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專(zhuān)題03高中你數(shù)學(xué)數(shù)列解答題強(qiáng)化訓(xùn)練
I.設(shè)%,。2,…,M為非負(fù)數(shù),求證:
J%+a?+,,,+an+J%+a?+…+a“+Ja?+…+a*++>J%+4a2+9a.+…+史冊(cè).
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
當(dāng)n=l時(shí),結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論對(duì)于任意k個(gè)非負(fù)數(shù)成立.則當(dāng)n=k+l時(shí),對(duì)于任意k+1個(gè)非
負(fù)數(shù)…,a*,am,根據(jù)歸納假設(shè)有
a+aaaaa2
y/23■1---k+i+V3*1----,■k+i---1■y/k+i2Jg+4a3+9a44---1-fcak+1,
從而
J%+a?+.“+4+1+y/a2+a3+―+ak+1+…+^ak+1>
2
《a、+a24---Fa—+y/a2+4a3+9a44---^kak+1
;
卜面證明、/at+a?+…+a*+±+^/a2+4a3+,,,+ka^+1>+4a2++(k+①
由柯西不等式可得
[(Va?)2+(V@)~+1??+?[(v瓦)2+(2正)'+…+(fcV°k+Z)"]2(丫瓦?后+、,④?2曬+
應(yīng)?3VaI+
2
即(。2+…+Qjc+i)。+4a3+…+妒%+i)2(a2+2Q?+3a4+…+fctz^+1).
于是有JSi,+%+…+。7+1.)?+4a?+…+12。*+])>(a2+2a34-3a4…+“+!.)?
2
故(J5+。2+…+Qk+i++4a3+…+k2cik+i)2Qj.+4a2+…+(k+l)flfc+i?
從而JQ1+a2+…+Qjf+i+個(gè)a2+4a+???+卜25+1>個(gè)a*+4a?++(A+
即①式成立.
由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的非負(fù)實(shí)數(shù)…,品結(jié)論均成立.
2.已知數(shù)列{冊(cè)}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列{%}前n項(xiàng)和為又,
且7兩足S5=204+
⑴求數(shù)列{5}的通項(xiàng)公式:
⑵若Gm+Qm+1=Qm+2,求正整數(shù)m的值;
(3)是否存在正整數(shù)m,使得恰好為數(shù)列{4,}中的一項(xiàng)?若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的m值,若不存在,
^2m-l
說(shuō)明理由.
“公心.1rm為奇數(shù)
【答案】(1)冊(cè)=n(2)m=2(3)m=1或m=2
(2-3廠,為猗數(shù)
【解析】
試題分析:(1)數(shù)列{aj通項(xiàng)分奇偶求:方法為待定系數(shù)法,注意項(xiàng)數(shù),由55=2%+(1549=%+£14可解
得公差及公比,從而a?女==2?3"-:,a2k-i=+(k-l)d-2k-1.因此
TUI為春數(shù)
an=C(2)由于數(shù)列{冊(cè)}通項(xiàng)分奇偶,因此從奇偶分別討論:若
2?3亡~門(mén)為偎數(shù)
m=2fc(kcN*)則a?山次+工=。2"2,解得m=2;若m=2k-l(fceN*),即%"%=叫,解得k=i,
舍(3)先求和£m-i=(。工+(Q?m.i)+(。2+。4+???+。2m_2)=3m-1+m2-1,限定
工==3_W3,而工■為正整數(shù),即』?只能為%,出43,分類(lèi)討論得
SmT+a.:m£丁-;)
$2ETS2ET3'+E2TS2m-1$2吁1工’3
m=1或m=2.
試題解析:⑴設(shè)%,%,。5…-,J…的公差為d.
。2,。4,…r…?的公比為Q,則=。2?q=2q,Q?=%+d=1+d,。9=Q1+4d
d4=2a4+a5(a4=ax+a2+a3
叫a9=a3+a41al+4d=%+d+2q
故k=5q,i-2.31
a211T=ax+(k—l)d=2k—1
■nn為奇數(shù)..
{2-3—n為點(diǎn)J7
(2)由0m—=am+2,若m=2k(kcN*),則叼皿1=2"+2
即2k+1=3nk=1,即m=2
若m=2k-l(keN*),即a2t-ia2t=a2M
即(2"1)23J=2k+l
2
2—二
為正整數(shù)
???一一為正整數(shù),即2k-1=1
2k-l
即k=l,此時(shí)式為2?3°=3不合題意
綜上,m=2.9分
⑶若工為{冊(cè))中的一項(xiàng),則二迎為正整數(shù)
$2ET^2m-l
又52m-1=(ai+Q3+…(Q2m-1)+(a2+Q4+…+。2市-2)
zn(l+2/n-l)2(3--1)I…、4
=-----------------+t—--:-----=3m*+m,-1
Z3-1
.S-m_Szm-i+a2m=2(m2-1)
”_—Szm-i_
故若餐為{品]中的某一項(xiàng)只能為a,,a,,a3
$2ET
YE?.1)
①若3—=1=無(wú)解
3m-l+m2.1
②若3-十!N-=2=3m-2+l-m2=0,顯然m=l不符合題意,m=2符合題意
3m-1+rn2-l
當(dāng)m>3時(shí),即/'(m)=3m-i+l-m2,則f'(m)=3m-1ln3-2m,r(^)=3m-i(ln3)2-2>0
即「(m)=3m-lln3-2m為增函數(shù),故r(m)>f'(3)>0,即/'(m)為增函數(shù)
故/'(m)>/(3)=1>0,故當(dāng)m23時(shí)方程3et+1-m2=0無(wú)解
即m=2是方程唯一解
③若3-3-wl誓-1+m*2-l=3=m2=1即m=1
綜上所述,m=1或m=2.16分
考點(diǎn):等差數(shù)列及等比數(shù)列綜合應(yīng)用
3.設(shè)等比數(shù)列{冊(cè)}的前n項(xiàng)和為又,且冊(cè)+i=2Sn+1(neN*).
(1)求數(shù)列{&J的通項(xiàng)公式;
(2)在冊(cè)與冊(cè)+工之間插入n個(gè)實(shí)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)依次組成公差為媒的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{怖}的前n項(xiàng)和為7;,
求證:7;<-.
【答案】(1)冊(cè)=3nY⑵見(jiàn)解析
【解析】
(1)由{冊(cè)I%—';(:2),兩式相減得即+1-冊(cè)=2(5n-Sn_1)=24,
所以an+i=3an(n>2).
因?yàn)椋鸻/等比,且(:2=2%+1,所以3%=2al+1,所以%=1.
故。?=3rlT.
⑵由題設(shè)得=冊(cè)+(n+l)dn,所以W=產(chǎn)T=辛?
所以2乙=2+:+a+…+券,
所以7;=竺一注c竺.
719£尸-1g
4.數(shù)列{冊(cè)}為等差數(shù)列,且滿(mǎn)足3a5=8%2>0,數(shù)列{&J滿(mǎn)足
bn=an-an+1-an+2(rieN*),{%]的前n項(xiàng)和記為無(wú).問(wèn):當(dāng)n為何值時(shí),5n取得最大值,說(shuō)明理由.
【答案】16
【解析】
因?yàn)?a5+8a12>0,所以3a5=8(Q5+7d).解得as=-yd>0.
所以d<0,a:=——d.
故{aj是首項(xiàng)為正數(shù)的遞減數(shù)列.
'Qn20-jd+(n-l)d>0
由即4,解得15:MnV16:
°n+l—°--d+nd<0
即Q”>0,a17<0,所以%>a2>a3>…>a16>0>a17>a18>…,
所以瓦>b2>b2>…>>0>瓦7>尻g>…,
而=<05^16-處6。17。]。>。?
故又4>^13>…>S],>5工5,5工5<$工6>S工6>S[7>?^1S>
又又6-S:4=/5+^16=fl16ai7(fl15+fl19)
/6,9\3,
aa
=i6i?\55=5da±6a17>0
所以又中又6最大,即n=16時(shí),Sn取得最大值.
5.在數(shù)列中,4、是給定的非零整數(shù),an+2=|an+1-an|.
(1)右%6=4,a”=1,求&2019;
(2)證明:從匕門(mén)中一定可以選取無(wú)窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)項(xiàng).
【答案】⑴1(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)因56=4,a&g=3,%9=2,G'O=1,&2[=1,&22=°,
。23=1,&24=1,02s=0'????
所以自第20項(xiàng)起,每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期的取值為1,1,0.
又2018=194-666x3+1,故a201g=1.
(2)首先證明:數(shù)列{a“}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)"O''項(xiàng).
假設(shè){外,}中沒(méi)有“0”項(xiàng),由于%+2=|%+1—冊(cè)|,所以當(dāng)H23時(shí),都有冊(cè)之L
若冊(cè)+工>an>則品+2=an+i-an<an+1-l(n>3).
若心+工<an,則%+2=an-an+iW%-l(n>3).
即4+2要么比%+工至少小1,要么比M至少小1,
令n=],2)3,…,則0〈%+1M
ka2n+2^a2n+lva2n+2
由于無(wú)是確定的正整數(shù),這樣下去,必然存在某項(xiàng)九<0,這與%>0矛盾,
故{a』中必有"0”項(xiàng).
若第一次出現(xiàn)的“0”項(xiàng)為品,記MT=M(Mh0),
則自第n項(xiàng)開(kāi)始,每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期的取值0、M、M,
即品+以=°,冊(cè)+2“+1="‘,Qn+2k+2=Z=°,1,2,...
所以數(shù)列{an}中一定可以選取無(wú)窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)列.
6.已知數(shù)列{。八}滿(mǎn)足:A=1>Qn+i=冊(cè)+W(ncN").記
n
Z『肅求'"Tn的值。
【答案】5"+兀=1
【解析】
因?yàn)樗?1=Qn+an1所以即+1=%(1+4).所以;二=詈,
工十a(chǎn)n>|
故S=”.生.生.....旦=馬_==_.
fl2fl3fl4an*lan*laK*l
所以-^―二-廣--=-----,所以~^二^-----,
Xan++1=an(l+an)?
On+lanCl+On)Or,l+anl+a?an
n
1H-----------=-----二-=1----
Z女=i1+5=ala2a2a30nan+ialan*l/?!1
因此又+7;=1.
7.已知數(shù)列{冊(cè)}中&=:,%+1=|an+^~?(neN,),
(1)求數(shù)列{%J的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和%
【答案】⑴冊(cè)=W2)S"=6—要一
【解析】
⑴由=;%+辨(neM)知2計(jì)&+1=2"an+2n+l(neiV)
n
令心=2an,則瓦=1且M=bn+2n+l(neN*)
由》n=Sn-bn_J+Qn-*-bn-.)+…+(%—無(wú))+瓦=(2n—1)+??-+3+1=n
(2)由題意知£=5+?+捺+5+…+獻(xiàn)+5
所以洛+知+*..+答+w
兩式相減得三5"=±+5+5+三+三.“+色/-£
2nj”j324J*2K2'一,
設(shè)圖="/+/+芯+方…+喑,再利用錯(cuò)位相減法求得7k=3一堂
所以Sn=6-法-三=6-二塔.
??2T5T21*2匕
8.已知數(shù)列{時(shí)}滿(mǎn)足:ai=Lan+i=;W+7n(ncN,),若對(duì)任意正整數(shù)兀,都有冊(cè)<4,求實(shí)數(shù)7n的最大
值.
【答案】m的最大值為2.
【解析】
因?yàn)?>+,一%=酒一品+m=;(/-4)2+m-2>m-2,
故On=4+EkZi(ak+i-Ok)1+(m-2)(n-1).
若m>2,注意到n—+8時(shí),(m-2)(n-1)—+8.
因此,存在充分大的兀,使得1+0-2)(71-1)>4,即冊(cè)>4,矛盾!
所以,m<2.
又當(dāng)m=2時(shí),可證:對(duì)任意的正整數(shù)n,都有0<冊(cè)<4.
當(dāng)n=l,a1=1<4,結(jié)論成立.
假設(shè)兀=%(女21)時(shí),結(jié)論成立,即0</<4,
則0<a—=2+<24-jX42=4,
即結(jié)論對(duì)0=%+1也成立.
由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有0<an<4.
綜上可知,所求實(shí)數(shù)m的最大值為2.
9.設(shè)實(shí)數(shù)X1,XI,X20I8滿(mǎn)足琮+1=//+2(”=1,2,2016)和口?。て?L證明:xioo9xioioM1?
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
證明:由條件/,Xn+2同號(hào)?反證法,假設(shè)4009.“020>1.
(1)若X'Og,同為正數(shù),由Xn,%+2同號(hào)可知X”X2,....X2018同號(hào).
由X;+iWXn/+2=2^=22V汕£工21
+1
""+Xn47*3008*100?X1010
n^ioo9^ioioW^-loii^iooen^ioii*iooe>1
同理-=巫.-=X1007X1012>1.
*1007x1008*1007x1010x1011*1010
類(lèi)似可證明:^1006^10131,“1.005X1,0工4〉L…,二工無(wú)2019>
因此n魏¥Xn>L矛盾.
(2)若Xiog,孫020同為負(fù)數(shù),由Xn,Xn+2同號(hào)可知x”X2,…,X2018均為負(fù)數(shù),仍然有
啾+1<*/+2=竽W濘,類(lèi)似⑴可證得.
xn*n*l
10.將2獻(xiàn)九N2)個(gè)不同整數(shù)分成兩組。1,°2,…,。〃;bi,岳,…,狐證明:
21品/七一4一2n.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
證明:令及=£..」由一號(hào)|一£(向一/|+|%-&|),
下面用歸納法證明7;>n.
當(dāng)71=2時(shí),不妨設(shè)4|<〃2,h\<h2f〃2<。2.
a
T2=|=-QJ+%-aj+1bl-aj+%-a21112-a1一電一瓦I,
當(dāng)對(duì)<b1n乙=瓦一%一/-/+\b±-a2\>2;at>b.=>T2=b2-Q2-。「瓦>2.
假設(shè)對(duì)正整數(shù)〃成立,對(duì)正整數(shù)〃+1,
不妨設(shè)/<a2<??<an+1,b1<b2<???<tn+1,an+i<以+=
再設(shè)M<Qn+I<九+i,則有:
^n+l—£:=/九+i-%|+£匕瓦+工-4I-£匕|4+1-aj
—比=1瓦+1-瓦?+瓦+1-Qfi+iI+4
下證£屋瓦+x-Qi|+比11bi-瓦I-%加2-/I-£匕瓦+L瓦|N0.
由⑴九V%+式2,...,H),得到:
nnnnn
+i_atI+£瓦+,-Al-W%+i—田|—W山n+1-瓦I=2W(瓦一冊(cè)+1)>0
ial1=1tsiisli=k+l
(2)若冊(cè)+工(瓦,則
£%瓦+i-aj+£入瓦+「瓦I-£匕1冊(cè)+1-片|-£匕瓦+1-瓦|=£工式瓦一an+1)>0.
11.已知數(shù)列{aQ中,a,=Laz=:,且冊(cè)+1=與普(《=23?“)
⑴求數(shù)列{a“}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)一切兀CN+,有Z:=1a
【答案】(:(見(jiàn)解析.
l)an=—3n―-2H6iV+);(2)
【解析】
(1)由己知,對(duì)兀之2有/一------
-7(n-l)an(n_1)0nn-1
上式兩邊同除以n并整理得」---^―=-(工一,
n0n+,(n-ljOrt\n-ln/
則wg
(k-l)at
即君:一2=一(一三)(心2)
故品;=機(jī)_(1一三)=怒
因此,a=-^(n>2)
n3n-z
又當(dāng)九=1時(shí)也成立,故冊(cè)=二^(兀6N.)
八371-2千
⑵當(dāng)“22時(shí),有破=云芬<研志石=;(舟一念)
所以,當(dāng)心2時(shí),有21破=1+£:破<i+:W1Gh一六)
又當(dāng)幾=1時(shí),a?=1<-
6
故對(duì)一切neJV+>有EL破<匕
12.棋盤(pán)上標(biāo)有第0,I,2,…,100站,棋子開(kāi)始時(shí)位于第。站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正
面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99站(勝利大本營(yíng))或第100站(失敗
集中營(yíng))是,游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為4.
⑴求心的值;
⑵證明:Pn+1-Pn=~j(P-Pn+1)(2<n<99);
(3)求/9*&OO的值.
【答案】⑴京2詞+】一Pn="匕-Pn_J(2<n<99)(3)/。=+哀)
【解析】
(1)棋子跳到第3站有以下三種途徑:連續(xù)三次擲出正面,其概率在;;第一次擲出反面,第二次擲出正面,
其概率為:;第一次擲出正面,第二次擲出反面,其概率為:,因此?=
(2)易知棋子先跳到第n-2站,再擲出反面,其概率為:4_2;棋子先跳到第n-1站,再擲出正面,其概率
為:4_工,因此有
2
=2(4T+^n-2)?
即4一4T=-;(&T+Pn_2),
也即--Pn-,)(2<n<99).
(3)由(2)知數(shù)歹ij{4—4_J(nN1)是首項(xiàng)為國(guó)一4_J(nN1)/一用=j-l=-^,公比為一那等比數(shù)"J.
因此有&-=(-;)*:(為一為)=甯.由此得到
%=(一;)”+(*)"+…+H)+[=總一擊)
由于若跳到第99站時(shí),自動(dòng)停止游戲,故有生“=衿9=:(1+/)
13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和5fl滿(mǎn)足25n—n0nneiVS且%=3.
⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)b“=^——=,7;為數(shù)列{&J的前兀項(xiàng)和,求使〃>9成立的最小正整數(shù)兀的值.
an+i+an+lVan20
【答案】(l)an=1+2(n—1)=2n—1(2)50
【解析】
(1)由25n一na九=m得2sn+x-(九+1)。升1=n+L
將上述兩式相減,得20n+i-(n+l)an+1+nan=1.
所以nan-(n-l)an+1=1.①
所以(n+一演2升2=L②
①一②,得nan-2nan+1+nan+2=0?
a
所以?xún)?cè)+n+2=2an+i?
故數(shù)列{Qn}為等差數(shù)列.
又由25里一Q1=L及/=3,得%={an}的公差d=2.
所以。?=1+2(n—1)=2n-1.
(2)由(1)知,b=-——、——r^=.
n(2n-l)V2n+i+(2n+i)%/2n-l
所以b=_______________i_________、
nV2n-1-V2n+1-(V2n-1-H'2n+1)
1-V2n+1-A-2n-l1(1
=-X-zzz^z-金).
2VZn-i-VZn+l2\V2n-lv'2n+i/
所以北=X專(zhuān)-:信-盍)+…+:(出1=
=2-高)
由一>崇所以高4,2”+1>1。0,n>^,
弟得2一熹)
所以使7;>5成立的最小正整數(shù)兀的值為50.
14.給定數(shù)列(/]。證明:存在唯一分解X"=%-Zn,其中,數(shù)列U%}非負(fù),{Z.}單調(diào)不減,且
%(馬—ZJI-2)=°,z()=0。
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
0,
用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí),y1(,z1-z0)=y\z1=0=?或{1;=1?若必-則已;=o";若
Xx<0,貝.因此,當(dāng)71=1時(shí),命題成立.
假設(shè)當(dāng)n=1)時(shí),命題成立.則當(dāng)n=k+1時(shí),題設(shè)等價(jià)于
yk+i-(Z&+,-zD=Xk+i+Zk
心+:(Z-—個(gè))=0=[_y^=°、或/竽=j+4消.若*k+-ZkNO,則
>0匕m-Zk——(父女+t+zQIzk^iZjj—。
{z-z>0,z-0
k+1fco
產(chǎn)+:=**+:+Zk若x+Zk<0,則絲=,0?故當(dāng)n=k+l時(shí),命題成立.
(zk+i=zkfUk+i=-Ak+i
由數(shù)學(xué)歸納法,知對(duì)于任意的自然數(shù)n,命題均成立.
15.已知數(shù)列{%}滿(mǎn)足冊(cè)+1=-:冊(cè)+表0162+).求所有心的值,使得{4}為單調(diào)數(shù)列,即{%}為遞增數(shù)
列或遞減數(shù)列.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
依題意得冊(cè)+1=-7n+就.
n+1n+1
于是,ean+1=-;x3an+3.令以=3"/.則
n1
bn+1=-1*n+3=>bn-1=-1(hn_t-0=(&t-1)(-1)'=(3^-0-(0"
=冊(cè)=*a(:+(3%-凱一3n')=(一行’(;(_3"'+(%―:))
若則當(dāng)n充分大時(shí),玲㈢|<1%臼
又XV)")(七一加七一:同號(hào),從而,{an}正負(fù)交替,不是單調(diào)數(shù)列.
當(dāng)%=:時(shí),an=壬廠’為遞減數(shù)列.
16.設(shè)等比數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和為為=2"+r(r為常數(shù)).記〃=2(1+log20n)(xeZ+).
(1)求數(shù)列3%]的前n項(xiàng)和加
(2)若對(duì)于任意的正整數(shù)n,均有嚕?等…吟2人阮不I,求實(shí)數(shù)k的最大值.
。力0n
n+1
【答案】(1)及=(n-1)x2+2(neZ+);(2)^
【解析】
(l)由條件易知
=2+r,a2=S2—=2,aa=S3—S2=4.
代入a;=a,a3,得r=-l.
n
于是,Sn=2-1
B-i
則%=2,bn=2(1+log2an)=2n,
n
anbn=nx2.
故7;=1x21+2x22+…+(n-1)x2"-1+nx2"
=>27;=1x22+2x23+--+(n-1)x2B+nx2n+1.
以上兩式相減得
-7;=21+22+-+2*2+2*nx2*t
=>7;=(n-1)x2n+1+2
n+1
從而,數(shù)列{43)的前n項(xiàng)和為7;=(n-l)x2+2(neZ+)
(2)注意到,kw三?汕?-…3=±?也?出…業(yè).
-Vn+1-b2bnv'n+1242n
構(gòu)造價(jià))=三?也?出…式.
9、'Vn+1242n
則f(n+J_75m.l+2(n+1)_卜#+3+9〉]
/(n)Vn+32(n+l)、4n2+12n+9
于是,數(shù)列丁(n)}嚴(yán)格單調(diào)遞增.
從而,f(n)的最小值為f(l)=當(dāng),即實(shí)數(shù)k的最大值為乎.
2
17.已知數(shù)列{5}滿(mǎn)足%=看0n=0n-+-an-i(keZ+)a2(kG若對(duì)于所有的neZ”均有0n<1,求k的
取值范圍
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
當(dāng)k=l,即ao=i時(shí),由數(shù)學(xué)歸納法知/=n+l(neZ+)
當(dāng)k=2時(shí),由an-an_!=上若_1GleZ+)=>an-a0=_簧.
顯然,{a』為單調(diào)遞增數(shù)列.
故冊(cè)-a。>進(jìn)2k=弟+確>(;一/尼+;
a、〉*—1.29~~339
n32416(n+l)-3216(?+1)*
當(dāng)菽篇〈口寸,有七>】,當(dāng)人3時(shí),
a
由金一an-i=^an-in
因此當(dāng)k>3時(shí)首冊(cè)<l(neZ+)
18.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和,形成新的數(shù)列,這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次“Z擴(kuò)展”.已
知數(shù)列1,2,3第一次Z擴(kuò)展后得到數(shù)列1,3,2,5,3;第二次Z擴(kuò)展后得到數(shù)列1,4,3,5,2,1,5,
8,3;......設(shè)第n次Z擴(kuò)展后所得數(shù)列11%工,x2>xm<3,并記a”=1+孫+*+…++3?
(1)求a*、a2X%的值;
(2)若%=%-2,證明:{&J為等比數(shù)列,并求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式.
n
【答案】an=4x3+2
【解析】
設(shè)X()=l,Xm+i=3,an=
x
則冊(cè)+2=Z^o'i+£乜。5+片+J=3£時(shí)距一Xo-Xm+I=3an-4.
由。工=1+3+2+5+3=14,得ciz=3al-4=38,a3=3a
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