2021人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第一章《空間向量與立體幾何》，

本節(jié)主要學(xué)習(xí)空間向量及其運算的坐標(biāo)表示。通過類比平面向量及其運算的坐標(biāo)表示，從而引

入空間向量及其運算的坐標(biāo)表示，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點，為培養(yǎng)學(xué)

生思維提供了更廣闊的空間，在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量的幾何形式和運算，以及在空間向量基本

定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)運算及其規(guī)律，是平面向量的坐標(biāo)運算在空間推廣和

拓展，為運用向量坐標(biāo)運算解決幾何問題奠定了知識和方法基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.在理解空間向量基本定理的基礎(chǔ)1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量的坐標(biāo)表示

上掌握空間向量正交分解的原理及2.邏輯推理：運用空間向量坐標(biāo)解決平行與垂

坐標(biāo)表示.直問題

2.能正確地運用空間向量的坐標(biāo),進(jìn)3.直觀想象：用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的

行向量的線性運算與數(shù)量積運算.簡單幾何問題

3,初步學(xué)會用坐標(biāo)的方法解決立體4.數(shù)學(xué)運算：向量坐標(biāo)下的線性運算與數(shù)量積

幾何中的簡單幾何問題.運算

教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點：掌握空間向量坐標(biāo)表示并能進(jìn)行向量的線性運算與數(shù)量積運算.

2.教學(xué)難點：會用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡單幾何問題

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問創(chuàng)設(shè)問題情境,

題》中指出：“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生體會運

與空間形式,簡單講就是形與數(shù)，用坐標(biāo)法，實現(xiàn)將

歐幾里得幾何體系的特點是排除空間幾何問題代

了數(shù)量關(guān)系,對于研究空間形式，數(shù)化的基本思想，

你要真正的‘騰飛'，不通過數(shù)量提升數(shù)形結(jié)合思

關(guān)系，我想不出有什么好的辦想。

法…….”

吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量

化”，也就是坐標(biāo)系的引入，使得幾何問題“代數(shù)化”，為

了使得空間幾何“代數(shù)化”，我們引入了坐標(biāo)及其運算.

在平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個

互相垂直的單位向量，引進(jìn)了平面向量的坐標(biāo)，空間向量是

否可以引進(jìn)類似的坐標(biāo)，這就是本小節(jié)我們要研究的內(nèi)容。

二、探究新知

問題1：如圖所示，已知=e1,礪=e2,瓦=63,且

OADB-CEGF是棱長為1的正方體，。尸便通-公久。/1是一

個長方體，名為0C的中點，。尸尸2,。

(1)設(shè)次=a,0C；=b,將向量G與b都用e1，e2,e?表

示；

(2)如果p是空間中任意一個向量，怎樣才能寫出p在基底

{ei，e2>03}下的分解式？

由知識回顧，

提出問題，讓學(xué)生

感受到平面向量

AD與空間向量的聯(lián)

答案：＜1)a=+e2+63,b=一262+563系，類比平面向量

(2)若p=xe1+ye2+ze3,則p=｛x,y,z｝及其坐標(biāo)運算，從

1.空間中向量的坐標(biāo)而學(xué)習(xí)空間向量

一般地，如果空間向量的基底｛e,e,e｝中，e,e,e都是及其坐標(biāo)運算。

123123

單位向量,而且這三個向量兩兩垂直,就稱這組基底為單位

正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正

交分解,而且,如果p=xe+ye+ze,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)

\23

為向量P的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),其中x,y,z都稱為p的坐

標(biāo)分量.

1.已知向量P在基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中

a=i+j,b=j+k,c=k+i,則向量p在基底｛i,j,k｝下的坐標(biāo)是

()

A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)

D.(4,3,2)

解析：由題意知

p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,

故向量p在基底｛i,j,k｝下的坐標(biāo)為(12,14,10).

答案:A

2.空間向量的運算與坐標(biāo)的關(guān)系

空間向量a,b,其坐標(biāo)形式為a=(x,y,z),b=(x,y,z).

111222

向量運

向好:表不坐標(biāo)表示

算

a+b=(x+x,y+y,z+z

121212

加法a+b

)

a-b=(x-x,y-y,z-z

121212

減法a-b

)

Xa=(Xx,Xy,Xz)

數(shù)乘入aiii

a?ba,b=xx+yy+zz

數(shù)量積1212I2

特別地，（1）如果〃，/是兩個實數(shù)，那么

通過對空間向

y-f-vyyuz+uz）.

121212量坐標(biāo)表示的學(xué)

(2)/a/S/a?a=J*+y/+z習(xí)，讓學(xué)生感受空

(3)cos缸=IX|X2+%7+z-(awo,bWO).間向量坐標(biāo)化的

abJ貸+*+z"嫂+*+z/

基本原理和方法，

2.已知向量a=(3,3,l),b=(-2,4,0),則4a+2b等于()

發(fā)展學(xué)生邏輯推

A.(16,0,4)B.(8,-16,4)

理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

C.(8,16,4)D.(8,0,4)

學(xué)運算的核心素

解析：cos<a,b)===7?型型--------=1.答

abI----------2

j22+(-3)2+(V3)2xJl2+02+02養(yǎng)。

科

3.向量a=(2,-3,V3),b=(l,0,0),則

cos<a,b>=.

解

析:4a+2bN(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(Y,8,0)=(8,

0,4).

答案:D

3.空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直

設(shè)a=G,y?z),b=(%,%,z^),則有a〃bo包="=&(其中

xiyizi

Xi"#。);

a_Lb=a,bOox/z+N必+Z1Z2R.

名師點析若不明確及弘?W0,則可以用以下結(jié)論進(jìn)行求解,

即a〃

%2=入％1，

b(a#0)=b=4a=(在，必，zj二4(小，乂，zjy2=Ay1；

Z?=4Z].

4.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a〃b,貝U()

A.x=Qyy-15B.x=Qfy=^

C.產(chǎn)3,y-15D.x=6yy胄

%=6

15

(y=--

答案:D

問題2：由空間向量坐標(biāo)的定義可以看出，當(dāng)單位正交基底

的始點是同一個點0,而且空間向量的始點也是0時，空間

向量的坐標(biāo)實際上是由它的終點位置確定的。

(1)如圖所示，怎樣才能刻畫地球的

衛(wèi)星在空間中的位置？

(2)我們知道，在直線上建立數(shù)軸后,

就可以用一個數(shù)來刻畫點在直線上的

位置，在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系之

后，就可以用一對有序時數(shù)來刻畫點在平面內(nèi)的位置，那么

怎樣才能刻畫空間中點的位置呢?

4.空間直角坐標(biāo)系

通過典型例

為了確定空間點的位置,在平面直角坐標(biāo)系xa的基礎(chǔ)

題的分析和解決，

上,通過原點0,再作一條數(shù)軸z,使它與x軸,■軸都垂直,這

讓學(xué)生感受空間

樣它們中的任意兩條都互相垂直.

向量坐標(biāo)運算在

軸的方向通常這樣選擇:從z軸的

解決空間幾何中

正方向看,x軸的正半軸沿逆時針

的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生

方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推

合,這樣就在空間建立了一個空間

理的核心素養(yǎng)。

直角坐標(biāo)系Oxyz,。叫做坐標(biāo)原

點.每兩條坐標(biāo)軸分別確定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐標(biāo)平

面,三個坐標(biāo)平面把不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點分成八個卦限，如

圖所示.

點睛(1)空間中的點與三個實數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間，有

了一一對應(yīng)關(guān)系,空間一點”的位置完全由有序?qū)崝?shù)組

(x,%z)確定，因此將(x,y,z)稱為點"的坐標(biāo),記作

M^x,y,z).此時,x,%z都稱為點〃的坐標(biāo)分量,且x稱為點M

的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo))，y稱為點"的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo))，z稱

為點必的豎坐標(biāo)(或z坐標(biāo)).

(2)八個卦限中的點的坐標(biāo)符號也有一定的特點：

I：(+,+,+);II：(-,+,+)；in：(-+);W:(+,-,+);V:(+,+

,-)；VI：(-,+,-)；vn：(-,；vin：.

(3)在空間中建立了空間直角坐標(biāo)系之后，向量而的坐標(biāo)與

尸點的坐標(biāo)相同，即而二的產(chǎn)9+絕=(*,y,z)y,Z).

5.(1)點/(1,2,1)關(guān)于xOz平面的對稱點的坐標(biāo)是()

A.(1,-2,1)B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1)

D.(-1,-2,-1)

(2)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中,取〃點為原

1111

點建立空間直角坐標(biāo)系，“〃分別是AC,DD的中點，寫出下列

1

向量的坐標(biāo)：~AM=_______,0B；=________.

Dif_Z______r.

//

4Bi

/

/

/

：D/

//*

2——7

4AB

解析:〃介外物=2,且DA,DC,如「兩兩互相垂直，

設(shè)［五？前=(1,0,0),［比個2=(0,1,0),3西個3=(0,0,1).

'：AM=AD++：。。1=-2匕e3,0,1).

---------->1'>■,■>1,■>1■■>11'>1'->

,/0B1=OB+BBr=-DB+BBX=-DA+-DC+

DD；Aei&+2e3,

.?.西=(1,1,2).

答案：⑴A(2)(-2,0,1)(1,1,2)

5.空間直角坐標(biāo)系中兩點之間距離公式及中點坐標(biāo)

設(shè)4(x,y,z),8(”,z)為空間直角坐標(biāo)系中的兩點，則

111222

OA=(為，外zj,05=(&%,Z2),所以=05-

OA=(^2,%,Z2)一(為,幾Zi)=(在-Xi,z2-Zi),

222

AB=[AB1=^(%2-xi)+(y2~yi)+(z2~^i)-

設(shè)線段AB的中點為M(x,y,z),則加=(x,%z),

W=|(OA+05)](x\+xz,yx+y2,z、+zj

=(上及，組及，迫及)，所以點"的坐標(biāo)為(衛(wèi)士這,左士這,山

222222

).

通過典例解析，進(jìn)

6.已知點4(-3,1,5)與點6(4,3,1),則48的中點坐標(biāo)是

一步讓學(xué)生體會

()

空間向量坐標(biāo)在

A.Q,1,-2)B.&2,3)C.(-12,3,5)

解決立體幾何中

D-G；”)的應(yīng)用，提升推理

論證能力，提高學(xué)

答案:B

生的數(shù)學(xué)運算及

例1(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則

邏輯推理的核心

(2a+3b),(a-2b)=________.

素養(yǎng)。

(2)已矢口a+b=(2,V2,2V3),a~b=(0,V2,0),貝Ucos<a,b>等于

()

A.-B.-C.—D.—

3636

解

析：⑴(2a+3b)?(a-2b)=2a43a?b-4a?b-6bL，=2X6-22-6

X7J=-244.

(2)由已知得a=(l,V2,V3),b=(l,0,g),故

/L、a?b1+0+3\/6

cos<a,b>-----=-p-F=—.

abx/6xV43

答案：⑴-244(2)C

對于空間向量坐標(biāo)的計算有以下兩種途徑：

(1)直接計算問題

首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來,然后準(zhǔn)確運用空間向量坐

標(biāo)運算公式計算.本探究中例題就是用給出的向量坐標(biāo)直接

套用數(shù)量積相關(guān)公式求解.對于(1)問中運算方法還可以先

求出2a+3b與a-2b的坐標(biāo)再計算.

(2)由條件求向量或點的坐標(biāo)

首先把向量按坐標(biāo)形式設(shè)出來,然后通過建立方程組,解方

程(組)求出其坐標(biāo).變式中的求參問題便屬于這一類型題

目.

跟蹤訓(xùn)練1若向量a=(l,1,x),b=(l,2,1),c=(l,1,1),且滿

足條件(c-a)?(2b)=-2,則.

解析：據(jù)題意,有c-a=(0,0,1-x),2b42,4,2),故

(c-a)-2b=2(1-x)=-2,解得xd答案:2

例2已知空間三點4(-2,0,2),8(-1,1,2),。(-3,0,4),設(shè)

a=AB,b=AC.

⑴若|c|=3,c〃而，求c;

(2)若ka+b與Aa-2b互相垂直,求k.

解：(1)因為前二(-2,T,2),且c〃就，

所以設(shè)c=4近=(-2九-九24)，得

/c/J(-2A)2+(-A)2+(2A)2即人肉

解得X=±\,即c=(-2,T,2)或c=(2,1,-2).

(2)因為a-AB=(1,1,0),b=AC-(-1,0,2),所以

Aa+b=(^-l,k,2),Aa-2b=(4+2,k,-4).

又因為(Aa+b)_L(Aa-2b),所以(為+b),(Aa-2b)O,

即(A-l,k,2)?(右2,k,-4)=2^-61-10=0.解得左即或k=--.

變式：若將本例改為“若Aa-b與瓶，2b互相垂直”，求k

的值.

解：由題意知Aa-b=(A+l,k,-2),Aa+2b=(4-2,k,4),

V(Aa-b)_L(4a+2b),，(%a~b)?(4a+2b)4),

即々+1)(4-2)老解得k=-2或/故所求k的值為-2

吟nlz—.

判斷空間向量垂直或平行的步驟.

(1)向量化:將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平

行.

(2)對于a=(x,y,z),b=(x,y,z),根據(jù)兩向量坐標(biāo)間的關(guān)

111222

系判斷兩向量是否垂直；根據(jù)=

121212

R)或衛(wèi)=左=幺(X,八z都不為0)判斷兩向量是否平行.

%2Z2222

2.求出參數(shù)值后還要再回歸到原題檢驗解的可行性,解決平

行或垂直時用的坐標(biāo)，含參數(shù)的還要注意分類討論思想的應(yīng)

用.

跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCD-ABCD中，￡是棱〃〃的中點,P,0分

別為線段物上的點，且3瓦下=的，若PQL

4區(qū)前=八成，求A的值.

解:如圖所示，以〃為坐標(biāo)原點，的,用如所在直線分別為x

軸,夕軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體棱長為1,

則4(1,0,0),￡(0,0彳)，8(1,1,0),6(1,1,1),〃(0,0,1),

由題意,可設(shè)點尸的坐標(biāo)為(a,a,1),

因為3帝=可,所以3(a-l,a-1,0)=(-&-a,0),

所以3a-3=-a,解得a^,所以點尸的坐標(biāo)為(j*1).

由題意可設(shè)點0的坐標(biāo)為（6,，,0）,

A~~~B

因為做1仍所以所.荏R,所以（6》,T）?（-1,0,-）

442

電

即-（《）畀，解得吟所以點。的坐標(biāo)為（強0）-

因為麗=4而，所以（T,T,0）=4（裊，0），所以（=T,故

A二一4.

例3棱長為1的正方體力頌T8中，￡EG分別是

iiii

如，"緲的中點.

11

（1）求證:斯D;（2）求cos而,次）；（3）求四的長.

⑴證明：以〃為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD所在直線分別為x軸,y

1

軸,Z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

則〃（0,0,0）,￡（0,0）1）,C（0,

所以薩（另,分謂嗚go），研（i，o,9,曬（0,<4

）?

因為"-CF=|x1+|x（―），（T）義。老所以加1CF.

即EFLCF.

⑵解:因為麗?德=11號xo+（T）W=：

而/=J（|）2+（|）2+（4）2=

當(dāng)聞仁］#+02+g2=與

EF.CG7V15

所以cos<EF,CG>~-------=返去=7T-

EF\CG\22

⑶解：/6F/-/CE/=02+（_1）2+（工）2=叵

通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使

盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上，以便寫點的坐標(biāo)時便捷.對于

正方體載體常用的建系方法一般如例題中所述.建立坐標(biāo)系

后，寫出相關(guān)點的坐標(biāo),然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把

向量坐標(biāo)化,然后再利用向量的坐標(biāo)運算求解夾角和距離問

題.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱

柱）/SCT8C中，CA=CB=\,

111

,棱412，川為AA的中點.

11

（1）求的長；（2）建立直角坐標(biāo)系，求cos<O,瓦下）

G

解:如圖，以。為坐標(biāo)原點,CA,CB,3所在直線分別為x軸,y

i

軸，Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

（1）依題意得3（0,1,0）,Ml,0,1）,

布/J(1-0)2+(

/.//o-l)2+(l-o)2=V3,

.,.線:段8V的長為VI

(2)1衣題意得4(1,0,2),8(0,1,0),C(0,0,0),6(0,1,2),

AA吊=(-1,1,-2),可>(0,-1,-2),

AA了?鴕=(T)X03-1X(-1)+(-2)X(-2)-3.

又〃/W6,rB]d/r虧，

?B^_V3O

)S<A[B,B7C>^^

Act-10,

ATB|B；c

4BI

N

k

)

Xy

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.已知M5,-1,2),4(4,2,-1),0為坐標(biāo)原點,若麗=AB,通過練習(xí)鞏固

本節(jié)所學(xué)知識，通

則點6的坐標(biāo)應(yīng)為()

過學(xué)生解決問題，

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)

D.(-9,-1,-1)

運算、邏輯推理、

解析：砌=荏=加一萬?,加=兩+面=(9,1,1).因

數(shù)學(xué)建模的核心

為0為坐標(biāo)原點,則點8坐標(biāo)為(9,1,1).

素養(yǎng)。

答案:B

2.在空間直角坐標(biāo)系中，點產(chǎn)(-2,1,4)關(guān)于點#(2,-1,-4)的

對稱點的坐標(biāo)是()

A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)C.(6,-3,T2)

D.(-2,3,12)

解析:設(shè)對稱點為P,則點物為線段外的中點，設(shè)尸(X,y,z),

333

由中點坐標(biāo)公式,可得

x=2X2-(-2)=6,y=2X(-1)-1--3,z=2X(-4)-4=—12,所以

一(6,T,T2).答案:C

3

3.(多選)已知a=(2,-3,1),則下列向量中不與a平行的是

()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)

D.(-2,-3,5)

解析:若a〃b,bWO,必有b=4a.則b=(-4,6,-2)

時,b=-2⑵-3,l)=-2a,所以a〃b.經(jīng)檢驗,其他向量均與a

不平行.答案:ACD

4.已知向量a=(l,1,0),b=(T,0,2),且Aa+b與2a-b互相垂

直,則A的值是________.

解析:依題意得(Aa+b)?(2a-b)=0,所以

22

2k/a\~ka?b+2a,b-1b|老

22

而|a|=2,|b|=5,a?b=T,所以4k+k~2T>=0,解得k%答

案[

5.已知A(2,-5,1),M2,