空間向量及其運算的坐標表示與空間向量應用-2020-2021學年高二數(shù)學周計劃高效訓練人教A版

第"周變間陶堂義共運算的坐標表求易生同

向董成用

選擇題

1.若向量）=（1,九1）,萬=（2,—1,-2）,且M與5的夾角余弦為也，則；I等于

A.-&B.V2c.-五或6

【答案】A

【解析】?.?向量>=(1,4,1),5=(2,-1,-2),

方與5的夾角余弦為立，

=包

cos<a,b>=

\d\-\b\52+把.也

解得;1=-夜.

故選A.

2.若行=(2,-3,5),B=(—3,1,2),則|M—25|=

A.75/2B.5夜C.3MD.6x/3

【答案】C

【解析】a=(2,-3,5),5=(-3,1,2),

々-2b=(8,-5,1),

a-2h\=V64+25+1=3>/10.

故選C.

3.已知向量M=(1,1,0),B=(—1,0,1),且%+B與M互相垂直，則％=

A.-B.-C.--D.

323

【答案】B

【解析】?.?向量訝=(1,1,0),5=(-1,0,1),

：.ka+b=(k-l,k,1)；

又切+6與?；ハ啻怪?

/.(ka+h)^a=O,

即d)xl+Z=O,

解得R=L

2

故選B.

4.已知向量。=(—2,x,2),1=(2,1,2),c=(4,-2,l).若:_L(5-O,則x的值為

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】A

【解析】因為向量&=(-2,x,2),6=(2,1,2),c=(4,-2,l),

所以5-八(-2,3,1)；

又-,

所以2.S,-0=0,

即-2x(-2)+3x+2xl=0,

解得x=-2.

故選A.

5.空間向量通=(1,0,-1),平面。的一個法向量加=(0,1,1),則直線AB與平面a所成角為

A.-B.-C.乙或留D.生或二

636633

【答案】A

【解析】直線/與平面a所成的角的正弦值：sin^=|cos<AB,萬>|=1學向=」

\AB\\n\V2xV22

則直線A3與平面a所成角。為：

6

故選A.

6.已知商=(2,1,-3),B=(0,-3,2),0=(—2,1,2),則??(』+>)=

A.18B.-18C.3應D.-30

【答案】B

【解析】6+3=(-2,-2,4),a=(2,1,-3),

汗?(b+d)=T-2-12=-18.

故選B.

7.在正四面體P—ABC中，棱長為2,且E是棱AB中點，則近?反1的值為

A.-1B.1C.V3D.-

3

【答案】A

【解析】如圖，P-ABC為正四面體，則ZAPC=ZBPC=ZAPB=60°,

E是棱Afi中點，

所以而」(而+函，BC=PC-PE

所以

而而小由畫叱-畫《麗附

-PB-PC--PA>PB--PB=-X2X2XCOS600--X22=1-2=-1>

22222

故選A.

4

?

8.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若麗，氏,BP=(x-l,y,-3),且

平面ABC,則實數(shù)x、y、z分別為

A.史，-竺，4B.竺，上,4廠40c，n440

4C.—,—2,4D.4,—,一15

777777

【答案】B

【解析】ABLBC,

AB.BC=3+5-2Z=0,解得z=4.

就=(3,1,4).

?.必J_平面ABC,

BPLAB,BPLBC.

BP?AB=x-l+5y+6=0化為[工+5y+5=0

BP.BC=3(x-l)+y-12=0[3x+y-15=0，

40

x=—

7

解得15.

y=----

I7

4015)

x=—，y=-----?z=4?

7-7

故選B.

9.如圖，在棱長為1的正方體ABC。—4gG〃中，M為BC中點，則直線MD

與平面AgC所成角的正弦值是

D.叵

5

【答案】D

【解析】以Q為原點，OA，QG，OQ分別為X,y,z建立空間直角坐標系,

顯然平面A4c的法向量“月=(1,1,1),

0(0,0,1),加(1,1,1)'>

22

—一i+13715

73-4標5

由直線MD與平面世C所成角的正弦值等于Icos<R百，DA1|,

故選D.

y

10.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD翻折，使得二面角A—50—。的平面角的大小為一,

3

若點E,產分別是線段AC和BD上的動點，則8瓦次的取值范圍為

A.[-1,0]B.[-1,1]C.[二⑼D.[-11]

4224

【答案】B

【解析】如圖，BE-BC=(BO+OE)^CO+OF)

=BO.CO+BO-OF+OE.CO+OE.OF

=0-(pB-OF+OE.OC)+0

=-(OB?OF+OE.OC),

也

?/OB=0D=2

22

V2

?/OC=OA=2一二面角A—BD—C的平面角的大小為

3

/.(9E.OC

42

—-—?1

BE^CFe[-l,1].

故選B.

Bc

11.在長方體A8C0—4月6。1中，AB=BC^2,AA,=1,則直線BQ與平面臺片。〃所成角

的正弦值為

「屈

A..—>/6BR.-V-i-o-C.---nD.V-i-o-

3255

【答案】D

【解析】在長方體A88-ABCQ中，AB=BC=2,⑨=1,

以3為原點，D4為x軸，ZX7為y軸，OR為z軸，建立空間直角坐標系，

8(2,2,0),G(0,2,1),0(0,0,0),D,(0.0,1),

BC,=(-2,0,1),DB=(2,2,0),DDt=(0,0,1),

設平面B8Q2的法向量為=(x,y,z),

貝〃_.',取x=l,得元=(1,-1,0),

"?DR=z=0

設立線BC,與平面BBQDi所成角為0,

則立線BC,與平面84?？谒山堑恼抑禐?

而"1國則=3=叵

IBGHnl百&5

8

X

12.已知直四棱柱ABC?！狝AG4的所有棱長相等，ZABC=60°,則直線與平面ACC；A

所成角的正切值等于

A.如

4

【答案】D

【解析】如圖所示的直四棱柱ABCD-A4G。，ZABC=60°,取BC中點E,

以A為坐標原點，他所在直線為x軸，AQ所在直線為y軸，明所在直線為z軸，建立空間直

角坐標系.

設AB=2,則40,0,0)，4(0,0,2),8(6,—1,0)((6,1,0)，6(右,1,2),

BCi=(0,2,2),配=(瘋1,0),麗.=(0,0,2).

設平面4CGA的法向量為k=(X,XZ),

則上王=6+k°,取x=l,得萬=(1,-6,0).

為?A4,=2z=0

設直線BCt與平面ACG4所成角為。，

則3燃料高小

???直線BG與平面ACGA所成角的正切值等于半，

13.在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)A8C-A4G中，AB=2,E,尸分別為AG和

4片的中點，當AE和BF所成角的余弦值為a時，AE與平面8CG4所成角的正弦值為

C.叵或逅D,回

A.-后---DR.-a---

24442

【答案】C

【解析】設AAj=t,以8為原點，以垂直于5c的直線為x軸，3。為y釉，8片為z軸，建立空

間直角坐標系,

3￡

則4(51,0),一，/),B(0,0,0),0，

22

荏=(1,”),麗=吟,

?.?AE和所所成角的余弦值為1,

4

解得f=l或”更

5

.?亞=(-東”,或近=(-爭;

平面BCGB1的法向量力=(1,0,0),

:.AE與平面BCC.B,所成角a的正弦值為:

叢

\AE.n\2=屈|AE.n|

sina=或sina=

\AE\-\n\在1一4\AE\^ri\

故選C.

14.在長方體ABC?！狝旦GA中，AB=BC=2,44,=1,則入用與平面ABC所成角的正

弦值為

A2行R2c710

555

【答案】B

【解析】以。為原點建立空間直角坐標系。-孫z,

則A(2,0,0),與(2,2,1),0(0,0,1),8(2,2,0),

AB,=(0,2,1),AB=(0,2,0),宿=(-2,0,1),

設平面ABCQ的法向量元=(x,y,z),

.n*AB=2v=0-.

則n｛__.J,取x=l,則為=(1,0,2),

萬?A￡>]=-2x+z=0

設AB,與平面ABCXDX所成角為0,

則A6與平面A8GR所成角的正弦值為:

|鬲玩|_22

sin0=

I福'H萬I―石?石一二

故選B.

15.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，9=1，M=2,點。為棱網的中點，則4）與平面ACGA

所成角的正弦值為

A.BB.邁C.2D.逅

4422

【答案】B

【解析】以3為原點，在平面ABC內過3作3c的垂線為x軸，8c為y軸，3M為z軸，建立空

間直角坐標系，

則ag,1,0）,o（o,0,1）,c（o,i,0）,c,（o,i,1）,

設平面ACGA的法向量為=（x，y，z）,

n?AC=-^-x+—y=0

22'

則取x=l,得萬=(1,-73,0),

----J31

濘?AC[=-----x+—y+z=0

122

設4）與平面ACGA所成角為6,

則sin蚱9U盧*.

\AD\.\n\V2-24

A。與平面ACC,A所成角的正弦值為手

故選B.

二.填空題

16.如圖，在三棱柱ABC-A81G中，AB,AC,A4,兩兩互相垂直，A4,=2AB=2AC,M,N

是線段84，CG上的點，平面AMN與平面ABC所成（銳）二面角為當4M最小時,

ZAMB=.

【答案】-

6

【解析】以A為原點，為x軸，AC為y軸，A4,為z軸，建立空間直角坐標系,

設A4,=2AB=2AC=2,BM=a,CN=b,

則A(0,0,0),B(1,0,0),M(1,0,a),N(0,1,b),

AM=(I,0,a),麗=(0,1,b),

設平面AMN的法向量為=(x,y,z),

,\ri?AM=x+az=0_.,

由<__.,取z=1,得元=(-a,-h11),

［萬?AN=y+bz=Q

平面ABC的法向量慶=(0,0,1),

?.?平面AMN與平面ABC所成(銳)二面角為?，

71|rn?n\11

cos—=---------=1.=-=—，

3\m\^n\，/+》+"2

得,J+從=3,

.?.當最小時，BM=a最大，此時〃=石，b=0,

AB_1_V3

tanZAMH=

汽

6

故答案為：

6

17.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90°,AA,=AC=BC=l,則異面直線BQ與44

所成角為:二面角A-80-C的余弦值是,

【解析】建立如圖空間直角坐標系，A(0,1,0),B(1,0,0),C?(0,0,1)

晅=(-1,0,1),麗=(1,-1,0),

"■——■-11

由cos<BC.,Afi,>=廠l=一一，

V2.V22

故異面直線BC,與A用所成角為-,

設平面A8C?的一個法向量為而=(a,b,c),

m?BC.=-?+c=0,.但_“.八

由<__，由a=1,行w=(1,1,1),

m?AB=a—b=0

平面-3CC的一個法向量力=(0,0,1),

18.如圖，正三棱柱A8C-A81G中，各棱長均等于2,M為線段24上的動點，則平面MC與平

面AMG所成的銳二面角余弦值的最大值為-

【解析】如圖，以AB中點O為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系,

則A(-l,0,0),C,(0,G，2),

設M(l,0,〃)(啖加2),則而7=(2,0,〃)，猬=(1,6,2).

設平面AgM的一個法向量為*=(x,y,z),

".-V

,m=2x+nz=0,/口一.4-n

由1_y____廣，取z=-2,得叫二(〃,一產,一2)；

g?AC】=x+，3y+2z=0v3

平面ABC的一個法向量為色=(0,0,1).

設平面ABC與平面AMC,所成的銳：面角為0,

4I~---..叫2

COSU=1COS<m.，叫>|=|^=r-=-|=]

一向丹卜+4+丁

yin2-2n+7+6-

與〃=1,即〃為84的中點時，平面ABC與平面A"G所成的銳二面角余弦值最大為孝.

故答案為：—.

2

19.在正方體ABCO-AB&A中，二面角G-A8—O的大小為.

【答案】45°

【解析】如圖，設正方體AB8-A4GA的棱長為1,

以八4為x軸，以Z5C為y軸，以。A為z軸，建立空間直角坐標系，

則A(1,0,0),8(1,1,0),G(0,I,1),

AB=(O,1,0),AC,=(-l,1,1),

設面ABG的法向量為而=(%,y,z),

?/m?AB=0，”?AC[=0,

y=0

,...w=(l,0,1),

[T+y+z=0

???面ABCD的法向量比=(0,0,1),

設二面角G-AB-O的平面角為夕，

cos。=|cos<n,w>|

,1,V2

廿三

.-.6>=45°,

故答案為：45°.

三.解答題

20.已知：o=(x,4,1),b=(-2,y,-1),0=(3,-2,z),allb,bLc,求:

(1)a,b,Ci

(2)(@+d)與(5+3)所成角的余弦值.

【答案】(1)萬=(2,4,1),6=(-2,-4,-1),c=(3,-2,2);(2)~

_JC41

【解析】(I)'：a!1b=—,解得x=2>y=-4,

2y

故m=(2,4,1),5=(-2,-4,-1),

又因為所以&3=0,即-6+8—z=0,解得z=2,

故”(3,-2,2)

(2)由(I)可得少+^=(5,2,3),b+c=(\,-6,1),

設向量萬+5與5+^所成的角為6,

5-12+32

則cos6=

屈?屈19

21.如圖，BC=2,原點。是3c的中點，點A的坐標為0),點。在平面yOz上，且

"DC=90°,ZDCB=30°.

(1)求向量c/5的坐標.

(2)求而與3。的夾角的余弦值.

【答案】(1)CD=(0,-|,日)；(2)一半.

【解析】(1)過。作。E_L3C于E,則。后=。。同1130。=走

OE=OB-BDcos600=1--=-,

22

.?.D的坐標為。(0,1

22

—.3

又?.?C(0,1,0),/.CD=(0,--,

2

(2)依題設有A點坐標為A(苧，1,0),

AD=(-—,-1,—),BC=(0,2,0),

則通與前的夾角的余弦值:

AD?BC

COS<AD,BC>=

\AD\^\BC\

22.如圖，在棱長為2的正方體A8CD-A4C|R中，點E、F、G分別為人蜴，B.C,,的中

點，點P是正方形CCQQ的中心.

（1）證明：4尸//平面￡/7；

（2）若平面ARE和平面EFG的交線為/,求二面角A—/—G.

【答案】（I）證明見解析；（2）

2

【解析】（1）證明：連接RC,AC,

?.?點E,F,G分別為Ag，B1G，的中點，:.EG//DtC,

又￡>C<t平面EFG,EGu平面￡FG,.?.￡>，//平面EAG,

同理，AC平面EFG,

又￡>C「|AC=C,〃(7<=平面4(?〃，ACu平面AC4,

二平面ACR//平面EFG,

?.?點P是正方形CGR。的中心,

r.APu平面ACR,

”//平面所6；

(2)以。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

故荏=(0,1,2),席=(2,1,0),設平面ARE的法向量為力=(x,y,z),

由1—，可得仁,，令x=I,則斤=(1,一2,1),

n.D,E=0[2x+y=0

取平面瓦G的法向量為疣=(1,1,1),則加切=0,

二面角A-1-G的大小為二.

2

23.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱F4_L底面ABC。，AB=6，BC=\,

上4=2,E為PD的中點.

(1)求cos〈正，麗〉的值;

(2)在側面內找一點N,使NE_L平面尸AC,并求出N到AB和AP的距離.

146

【解析】(1)在四棱錐P-A3co中，底面ABCD為矩形,

側棱%_L底面A3CD,AB=￡,BC=\,PA=2,E為尸。的中點.

以A為原點，45為x軸，AO為y軸，"為z軸，建立空間直角坐標系,

則A(0,0,0),C(51,0),P(0,0,2),B4,0,0),

AC=(73,1,0),PF=(6,0,-2),

AC.PB33幣

cos(AC,PB)=

辰H麗|""x/7IT

(2)設在側面內找一點N(a,0,c),使NEL平面R4C,

1一1

D(0,1,0),E(0,一，1),NE=(-a,一，l—c),

22

AP=(0,0,2),AC=(x/3,l,0),

NE?AP=2Q—c)=。A

”_______i，解得〃=—,c=l,

NE?AC=-y/r3a+-=06

2

,0,1),

.??N到AB的距離為1,N到AP的距離為火.

6

24.如圖，直三棱柱ABC-A4G底面AABC中，C4=CB=1,ZBC4=90。，棱M=2,M是4與

的中點.

(1)求cos<44，西〉的值；

(2)求證：.