第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用教案(同濟大學(xué)版高數(shù))

第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1、理解多元函數(shù)得概念與二元函數(shù)得幾何意義。

2、了解二元函數(shù)得極限與連續(xù)性得概念，以及有界閉區(qū)域上得連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)。

3、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分得概念，會求全微分，了解全微分存在得必要條件與充分條

件，了解全微分形式得不變性。

4、理解方向?qū)?shù)與梯度得概念并掌握其計算方法。

5、掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)得求法。

6、會求隱函數(shù)（包括由方程組確定得隱函數(shù)）得偏導(dǎo)數(shù)。

7、了解曲線得切線與法平面及曲面得切平面與法線得概念，會求它們得方程。

8、了解二元函數(shù)得二階泰勒公式。

9、理解多元函數(shù)極值與條件極值得概念,掌握多元函數(shù)極值存在得必要條件，了解二元函數(shù)極

值存在得充分條件,會求二元函數(shù)得極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡多元函數(shù)得最大

值與最小值，并會解決一些簡單得應(yīng)用問題。

【教學(xué)重點】

1、二元函數(shù)得極限與連續(xù)性；

2、函數(shù)得偏導(dǎo)數(shù)與全微分；

3、方向?qū)?shù)與梯度得概念及其計算；

4、多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)；

5、隱函數(shù)得偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)極值與條件極值得求法；

6、曲線得切線與法平面及曲面得切平面與法線；

【教學(xué)難點】

1、二元函數(shù)得極限與連續(xù)性得概念；

2、全微分形式得不變性；

3、復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)得求法；

4、二元函數(shù)得二階泰勒公式；

5、隱函數(shù)（包括由方程組確定得隱函數(shù)）得偏導(dǎo)數(shù)；

6、拉格郎日乘數(shù)法，多元函數(shù)得最大值與最小值。

§9、1多元函數(shù)得基本概念

一、平面點集〃維空間

1.區(qū)域

由平面解析幾何知道，當(dāng)在平面上引入了一個直角坐標(biāo)系后，平面上得點尸與有序二元

實數(shù)組（無,y）之間就建立了一一對應(yīng)、于就是，我們常把有序?qū)崝?shù)組（元,y）與平面上得點P視

作就是等同得、這種建立了坐標(biāo)系得平面稱為坐標(biāo)平面、

二元得序?qū)崝?shù)組（尤,y）得全體，即R2=RxR=｛（;c,y）|x,yeR｝就表示坐標(biāo)平面、

坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P得點得集合，稱為平面點集，記作

￡1=｛（尤,列6回具有性質(zhì)尸｝、

例如，平面上以原點為中心、廠為半徑得圓內(nèi)所有點得集合就是

C=｛（x,j）|x2+/<r｝^

如果我們以點P表示（x,y）,以|OP|表示點P到原點0得距離，那么集合C可表成

C=｛P||。尸|<小

鄰域：

設(shè)Po(xo,州)就是xOy平面上得一個點，僦是某一正數(shù)、與點Po(xo,州)距離小于掰導(dǎo)點P

(x,y)得全體，稱為點Po得於口域，記為U(Po,力，即

或、

鄰域得幾何意義：U(P0,⑦表示尤0y平面上以點Po(xo,加為中心、5>0為半徑得圓得內(nèi)部得

點P(x,y)得全體、

點Po得去心靈K域，記作，即

、

注：如果不需要強調(diào)鄰域得半徑a則用u(尸0)表示點尸0得某個鄰域，點尸0得去心鄰域

記作、

點與點集之間得關(guān)系：

任意一點PeR2與任意一個點集EUR2之間必有以下三種關(guān)系中得一種：

(1)內(nèi)點：如果存在點P得某一鄰域U(P),使得U(P)uE,則稱尸為￡得內(nèi)點；

(2)外點：如果存在點P得某個鄰域U(P),使得U(P)cE=0,則稱尸為E得外點；

(3)邊界點：如果點尸得任一鄰域內(nèi)既有屬于E得點，也有不屬于E得點，則稱尸點為E

得邊點、

E得邊界點得全體，稱為E得邊界，記作HE.

E得內(nèi)點必屬于E；E得外點必定不屬于￡；而E得邊界點可能屬于￡也可能不屬于E.

聚點：如果對于任意給定得的0,點尸得去心鄰域內(nèi)總有E中得點，則稱P就是E得聚點.

由聚點得定義可知，點集E得聚點尸本身，可以屬于￡也可能不屬于E.

例如，設(shè)平面點集

E=｛(x,y)|l<^+Vw2｝.

滿足1<?+V<2得一切點(x,y)都就是E得內(nèi)點；滿足f+9=1得一切點(X,y)都就是E得邊界

點，它們都不屬于"滿足/+V=2得一切點(x,y)也就是E得邊界點，它們都屬于E；點集E

以及它得界邊HE上得一切點都就是E得聚點.

開集：如果點集E得點都就是內(nèi)點，則稱E為開集、

閉集：如果點集得余集為開集，則稱E為閉集.

開集得例子:￡=｛(%,

閉集得例子:￡,=｛(%,

集合｛(%,)0|1<%2+丁<2｝既非開集，也非閉集.

連通性：如果點集E內(nèi)任何兩點，都可用折線連結(jié)起來，且該折線上得點都屬于E,則稱E

為連通集.

區(qū)域(或開區(qū)域)：連通得開集稱為區(qū)域或開區(qū)域、例如氏｛(XQTK^+VVZ｝、

閉區(qū)域：開區(qū)域連同它得邊界一起所構(gòu)成得點集稱為閉區(qū)域、例如E=｛(x,y)|lg+y2?2｝、

有界集：對于平面點集E,如果存在某一正數(shù)％使得

EuU(O,r),

其中。就是坐標(biāo)原點，則稱E為有界點集.

無界集：一個集合如果不就是有界集，就稱這集合為無界集.

例如，集合｛(x,y)|l4+y2v2｝就是有界閉區(qū)域；集合｛Q,y)|x+y>l｝就是無界開區(qū)域；

集合｛(尤,y)|x+yNl｝就是無界閉區(qū)域.

2、n維空間

設(shè)n為取定得一個自然數(shù)，我們用R"表示n元有序數(shù)組(尤i,尤2,?一，X.)得全體所構(gòu)成得

集合，即

/7

R=RxRx---XR={(XI,X2,???,xn)|i=l,2,?一，幾}、

R"中得元素(Xl,X2,???,X")有時也用單個字母X來表示，即X=(X1,尤2,?…，尤”)、當(dāng)所有得Xi

(z=l,2,???,〃)都為零時，稱這樣得元素為R中得零元，記為0或。、在解析幾何中，通過

直角坐標(biāo)，R2(或R3)中得元素分別與平面(或空間)中得點或向量建立一一對應(yīng)，因而R"中得

元素X=(X1,尤2,--，X")也稱為R"中得一個點或一個n維向量,所稱為點x得第z個坐標(biāo)或n維

向量x得第i個分量、特別地,R"中得零元0稱為R1中得坐標(biāo)原點或n維零向量、

二、多元函數(shù)概念

例1圓柱體得體積V與它得底半徑八高〃之間具有關(guān)系

V=m2h>

這里，當(dāng)八/I在集合｛(r,〃)|r>0,/z>0｝內(nèi)取定一對值(r,/i)時,V對應(yīng)得值就隨之確定、

例2一定量得理想氣體得壓強p、體積V與絕對溫度T之間具有關(guān)系

其中R為常數(shù)、這里，當(dāng)V、T在集合｛(V/OI論0,40｝內(nèi)取定一對值(V,7)時,p得對應(yīng)值

就隨之確定、

定義1設(shè)。就是R2得一個非空子集，稱映射/:R為定義在D上得二元函數(shù)，通常記

為

z=fi,x,y),(x,y)&D(或z$P),PeD)

其中點集。稱為該函數(shù)得定義域,x,y稱為自變量,z稱為因變量.

上述定義中，與自變量％、y得一對值(無,y)相對應(yīng)得因變量z得值，也稱為了在點(無,y)處

得函數(shù)值，記作/(x,y),BPz=f(x,y).

值域:/(￡>)=｛z|z=J(x,y),(x,y)w。｝.

函數(shù)得其它符號:z=z(尤,y),z=g(x,y)等、

類似地可定義三元函數(shù)u=f(x,y,z),(x,y,z)&D以及三元以上得函數(shù).

一般地，把定義1中得平面點集D換成〃維空間R"內(nèi)得點集D,映射f:R就稱為

定義在。上得“元函數(shù)，通常記為

U=fix\,X2,'--,Xn),(XI,尤2,???,Xn)eD,

或簡記為

U=ft,x),X=(X1,X2,???,X?)e￡),

也可記為

u=ft.P),P(X1,x2,???,Xn)eD.

關(guān)于函數(shù)定義域得約定：在一般地討論用算式表達得多元函數(shù)"=Ax)時，就以使這個算

式有意義得變元X得值所組成得點集為這個多元函數(shù)得自然定義域.因而，對這類函數(shù)，它

得定義域不再特別標(biāo)出.例如，

函數(shù)z=ln(x+y)得定義域為｛(x,y)仇+y>0｝(無界開區(qū)域)；

函數(shù)zuarcsinH+V)得定義域為｛(x,^)|^+/<1｝(有界閉區(qū)域)、

二元函數(shù)得圖形：點集｛(x,y,z)\z=j｛x,y),(x,y)e￡>｝稱為二元函數(shù)z=￡x,y)得圖形，二元函

數(shù)得圖形就是一張曲面、

與一元函數(shù)得極限概念類似，如果在P(x,y)fPo(尤o,yo)得過程中，對應(yīng)得函數(shù)值無

限接近于一個確定得常數(shù)A,則稱A就是函數(shù)小,y)當(dāng)(x,(沏,加)時得極限、

定義2:設(shè)二元函數(shù)八尸)=/",y)得定義域為D,PoUo,泗)就是D得聚點、如果存在常數(shù)

A,對于任意給定得正數(shù)￡總存在正數(shù)a使得當(dāng)時，都有

成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)(x,y)f(xo,yo)時得極限，記為

,或五尤,y)fl((尤,y)->(xo,yo)),

也記作或人P)-A(PfPo).

上述定義得極限也稱為二重極限、

例4、設(shè)，求證、

證因為

|/(x,y)-。目⑴+外也占-0川之+外而出\<x1+y2,

可見V￡>0,取，則當(dāng)，即時，總有

段,y)-0|<￡,

因此、

必須注意：

(1)二重極限存在，就是指P以任何方式趨于B時，函數(shù)都無限接近于A、

(2)如果當(dāng)尸以兩種不同方式趨于Po時，函數(shù)趨于不同得值，則函數(shù)得極限不存在、

討論：

函數(shù)在點(0,0)有無極限？

提示：當(dāng)點P{x,y)沿x軸趨于點(0,0)時，

當(dāng)點P{x,y)沿y軸趨于點(0,0)時,

當(dāng)點尸(x,y)沿直線y=kx有

因此，函數(shù)八匕y)在(0,0)處無極限、

極限概念得推廣：多元函數(shù)得極限、

多元函數(shù)得極限運算法則：與一元函數(shù)得情況類似、

例5求、

解：=1x2=2、

四、多元函數(shù)得連續(xù)性

定義3設(shè)二元函數(shù)/(P)寸(x,y)得定義域為D,P0(x0,%)為D得聚點，且P°eD、如果

>

則稱函數(shù)/(x,y)在點Po(xo,yo)連續(xù)、

如果函數(shù)在。得每一點都連續(xù)，那么就稱函數(shù)/(尤,y)在。上連續(xù)，或者稱/(x,y)

就是。上得連續(xù)函數(shù)、

二元函數(shù)得連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)八P)上去、

例6設(shè)兀r,y)=sinx,證明艮x,y)就是R2上得連續(xù)函數(shù).

證設(shè)尸o(xo,yo)eR2.Vfi>0,由于sin尤在刈處連續(xù)，故三<5>0,當(dāng)|x-尤o|<加t,有

|sinx-sinxo|<^.

以上述出乍Po得於K域U(Po,",則當(dāng)P(x,y)eU(P0,力時，顯然

\f[x,y)-j[xo,jo)l=|sinx-sinxo|<￡,

2

即f(x,y)=sinx在點P0(x0,yo)連續(xù).由Po得任意性知,sinx作為尤,y得二元函數(shù)在R上連續(xù)

類似得討論可知，一元基本初等函數(shù)瞧成二元函數(shù)或二元以上得多元函數(shù)時，它們在各

自得定義域內(nèi)都就是連續(xù)得.

定義4設(shè)函數(shù)小,y)得定義域為D,Po(xo,師)就是D得聚點.如果函數(shù)八距y)在點P0(x0,Jo)

不連續(xù)，則稱尸0（尤0,刃）為函數(shù)yuy）得間斷點.

例如

函數(shù)，

其定義域n=R2,0（0,0）就是D得聚點.段,y）當(dāng)（尤,y）f（0,0）時得極限不存在，所以點0（0,0）

就是該函數(shù)得一個間斷點.

又如，函數(shù)，其定義域為。=｛（尤,歷舊+y2#1｝,圓周C=｛（x,訓(xùn)爐+/曰｝上得點都就是。得

聚點，而式x,y）在C上沒有定義，當(dāng)然4v,y）在C上各點都不連續(xù)，所以圓周C上各點都就是

該函數(shù)得間斷點、

注：間斷點可能就是孤立點也可能就是曲線上得點、

可以證明，多元連續(xù)函數(shù)得與、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)得商在分母不為零處仍

連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)得復(fù)合函數(shù)也就是連續(xù)函數(shù).

多元初等函數(shù)：與一元初等函數(shù)類似，多元初等函數(shù)就是指可用一個式子所表示得多元

函數(shù)，這個式子就是由常數(shù)及具有不同自變量得一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次得四則運算

與復(fù)合運算而得到得、

例如,sin（x+y）,都就是多元初等函數(shù)、

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)就是連續(xù)得、所謂定義區(qū)域就是指包含在定義域內(nèi)

得區(qū)域或閉區(qū)域.

例7求、

一般地，求時，如果黃P）就是初等函數(shù)，且Po就是八P）得定義域得內(nèi)點，則犬尸）在點Po

處連續(xù)，于就是

例8求、

五、多元連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)：

性質(zhì)1（有界性與最大值最小值定理）在有界閉區(qū)域。上得多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有

界，且能取得它得最大值與最小值、

性質(zhì)1就就是說，若五P）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則必定存在常數(shù)M>0,使得對一切

PeD,有次2）區(qū)昭且存在尸卜尸20。使得

KPi）=max伏P）|Pe。｝,/（P2）=min伏P）|Pe0,

性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域。上得多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間

得任何值、

小結(jié)

1、區(qū)域得概念；

2、多元函數(shù)得定義；

3、多元函數(shù)得極限及其求解；

4、多元函數(shù)得連續(xù)性。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意得問題

在教學(xué)過程中要注意區(qū)域得定義與多元函數(shù)得定義，多元函數(shù)得極限與連續(xù)性得理解

就是本節(jié)得重點,要結(jié)合實例,反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

課后習(xí)題：7,8,9

講課提綱'板書設(shè)計

作業(yè)P63:5⑵⑷（6）,6⑵⑶⑸（6）

§9、2偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)得定義及其計算法

對于二元函數(shù)z=/a,y）,如果只有自變量X變化，而自變量y固定，這時它就就是X得一

元函數(shù)，這函數(shù)對x得導(dǎo)數(shù)，就稱為二元函數(shù)z=/（x,y）對于x得偏導(dǎo)數(shù)、

定義設(shè)函數(shù)z=fix,y）在點（沏,州）得某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在刃而x在xo處有增

量Ax時，相應(yīng)地函數(shù)有增量

/（xo+Ax,yo）-f（xo,州）、

如果極限

存在，則稱此極限為函數(shù)z=/（x,y）在點（項,州）處對尤得偏導(dǎo)數(shù)，記作

，，，或、

例如

、

類似地，函數(shù)z/x,y）在點（xo,刃）處對y得偏導(dǎo)數(shù)定義為

?

記作，，，或蘇（砧加）、

偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)z=/a,y）在區(qū)域。內(nèi)每一點（x,y）處對X得偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個

偏導(dǎo)數(shù)就就是x、y得函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=Ax,y）對自變量得偏導(dǎo)函數(shù)，記作

，，，或、

偏導(dǎo)函數(shù)得定義式：、

類似地，可定義函數(shù)z=/（x,y）對y得偏導(dǎo)函數(shù)，記為

,,Zy,或.

偏導(dǎo)函數(shù)得定義式：、

討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)得方法就是否正確？

偏導(dǎo)數(shù)得概念還可推廣到二元以上得函數(shù).例如三元函數(shù)〃=/6y,z）在點（x,y,z）處對x

得偏導(dǎo)數(shù)定義為

其中（x,/z）就是函數(shù)u=fix,y,z）得定義域得內(nèi)點.它們得求法也仍舊就是一元函數(shù)得微分法

問題.

例1求z=/+3沖+產(chǎn)在點（1,2）處得偏導(dǎo)數(shù)、

例2求z=fsin2y得偏導(dǎo)數(shù).

例3設(shè)，求證：、

例4求得偏導(dǎo)數(shù)、

例5已知理想氣體得狀態(tài)方程為pV=RT（R為常數(shù)），

求證：、

證因為,；

所以、

例5說明得問題：偏導(dǎo)數(shù)得記號就是一個整體記號，不能瞧作分子分母之商、

二元函數(shù)z=fix,y)在點(xo,州)得偏導(dǎo)數(shù)得幾何意義：

△Qo,yo)=\fi,x,州加就是截線z=fi,x,刃)在點Mo處切線Tx對x軸得斜率、

%(xo,yo)=[/(xo,就是截線z=A%0,y)在點Mo處切線Ty對y軸得斜率、

偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性：對于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在

該點連續(xù)、例如

在點(0,0)有，力(0,0)=0,^(0,0)=0,但函數(shù)在點(0,0)并不連續(xù)、

提示:

當(dāng)點P(x,y)沿x軸趨于點(0,0)時，有

當(dāng)點P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時，有

因此，不存在，故函數(shù)兀r,y)在(0,0)處不連續(xù)、

類似地，可定義函數(shù)z=/(x,y)對y得偏導(dǎo)函數(shù)，記為

,,Zy,或.

偏導(dǎo)函數(shù)得定義式：、

二'高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z=/(x,y)在區(qū)域。內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

，，

那么在D內(nèi)力(x,y)、fy(x,y)都就是x,y得函數(shù)、如果這兩個函數(shù)得偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它

們就是函數(shù)z=/(x,y)得二偏導(dǎo)數(shù)、按照對變量求導(dǎo)次序得為同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)z=J[x,y)在區(qū)域D內(nèi)得偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導(dǎo)數(shù)，

則它們得偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)得二階偏導(dǎo)數(shù)、按照對變量求導(dǎo)次序得

不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)

其中，稱為混合偏導(dǎo)數(shù)、

，，，、

同樣可得三階、四階、以及〃階偏導(dǎo)數(shù)、

二階及二階以上得偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)、

例6設(shè)z=x3V-3孫3_孫+1,求、、與.

由例6觀察到得問題：

定理如果函數(shù)z=J1x,y)得兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這

兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等、

類似地可定義二元以上函數(shù)得高階偏導(dǎo)數(shù)、

例7驗證函數(shù)滿足方程、

證因為，所以

因此、

例8.證明函數(shù)滿足方程，

其中、

證:，

、

同理，、

因此

、

提示：、

小結(jié)

1、偏導(dǎo)數(shù)得概念及有關(guān)結(jié)論:定義,記號,幾何意義,偏導(dǎo)數(shù)得存在與連續(xù)性；

2、偏導(dǎo)數(shù)得計算方法:求導(dǎo)得先后順序。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意得問題

在教學(xué)過程中要注意偏導(dǎo)數(shù)得定義以及偏導(dǎo)數(shù)得求法，特別就是求導(dǎo)先后順序問題就

是本節(jié)得重點,要結(jié)合實例,反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1、設(shè),方程確定就是得函數(shù)，其中可微，連續(xù)，且，求。

2、課后習(xí)題:5,6

講課提綱'板書設(shè)計

作業(yè)P69:1(4)(6)(8),4,6(3),8

§9、3全微分

一、全微分得定義

根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分得關(guān)系,有

偏增量與偏微分：

Ax+Ax,y)f(x,y)嚨(x,y)Ax,

/(x+Ax,y)fix,y)為函數(shù)對x得偏增量,A(x,y)Ar為函數(shù)對尤得偏微分；

f(x,y+\y)f(x,y)^fy(x,y)Ay,

>,y+^f(x,y)為函數(shù))對y得偏增量y)Ay為函數(shù)對y得偏微分、

全增量：Az=兀計Ax,y+Ay)fix,y)、

計算全增量比較復(fù)雜，我們希望用Ax、Ay得線性函數(shù)來近似代替之、

定義如果函數(shù)z4(x,y)在點(x,y)得全增量

\z=fix+\x,y+\y)j[x,y)

可表示為

9

其中A、B不依賴于Ar、Ay而僅與x、y有關(guān)，則稱函數(shù)z=fix,y)在點(無，y)可微分，而稱

AAv+BAy為函數(shù)z=/(x,y)在點(x,y)得全微分，記作dz,即

dz=AAx+BAy>

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分、

可微與連續(xù)：可微必連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)、

這就是因為，如果z=f(x,y)在點(x,y)可微,則

\z=fix+\x,y+\y)j{x,y)=AAx+BAj+o(/?),

于就是，

從而、

因此函數(shù)z=fl,x,y)在點(尤,y)處連續(xù)、

定理1(必要條件)

如果函數(shù)z=/(x,y)在點(x,y)可微分，則函數(shù)在該點得偏導(dǎo)數(shù)、必定存在，且函數(shù)z=/(x,y)

在點(x,y)得全微分為

、

證設(shè)函數(shù)z=/(x,y)在點p(尤,y)可微分、于就是，對于點p得某個鄰域內(nèi)得任意一點P

\x+\x,y+\y\有Az=AAx+8Ay+o(/?)、特別當(dāng)Ay=O時有

/(x+Ax,y)fix,j)=AAx+o(|Ax|)>

上式兩邊各除以Ax,再令A(yù)xf0而取極限，就得

從而偏導(dǎo)數(shù)存在，且、同理可證偏導(dǎo)數(shù)存在，且、所以

、

簡要證明：設(shè)函數(shù)罰/(無,y)在點(x,y)可微分、于就是有Az=AAr+8Ay+o(0)、特別當(dāng)Ay=O

時有

/(x+Ax,y)J[x,y)=AAx+o(|Ax|)、

上式兩邊各除以Ax,再令VO而取極限，就得

從而存在，且、同理存在，且、所以、

偏導(dǎo)數(shù)、存在就是可微分得必要條件，但不就是充分條件、

例如，

函數(shù)在點(0,0)處雖然有/式0,0)=0及/,(0,0)=0,但函數(shù)在(0,0)不可微分，即Az-[A(O,

O)Ax+^(O,O)Ay]不就是較0高階得無窮小、

這就是因為當(dāng)(Ax,Ay)沿直線y=x趨于(0,0)時,

定理2(充分條件)

如果函數(shù)z=/Hy)得偏導(dǎo)數(shù)、在點(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分、

定理1與定理2得結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)、

按著習(xí)慣,Ac、Ay分別記作dx、dy,并分別稱為自變量得微分,則函數(shù)z=/(x,y)得全微分

可寫作

、

二元函數(shù)得全微分等于它得兩個偏微分之與這件事稱為二元函數(shù)得微分符合疊加原理、

疊加原理也適用于二元以上得函數(shù)，例如函數(shù)"=f(x,y,z)得全微分為

、

例1計算函數(shù)Z=X2J+/得全微分、

例2計算函數(shù)2=產(chǎn)在點(2,1)處得全微分、

例3計算函數(shù)得全微分、

小結(jié)

1、全微分得定義；

2、可微、可導(dǎo)、連續(xù)性之間得關(guān)系。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意得問題

在教學(xué)過程中要注意全微分得定義，可微、可導(dǎo)、連續(xù)性之間得關(guān)系就是本節(jié)得重點，

要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1、函數(shù)在可微得充分條件就是

在得某領(lǐng)域內(nèi)存在；

時就是無窮小量；

時就是無窮小量

2、課后習(xí)題:5

講課提綱'板書設(shè)計

作業(yè)P75:1⑴⑶,3

§9、4多元復(fù)合函數(shù)得求導(dǎo)法則

設(shè)農(nóng)/(〃,v),而"如何求？

設(shè)z=f(u,v),而u=(p{x,y),y),如何求與？

1.復(fù)合函數(shù)得中間變量均為一元函數(shù)得情形

定理1如果函數(shù)蔗=在。及片/力都在點/可導(dǎo)，函數(shù)V)在對應(yīng)點(/V)具有連續(xù)偏

導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)24［以/),火力］在點/可導(dǎo)，且有

簡要證明1：因為具有連續(xù)得偏導(dǎo)數(shù)，所以它就是可微得，即有

又因為〃=以。及v=M>)都可導(dǎo)，因而可微，即有

代入上式得

從而、

簡要證明2:當(dāng)t取得增量加時,〃、丫及z相應(yīng)地也取得增量AM、AV及Az、由z=/(",小

"=兇)及v=M)得可微性，有

令zVfO,上式兩邊取極限，即得

注：lim皿=lim皿.g"+3)2=0心)2+也)2=0、

Xzv_0pXVatat

推廣：設(shè)Z=f{u,V,w),U=(p(t),V=M。,W=CD(t),則Z=J［<p(t),打垃以。］對t得導(dǎo)數(shù)為：

上述稱為全導(dǎo)數(shù)、

2.復(fù)合函數(shù)得中間變量均為多元函數(shù)得情形

定理2如果函數(shù)"=在尤,y),y)都在點(尤,y)具有對x及〉得偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=*/,v)在

對應(yīng)點(〃，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z="在尤,y),yAx,刈在點(x,y)得兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,

且有

J、

推廣：設(shè)z=J{u,v,w),u=(p(x,y),v=MXy),y),貝?。?/p>

J、

討論：

(1)^z^=fiu,v),u=^(x,y),v=Ky),則？？

提示:，.

⑵設(shè)z=fiu,x,y),且3運,y),則？？

提示:,、

這里與就是不同得，就是把復(fù)合函數(shù)z=/［奴x,y),尤,y］中得y瞧作不變而對x得偏導(dǎo)數(shù)，就是

把犬M,x,y)中得M及y瞧作不變而對x得偏導(dǎo)數(shù).與也朋類似得區(qū)別.

3.復(fù)合函數(shù)得中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)得情形

定理3如果函數(shù)M=在x,y)在點(x,y)具有對x及對y得偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)丫=*)在點y可導(dǎo)，函

數(shù)zj”,v)在對應(yīng)點(〃,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=/［以x,y),誨)］在點(x,y)得兩個偏導(dǎo)

數(shù)存在，且有

例1設(shè)z=e"sinv,u=xy,v=x+y,求與、

例2設(shè)，而、求與、

例3設(shè)z=?v+sint,而u=ef,v=cos八求全導(dǎo)數(shù)、

例4設(shè)w^/(x+y+z,邛z)J具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求及、

例5設(shè)得所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中得形式:

(1)；⑵、

解由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間得關(guān)系式得

u=fHy)=j[pcose,psin9)=F(p,O'),

其中x=pcos3,y=psind,,.

應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得

兩式平方后相加，得

、

再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得

同理可得

、

兩式相加，得

、

全微分形式不變性：

設(shè)z=f(u,V)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分

、

如果v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而2axy),y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，貝!J

、

由此可見，無論Z就是自變量"、V得函數(shù)或中間變量M、V得函數(shù)，它得全微分形式就是

一樣得、這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性、

例6設(shè)z=e"sinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不變性求全微分、

角軍=e"sinvdu+e"cosvdv

=e"sinv(ydx+xdy)+e"cosv{dx+dy)

=(ye"sinv+e"cosv)dx+(xe“sinv+e"cosv)dy

=e孫[ysin(x+y)+cos(x+y)]d[x+[xsin(%+y)+cos(x+y)]6fy、

小結(jié)

1、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”；

2、全微分形式不變性。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意得問題

在教學(xué)過程中要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得鏈式法則''分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏

導(dǎo)”，全微分形式不變性,要結(jié)合實例,反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.己知，,求

2.設(shè)函數(shù)在點處可微，且,，，

求

講課提綱'板書設(shè)計

作業(yè)P82:2,4,6,9,10

§9、5隱函數(shù)得求導(dǎo)公式

一、一個方程得情形

隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F(x,y)在點P(x0,加得某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)(x0,加=0,Fy(x0,yo)M,則方

程F(x,y)=0在點(xo,泗)得某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)得函數(shù)y=flx),

它滿足條件加45)),并有

、

求導(dǎo)公式證明：將片/⑴代入/(X,y)=0,得恒等式尸(x,X%))三0,

等式兩邊對x求導(dǎo)得

由于尸y連續(xù)，且Fy(X0,州)。0,所以存在(%0,比)得一個鄰域，在這個鄰域同F(xiàn)y于就是得

、

例1驗證方程站+產(chǎn)1=0在點(0,1)得某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)戶0時

y=l得隱函數(shù)月U),并求這函數(shù)得一階與二階導(dǎo)數(shù)在x=0得值、

22

解設(shè)F(x,y)=x+yl,則F^2x,Fy=2y,F(0,1)=0,Fv(0,1)=2M、因此由定理1可知，方

程^+/1=0在點(0,1)得某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)尤=0時尸1得隱函數(shù)

y寸尤)、

隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)、一個二元方程F[x,y)=0可以確定一個一元隱

函數(shù)，一個三元方程F(x,y,z)=0可以確定一個二元隱函數(shù)、

隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點P(xo,jo,zo)得某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)得偏導(dǎo)數(shù)，且F(xo,jo,zo)=O,

E(尤o,州,zo)M,則方程F(x,y,z)=0在點Qo,州,z0)得某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具

有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)得函數(shù)z=/(x,y),它滿足條件zo=Axo,州)，并有

>、

公式得證明：將y)代入尸(x,Mz)=0,得F(x,y,7(x,y))三0,

將上式兩端分別對x與y求導(dǎo)，得

因為此連續(xù)且已(砧加二0)*0,所以存在點(xo,yo,zo)得一個鄰域，使尸產(chǎn)0,于就是得

,、

例2、設(shè)/+9+22-42=0,求、

解設(shè)F(x,y,z)=則Fx=2x,Fy=2z4,

5

、

二、方程組得情形

在一定條件下，由個方程組F(x,必沈,v)=0,G(x,y,u,v)=0可以確定一對二元函數(shù)u=u(x,

y),v=v(x,y),例如方程xuyv=0與yu+xv=l可以確定兩個二元函數(shù)，、

事實上，xuyv=0nnn,、

如何根據(jù)原方程組求u,v得偏導(dǎo)數(shù)？

隱函數(shù)存在定理3

設(shè)F(x,%"/)、G(x,%%v)在點P(x0,加劭,詢得某一鄰域內(nèi)具有對各個變量得連續(xù)偏導(dǎo)

數(shù)，又F(x0,yo9wo,vo)=O,G(xo,yo,uo,vo)=O,且偏導(dǎo)數(shù)所組成得函數(shù)行列式：

在點P(xo,加沏,w)不等于零，則方程組F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在點P(xo,加"o,咐得某

一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)得函數(shù)〃=〃(再y),v=vfcy),它們滿足條件

wo=w(xo,yo),vo=v(xo,yo),并有

，，

5,

隱函數(shù)得偏導(dǎo)數(shù)：

設(shè)方程組F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0確定一對具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)得

二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),則

偏導(dǎo)數(shù)，由方程組確定；

偏導(dǎo)數(shù)，由方程組確定、

例3設(shè)％〃yv=O,y〃+xv=l,求，，與、

解兩個方程兩邊分別對X求偏導(dǎo)，得關(guān)于與得方程組

當(dāng)V+y2M時，解之得，、

兩個方程兩邊分別對尤求偏導(dǎo)，得關(guān)于與得方程組

當(dāng)f+y2M吐解之得，、

例4設(shè)函數(shù)v),y=y(〃,v)在點(％v)得某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又

、

(1)證明方程組

在點(x,y,u,v)得某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)得反函數(shù)u=u(x,y),

v=v(x,y)、

(2)求反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)對x,y得偏導(dǎo)數(shù)、

解(1)將方程組改寫成下面得形式

則按假設(shè)

由隱函數(shù)存在定理3,即得所要證得結(jié)論、

(2)將方程組(7)所確定得反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得

將上述恒等式兩邊分別對尤求偏導(dǎo)數(shù)，得

、

由于故可解得

?、

同理，可得

?、

小結(jié)

1、隱函數(shù)(組)存在定理；

2、隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法:方法(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算；(2)利用微分形式

不變性；(3)代公式。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意得問題

在教學(xué)過程中要注意隱函數(shù)(組)存在定理與求導(dǎo)方法,要結(jié)合實例,反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.設(shè)函數(shù)有連續(xù)得一階偏導(dǎo)數(shù),又函數(shù)及分別由下列兩式確定:，，求。

2、設(shè)，由方程與所確定得函數(shù),求。

講課提綱'板書設(shè)計

作業(yè)P89:3,4,6,7,10(2)(4)

§9、6多元函數(shù)微分學(xué)得幾何應(yīng)用

一.一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

空間曲線得參數(shù)方程為:，

此方程也可以寫成向量形式。若記

，，

于就是

，，

這就確定了一個從實數(shù)到向量得一個映射。

定義1:設(shè)數(shù)集，則映射為一元向量值函數(shù)，記作

其中數(shù)集D稱為函數(shù)得定義域,t稱為自變量,稱為因變量。

在中，可表示為：

或者，

下面研究向量值函數(shù)得極限，連續(xù)性,導(dǎo)數(shù)。

1、向量值函數(shù)極限：

定義2:設(shè)向量值函數(shù)在點得某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若存在一個常向量，對于任意給定得

正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)t滿足時，對應(yīng)得函數(shù)值都滿足不等式

則稱常向量為向量值函數(shù)當(dāng)時得極限，記作

等價于

2、向量值函數(shù)連續(xù)：

設(shè)向量值函數(shù)在點得某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，則稱向量值函數(shù)在點處連續(xù)。

等價于都在點處連續(xù)。

向量值函數(shù),，若在D上每一點都連續(xù)，則稱就是D上得連續(xù)函數(shù)。

3、向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

定義3:設(shè)向量值函數(shù)在點得某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果

存在，

則稱此極限向量為向量值函數(shù)在點處得導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄?，記作或?/p>

向量值函數(shù),，若在D上每一點都可導(dǎo)，則稱就是D上得導(dǎo)函數(shù)。

等價于:都在點處可導(dǎo)，即。

4、導(dǎo)函數(shù)得性質(zhì)。

5、導(dǎo)函數(shù)得幾何意義:向量值函數(shù)在點處得導(dǎo)數(shù)表示在此處得一個切向量。

例1、設(shè)，求。

例2、空間曲線得向量方程為,,求曲線在與點相應(yīng)得點處得單位且向量。

二.空間曲線得切線與法平面

設(shè)空間曲線「得參數(shù)方程為

這里假定奴認都在［a,用上可導(dǎo)、

記:,。由向量值函數(shù)得導(dǎo)向量得幾何意義知：

向量,于就是

曲線「在點/處得切線方程為

法平面：通過點瓶而與切線垂直得平面稱為曲線「在點M)處得法平面，其法平面方

程為

e'?o)(xxo)+^(fe)(yyo)+ftX(fo)(zzo)=O、

例3求曲線x=t,y=P,z=d在點(1,1,1)處得切線及法平面方程、

解因為無/=l,y/=2y=3戶，而點(1,1,1)所對應(yīng)得參數(shù)U1,所以

7=(1,2,3)、

于就是，切線方程為

?

法平面方程為

(尤l)+2(yl)+3(zl)=0,即x+2y+3z=6、

討論：

1、若曲線「得方程為

>=在尤),2=區(qū)尤)、

問其切線與法平面方程就是什么形式？

提示：曲線方程可瞧作參數(shù)方程:x=x,>=媯尤),z=Mx),切向量為7=(1,〃(尤)，〃(x))、

2、若曲線「得方程為

F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0、

問其切線與法平面方程又就是什么形式？

提示：兩方程確定了兩個隱函數(shù)：產(chǎn)在x),z=Mx),曲線得參數(shù)方程為

XX,y=(p{x),z=3>),

由方程組可解得與.

切向量為、

例4求曲線x2+y2+z2=6,x+y+z=O在點(1,2,1)處得切線及法平面方程、

解為求切向量，將所給方程得兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得

5

解方程組得，、在點(1,2,1)處,，.

從而7=(1,0,1)、

所求切線方程為

法平面方程為

(xl)+0-(y+2)(zl)=0,即xz=0、

三、曲面得切平面與法線

設(shè)曲面￡得方程為

F(x,y,z)=0,

Mo(xo,yo,zo)就是曲面E上得一點，并設(shè)函數(shù)F(x,y,z)得偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零、

在曲面￡上，通過點減任意引一條曲線「，假定曲線「得參數(shù)方程式為

t=t0對應(yīng)于點Mo(xo,yo,zo),且/(而)，〃(擊),〃(如)不全為零、曲線在點得切向量為

T=(-),八to),〃(砌、

考慮曲面方程p(x,yz)=o兩端在仁加得全導(dǎo)數(shù)：

,

Fx(x0,yo,zo)<^(to)+Fy(xo,yo,zo)i//(to)+Fz(xo,yo,zo)?(fo)=O>

引入向量

n=(Fx(x0,jo,zo),Fy(xo,y0,zo),F:(x0,y0,z0)),

易見7與"就是垂直得、因為曲線「就是曲面￡上通過點Mo得任意一條曲線，它們在點Mo

得切線都與同一向量”垂直，所以曲面上通過點減得一切曲線在點喊得切線都在同一個平

面上、這個平面稱為曲面￡在點減得切平面、這切平面得方程式就是

Fx(xo,yo,zo)(xxo)+Fy(xo,yo,zo)(yyo)+E(x(),yo,zo)(zzo)=O、

曲面得法線：通過點Mo(xo,yo,zo)而垂直于切平面得直線稱為曲面在該點得法線、

法線方程為

、

曲面得法向量：垂直于曲面上切平面得向量稱為曲面得法向量、向量

n=(Fx(x0,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(xo,yo,zo))

就就是曲面￡在點Mo處得一個法向量、

例5求球面x2+y2+z2=14在點(1,2,3)處得切平面及法線方程式、

解F(x,y,z)=x2+y2+z214,

Fx=2x,Fr=2y,Fz=2z,

Fx(l,2,3)=2,Fy(l,2,3)=4,Fz(l,2,3)=6、

法向量為n=(2,4,6),或w=(l,2,3)、

所求切平面方程為

2(xl)+4(y2)+6(z3)=0,即x+2y+3zl4=0、

法線方程為、

討論：若曲面方程為z=/(x,y),問曲面得切平面及法線方程式就是什么形式？

提示：此時E(x,y,z)H>,y)z、〃=(A(xo,刃),為(沖,刃)，1)

例6、求旋轉(zhuǎn)拋物面z=^+/l在點(2,1,4)處得切平面及法線方程、

小結(jié)

1、一元向量值函數(shù)得定義以及極限，連續(xù)性,導(dǎo)數(shù)；

2、空間曲線得切線與法平面；

3、曲面得切平面與法線。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意得問題

在教學(xué)過程中要注意一元向量值函數(shù)得定義以及極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，空間曲線得切線

與法平面、曲面得切平面與法線得定義及其求解方法,要結(jié)合實例,反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.證明曲面得所有切平面恒與定直線平行,其中可微。

2.求曲線在點得切線與法平面。

講課提綱'板書設(shè)計

作業(yè)P100：3,4,5,8,9,10

§9、7方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z=fix,y)在一點P沿某一方向得變化率問題、

設(shè)/就是尤。y平面上以Po(尤o,yo)為始點得一條射線,e/=(cosa,cos為就是與I同方向得單

位向量.射線/得參數(shù)方程為

x=xo+tcosa,y=yo+tcosf3(Z>0).

設(shè)函數(shù)z=/U,y)在點Po(xo,yo)得某一鄰域U(Po)內(nèi)有定義，尸5+rcosa,y0+tcos為為l上

另一點，且PeU(Po).如果函數(shù)增量_/(xo+fcosa,y0+tcos份-4x。,為)與P到尸°得距離|PPo|=t

得比值

當(dāng)尸沿著/趨于尸o(即枕)時得極限存在，則稱此極限為函數(shù)/U,y)在點Po沿方向I得方

向?qū)?shù)，記作，即

、

從方向?qū)?shù)得定義可知，方向?qū)?shù)就就是函數(shù)在點尸o(xo,%)處沿方向/得變化率.

方向?qū)?shù)得計算：

定理如果函數(shù)z=fi,x,y)在點Po(xo,yo)可微分，那么函數(shù)在該點沿任一方向/得方向?qū)?/p>

數(shù)都存在，且有

其中cosa,cosP就是方向I得方向余弦、

簡要證明：設(shè)Ax=/cosa,Ay=/cos以則

fixo+tcosa,yo+tcosj3)-fixo,yo)=fx(xo,yo)tcosa+fy(x(),yo?cos丹。(力.

所以

、

這就證明了方向?qū)?shù)得存在，且其值為

提示:.

\x=tcosa,Ay=tcos以.

討論：函數(shù)z寸a,y)在點尸沿X軸正向與負向，沿y軸正向與負向得方向?qū)?shù)如何？

提示：

沿X軸正向時，cosci^l,cos/?=0,;

沿X軸負向時，cosgl,cos/?=0,、

例1求函數(shù)Z=xe2y在點尸(1,0)沿從點P(l,0)到點0(2,1)得方向得方向?qū)?shù)、

解這里方向/即向量得方向，與/同向得單位向量為

因為函數(shù)可微分，且,,

所以所求方向?qū)?shù)為

對于三元函數(shù)y,z)來說，它在空間一點Po(xo,州,zo)沿e/=(cosa,cos￡,cos力得方向

導(dǎo)數(shù)為

、

如果函數(shù)/(X,y,Z)在點(Xo,yo,Zo)可微分，則函數(shù)在該點沿著方向e/=(cosa,cos/3,cosy)

得方向?qū)?shù)為

Kxo,yo,zo)coscr+^(xo,yo,zo)cos丹段(xo,yo,zo)cos/

例2求危,y,z)f+y2+zx在點(1,1,2)沿方向l得方向?qū)?shù)，其中I得方向角分別為60°,

45°,60°.

二、梯度

設(shè)函數(shù)z"Xy)在平面區(qū)域。內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點R)(xo,yo)￡。，都可

確定一個向量

右(%o,yo)及外(M),yo)j,

這向量稱為函數(shù)火無y)在點尸o(xo,yo)得梯度，記作grad/(xo,/)，即

grad/(xo,州)=力(須),yo)計以私y(tǒng)o)j-

梯度與方向?qū)?shù)：

如果函數(shù)段,y)在點尸0(的,州)可微分,e；=(cosa,cos尸)就是與方向I同方向得單位向量,

則

=grad?xo,yo)-ei

=1grad/xo,jo)|-cos(grad^o,刈)/6)、

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點得梯度與函數(shù)在這點得方向?qū)?shù)間得關(guān)系.特別，當(dāng)向量

⑨與grad/Uo,yo)得夾角a0,即沿梯度方向時，方向?qū)?shù)取得最大值，這個最大值就就是梯

度得模Igrad兀電刃)|.這就就是說：函數(shù)在一點得梯度就是個向量，它得方向就是函數(shù)在這

點得方向?qū)?shù)取得最大值得方向，它得模就等于方向?qū)?shù)得最大值.

討論：得最大值；

結(jié)論：函數(shù)在某點得梯度就是這樣一個向量，它得方向與取得最大方向?qū)?shù)得方向一致

,而它得模為方向?qū)?shù)得最大值、

我們知道，一般說來二元函數(shù)z=/(x,y)在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c就是

常數(shù))所截得得曲線L得方程為

這條曲線L在xOy面上得投影就是一條平面曲線L*,它在xOy平面上得方程為

J(x,y)=c.

對于曲線L*上得一切點，已給函數(shù)得函數(shù)值都就是c,所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z=〃x,

y)得等值線、

若fxjy不同時為零，則等值線式無,y)=c上任一點Po(xo,刃)處得一?個單位法向量為

這表明梯度grad兀他州)得方向與等值線上這點得一個法線方向相同，而沿這個方向得方向

導(dǎo)數(shù)就等于|grad/(xo,jo)|,于就是

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點得梯度與過這點得等值線、方向?qū)?shù)間得關(guān)系.這說就是

說：函數(shù)在一點得梯度方向與等值線在這點得一個法線方向相同，它得指向為從數(shù)值較低得

等值線指向數(shù)值較高得等值線，梯度得模就等于函數(shù)在這個法線方向得方向?qū)?shù).

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)得情形、設(shè)函數(shù)八x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)

偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點尸o(xo,yo,Z0)eG,都可定出一個向量

人(xo,光，zo)it/5)(xo,光，zo)/K(xo,光，zo)k,

這向量稱為函數(shù)式x,y,z)在點尸o(無o,yo,zo)得梯度，記為grad/(無o,yo,zo),即

grady(尤o,yo,zo)=fx(xo,yo,zo)i+fy(xo,y0,zo)j+f:(xo,y0,z0)k.

結(jié)論：三元函數(shù)得梯度也就是這樣一個向量，它得方向與取得最大方向?qū)?shù)得方向一致

,而它得模為方向?qū)?shù)得最大值、

如果引進曲面

於,y,z)=c

為函數(shù)得等量面得概念，則可得函數(shù)六x,y,z)在點Po(xo,jo,zo)得梯度得方向與過點Po得等量

面fix,y,z)=c在這點得法線得一個方向相同，且從數(shù)值較低得等量面指向數(shù)值較高得等量

面，而梯度得模等于函數(shù)在這個法線方向得方向?qū)?shù)、

例3求、

例4設(shè)Jlx,y,z)=x2+y2+z2,求grad/1,1,2)>

數(shù)量場與向量場：如果對于空間區(qū)域G內(nèi)得任一點都有一個確定得數(shù)量人")，則稱

在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)、一個數(shù)量場可用一個數(shù)量

函數(shù)加W)來確定，如果與點“相對應(yīng)得就是一個向量/(M),則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了

一個向量場(例如力場、速度場等)、一個向量場可用一個向量函數(shù)(M)來確定，而

F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k,

其中P(M),。(跖,R(M)就是點M得數(shù)量函數(shù)、

利用場得概念，我們可以說向量函數(shù)grad加W)確定了一個向量場一一梯度場，它就是

由數(shù)量場式陷產(chǎn)生得、