（）

A.4B.3

C.2D.1

2.（多選）某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項(xiàng)能力（每項(xiàng)能力的指標(biāo)值

滿分均為5分，分值高者為優(yōu)），繪制如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，圖中點(diǎn)/表示

甲的創(chuàng)造能力指標(biāo)值為4,點(diǎn)8表示乙的空間能力指標(biāo)值為3,則下列敘述正確的

是（）

—甲---乙

計(jì)算能力

觀察能力

A.乙的記憶能力優(yōu)于甲

B.乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造能力

C.甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙

D.甲的六大能力比乙較均衡

3.為了調(diào)查公司員工的健康狀況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣

本，已知所抽取的所有員工的平均體重為60kg,標(biāo)準(zhǔn)差為60,男員工的平均體

重為70kg,標(biāo)準(zhǔn)差為50,女員工的平均體重為50kg,標(biāo)準(zhǔn)差為60,若樣本中

有20名男員工，則女員工的人數(shù)為一.

4.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,

由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：

質(zhì)量指標(biāo)

[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

值分組

頻數(shù)62638228

（1）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

（2）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值作代表）；

（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)

值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

5.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用

水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年100戶居民的月均用水量（單位:噸）.將

數(shù)據(jù)按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9組，制成了如圖所示的頻率分布

直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)用每組區(qū)間的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的

月均用水量前四組的方差都為0.3,后五組的方差都為0.4.求這100戶居民月均

用水量的方差.

9.2.4總體離散程度的估計(jì)

囪留島圃園閏(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、

極差).2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

教學(xué)重點(diǎn)：理解樣本數(shù)據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用并會計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差.

教學(xué)難點(diǎn)：從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理解釋，能估計(jì)總

體的離散程度.

核心素養(yǎng)：通過應(yīng)用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差估計(jì)總體離散程度的過程提

升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

'新知［拓展

1.方差的簡化計(jì)算公式：S2=-［(^4-^+-+Z)-/7T2］，或?qū)懗?？=1尤+

nn

^+-+Z)-T2.即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

2.平均數(shù)、方差公式的推廣

⑴若數(shù)據(jù)X1,蒞，…，X”的平均數(shù)為x,那么mx}+a,mx2+a,…，mx"+a

的平均數(shù)是mx+a.

(2)若數(shù)據(jù)為，如…，上的方差為s',那么

①數(shù)據(jù)*+a,x2+a,???,乂+a的方差也是si

②數(shù)據(jù)加，ax2,-",的方差是a2s：

iki評價(jià)自測:

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“x”)

(D方差越大，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越強(qiáng).()

(2)在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)較大的一組方差較大.()

(3)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起反映總體數(shù)據(jù)的取值信息.一般地，絕大部分

數(shù)據(jù)落在［x—2s,x+2s］內(nèi).()

(4)平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動大

小.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)V

2.做一做

(1)下列說法不正確的是()

A.方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方

B.標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差

C.若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0

D.標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小,

表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散

(2)某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

則：①平均命中環(huán)數(shù)為一;

②命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為一.

(3)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3,若該樣本的平均值為1,

則該樣本的方差為.

答案(DD(2)①7②2(3)2

核心素養(yǎng),形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與方差的求法

例1從甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測得它們的株高如下：

甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；

乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；

試計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

_1

［解］才用=77X(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30,

品=3［(25—30)2+(41—30)2+(40-30)2+(37—30)?+(22-30)2+(14

-30)2+(19—30尸+(39-30)2+(21—30)?+(42-30)2］=104.2,

s甲=yj104.2a^10.208.

_1、

X^=-X(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31,

同理受=128.8,s乙=、/128.8=11.349.

金版點(diǎn)睛

對標(biāo)準(zhǔn)差與方差概念的理解

(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,

數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：［0,+8).

標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒

有離散性.

(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以

雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時,

一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

［跟蹤訓(xùn)練1］某班40名學(xué)生平均分成兩組，兩組學(xué)生某次考試成績情況如

下表所示:

組另U平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

第一組904

第二組806

求這次考試成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.

X?—-X21\

7

解設(shè)第一組數(shù)據(jù)為X”題，第二組數(shù)據(jù)為曲，及”全班

平均成績?yōu)?/p>

-90X20+80X20

根據(jù)題意,有x=---------=85,

4'=^(Ai+^H----1?焉一20X90°),

6'=、—星2T-----20X802),

.?.尤----1■高=20X(42+62+902+802)=291040.

再由變形公式，得/=崇----F^o—407')

=.(4+三+,,,+三。-40X85?)=［義(291040—289000)=51,

s=y/51.

題型二樣本標(biāo)準(zhǔn)差、方差的實(shí)際應(yīng)用

例2某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)，他們在培訓(xùn)期間參加的8

次測試成績記錄如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

(1)哪個工人的成績較好？

(2)甲、乙成績位于與二+s之間有多少？

_1

［解］(1)^=-X(95+82+88+81+93+79+84+78)=85,

fpO

—1

*乙=三義(83+92+80+95+90+80+85+75)=85.

O

22

牖=Jx［(95—851+(82—85)2+(88-85)2,|,(81-85)+(93-85)+(79—

O

2

85)+(84—85)2+(78—85)1-355,

22

旻=」X[(83—85產(chǎn)+(92—85y+(80-85)2,|,(95-85)+(90-85)+(80-

O

85)2+(85-85)2+(75-85)2]=41.

ip=x，甲的成績較穩(wěn)定.

綜上可知，甲的成績較好.

(2)Vs.,.=^4=^35.5%5.96,

x甲一$甲七79.04,x甲+s甲^90.96,

甲位于［x—s,x+s］之間的數(shù)據(jù)有4個.

又4，x乙—s乙278.6,入乙+5乙=91.4,

，乙的成績位于［x—s,x+s］之間的有5個.

金版點(diǎn)睛

比較兩組數(shù)據(jù)的異同點(diǎn)，一般情況是從平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差這兩個方面考慮.其

中標(biāo)準(zhǔn)差與樣本數(shù)據(jù)單位一樣，比方差更直觀地刻畫出與平均數(shù)的平均距離.

［跟蹤訓(xùn)練2］從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射箭比賽，為此需要對他

們的射箭水平進(jìn)行測試.現(xiàn)這兩名學(xué)生在相同條件下各射箭10次，命中的環(huán)數(shù)如

下：

甲897976101086

乙10986879788

(1)計(jì)算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；

(2)比較兩個人的成績，然后決定選擇哪名學(xué)生參加射箭比賽.

解(1)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，可得甲的平均數(shù)為

_1

*甲=歷、(8+9+7+9+7+6+10+10+8+6)=8,

_1

乙的平均數(shù)為x乙=而乂(10+9+8+6+8+7+9+7+8+8)=8,

甲的標(biāo)準(zhǔn)差為

］系［8-82+9-82+-+6-82］=^2,

5甲=

乙的標(biāo)準(zhǔn)差為

S乙=、/.X［10—82+9一8旺…+8—82］=磔，

Y105

故甲的平均數(shù)為8,標(biāo)準(zhǔn)差為地，乙的平均數(shù)為8,標(biāo)準(zhǔn)差為率.

(2)且sQs乙，.?.乙的成績較為穩(wěn)定，故選擇乙參加射箭比賽.

題型三由統(tǒng)計(jì)圖求標(biāo)準(zhǔn)差、方差

例3樣本數(shù)為9的四組數(shù)據(jù)，他們的平均數(shù)都是5,條形圖如下圖所示，則

標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A.第一組B.第二組

C.第三組D.第四組

［解析］第一組中，樣本數(shù)據(jù)都為!，數(shù)據(jù)沒有波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差為0;第二

組中，樣本數(shù)據(jù)為4,4,4,5,5,5,6,6,6標(biāo)準(zhǔn)差為4；第三組中，樣本數(shù)據(jù)為

o

3,3,4,4,5,6,6,7,7,標(biāo)準(zhǔn)差為第四組中，樣本數(shù)據(jù)為2,2,2,2,5,8,8,8,8,

O

標(biāo)準(zhǔn)差為2吸，故標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是第四組.

［答案］D

金版點(diǎn)匿

由統(tǒng)計(jì)圖分析標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小

從四個圖形可以直觀看出第一組數(shù)據(jù)沒有波動性，第二、三組數(shù)據(jù)的波動性

都比較小，而第四組數(shù)據(jù)的波動性相對較大，利用標(biāo)準(zhǔn)差的意義也可以直觀得到

答案.

［跟蹤訓(xùn)練3］甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形

統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

答案C

解析由題圖可得，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9,所以甲、

乙的成績的平均數(shù)均是6,故A不正確；甲、乙成績的中位數(shù)分別為6,5,故B

不正確；甲、乙成績的極差都是4,故D不正確；甲的成績的方差為2X(22X2+

12X2)=2,乙的成績的方差為《義(l2X3+32)=2.4.故C正確.

5

題型四分層隨機(jī)抽樣的方差

例4甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg,方差為

200,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之

比為1：4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么？

_1

［解］由題意可知*單=60,甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為"=E=

1

5,

—44

x乙=70,乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為吐

1十4□

則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為

___14,

x=獷甲x甲+歹乙x乙=1X60+^X70=68(kg),

bb

甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為

————__14

s=w甲［s東+(x甲-xY}+w乙［s2+(x乙一=￡X［200+(60—68)1+三

55

X［300+(70-68)2］=296.

金版點(diǎn)睛

分層隨機(jī)抽樣的方差

設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為7.72,不,方差分別為備，舄，…，

n

sn,相應(yīng)的權(quán)重分別為M，版，…，典，則這個樣本的方差為產(chǎn)［s,+(X/—

三)1(1為樣本的平均數(shù)).

［跟蹤訓(xùn)練4］某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)在假期招收了4,8兩個數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班，力班10人，

8班30人，經(jīng)過一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)行了一次測試，在該測試中，4班的平均成績?yōu)?/p>

130分，方差為115,6班的平均成績?yōu)?10分，方差為215.求在這次測試中全體

學(xué)生的平均成績和方差.

解依題意］〃=130,sj=115,7fl=110,琉=215,

-10,30

?..x=TU領(lǐng)義130+礪而Xll°=115,

.?.全體學(xué)生的平均成績?yōu)?15分.

全體學(xué)生成績的方差為

=X

s'=(X/—xT］+般［s］+(xB—o+3O(115+225)

1+10^3Q

X(215+25)=85+180=265.

隨堂水平,達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.下列選項(xiàng)中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)

C.方差D.眾數(shù)

答案C

解析由方差的定義知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度.

2.（多選）對于樣本數(shù)據(jù)2,4,6,8,10,下列說法正確的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6

B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8

C.這組數(shù)據(jù)的極差是6

D.這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是2位

答案AD

解析這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6,這組數(shù)據(jù)的極差為10—2=8,這組數(shù)據(jù)的平

均數(shù)三=3（2+4+6+8+1。）=6,這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為

寸；><[2-62+4-62+6-62+8-62+10-62]

=2^2.故選AD.

3.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動會射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方

差如下表所示:

一''''''''''甲乙丙T

平均環(huán)數(shù)三8.38.88.88.7

方差自3.53.62.25.4

若要從這四人中選擇一人去參加該運(yùn)動會射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是—（填

“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個）.

答案丙

解析分析題中表格數(shù)據(jù)可知，乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多，又丙的方差比乙小,

說明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定，所以最佳人選為丙.

4.在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下表：

班級人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

甲20X甲2

乙

30X乙3

其中工甲=1乙，則兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為

答案2.6

解析由題意可知兩個班的數(shù)學(xué)成績平均數(shù)為予=仔用=又乙，則兩個班數(shù)學(xué)

20__30__20

成績的方差為$2=亞3[2+(*p—二)口+舟g[3+(1乙一二溝=左工證X2

4U-JU乙UIJU乙UIOU

5.甲、乙兩機(jī)床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取

6件測量，數(shù)據(jù)為：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；

(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

_1

解(1)^=TX(99+100+98+100+100+103)=100,

1P6

_1

x^=~X(99+100+102+99+100+100)=100.

o

溫=*X[(99-100)*2*67+(100—lOOT+(98-100)2+(100~100)2+(100-

7

100)2+(103-100)2]=-,

O

sl=1x[(99-100)2+(100-100)2+(102—100)'+(99-100)2+(100-

6

100)2+(100—100)2]=1.

(2)兩臺機(jī)床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同，

又品＞$"所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

課后課時.精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級?,學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.與原數(shù)據(jù)單位不一樣的是（）

A.眾數(shù)B.平均數(shù)

C.標(biāo)準(zhǔn)差D.方差

答案D

解析由方差的意義可知，方差與原數(shù)據(jù)單位不一樣.

2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田，這〃塊地的畝產(chǎn)量

（單位：kg）分別為吊，…，黑，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝

產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（)

A.Xi,,黑的平均數(shù)

B.x2,?演的標(biāo)準(zhǔn)差

C.汨，Xz,,演的最大值

D.為，x2,?演的中位數(shù)

答案B

解析平均數(shù)和中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差和方差反映一組數(shù)

據(jù)的穩(wěn)定程度.故選B.

3.某公司10位員工的月工資（單位：元）分別為不，及，…，.，其平均數(shù)

和方差分別為二和若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工

下月工資的平均數(shù)和方差分別為（）

A.x,s+100"B.7+100,s2+1002

C.x,sD.3+100,s2

答案D

解析解法一：因?yàn)槊總€數(shù)據(jù)都加上100,所以平均數(shù)也增加100,而離散程

度保持不變，即方差不變.

解法二：由題意，知為十及-1---F^lO=10X,$2=，X[（X]—王尸+（也一才尸

—0—1

H---F(xio—x)］，則所求平均數(shù)y=77；X［(x+100)+(涇+100)H---F(x1o+

1——1一°

100)］=—X(10x+lOX100)=x+100,所求方差為［(x+100—y)“+(至

+100—y)2-\----F(xio+lOO—y)1=白義［(為-x)'+(否-x)'H----F(吊。一

—\21_2

X)」一S.

4.如圖，樣本4和6分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為工

,，和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為0和礪則（）

A.X>XB,S>SB

C.X〉XB,S&SBD.XA<XB,S&SB

答案B

解析由題圖，知A組的6個數(shù)分別為2.5,10,5,7.5,2.5,10；6組的6個數(shù)

分別為15,10,12.5,10,12.5,10,

crr2.5+10+5+7.5+2.5+1025

所以xA=-----------------------=~rXK=

15+10+12.5+10+12.5+1035一一TTZ—r，…，，.，門，.，

------------=可.顯然xK又由圖形可知，B組數(shù)據(jù)的

6--3

分布比力組的均勻，變化幅度不大，故3組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標(biāo)準(zhǔn)

差較小，所以SA>SB.

5.（多選）若某同學(xué)連續(xù)三次考試的名次（第一名為1,第二名為2,以此類推

且沒有并列名次情況）不大于3,則稱該同學(xué)為該班級的尖子生.根據(jù)甲、乙、丙、

丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次數(shù)據(jù)，可以斷定為尖子生的是（）

A.甲同學(xué)：平均數(shù)是2,中位數(shù)是2

B.乙同學(xué)：平均數(shù)為2,方差小于1

C.丙同學(xué)：中位數(shù)是2,眾數(shù)是2

D.丁同學(xué)：眾數(shù)是2,方差大于1

答案AB

解析甲同學(xué)：平均數(shù)為2,說明名次之和為6,中位數(shù)是2,得出三次考試

名次均不大于3,斷定為尖子生.乙同學(xué)：平均數(shù)為2,說明名次之和為6,方差

小于1,得出三次考試名次均不大于3,斷定為尖子生.丙同學(xué)：中位數(shù)為2,眾

數(shù)為2,說明三次考試名次至少有兩次為2,名次從小到大排序可能為1,2,2；

2,2,2；2,2,3；2,2,x(x>3),所以不能斷定丙同學(xué)是尖子生.丁同學(xué)：眾數(shù)為2,

說明某兩次名次為2,設(shè)另一次名次為x,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)x=l,2,3時，方差均小于

1,故x>3.斷定丁一定不是尖子生.故選AB.

二、填空題

6.已知一組數(shù)據(jù)：4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是—.

答案0.1

解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=：X(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,故s

5

=1x[(4.7-5.l)2+(4.8-5.l)2+(5.1-5.l)2+(5.4-5.l)2+(5.5-5.1)2]=

o

0.1.

7.下列四個結(jié)論中正確的有—.

①在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等；

②如果一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這一組數(shù)的平均數(shù)改變，

方差不改變；

③一個樣本的方差是s2=^[a,-3)2+a-3)2+-+u-3)2],則這組樣

乙U

本數(shù)據(jù)的總和等于60；

④數(shù)據(jù)a,金，&,…，a的方差為外，則數(shù)據(jù)2aL2a2,2a，…，2包的方差為

4旌

答案①②③④

解析對于①，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相

等，都等于:，，①正確；

對于②，一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)a,這一組數(shù)的平均數(shù)變?yōu)槎?/p>

—a,方差s'不改變，.?.②正確；

2222

對于③，一個樣本的方差是s=^X[^-3)+U-3)+-+U-3)],

.?.這組樣本數(shù)據(jù)有20個數(shù)據(jù)，平均數(shù)是3,.?.這組數(shù)據(jù)的總和為3X20=60,，

③正確；

對于④，數(shù)據(jù)4,a”&,…，晶的方差為6、則數(shù)據(jù)2aL2a2.2&,…，2a〃

的方差為(23)2=4戶，.?.④正確.

綜上，正確的是①②③④.

8.若40個數(shù)據(jù)的平方和是56,平均數(shù)是，，則這組數(shù)據(jù)的方差是一,

標(biāo)準(zhǔn)差是一.

答案0.9不一

解析設(shè)這40個數(shù)據(jù)為x,(/=l,2,…，40),平均數(shù)為又.

則S2=77；X[(*—*)?+(*2-xY'-\---1-(及一X)"]

=占義［露+言-］---F^o+40x'—2x（矛1+尼H---FMO）］

1

=40X56+40X

=-X36=0.9.

40

?』屈=盛=嚕

三、解答題

9.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)教師職稱及年齡，中級職稱教師的人數(shù)為50,其平均年齡為

38歲，方差是2,高級職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該

校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數(shù)和方差.

解由已知條件可知高級職稱教師的平均年齡為

-3X58+5X40+2X38

高==45(歲)，

X3+5+2

年齡的方差為

麋=3[3X(58-45)2+5X(40-45)2+2X(38-45)2]=73,

所以該校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數(shù)為

*=50+10X38+50+10X45239.2(歲)，

該校中級職稱和高級職稱教師年齡的方差是

2

-=二丹】/12+(38-39.2尸]+cn\°inX[73+(45-39.2)]=20.64.

50+1050+10

10.某校高一(1)、(2)班各有49名學(xué)生，兩班在一次數(shù)學(xué)測試中的成績統(tǒng)計(jì)

如下表：

班級平均分眾數(shù)中位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

高一(1)班79708719.8

高一(2)班7970795.2

(1)請你對下面的一段話給予簡要分析:

高一⑴班的小剛回家對媽媽說：“昨天的數(shù)學(xué)測試中，全班的平均分為79

分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

(2)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析兩班的測試情況，并提出教學(xué)建議.

解(1)由高一⑴班成績的中位數(shù)是87分可知，85分排在25位以后，從位

次上講并不能說85分在班里是上游，但也不能從這次測試上來判斷學(xué)習(xí)的好壞，

小剛得了85分，說明他對這階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握得較好，從掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容上講

也算是上游.

(2)高一⑴班成績的中位數(shù)是87分，說明高于87分的人數(shù)占一半左右，而

平均分為79分，標(biāo)準(zhǔn)差又很大，說明低分者也多，兩極分化嚴(yán)重，建議對學(xué)習(xí)差

的學(xué)生給予幫助.

高一(2)班成績的中位數(shù)和平均數(shù)都是79分，標(biāo)準(zhǔn)差較小，說明學(xué)生成績之

間的差別也較小，學(xué)習(xí)差的學(xué)生較少，但學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生也很少，建議采取措施

提高優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù).

B級，,學(xué)考水平等級練

1.某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x,%10,ll,9(x,yG

N*),已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則|x—y|的值為()

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析由這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2可得x+y=20,U-10）2+（y-

10）2=8,因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔,y,只要求出|x-y|,設(shè)x=10+t,y=10—t,

由（x—10尸+（y-10尸=8得t2=4,所以|x一y|=2|力=4.故選A.

2.（多選）某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項(xiàng)能力（每項(xiàng)能力的指標(biāo)值

滿分均為5分，分值高者為優(yōu)），繪制如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，圖中點(diǎn)力表示

甲的創(chuàng)造能力指標(biāo)值為4,點(diǎn)6表示乙的空間能力指標(biāo)值為3,則下列敘述正確的

是（）

甲乙

A.乙的記憶能力優(yōu)于甲

B.乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造能力

C.甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙

D.甲的六大能力比乙較均衡

答案BCD

解析由六維能力雷達(dá)圖，知乙的記憶能力指標(biāo)值是4,甲的記憶能力指標(biāo)

值是5,故甲的記憶能力優(yōu)于乙的記憶能力，故A