廣西桂林市、梧州市2022屆高三高考聯(lián)合調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

廣西桂林市、梧州市2022屆高三高考聯(lián)合調(diào)研(一模)數(shù)

學(xué)(理)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知R是實(shí)數(shù)集，集合A={xeZ|W<3},B=[x\2x2-x-3>0],則AI偏8)=

()

A.{-1,0}B.{-1,0,1}

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z=(a-2i)(l+3i)(aeR)的實(shí)部與虛部的和為⑵則|z-5|=()

A.3B.4C.5D.6

3.已知向量￡=&-近)，M=3,ab=3y[6,則[與囚的夾角為()

A.JB.-C.-D.—

6433

4.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9

圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為八/，生，”?，”9,設(shè)數(shù)列{%}為等差數(shù)

列，它的前”項(xiàng)和為5“，且出=18,%+4=90,則$8=()

A.189B.252C.324D.405

5.已知M為拋物線C:f=20y(p>O)上一點(diǎn)，點(diǎn)M到C的焦點(diǎn)的距離為7,到x軸

的距離為5,貝必=()

A.3B.4C.5D.6

cosa-cosa_

6.已知tanc=2,則（乃）（）

cosa+-

I2）

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

D.108

8.某保險(xiǎn)公司銷售某種保險(xiǎn)產(chǎn)品，根據(jù)2020年全年該產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）

和該產(chǎn)品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖.根據(jù)雙層餅圖,

下列說法正確的是（）

A.2020年第四季度的銷售額為380萬元

B.2020年上半年的總銷售額為500萬元

C.2020年2月份的銷售額為60萬元

D.2020年12個(gè)月的月銷售額的眾數(shù)為60萬元

9.第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張

家口市舉行.現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、

首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場

館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為（）

A.12B.14C.16D.18

10.在四邊形A8CZ）中（如圖1所示），AB=AD,ZABD=45,

BC=BD=CD=2,將四邊形ABC。沿對(duì)角線8。折成四面體488（如圖2所示）,

使得/ABC=90,E,F,G分別為棱SC,A'D,AB的中點(diǎn)，連接E尸，CG,則下

列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.

A.A'CIBDB.直線EF與CG所成角的余弦值為

40

c.C,E,F,G四點(diǎn)不共面D.四面體A88外接球的表面積為8"

22

11.已知雙曲線C：\-卓=1（。>0”>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大，鳥，左、右頂點(diǎn)分

別為A，4,P為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線PA與尸&的斜率之積等于3,則下列說

法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為百

B.若且右明鳥=3,則。=2

C.以線段尸耳，A4為直徑的兩個(gè)圓外切

D.若點(diǎn)工到C的一條漸近線的距離為g,則C的實(shí)軸長為4

12.已知iwN*,數(shù)列1,1,2,1,1,2,4,2,1,1,2,4,8,4,2,1,???,1,

2,4,…，21',2"、…，2,1,…的前〃項(xiàng)和為S,,若S“>2022,則〃的最小值為

()

A.81B.90C.100D.2021

二、填空題

13.已知“X)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=-ln(ar).^/(-e2)=2,則〃=

y…—1,

14.若孫了滿足約束條件,3x+y-5,,0,則2=%+、的最大值為

3x—2y+1..0,

15.若曲線y=lnx在點(diǎn)尸(e,l)處的切線與曲線丫=泮相切，則”

16.函數(shù)/(x)=2sin((wx+s)3>0,0<S〈乃)的部分圖象如圖所示，其中

/(0)=〃苧)，/(-^)=0,若對(duì)于任意的心日—J),X[￡A),

999663

/(x,)-2>cos2x2-sin3xl恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為.

27r57rx

~9~9~

三、解答題

17.在A4?C中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A43C的面積為S,已知

acosC+ccosA=6，a=41b-

⑴求a；

+<?-〃)，求/.

18.某中學(xué)組織一支“雛鷹”志愿者服務(wù)隊(duì)，帶領(lǐng)同學(xué)們利用周末的時(shí)間深入居民小區(qū)

開展一些社會(huì)公益活動(dòng).現(xiàn)從參加了環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助這兩項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)的志愿

者中，隨機(jī)抽取男生80人，女生120人進(jìn)行問卷調(diào)查(假設(shè)每人只參加環(huán)境保護(hù)和社

會(huì)援助中的一項(xiàng))，整理數(shù)據(jù)后得到如下統(tǒng)計(jì)表：

女生男生合計(jì)

環(huán)境保護(hù)8040120

社會(huì)援助404080

合計(jì)12080200

(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會(huì)公益活動(dòng)所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)？

(2)以樣本的頻率作為總體的概率，若從本校所有參加社會(huì)公益活動(dòng)的女生中隨機(jī)抽取

4人，記這4人中參加環(huán)境保護(hù)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

n(ad-bc)2

附：K2=,其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.0250.0100.0050.001

k"5.0246.6357.87910.828

19.如圖，A8是圓。的直徑，出_1_圓0所在的平面，C為圓周上一點(diǎn)，。為線段

PC的中點(diǎn)，NC84=30°,AB=2PA.

Pz

(1)證明：平面AB￡>_L平面PBC.

(2)若G為AO的中點(diǎn)，求二面角P-BC-G的余弦值.

->?>

20.已知O坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:￡+g=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)為N,右頂點(diǎn)為8,

△AQ3的面積為也，原點(diǎn)。到直線Z8的距離為好.

23

(1)求橢圓C的方程；

(2)過C的左焦點(diǎn)尸作弦。E,MN,這兩條弦的中點(diǎn)分別為P,Q,若詼.麗=0,求

△“Q面積的最大值.

12

21.已知函數(shù)/(x)=lnx+2,g(x)=-e2v-ln-(a>0).

⑴設(shè)函數(shù)R(x)=."x+l)-x-2,求/z(x)的最大值；

(2)證明：/(x)<g(x).

22.在直角坐標(biāo)系X?！分?直線/的參數(shù)方程為(f為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)

。為極點(diǎn)，*軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為

p~-2pcos^-4psin^-l=0.

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)圓C與直線/交于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2),求1PAi+|尸磯

23.已知函數(shù)f(x)=2x」+|2x+磯a>0).

⑴當(dāng)4=1時(shí)，求不等式“力43的解集;

(2)若/(|)<6,求“的取值范圍.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

求出集合A、B,利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)锳={xeZH<3}={-2,-l,0』,2},

解不等式2/7一3>0,可得x<-l或故”=卜14*4|},

因此，An(43)={T,0,l}.

故選:B.

2.C

【解析】

【分析】

先把已知z=(“-2i)(l+3i)(aeR)化簡，整理出復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部，接下來去求|z-5|即

可解決.

【詳解】

z=(a-2i)(l+3i)=(a+6)+(3a-2)i,

則有.，a+6+3a-2=12,解得。=2,

則z=8+4i,z-5=3+4i,故|2-5|=存存=5.

故選：C

3.A

【解析】

【分析】

先計(jì)算向量3的模，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義，將75=3指展開，即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)椤?(1,-77),所以|￡|=J『+(_J7)2=2啦,

又因?yàn)閍i=3G，設(shè)￡與石的夾角為8,，€[0,萬],

答案第1頁，共19頁

所以|4||B|COS6=3>/^,即2&x3xcos6=3#,

解得cos，=3，故6=1,

26

故選：A.

4.C

【解析】

【分析】

4+d=18

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，由題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出2q+8”=9。,解方程得

!Hkd,最后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得出5$.

【詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，

｛a.+d=\S伉=9

由%=18,4+%=90,得;解得：1

[2a,+8J=90[a=9

8x7x0

所以鼠=8x9+[=324.

故選：C.

5.B

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線的定義計(jì)算可得；

【詳解】

解：拋物線C:x2=2p)，(p>0)的準(zhǔn)線方程為二苫，因?yàn)辄c(diǎn)”到C的焦點(diǎn)的距離為7,到

x軸的距離為5,所以5=2,所以p=4；

故選：B

6.A

【解析】

【分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式對(duì)所求式子進(jìn)行化簡，然后根據(jù)齊次式進(jìn)行求值即可.

答案第2頁，共19頁

【詳解】

因?yàn)閠ana=2,

所以

cos3a-cosacosa?(cosa-1)cosa(-sirra)sinacosatana2

------7-----k=----------；-------=-------：-------=sinacosa=------------=---------=-

￡I-sina-sinasnra+cos-al+tan~a5

iexi1

I2

故選：A.

7.C

【解析】

【分析】

結(jié)合已知條件可知幾何體為直三棱柱，然后利用柱體體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

由三視圖可知，幾何體為直三棱柱，如下圖所示：

由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知，AABC的面積S=[x6x3=9,

從而該幾何體體積V=9x6=54.

故選：C.

8.D

【解析】

【分析】

首先利用第二季度的銷售額占比和銷售總額求出全年的銷售額，然后根據(jù)雙層餅圖逐項(xiàng)求

解即可.

【詳解】

不妨設(shè)全年總銷售額為x萬元，則第二季度的銷售額可得，(6%+9%+ll%)x=260,解

答案第3頁，共19頁

得，x=1000,

選項(xiàng)A：第四季度銷售額為l（XX）x28%=280（萬元），故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由圖可知，上半年銷售額為160+260=420（萬元），故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：由圖可知，1月份和3月份銷售額之和為1000x（5%+6%）=110（萬元），

故2月份的銷售額為160-110=50（萬元），故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：由圖易知，2月份的銷售額占比為5%,從而由圖可知，月銷售額占比為6%的月

份最多，故月銷售額的眾數(shù)為1000x6%=60（萬元），故D正確.

故選：D.

9.B

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件利用分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列、組合知識(shí)計(jì)算作答.

【詳解】

因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺(tái)，計(jì)算安排種數(shù)有兩類辦法：

若有兩個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家

速滑館，有A；=2種；

若有一個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，從丙、丁中選，有C；=2種，然后剩下的一個(gè)人和甲、乙

被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有C；A；=6種，則共有2x6=12種，

綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為12+2=14.

故選：B

10.D

【解析】

【分析】

以線面垂直去證A'CJ_BO；選基底以向量法去求直線E尸與CG所成角的余弦值；觀察法

去判斷C,E,F,G四點(diǎn)不共面；先求四面體A3CZ）外接球的半徑再求其外接球的表面

積.

【詳解】

如圖1,取8。的中點(diǎn)。，連接OA,OC.

答案第4頁，共19頁

D

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閂AB。為等腰直角三角形，△88為等邊三角形，

所以A￡)=A8=75，0A!1BD,OCrBD.

因?yàn)镺4'cOC=O,所以平面OAC,所以A'C_L8D,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)8e=萬，BD=b，BA=c>

則京=，_1,EF=-(b+c-a\,

22、7

又不1=0,a-b=b-c=2y

則由=J&T=當(dāng),附卜』=乎,

￡F-CG=i(^+c-a)-^c-^=2,

石

cos<EF,CG)=EFCG_4

|EF||CG|=~ir故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,如圖1,連接GF,

則GF〃5￡),GF0平面BCD,BDu平面BCD

故G尸〃平面BCD顯然GF、CE是異面直線，

所以C,E,F,G四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,如圖2,過△BCD的重心H作直線機(jī)垂直于平而BCD,

過點(diǎn)。作直線〃垂直平而ABD,則直線加與直線〃交于點(diǎn)Q,

即。為四而體A38外接球的球心，連接。。，

△A0C中，AO={,OC=?AC=瓜,

答案第5頁，共19頁

則cosA0C=1+3廠6=,sinAOC=^^

2V333

故sinZA'OC=sin(90°+ZQOH)=cosZQOH=—,

在RtZ^QOH中，OH=昱,所以O(shè)Q=———=—,

3cosZQOH2

從而QD=y]OD2+OQ2=邛，即四而體A'BCD外接球的半徑R4,

則該外接球的表而積5=4兀尸=6兀，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D

11.C

【解析】

【分析】

設(shè)WM，則根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率的方法求得原&%=，=3,再由

e=J7求出結(jié)果，即可判斷A選項(xiàng)：由e=(=2,得c=2a,根據(jù)雙曲線的定義可得

\PF^-\PF\=2a,根據(jù)題意得出|尸￡卜|尸閭=6和|尸耳『+忸閭2=⑵)2,可得出。的值,即

可判斷B選項(xiàng)；設(shè)尸片的中點(diǎn)為Q,。為原點(diǎn)，則。。為△尸耳心的中位線，所以

|。0=曰尸周=；(歸周+24)=；歸耳|+4,根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系即可判斷C選項(xiàng)；由點(diǎn)

8到C的一條漸近線的距離為得出6=石，而=6得出a的值，即可得出C的實(shí)軸

a

長，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

解：對(duì)于A,設(shè)P(x,y),貝lj1],

\a7

因?yàn)锳(-〃0)，4(a,0),直線PAt與尸兒的斜率之積等于3,

所以怎A?怎a=上?上=W^=4=3,得e=、"^=2,故A錯(cuò)誤；

'2x+ax-ax-aa\a~

對(duì)于B,因?yàn)閑=￡=2,所以c=2a,

a

答案第6頁，共19頁

而P為雙曲線的左支上一點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得|P§H尸耳1=2”,

又因?yàn)镻耳，P",且&=3,

所以s△呻=小用忖周=3,則I叫?〔附=6，

由|「制2+|PR『=(2蛾，可得(|尸制-歸用)2+2歸用.仍用=4c2,

即4〃+12=16/,解得:a=\,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)尸耳的中點(diǎn)為。.0為原點(diǎn)，則。。?為斗馬的中位線，

所閔。N=J*=；(M+2a)=；M+a，

則以線段p耳為直徑的圓，圓心為a,半徑，i=Jp用，

以線段A4為直徑的圓，圓心為0,半徑4=4,

又由前面的推理可知2=百，所以“=1,故C的實(shí)軸長為2a=2,故D錯(cuò)誤.

a

故選：C.

12.B

【解析】

答案第7頁，共19頁

【分析】

將數(shù)列排成楊輝三角的形式，得到各行所有數(shù)的項(xiàng)及其和的通項(xiàng)公式，再求前，?行的數(shù)的

和求解.

【詳解】

依題意，把數(shù)列排列成如下所示的形式：

第1行1

第2行1,2,1

第3行1,2,4,2,1

第4行1,2,4,8,4,2,1

第i+1行1>2,4,21>>??>4,2,1

可知此數(shù)列第1行有1項(xiàng)，第2行有3項(xiàng)，第3行有5項(xiàng)，…，第i行有萬-1項(xiàng)，

前i行共有1+3+5+...+⑵=1)=產(chǎn)項(xiàng).

設(shè)第i行的萬-1個(gè)數(shù)的和為4,

則4=1+2+4+…+2"'+2"2+…+4+2+l=2'-l+2i-l=3x2i-2.

則前i行的和Sp=4+瓦+么+…,

=3X(20+2'+22+---+2M)-2Z,

=3(2,-l)-2z=3x2'-2z-3,

9,o

所以S"=S甲=3x2-2x9-3=1515<2022,S100=S1tf=3x2-2xlO-3=3O49>2O22.

7

XS81+l+2+4+...+2=1515+255=1770<2022,

s

S8I+1+2+4+-..+2=1515+511=2026>2022,81+9=90,

所以〃的最小值為90.

故選：B

13.1

【解析】

【分析】

答案第8頁，共19頁

根據(jù)題意，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可知/卜2)=-2時(shí)，代入/(x)=-ln(or)中可求出。的值.

【詳解】

解：因?yàn)椤癤)是奇函數(shù)，/(-e2)=2,

所以/佇)=_2,

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)=-ln(ar),

所以/'(e2)=-ln(ae2)=-2,所以ae2=e?,解得：a=l.

故答案為：1.

14.3

【解析】

【分析】

根據(jù)線性規(guī)劃的約束條件畫出圖像，然后求目標(biāo)函數(shù)的最大值.

【詳解】

解：

畫出可行域知，直線3x+y-5=0和直線3x-2y+l=0的交點(diǎn)為(1,2).

當(dāng)直線z=x+y過點(diǎn)(1,2)時(shí)，z取得最大值3.

故答案為：3

15.e2

e-

【解析】

【分析】

先求得曲線y=lnx在點(diǎn)尸(e,l)處的切線，直線y=』x與曲線>=滑相切時(shí)，需設(shè)切點(diǎn)列方

e

程組可解得參數(shù)a的值.

答案第9頁，共19頁

【詳解】

因?yàn)閥=lnx,所以y'=B，則丫'二=，，

所以曲線y=lnx在點(diǎn)P(e,l)處的切線方程為y=

設(shè)y=：》與y=e"相切于點(diǎn)(加1"。),

則恁.=.,?=-1,可得x0=e2,從而4=6以.

玉)N)

故答案為：e-

【解析】

【分析】

由題知T=1,進(jìn)而待定系數(shù)得0=與，即/(x)=2sin(3x+g),進(jìn)而得

V3cos3^>cos2^4-2,再根據(jù)三角函數(shù)的值域得Gcos3%￡(0,6],

cos2x2+Ze^-lA+故彳+：,,0,解不等式即可得答案.

【詳解】

解：因?yàn)?(0)=/(D，所以y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

八,舊八3T5乃2萬71

0,由圖知一=—+——

41892

所以7=彳，從而0=3,

1712冗

由3x+夕=0得9=號(hào)，

所以/(x)=2sin(3x+笄

/(司)一%>cos-sin3%可化為劣cos3芭>cos2x,+2,

當(dāng),毛€(*。)時(shí)，Kcos3x,G(o,兩，cos2x2+2ef+

答案第10頁，共19頁

所以幾+g,,0,解得4,即幾《(一OO,-]

故答案為：

17.(l)a=>/6

⑵？或牛?

44

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)余弦定理將已知acosC+ccos4=仃展開化簡，可得到匕=6，再根據(jù)

a=y/2b>求得結(jié)果.

(2)利用三角形的面積公式結(jié)合余弦定理化簡$=第(/+/-從)，可求得角B,再根

據(jù)“=同，結(jié)合正弦定理將邊化為角，可得答案.

(1)

在△45C中，由tzcosC+ccosA=V3可得:

a2^b2-c2b2+c2-a2

=G,即2〃2=2麻,

則b=y/3，而a=\[2b，

所以a=瓜;

(2)

由S=^-(a2+/-⑹得：S=x2acxcosB=accosB

12,7126

XS=—acsinB,

2

所以,〃csinB=^^QCCOS3，則tan5=^^,

263

因?yàn)?E(0,1),故B=g,

6

根據(jù)〃=得，sinA=V2sinB=——，A>B,

2

又Ae((U),所以A=?或半.

44

18.(1)沒有

Q

(2)分布列見解析，|

答案第11頁，共19頁

【詳解】

解:(1)因?yàn)镵=2(X)X(80X40_40X40)、—556<6.635

120x80x120x809

所以沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會(huì)公益活動(dòng)所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān).

Qf)7

(2)由統(tǒng)計(jì)表得，女生參加環(huán)境保護(hù)的頻率為穩(wěn)=；,

故從女生中隨機(jī)抽取1人，此人參加環(huán)境保護(hù)的概率為：,

由題意知，

則P(X=Q=C：=%=0,1,2,3,4.

34

X的分布列為X

X01234

1883216

P

8181278181

w…、八1,8?24~32,168

故E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—+4x—=-

81818181813

19.(1)證明見解析

⑵苧

【解析】

【分析】

(1)先證明3CL平面PAC得8C_LA￡),再根據(jù)幾何關(guān)系得A￡),PC,進(jìn)而得">_1_平

面PBC,最后結(jié)合判定定理即可證明;

(2)根據(jù)題意，以c為原點(diǎn)，分別以鼻，為的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系c-種，利用坐標(biāo)法求解即可.

(1)

證明：因?yàn)?4_1_圓0所在的平面，即尸A_L平面ABC,

而8Cu平面ABC,所以PALBC.

因?yàn)锳8是圓。的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，

答案第12頁，共19頁

所以ACJ.BC.

又必(W=A,

所以8C_L平面PAC,而A￡)u平面24C,

則3C_LAD,

因?yàn)锳CLBC,NC8A=30°，

所以AB=2AC.又45=2上4,

所以A4=AC,而。為線段PC的中點(diǎn)，

所以ADLPC.

又PCcBC=C,

所以AD_L平面P6C,

而AZ>u平面4第，故平面AB￡>_L平面PBC.

(2)

解：以C為原點(diǎn)，分別以而，通的方向?yàn)?軸、y軸的正方向建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.

不妨設(shè)A3=2,則A(1,O,O),8(0,6,0),力(；，°，；)，,CB=(0,^,0),

設(shè)平面GBC的法向量為而=(x,y,z),

mCB=6y=0,

則__31令x=l,得加=(1,0,-3).

m-CG=—x+—z=0,

44

由(1)知平面P8C的一個(gè)法向量為方=(-),

\m-DA\2石

設(shè)二面角P-BC—G為，，易知〃為銳角，則cos?=JT=T-,

網(wǎng)⑼5

即二面角P-BC-G的余弦值為半.

答案第13頁，共19頁

【解析】

【分析】

(1)設(shè)出直線A8的方程為：土+斗=1，原點(diǎn)到直線AB的距離為"，列出關(guān)系式，通過

ab3

b1+^=a1,根據(jù)三角形的面積，求出。，b,即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)依題意可得即可判斷直線DE與MN的斜率均存在，設(shè)。E：

y=&(x+l),。區(qū)，)>,),EG，力)聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理即可得到P

點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到。點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到歸口、|。耳，S,M=g|PFHQF|再利用基本不等式

及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(1)

解：由題意，Sd.aAuObB=—2ab=2

■.-A(O,b),8(a,0),則直線A8的方程為：-+^=1,即為9+的-必=0,

ab

???原點(diǎn)到直線AB的距離為漁,

3

ab_V6

"y[a2+b2

:.3a2b2=2(a2+b2),□

b2+c2=a2,□

答案第14頁，共19頁

由]」!」得：a2=2fb2=}?

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y+/=l；

（2）

解：由（1）可知F（—1,O）,因?yàn)椤辏┰?胸=0，所以DELMN,

若直線DE或MN中有一條直線斜率不存在，那么P、Q中一點(diǎn)與尸重合，故斜率一定存

在,

設(shè)OE：y=A(x+l),則MN的斜率為-1，

X22.

---V—I

由12可得：(l+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

y=k(x+1)

2K

設(shè)力(％,y),E(X,y),則占+*2=—T2>=4-,所以馬=，'；/

221+2k1+2k21+2/

〃=及(4+1)=<￡^+1)=心■2k2k}

即尸-

l+2k2，l+2k2)

同理將4代入得。（言，余）

1+2〃

l^lTiTF

2+k2

1VT+F\k\4me

所以與聽=）尸產(chǎn)-X-----X-------7

21+2/2+k2

1J磯1+的

22k4+5k2+2

]#2(1+2^+/)

-2X2k4+5k2+2

=-X-------7--------------------------r-

2d2^+5+尋

答案第15頁，共19頁

J歸〃+2

52jt2+5+4

K

令t=J*+/+2,則fN2,當(dāng)且僅當(dāng)專=/即％=±1時(shí)取等號(hào)，

所以』+二=r-2,所以4°e=5*^17=5x777,

k2，+-

t

因?yàn)楹瘮?shù)丫=2》+^在［2,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=2時(shí)ymm=：，

所以(S)皿="，即面積的最大值為"；

21.(1)0；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/?(x)在定義域上的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)旗司的最大值；

2

(2)原不等式等價(jià)于姒x)=e”-aln尤-2a-aln’NO,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)夕(x)的單調(diào)

性，求出函數(shù)e(x)的最小值，結(jié)合基本不等式可證得所求不等式成立.

(1)

1Y

解：因?yàn)??(x)=ln(x+l)_x(x>-l),所以/f(x)=---1=-----(x>-l).

II.JCI1

當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，/?,(x)>0；當(dāng)xe(0,+<?)時(shí)，/i'(x)<0.

所以〃(x)在(TO)上為增函數(shù)，在(0,+助上為減函數(shù)，從而/z(x)皿=/z(O)=O.

(2)

2

證明：原不等式等價(jià)于o(x)=e2，-alnx-2a-aln,N0,

則d(x)=2e”-@=^^,令制》)=2/，，則加(力=4/'+彳>0,

XX

所以，“(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

^t(x)=2xe2x-a,則/(O)=_q<0,r(a)=2ae2a-a=a(2e2a-1)>0,

所以，存在唯一為e(O,a)使得f(x0)=2%e為一a=0,即夕'(%)=Ze?%-色=0,

X。

答案第16頁，共19頁

當(dāng)0<%<玉)時(shí)，0(x)<o；當(dāng)工〉玉)時(shí)，d(x)>0

此時(shí)以力在(0,不))上單調(diào)遞減，在(玉),+00)上單調(diào)遞增，

要證0(%)20,即要證0伍)之。.

2e2^--=0

于是原問題轉(zhuǎn)化為證明不等式組/,

2

2Ai,

(x0)=e-czInx0--tzIn—>0

、a

由2e?"一■—=0,得代入夕(與卜不拓_〃111與_2〃_4出2.

/zx()Cl

對(duì)e-"=*-兩邊取對(duì)數(shù)得In/=ln:一2七,代入夕(Xo)=，^-〃lnx()-2a—〃ln2,得

0(x<))=^—+2ar-2a.

2玉)0

因?yàn)?(/)=白+2嵇_2a22)=己”_2a=0,當(dāng)且僅當(dāng)天=：,a=e時(shí)，等號(hào)成

2%V2X()2

立，

所以〃x)Vg(x).

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明

/(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)/7(x)=/(x)—g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)己知條件適當(dāng)放縮：二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函

數(shù).

22.⑴(x-iy+(y—2-6；

⑵3技

【解析】

【分析】

(1)利用互化公式r2=x2+y2,x=rcosg,y=sin4，即可將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方

程；

答案第17頁，共19頁

(2)根據(jù)題意