2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)函數(shù)典型例題第5講函數(shù)的周期性含解析

Page14第5講函數(shù)的周期性典型例題【例1】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（） A． B． C． D．【答案】【解析】,當(dāng)時(shí),.由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,所以.又在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以在處取得最大值,則，又,所以,解得.故選C.【例2】(多選題)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由圖象可知,,則,所以A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),,則，解得,從而函數(shù)的【解析】式為又,故D錯(cuò)誤.故選BC.【例3】(多選題)若函數(shù),則（）A.是周期函數(shù) B.在上有4個(gè)零點(diǎn) C.在上是增函數(shù) D.的最小值為 【答案】【解析】對(duì)于,函數(shù)不是周期函數(shù),故A錯(cuò)誤.對(duì)于令,在上,求得,,故B正確.對(duì)于,當(dāng)時(shí),由于,所以且,故在上單調(diào)遞增,故C正確.對(duì)于,當(dāng)時(shí),由于,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤.故選BC.【例4】已知函數(shù)(為常數(shù))的圖象的一條對(duì)稱軸為直線,若,且滿意在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則的最小值為________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€是圖象的對(duì)稱軸,所以,化簡(jiǎn)可得,即,所以.由,可得.因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)函數(shù),又由對(duì)稱性得,所以.當(dāng)時(shí),取得最小值,故答案為.【例5】(多選題)已知函數(shù),將圖象上全部點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的,得到函數(shù)的圖象.若為偶函數(shù),且最小正周期為,則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.在上單調(diào)遞增 C.在上有且僅有3個(gè)解 D.在上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) 【答案】AC【解析】將函數(shù)圖象上全部點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得的圖象,再將橫坐標(biāo)縮短為原來的,可得的圖象.函數(shù)的最小正周期為,即,解得,可得,又為偶函數(shù),則,即,當(dāng)時(shí),可得,所以.令,即,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以A正確.當(dāng)時(shí),,可知在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),所以B不正確.由,可得,即,從而,即.又,得,所以在上有且僅有3個(gè)解,故C正確.由,得.由或,得或,此時(shí)取得極大值,所以在上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn),故D不正確.故選AC.【例6】(多選題)已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則的值可能是A. B. C. D. 【答案】【解析】的值域?yàn)?即,所以,,故,所以的最大值為.當(dāng)取最小值時(shí),,此時(shí),.故選CD.【例7】若函數(shù)有最大值2,最小值,則（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】【解析】 .因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為2,最小值為,所以得,所以.故選D.【例8】設(shè),則函數(shù)的最大值為________．【答案】【解析】分子中第一項(xiàng)是分母中第一項(xiàng)的倍,先考慮與的大小關(guān)系.由于,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最大值.【例9】(多選題)已知函數(shù),且對(duì)隨意都有,則（）A.的最小正周期為 B.在上單調(diào)遞增 C.是的一個(gè)零點(diǎn) D.【答案】【解析】由題意知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,即，整理得,即,所以,又,所以,D正確.,從而的最小正周期為,故正確.當(dāng)時(shí),可得,若,則在上單調(diào)遞減,故錯(cuò)誤.,從而是的一個(gè)零點(diǎn),故正確.故選ACD.【例10】(多選題)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是A.最小正周期為 B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C.圖象關(guān)于軸對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞增 【答案】【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得的圖象;再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象.的最小正周期為,故A正確.令,得,可得它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故B正確.是偶函數(shù),它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故C正確.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤.故選ABC【例11】(多選題)已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線,其中為常數(shù),且,則以下結(jié)論中正確的是A.的最小正周期為 B.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.在上有66個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線,則.因?yàn)?所以,則,周期正確.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得的圖象,明顯的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,B錯(cuò)誤.由,取0,則是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間,又,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,C正確.由,得,解得.由,得.因?yàn)?所以,所以在上有67個(gè)零點(diǎn),錯(cuò)誤.故選AC.【例12】函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,為圖象的最高點(diǎn),為圖象與軸的交點(diǎn),且/為正三角形,則的值為________．【答案】【解析】,,故. .故答案為.【例13】已知,點(diǎn)從點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線,記直線左側(cè)部分的多邊形為,如圖,設(shè)的面積為的周長(zhǎng)為.(1)求和的解析式;(2)記,求的最大值.【答案】(1)(2).【解析】(1)如圖,作的高,由=5，BC=8，得AD=3.當(dāng)時(shí),,所以,,.當(dāng)時(shí),,所以,,(2)當(dāng)時(shí),,最大值為.當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值,又,故最大值為.【例14】(多選題)已知函數(shù),若函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離至少為,且在區(qū)間上存在最大值,則的可能取值為()A.4 B.3 C.2