北師大版必修第二冊5.2平面與平面垂直-2隨堂練習(xí)

【精挑】5.2平面與平面垂直-2隨堂練習(xí)

一.填空題

1.在四面體ABCD中，若4D=DC=4C=CB=1,則當(dāng)四面體ABCD的體積最大時，其外接球的表

面積為.

2.已知正方體“8。-48cA的棱長為2,P為體對角線叫上的一點，且"='股('?°」)),

現(xiàn)有以下判斷:①4°10F；②若BD'1平面P/C,則3；③"4C周長的最小值是2V2+2V3.

④若AP/C為鈍角三角形，則幾的取值范圍為I其中正確判斷的序號為.

3.在四棱錐？一"BCD中，底面NBC。為矩形，W平面48CD,PD=DA=2,℃=20.

以30為直徑的球與尸3交于點M(異于點3),則四面體凡尸⑺外接球半徑廠=.

4.已知四棱錐？—NBC。的底面45C。是邊長為2的正方形，側(cè)面P4B，底面AB。。，且

PA=PB=4,則該四棱錐/BCD的外接球的表面積為.

5.在所有棱長都相等的三棱錐「一NBC中，口，E,F分別是AB,BC,CA的中點，下列四個命題：

(1)BC"平面PDF；(2)DF//平面P4E；

(3)平面POE,平面4sC；(4)平面產(chǎn)￡平,平面尸

其中正確命題的序號為.

A.(2)(3)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)

6.在棱長為2的正方體中，￡是棱44的中點，則棱8片與平面所成角的正弦值等于.

7.已知正四棱錐側(cè)棱和底面邊長均為2,則該幾何體的側(cè)面與底面所成的二面角的大小為

(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)

8.正方形沿對角線30折成直二面角，下列結(jié)論：①異面直線N2與0。所成的角為60°；

②/C_LBQ；③A4C。是等邊三角形；④二面角Z-BC-O的平面角正切值是3；其中正確結(jié)論

是.(寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號)

9.如圖(1),在等腰直角MB。中，斜邊28=4,D為的中點，將A4CD沿CO折疊得到如圖

(2)所示的三棱錐C-A'BD,若三棱錐C-A'BD的外接球的半徑為下,則ZA'DB=.

10.已知P為aABC所在平面外的一點，PC±AB,PC=AB=2,E,F分別為PA和BC的中點，則直線EF

與PC所成的角為._

11.已知正四棱錐P-N3C。(底面是正方形且側(cè)棱都相等)中，PA=2,AB=42,M是側(cè)棱PC

的中點，則異面直線"與3/所成角的大小為.

M

12.已知球內(nèi)接三棱錐「一48c中，力上平面ABC,△4gC為等邊三角形，且邊長為百，又球的

32兀

體積為3,則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為.

13.已知六棱錐P-尸的七個頂點都在球。的表面上，若尸”=2,PC底面"CDEF,

且六邊形4BCDEF是邊長為1的正六邊形，則球0的體積為.

14.如圖，在三棱錐S-/BC中，若底面ZB。是正三角形，側(cè)棱長"=SB=SC=百，M.N分

別為棱SC.8C的中點，并且4WMN,則異面直線與"C所成角為.三棱錐s-ABC

的外接球的體積為.

NABC=——

15.體積為6的三棱錐「-NBC的頂點都在球。的球面上，尸平面/80,尸/=2，3，

則球0的表面積的最小值為.

參考答案與試題解析

1.【答案】Y

【解析】先根據(jù)底面ACD面積為定值，確定四面體ABCD的體積最大時，"平面”CO,再確定外

接球球心位置，解得球半徑，代入球的表面積公式得結(jié)果.

【詳解】

因為“￡>=℃=40=1,所以底面ACD面積為定值，

因此當(dāng)CSJ?平面時，四面體ABCD的體積最大.

00]=L

設(shè)△/CD外接圓圓心為則四面體ABCD的外接球的球心。滿足。a”5。，且12,

霜=(++(烏2=工

因此外接球的半徑及滿足2312

4兀R2=—

從而外接球的表面積為3

故答案為：3

【點睛】

本題考查四面體外接球的表面積，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

2.【答案】①②④

PB1

【解析】利用線面垂直證明線線垂直，由此判斷①正確.在直角三角形中，利用射影定理求得BD3,

由此判斷②正確.將"84和AC8Q展開成平面，由此求得ZP+C尸的最小值，進(jìn)而求得三角形

a/c周長的最小值，由此判斷③錯誤.先求得A473。為直角三角形時2的值，由此確定彳的取值范

圍

【詳解】

在正方體"8-4型能中，4"平面々G%又GPU平面々G%故4"GP,①正

確；_

由叫，平面PAC；在RtMBDi中，45=2,見=2立即=26,由于BDX，么尸，由射影定理

2

4=PROCPR」必=五」-1

得"2=8尸?即，即'58。2b3,可得3,故②正確；

476

將入4叫和AC即展開，可得/P+CP的最小值為3，又AC=2?,故③錯誤；

2=-

利用82,平面4CQ,可得當(dāng)AAPC為直角三角形時，3,故當(dāng)AAPC為鈍角三角形時，彳的

取值范圍為I3乙④正確.

所以正確判斷為①②④.

故答案為：①②④

/八

【點睛】

本小題主要考查正方體中的線線.線面垂直有關(guān)命題真假性判斷，考查距離和的最值的求法，考查空

間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

3.【答案】布

【解析】過點Q作心的垂線，垂足即為可求出易證平面PCD,從而可得到平面

平面PCD,分別取P3,PC的中點E,G,可得EG//5C,EG，平面PCD,由APCD

是直角三角形，可知直線EG上任意一點到APCD三個頂點的距離相等，作線段PM的垂直平方線，

垂足為R，交EG于點°,則點。為三角形PWC的外接圓圓心，且為四面體外接球球心，

由正弦定理可求得三角形加C的外接圓半徑，即為所求外接球半徑，求解即可.

【詳解】

由題意，W平面ZB。。，底面48CD為矩形，PD=DA=2,DC=2也，

可/曰BD=卜+(26丫=26PB=#百『+[2=4pc=百+0收了=2^3

過點。作尸3的垂線，垂足即為

cosZDPB=-=-ZDPB=-

42,所以3,PM=PD-cos/DPB=1,

因為3C_LC7),BC±PDPDeCD=D,所以5C_L平面尸CD,

sinZBPC=—=-=-,BP。"

則BC_LPC,PB42,即

因為BCu平面PMC,2cL平面PCD,所以平面PMC,平面PCD,

分別取P5,的中點E,G,則EG//BC,EG,平面PCD,

因為△℃￡?是直角三角形，所以直線￡G上任意一點到三個頂點的距離相等，

作線段PM的垂直平方線，垂足為E，交￡G于點°,則。到△℃心三個頂點的距離都相等，即

四面體MPS外接球球心為°,且△PCW的外接圓圓心為0,

MC=-2X1X2A/3COS—=V7

叢PCM中，6

口W=2g

.兀1

sm——

由正弦定理，62,即叢PCM的外接圓半徑為布,四面體MPC。外接球半徑外=4

故答案為：幣.

【點睛】

本窗考查空間幾何體的外接球問題，考查學(xué)生的空間想象能力，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔

題.

【解析】設(shè)正方形的中心9,三角形尸23的外心G,取N3的中點E,分別以EG,為鄰邊

作一個矩形￡G0°i,可證明。4=℃點。就是該外接球的球心，求出球半徑,

進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)正方形的中心三角形尸48的外心G,

取N5的中點E,連￡G,E0[,則EGLAB,EO]±AB,

分別以EG,E&為鄰邊作一個矩形￡G°Q,如圖，

因為側(cè)面P48,底面48cD,

則。。1，平面/BCD,0G，平面PAB,

則OA=OB=OC=OD=OP,

所以點。就是該外接球的球心，

EG=-------

由P4=P5=4,可得15,

4Q7Q

D'AC"OC?=R2=00；+0。2^GE2+O,C2=—+2=—

在RtAOQC中，1111515,

“”79316萬

47rR=4%x——二----

外接圓的表面積為1515,

3167r

故答案為：15.

【點睛】

要最外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直

則用4R2=/+/+/（凡”°為三棱的長）；②若"上面48c（S4=a）,貝“4霜=4/+/（廠為

A48c外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑（球心

在過底面多邊形的外心且與底面垂直的直線上）.

5.【答案】C

【解析】（1）根據(jù)三角形中位線得。尸//^。，根據(jù)線面平行判定定理可知（1）正確；

（2）根據(jù)位置關(guān)系可知。尸與平面尸4E相交，（2）錯誤；

（3）假設(shè)垂直關(guān)系成立，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證得平面紅引，由線面垂直性質(zhì)得到

PF1AE,根據(jù)等腰三角形三線合一可得則/E///C,不成立可知假設(shè)錯誤，故（3）

錯誤；

（4）根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面尸由面面垂直判定定理可證得結(jié)論，知（4）

正確.

【詳解】

⑴.?2/分別為四ZC中點.-.DF//BC

?.■。廠u平面PDE,平面PDF.?.8€7/平面尸￡）尸，（1）正確；

（2）,■DF[}AE=Mt/Eu平面尸平面=〃,（2）正確；

（3）假設(shè)平面PDE，平面/8C

?：4C=BC,E為中點:.AE1BC,又DF//BC：.AE1DF

?平面PDEPl平面48。=。尸，ZEu平面48cr.北,平面「。77

PFu平面PDFPF_LAE

,；P4=PC,廠為AC中點PF1AC.?./E///C,顯然不成立

故假設(shè)錯誤，（3）錯誤；

（4）.??三棱錐所有棱長都相等：.PF=PD

又DM//BC,M為中點DM±PM,DM1AM

:ZM,PAfu平面尸,AMPlPM=M_L平面尸4E7

又ZWu平面「￡0,平面00尸，平面HE,（4）正確

【點睛】

本題考查立體幾何中直線與平面.平面與平面的位置關(guān)系的判定，涉及到線面平行的判定.面面垂直

的判定.線面垂直和面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用等知識；考查學(xué)生對于立體幾何中平行與垂直的判定與性質(zhì)

定理的應(yīng)用情況.

6.【答案】在

3

【解析】易知：平面8”，平面8股，在平面即/中，過用點作印9,8n于0點，

則SB。為棱即與平面BED,所成角.

【詳解】

、左母BQ】曰后近擊B[D、B_L近市BED1

連接I】，易知：平面I1平面1,

在平面BRB中，過四點作BQ，町于o點,

:.修出°為棱BBX與平面BED,所成角，_

2x72

./RmBQ4eV6

在RTVBR。中，B.B23

V6

故答案為：3

【點睛】

本題主要考查了直線與平面之間所成角，考查空間想象能力.運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】arccos—

3

【解析】根據(jù)題意畫出正四棱錐S-48CO,正四棱錐側(cè)棱和底面邊長均為2,設(shè)正方形4gCD中心為

。，取3中點E,連接S0,SE°￡,證明S￡_LCD,°￡J_CD,則NS￡0為側(cè)面與底面所成的二

面角.

【詳解】

正方形4s中心為。，取CD中點E,連接S0,SE,0E

;正四棱錐S-'8CO,則SO1底面ABCD

SOLOE

°為"。中點，E為O’。中點

0E//AD故?！阓LC。且?！?1

???側(cè)面ASCD為等邊三角形，E為S中點

SELCD

在Rt&SCE中求得

\0EV3

cosZSEO=\—=—

?/在放ASOE中，|SE3

V3

arccos——

所以該幾何體的側(cè)面與底面所成的二面角的大小為：3

V3

arccos——

故答案為：3.

【點睛】

本窗考查面與面所成的二面角問題,解題的關(guān)鍵是作出相應(yīng)的立體圖形,屬于基礎(chǔ)題

8.【答案】①②③④

【解析】作出翻折后的空間圖形，取。為的中點，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)有工平面BCD,然后

對各個選項進(jìn)行分析計算，從而判斷其真假.

【詳解】

設(shè)正方形ABCD的邊長為2,取3。的中點為0,連結(jié).

由=有

又因為4—5°一°直二面角，所以40，平面BCD.

在直角三角形中，.則/C=2.

對①，取8G/C的中點分別為瓦J連結(jié)FO,EO,EF

則跖〃N3且所=1,￡0〃CD且￡0=i.

所以異面直線4B與CD所成的角為/bEO,

FO=-AC=\

直角三角形/℃中，2，所以△A￡八?為等邊三角形.

則/廠￡0=60°,所以①正確.

對②由==有/0_L8r>,C0_L5r>

則可以得到BD±平面4co，又4C匚平面ACO。

所以所以②正確.

對③，由題意可知/0="0=5=2,兒48是等邊三角形.

所以③正確.

對④，由則￡°,8C,

又48=/C,則/￡_L5C,所以ZAEO為二面角A-BC-D的平面角

tanZAEO=—=—=72

在直角三角形中，0E1，所以所以④正確.

故答案為：①②③④.

【點睛】

本法考查空間的垂直，異面直線所成角，二面角等屬于中檔題.

9.【答案】y

【解析】根據(jù)題意，先找到球心的位置，再根據(jù)球的半徑是以及已有的邊的長度和角度關(guān)系，

分析即可解決.

【詳解】

解：球是三棱錐C-A'BD的外接球，所以球心。到各頂點的距離相等，如圖.

根據(jù)題意，CD_L平面A'BD,

取CD的中點E,A'B的中點G,連接CG,DG,

因為A'D=BD,CD_L平面A'BD,

所以A'和B關(guān)于平面CDG對稱，

在平面CDG內(nèi)，作線段CD的垂直平分線，則球心0在線段CD的垂直平分線上，設(shè)為圖中的0點位置,

過

0作直線CD的平行線，交平面A'BD于點F,

則OFJ_平面A'BD,且OF=DE=1,

因為A'F在平面A'BD內(nèi)，所以O(shè)FLA'F,

即三角形A'OF為直角三角形，且斜邊OA'=R=若，

?A，F(xiàn)=J&2-OF，=J5-1=2

所以，BF=2,

所以四邊形A'DBF為菱形，

又知OD=R,三角形ODE為直角三角形，

..搦==57=2,

二三角形A'DF為等邊三角形，

_71

：.ZA'DF3,

_2兀

故NA'DB3,

2萬

故填：3.

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球的問題，找到球心的位置是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

10.【答案】450

【解析】取尸3的中點為G,證明NGFE為PC與N5所成的角，在AEG/中求NGEE.

【詳解】

取總的中點為G,連接/G,EG,

,?'E,F分別為PA和BC的中點,

FG=-PCEG=-AB

EE||PC且2,EG〃/8且2,

\DG/花為防與尸C所成的角，N￡G/為PC與N5所成的角，

PC1AB

ZEGF=90°

又EG=GF=\

\DGFE=45°

故答案為45°.

【點睛】

本盲考查的是異面直線所成角的求法，作出異面直線所成角是關(guān)鍵，是中檔題.

n.【答案】45。

【解析】設(shè)/C與A0相交于點。，連接（W。因為48CD是正方形，所以。是ZC中點。而M是

PC中點，所以（W/?4P,則NOW是異面直線/尸與所成角。因為P-45co是正四棱錐,

=2

所以R9L面45CD,從而可得面面48cD。因為所以5。，面上4C,從而

BOLOMQ因為尸Z=2,48=正，所以（W=1,08=LB￡?=1,所以ASOM是等腰直角三角形,

2

從而可得N（WB=45°

12.【答案】叵

10

【解析】先根據(jù)正弦定理求出小圓a的半徑,根據(jù)球的體積求出球的半徑,再根據(jù)垂徑定理求得力,

根據(jù)勾股定理求得PC,PE,取4B的中點E,連PE，CE,可得/CPE就是直線PC與平面PAB所成的

角，在直角三角形CPE中可求得.

【詳解】

如圖：

百

y-.............

由正弦定理得小圓a的半徑為：2sin60°=1,則4）=2,

又由33，得球的半徑R=2,

所以4P=2A/F二7=2"^T=2百，取的中點E,連接PE,CE，則/CPE就是直線pc與平

面PAB所成的角，

又PC=占片+3=712+3=V15,

PE^^PA2+AE2=J12+-

V42

cosZCPE=^^=^L

所以<1510.

V85

直線PC與平面PAB所成角的余弦值為10.

【點睛】

本題考查了直線與平面所成的角，垂徑定理，屬中檔題.

13.【答案】逑"

3

【解析】根據(jù)底面為正六邊形，可知底面外接圓的半徑為1,由勾股定理可求外接球的半徑，即可求

出體積.

【詳解】

解：在六棱錐「―中，由于底面正六邊形的邊長為1,

故底面外接圓半徑尸=1,

PA=2,4工底面/5。?！晔?，

設(shè)外接球的半徑為汽

則（2氏）=22+22解得氏=血

二.展"=｝（卬=爭

872

------71

故答案為：3

【點睛】

本盲考查錐體的外接球的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.

■中7i97r

14.【答案】--

22

【解析】根據(jù)題意得出三棱錐是正三棱錐，易證出NC工平面,再根據(jù)"""SB，可得W/C,

從而得出異面直線4W與/C所成角；判斷出三棱錐是正方體的一部分，從而得出球的直徑，即可得

出球的體積.

【詳解】_

由三棱錐S-Z5C中，若底面48c是正三角形，側(cè)棱長S4=S8=SC=G知，三棱錐S-48c是

正三棱錐，則點S在底面/8C中的投影為底面的中心°,E為"C中點如圖，

因此SO±AC,AC18E,S0cBE=O,所以/c,平面,SBu平面SB￡,

.?.SBLAC,又M.N分別為棱SC.的中點，