高中數(shù)學試題及答案

、一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

(1)設々{yI尸一系+1,x￡R},Q={y\y=2'\x

WR},則

(A)P(B)QjP

(C)OPu0(D)Q

2P

/輸出p/

(2)已知i是虛數(shù)單位，則匕&=

fI

1+i（球）

(A)—(B)—,(C)3-i(D)3+i

22?第3題）

(3)若某程序框圖如圖所示，則輸出的夕的值是

(A)21(B)26(C)30(D)55

(4)若a,6都是實數(shù)，則“a—6>0”是“甘T>0”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（0充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（5）已知直線/〃平面a,PGa,則過點〃且平行于直線/的直線

.（A）只有一條，不在平面a內（B）有多數(shù)條，不愿定在平面a內

（0只有一條，且在平面a內（D）有多數(shù)條，確定在平面a內

x+2y—4N0,

(6)若實數(shù)X,y滿足不等式組.2x-y-320,則x+y的最小值是

、x-y>0,

(A)-(B).3(04(D)6

3

(7)若(l+2￡"=a+aix+/則a+a+aj+a=

(A)122(B)123(C)243(D)244

（8）袋中共有8個球，其中3個紅球、2個白球、3個黑球.若從

［第9題）

袋中任取3個球，則所取3個球中至多有1個紅球的概率是

(A)-(B)—(C)—(D)-

1456567

(9)如圖，在圓。中，若弦45=3,弦力。=5,貝IJA。-BC的值是

(A)-8(B)-1(C)1(D)8

(10)如圖，有6個半徑都為1的圓，其圓心分別為4(0,0),。⑵0),。(4,

o),a(o,2),a(2,2),a(4,2).記集合1y=i,2,3,4,5,

6).若4月為例的非空子集，且月中的任何一個圓與8中的任何一個圓均

無公共點，則稱(4S)為一個“有序集合對”(當RW8時，(4⑸和(B,

為不同的有序集合對)，則"中”有序集合對"(4B)的個數(shù)是

(第10題)

(A)50(B)54(C)58(D)60

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，

共28分。

C11)若函數(shù)f(x)=,則F(X)的定義域

是.

(12)若sina+cosa=-,則sin2a第13題)

2

(13)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示,

則此幾何體的體積是cm:i.

(14)設隨機變量才的分布列如下:

051020

P0.1a80.2

若數(shù)學期望少(力=10,則方差〃(力=.

(15)設S是數(shù)歹!Ha｝的前n項和，已知ai=l,4=-S-ST(〃22),則S

(16)若點尸在曲線G：上，點。在曲線7(x—5)斗了=1上，點R

在曲線C3：(%+5)2+y=l±,則|印|一|/|的

最大值是.

(17)已知圓心角為120°的扇形力如半徑為1,。為AB

中點..點〃E分別在半徑的，OB上.若0?十CE2

+的十則出小的取值范圍是

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步

驟。

(18)(本題滿分14分)在中，角4B,。所對的邊分別為a,b,c,已知

tan(4+0=2.(I)求sinC的值；(H)當a=l,6=行時，求6的值.

(19)(本題滿分14分)設等差數(shù)列E,｝的首項所為a,前〃項和為S.

(I)若S,S,S成等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)證明：v〃￡N*,S,?S*i,S汁2不構成等比數(shù)列.

(20)(本題滿分15分)四棱錐產一儂刀中，序平面加S￡為4〃的中點，ABCE

為菱形，

N陰Q120°,PA=AB,G,尸分別是線段龍，陽上的動點，且滿足竺=空=4￡

PBCE

(0,1).

(I)求證：用〃平面PDQ

(H)求4的值,使得二面角A-G的平面角的正切值為|.

(第20題)

(21)(本題滿分15分)如圖，橢圓C:爐+3平工2=36

(6>0).|

(I)求橢圓C的離心率；

(II)若6=1,A,方是橢圓C上兩點，且|像21題)AB

=百，

求△/如面積的最大值.

(22)(本題滿分14分)設函數(shù)ix)=lnx+合在(0,-)內有極值.

e

(I)求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若x￡(0,1),用￡(1,+oo)..求證：f(A2)—f(^i)>e+2——.

e

注：e是自然對數(shù)的底數(shù).

臺州中學2011學年高三第一學期第三次統(tǒng)練理科數(shù)學答案

一、選擇題:本題考量基本知識和基石運算：每小題5分，滿分50分：

(1)C(2)B(3)C(4)D(5)C

(6)B(7)B(8)D(9)D(10欣

二、填空題：本題考查基本學問和基本運算。每小題4分，滿分28分。

3

(ll)(-x,-l]U[L+x)(12)(13)40(14)35

(15)S“=1(16)10(17)[匕二江叵]

n45

三、解答題：本大題共5小題，共72分。

(18)(I)解：由題設得tanC=-2,從而sin半......6分

(II)解：由正弦定理與sin。=竽得sin4=1,

sin3=sinC4+C)=sin-4cosC+anCcos-4

=275(^/21-1)

~25~

再由正弦定理6=包2c=屈一《........14分

sinC5

(19)(I)解：設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則S=〃a+妁二2/,

2

$=aS：=2什4&=姆6。由于$,S*&成等1：葡J,故

S：=SiS,艮畸dQkS=0.豳，產?；騒

(1)當時，

(2)當d=2a時，an=(2z?—1)a........6分

(II)證明：接受反證法.不失一般性，不妨設對某個必￡N*,S,Sm,S-2構成

等比數(shù)列，即S3=S,,,?S,“+2.因此才/E+1)4=0,①

⑴當mQ時，貝ijo=a此時身=邑-尸%7=0,與等的定義矛盾；

⑵當巖。時，要使數(shù)列⑷的首蛇存在，必有①中的心0.

然而」=依個—加(〃1+1/=一箴什哈dvo,矛盾.

綜上所述，對隨意正整數(shù)，S,著”5標都不構成等比數(shù)列.........14

分

（20）方法一:

CI）證明：如圖以點/為原點建立空間直角坐標系［一孫z,其中《為比的

中點,

不妨設序=2,則A(O,O,O),P(0,0,2),

8(G,-1,O),C(G,1,O),E(0,2,0),0(0,4,0).

崎嚕"得

F(A/32,-2,2-2^),G(G-6,l+2,0),

FG=(-2向+行，1+22,-2+22),

設平面PCD的法向量%=(X,%Z),則

%PC=0,〃°PO=0,

得Gx+y-2z=0,

0.x+4y-2z=0,

可取〃0=(有，1,2),于是

3UULAI*UULA

々FG=0,故々_LFG,又因為尸GN平面如G即FG平面PDC.……6分

(H)解：花=出-限」-2,-2-2幻，$=(-酒，3,0),

設平面FCD的法向量%=(占,%,%),貝lJ〃「FC=0,〃「C￡>=0,

=(73(1-2),1-^,2-2),又%=(0,0」)為平面GCD的法向量.

UULU

由cos。"哀因為tan(?=二，cosd=4=,

|4|%|3…而

所以8萬-142+5=0,解得2=1或;1=*(舍去)，

24

得平行四邊形3EQC,貝?。?E〃CQ,（第20題）

所以CG:GE=2G：G3.

又PF:FB=CG:GE,貝！JQG:G3=PF:所，

所以FG〃PQ.

因為尸Gu平面?C。，尸0二平面PC。，

所以尸G平面PCD......,工^6分

（IIM：作于“，作J￡V_8于.V,連EV.

貝!JRV_LCZ）,/FMW為二面角尸-CD-G的平面角.

^-=—=1-2,不妨設%=2,則FM=2（l-/l）=BM,MN=2-A,一

PAPB

由tanNFNM=%得1=^1,即/=_L...................15分

MN32-A2

（21）⑴解:由/+3/=3斤得磊+/i,

勵”￡=由二1=白=迎......5分

a厲3

（H）解：設/（%,力），夕（蒞，㈤，△板的面積為S.

假如被Lx軸，由對稱性不妨記4的坐標為（立，正），此時S=L叵6=3；

22224

加果.45不垂直于.、；軸，設直線.”的方程為尸爐Hb

由?二*得廿+3囪+?"）=3,

\r-3y-=3,r

即（1+3芥）*+6就+3/—3=0,又A=36六/一4（1+3必）（3/—3）>0,

所以崗+涇=—型為苞=網二

1+31|+3公

，.一、、__12（1-3好-川）

（為X）伏+七>4X]Xz----.滅亍--9①

由AB=J（1-P乂》］-4）-及-4B="得

,、，一3

（X「Q=b②

結合①，②得序=（1+3切一色坐.又原點。到直線加的距離為號‘

4（1+公）

ms=-2-?^T=T=F、

地.[/(史_2F+i]

41+妙41-H4(1-Ky441-fc*

=-3.(1+3F-2)2+3<3,

16i+k244

故SW正.當且僅當H<=2,即仁±1時上式取等號.又如>3,故5皿二也

21+%2242

..................15分

(22)(I〕解：0<x<1或工>1時，

a_(工_1『_爾_%._3_2)丁_]

JX=7(x-1)：x(x-l)：x(x-l):-

由尸(x)=0在(0,』)內有解.令g(x)=V-(a+2)x+l=(x-a)(x-7?),

e

不妨設0<a<L貝1J〃>e,所以g(0)=l>0,gd)=]—9+l<0,

e