高中數(shù)學(xué)人教課標(biāo)A版必修2-高二數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題十八講 公開課教學(xué)設(shè)計(jì)課件資料

第一講《幾何體的表面積與體積問題》熱點(diǎn)解析

空間幾何體的表面積與體積問題是高考中的熱點(diǎn)問題之一,主要考查柱、錐、

臺(tái)、球的體積和表面積，常與三視圖、球等問題結(jié)合考查.20

熱點(diǎn)1.考查幾何體的表面積H—20--I

正（主）視圖例（左）視圖

例L已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可

得這個(gè)幾何體的表面積是.

分析：由三視圖還原幾何體，把圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何體的尺寸計(jì)算表面積.

俯視圖

解：依題意，此幾何體為如圖的四棱錐產(chǎn)力頗，且底面4靦為邊長為20cm

的正方形，側(cè)面故）垂直底面/靦，△”的高為20cm,故這個(gè)幾何體的表面積S

=202+^X20X20+^X20X2嗦+2X^X2OX1琉=600+200（小十洞（加），故

填答案600+200（^2+^/5）cm2

總結(jié)：以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行

恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

配套訓(xùn)練L若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積

等于（）

A.y/3B.2

C.2^3D.6

考點(diǎn)2.考查幾何體的體積

例2.如圖，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等功三

角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為（）

A.4小B.4

C.2#D.2

分析：根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和幾何體的體積公式求解.

解：由三視圖可知此幾何體為四棱錐，高為3.所以K=^=^X2y/3X2X3=

2小,故選C.

總結(jié)：以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形

狀構(gòu)成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解.

配套訓(xùn)練2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（）

2816?4,

A.-B.-ITC.+8D.127

ooO

熱點(diǎn)3.考查幾何體的展開與折疊

例3.如圖1,在直角梯形/比》中，ZADC=90°,CD//AB,AB=\,AD=CD=2,將

沿47折起，使平面力〃入平面4%,得到幾何體力8G如圖2所示.

（1）求證：6灶平面45；（2）求幾何體的比的體積.

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明故垂直于平面/切內(nèi)的兩條相交線即可；

（2）利用體積公式及等體積法證明.

⑴證明：在圖中，可得/仁及從而〃+初=麻，故4密取/C的中點(diǎn)0,

連接〃。，

則D0LAC,又平面平面ABC,平面平面ABC=AC,DOa平面ADC,從而DO

_L平面加GJ.DOYBC,——jC

又ACLBC,ACOD0=0,.?.犯1平面____

（2）解：由⑴可知，比為三棱錐胡切的高，比±2啦，以,》=2,

11廠4、歷4、傷

=三酸3?BC=~X2X2而=U~,由等體積性可知，幾何體DABC的體積為里.

O?JO?J

總結(jié)：（1）有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形（折前的平面圖形和折疊后的空間

圖形）各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變；（2）研究幾何體表面上兩點(diǎn),

的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離

問題.0；

配套訓(xùn)練3.已知在直三棱柱48。心G中，底面為直角三角形，ZACB=90°,L%/

價(jià)=6,8C=S=*,P是的上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，則b+9的最小值為.A'

考點(diǎn)4.考查與球有關(guān)的計(jì)算問題

例4.⑴正四棱錐A4吃的側(cè)棱和底面邊長都等于2平,則它的外接球表面積是

（2）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的

表面積為?

分析：（1）求外接球的表面積，首先需要求出此球的半徑，然后根據(jù)球的表面積公式計(jì)

算；（2）球心位于上、下底面中心連線的中點(diǎn)處，再結(jié)合圖形求表面積.

解：（1）設(shè)正四棱錐的外接球半徑為此頂點(diǎn)。在底面上的射影

:=卜2m2.2=2,'ai

Z.PgylP#_0#=N2m2—22=2.又曲=04。。=如=2,由此可知Q2,

于是S球=4n#=16兀.

(2)三棱柱如圖所示，由題意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心a、&的連線的中

點(diǎn)。處，連接a氏60、0B,其中仍即為球的半球必由題意知：。8=|、華=華，所

以半徑*=(f)+(當(dāng)^尸=碧，所以球的表面積5=4五川=用且.

總結(jié)：以各幾何體的外接球、內(nèi)切球?yàn)槊}點(diǎn)進(jìn)行考查是高考考查的重要內(nèi)容，在備考

中要牢記一些典型幾何體的側(cè)面積和體積的計(jì)算公式，以及各幾何體的棱長與它的內(nèi)切球、

外接球的半徑之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.

配套訓(xùn)練4.若三棱錐的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為小,則其外接球的表面積

是.

總之，空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考的一個(gè)常見考點(diǎn)，解決這類問題，首先要

熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾

何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧、把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技

巧、對旋轉(zhuǎn)體作其軸截面的技巧、通過方程或方程組求解的技巧等，這是化解空間兒何體面

積和體積計(jì)算難點(diǎn)的關(guān)鍵.

第二講三視圖問題中的熱點(diǎn)回顧

空間幾何體的三視圖問題，是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，由于這部分內(nèi)容能夠很好地考查

學(xué)生的空間想象能力以及分析解決問題的能力，因此成為近年來高考立體幾何問題中的命題

新趨勢.為了把握熱點(diǎn)，明確高考命題的方向，本講三視圖的熱點(diǎn)問題回顧如下，供學(xué)習(xí)時(shí)

參考.

熱點(diǎn)L考查三視圖的概念問題

例1.一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖

所示，則該幾何體的俯視圖為（）

中『EB

正住明圖側(cè)也）視圖

CD

解析：C.由正（主）視圖可知去掉的長方體在正對視線的方向，從側(cè)（左）視圖可以

看出去掉的長方體在原長方體的左側(cè)，由以上各視圖的描述可知其俯視圖符合C.

點(diǎn)評：本題主要考查柱體的三視圖畫法，解題的關(guān)鍵在于正確掌握三視圖的概念，特別

要幾何體的三視圖之間的關(guān)系，要注意理解“長對正、高平齊、寬相等”的含義.

跟蹤訓(xùn)練1.一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的

（填入所有可能的幾何體前的編號）.

①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱

熱點(diǎn)2.考查由三視圖求體積問題

例2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積

為.

解析：由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，由正視圖和俯視圖

可知該幾何體的高為1,結(jié)合三個(gè)視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的

直四棱柱，所以該幾何題的體積為丫=$11=-（l+2）x2xl=3,故填3.

2

點(diǎn)評：正視圖和側(cè)視圖的高是幾何體的高，由俯視圖可以確定幾何體

底面的形狀，本題也可以將幾何體看作是底面是長為3,寬為2,高為1

的長方體的一半.

跟蹤訓(xùn)練2.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

A.2B.1C.-D.一

33

熱點(diǎn)3.考查由三視圖求面積問題

例3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是()

A.372B.360C.292D.280

解析：選B.該幾何體由兩個(gè)長方體組合而成，其表面積等于

下面長方體的全面積加上面長方體的4個(gè)側(cè)面積之和.

S=2(10x8+10x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.

點(diǎn)評：本題主要考查簡單組合體的三視圖問題以及把三視圖

轉(zhuǎn)化為直觀圖的能力.

跟蹤訓(xùn)練3.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如右圖

I

所示,則其表面積等于__________.--------------工

!■—?—*—i—l

熱點(diǎn)4.考查由三視圖求長度問題

例4.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,在其上用粗線畫出

了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長的一條

棱的長為.

解析：由三視圖可知，此多面體是一個(gè)底面邊

長為2的正方形且有一條長為2的側(cè)棱垂直于底

面的四棱錐，所以最長棱長為A/22+22+22=273.

點(diǎn)評：本題主要考查三視圖視角下多面體棱長的最值問題，考查識(shí)圖能力以及由三視圖

還原幾何體的能力.

跟蹤訓(xùn)練4.圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm3的幾何

體的三視圖，則力=cm.

總之，以上四個(gè)方面是空間幾何體的三視圖的熱點(diǎn)問題，務(wù)必熟

練掌握.另外，空間幾何體的三視圖還可以和其他問題交匯考查，但由

于所學(xué)內(nèi)容的限制，本講暫不涉及.

第三講透視線面平行問題的兩大熱點(diǎn)

線面平行問題包括直線與平面平行的判定與性質(zhì)，它是高考所必考的2大熱點(diǎn)問題.本

講結(jié)合近年來的高考試題就線面平行問題的2大熱點(diǎn)回顧如下，供學(xué)習(xí)時(shí)參考.

熱點(diǎn)1.考查線面平行的判定

例1.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEJ_AC,EF〃AC,AB=J5,

CE=EF=1.

求證：AF〃平面BDE.

分析：要證明AF與平面BDE平行，根據(jù)線面平行的判定定理，關(guān)鍵是要找AF與平面

BDE內(nèi)的某條直線平行，將“線面”平行問題轉(zhuǎn)化為“線線”平

行問題來證明.

證明：設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G,YEF//AG,且EF=1,AG=，AC=1,

2

四邊形AGEF為平行四邊形，...AF〃EG,又：EGu平面BDE,

AF(Z平面BDE,，AF〃平面BDE.

評注：本題主要考查線面平行的判定定理的掌握情況，屬于難度中等的題目，其中證明

AF與EG平行是解決問題的關(guān)鍵.

例2.在四面體ABCD中，CB=CD,ADA.BD,且E,F分別是AB,BD的中點(diǎn)，求證:

直線面ACO.

分析：根據(jù)線面平行的判定定理，在面ACO內(nèi)找一條直線

和直線EF平行即可，而E,F分別是AB,BD的中點(diǎn)，所以聯(lián)想到

三角形的中位線定理.

證明：..飛尸分別是AB8D的中點(diǎn).

，EF是AABD的中位線，EF//AD,

?”尸〃心面設(shè)0,ADu面ACD,二直線EF〃面ACD.

評注：本題主要考查線面平行的判定定理的掌握情況，屬于容易的題目，其中三角形中

位線定理是解決問題的關(guān)鍵.

熱點(diǎn)2.考查線面平行的性質(zhì)

例3.如圖，若。是長方體ABC?！狝4GA被平面EFGH截去幾

何體EFGHBg后得到的幾何體，其中E為線段4片上異于的點(diǎn)，F(xiàn)為線段8片上異

于用的點(diǎn)，且EH〃AR,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.EH//FGB.四邊形EFGH是矩形

C.。是棱柱D.A、B、C均不正確

分析：本題是基于線面平行的性質(zhì)來考查棱柱與棱臺(tái)的概念的.

解：：因?yàn)镋H//44,而AA//4G，???所以EH//B?，又E”u平面BCC畫,

所以E”〃平面BCC,B,,又E”u平面EFGH,平面EFGHc平面

BCC】B\=FG,EH〃FG,故EH〃FG〃Bg,所以選項(xiàng)A、C正確，故選D.

評注：本題考查空間中直線與平面平行的判定與性質(zhì)，考查同學(xué)們的空間想象能力和邏

輯推理能力.

例4.設(shè)有直線m、n和平面&、△.且mu〃，nuP

a（3=1,若01〃a,11〃&,則直線m、n的位置關(guān)系為（）

A.m//nB.m、n相交C.m〃n或m、n相交D.無法確定

分析：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，不難得出直線m、n的位置關(guān)系.

解：'.'m//a,a（~\P—I,mu0同理n〃l,二!!!〃!!.

評注：本題主要考查直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過

這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.屬于容易題.

總之，只要緊緊抓住線面平行的判定與性質(zhì)的實(shí)質(zhì)，不論問題如何變換，都可以做到得

心應(yīng)手，舉一反三的目的.

第四講空間距離問題的三大熱點(diǎn)

空間距離的概念及其計(jì)算是立體幾何的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考所必考內(nèi)容之一，立體幾

何中的距離，主要包括：點(diǎn)到平面的距離；異面直線的距離：直線與平面的距離等.盡管這

些距離的含義各不相同，但都可以通過適當(dāng)?shù)氖侄巫罱K轉(zhuǎn)化為平面上的兩點(diǎn)之間的距離來計(jì)

算.其基本方法和步驟是：①找出或作出有關(guān)距離的圖形；②證明它符合定義；③在平面圖

形內(nèi)計(jì)算.簡單地說：求空間距離都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成，即寓證明

于運(yùn)算之中.本講就近年來高考中有關(guān)距離問題的三大熱點(diǎn)例談如下，供復(fù)習(xí)時(shí)參考.

熱點(diǎn)1.求點(diǎn)到平面的距離

求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂

足，求這類問題通?？蛇\(yùn)用轉(zhuǎn)化法與等體積法.

例1.如圖，正三棱柱ABC-A4G的所有棱長都為2，。為中點(diǎn).

?.?正三棱柱中，平面A8CJ_平面

AO_L平面

連結(jié)B0，在正方形BBCC中，。。分別為

BC,Cq的中點(diǎn)，Bt0±BD,ABt±BD.

在正方形中，平面4玩).

<II)△48。中，BD=AD=R=卡，S^BCD=1?

在正三棱柱中，&到平面BCC4的距離為上.

設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為d.

S“BD

.?.點(diǎn)C到平面ABD的距離為日.

小結(jié)：本題（H）中主要考查點(diǎn)到平面的距離的求法，這里采用的是等體積法，這種方

法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.當(dāng)然，本題

還可以采用轉(zhuǎn)化法和向量法，請同學(xué)們自己思考.

熱點(diǎn)2.求異面直線的距離

此類問題主要考查異面直線的距離的概念及其求法，一般只要求掌握已給出公垂線段的

異面直線的距離的求法，如果異面直線的公垂線段不易作出，則往往采用轉(zhuǎn)化的方法，將其

轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離，從而得以解決.

例2.已知三棱錐S-ABC,底面是邊長為4后的正三角形，棱SC的長為2,且垂

直于底面.E、。分別為BC、A8的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.

分析：由于異面直線切與跖的公垂線不易尋找，所以設(shè)法

將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步

轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.

解：如圖所示，取劭的中點(diǎn)E連結(jié)牙；SF,CF,

.?.￡77為438的中位線，，石廠〃8,，8〃面5七/7,0

.?.8到平面SEE的距離即為兩異面直線間的距離.

又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線CD上一點(diǎn)C到平面SEF

的距離，設(shè)其為力，由題意知，BC=46,D、E、尸分別是

AB、BC、劭的中點(diǎn)，

/.CD=276,EF=-CD=y[6,DF=j2,SC=2

2

?i/11門"11行c2百

??CFF—-----EF?DF-SC---------<6-v2-2=------

S332323

在RtASCE中，SE=4SC2+CE-=273

在RtASCF中，SF=yISC2+CF2=V4+24+2=V30

又；EF=y[6,S2EF=3

由于匕^￡-=匕.四=:小雌]〃，即:3-〃=孚，解得6=孚

故切與V間的距離為2叵.

3

小結(jié)：通過本例可以看到求空間距離的過程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程，即化歸的過程.

熱點(diǎn)3.求直線到平面的距離

此類問題，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.

例3.如圖，在棱長為2的正方體AG中，G是AA的中點(diǎn)，求被到平面G5Q的距

離.

分析：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離

的方法求解.

解：,/BD//平面GB[D],

8。上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求

點(diǎn)。平面的距離，

B]￡)i_LAG，_LA」，二與。]，平面AACC1,

又：BDu平面GB、Dx

二平面AACG，6夕?！竷蓚€(gè)平面的交線是01G,

作OH±QG于H,則有O”，平面GB|Q,即0H是0點(diǎn)到平面的距離.

在AOiOG中，SAQQG=；?0|O-AO=g2&=VL

又SAO℃=LOHO\G=L-6OH=M,:.OH=偵.

ZA<Z|2]23

2/ft

即加到平面G。。的距離等于詈.

小結(jié)：當(dāng)宜線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面之間的距

離.所以求線面之間的距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面之間的距離，這種求法稱之為

直接法，即直接作出距離的方法.也可以先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再運(yùn)用等體積法求出距離，這

種求法稱之為間接法，即間接求出距離的方法.

總之，求空間距離時(shí)，一般是由面面之間的距離轉(zhuǎn)化為線面之間的距離；線面之間的距

離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面之間的距離：點(diǎn)面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線之間的距離；再由點(diǎn)線之間的距離

轉(zhuǎn)化為平面上的兩點(diǎn)之間的距離來計(jì)算.

第五講兩條直線位置關(guān)系問題考點(diǎn)透視

兩條直線的位置關(guān)系問題是解析幾何中的重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)直線和圓以及直線和圓錐曲

線位置關(guān)系的基礎(chǔ)，是高考所必考的重要知識(shí)點(diǎn)之一，高考中通常以選擇題或填空題的形式

出現(xiàn)，難度中等偏下.本講就兩條直線位置關(guān)系問題考點(diǎn)透視如下，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有

所裨益.

考點(diǎn)1.由兩直線平行或垂直求參數(shù)問題

例1.(1)若直線《2x+my+l=0與直線七y=3x—1平行，則根=.

(2)已知兩條直線y=x-2和y=(a+2)x+l互相垂直，則。=.

一.一22

解析：(1),直線/,：y=3x—1的斜率0=3,且/]〃/,,，＜=鼠，-=3,m=—-.

m3

(2)?.?直線y=x-2的斜率匕=1,直線y=(a+2)x+l的斜率a=。+2,則由

女*2=—1得1?。+2)=—1,a=-3.

點(diǎn)評：本題主要考查由兩條直線平行或垂直，求參數(shù)問題，解題時(shí)務(wù)必掌握：兩條直線

有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它

們平行,即=且仇X%；如果兩條直線的斜率分別是匕和&2,則這兩條直

線垂直的充要條件是占的=-1.當(dāng)然，也可能出現(xiàn)已知兩條直線重合，求參數(shù)的問題.

考點(diǎn)2.兩條直線的夾角問題

例2.已知等腰直角三角形ABC中，C=90°,直角動(dòng)BC在直線2x+3y-6=o上，頂點(diǎn)

A的坐標(biāo)是(5,4),求邊AB所在的直線方程.

解析：???/ABC=45°,由兩條直線的夾角公式，得一1匚-J=l,:3=i

1+.Z的“

.?.扇=-5或。=],；.八8邊所在的直線方程為:丫-4=](X—5)或y—4=-5(X

一5),即x—5y+15=0或5x+y—29=0.

點(diǎn)評：本題利用等腰直角三角形的性質(zhì)，得出NABC=45°,再利用夾角公式，求得直

線AB的斜率,進(jìn)而求得了直線AB的方程.當(dāng)然也可能出現(xiàn)一條直線到另一條直線的角(簡稱

為“到角”)的問題.

考點(diǎn)3.兩條直線的交點(diǎn)問題

例3.直線y=kx+3k-2與直線與：x+4y—4=0的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)k

的范圍為.

n-nk

y=kx+?)k-24Z+1

解析：由，

x+4y—4=0lk-2

4A+1

12-12&

,2

?.?兩直線的交點(diǎn)在第一象限：.<4k+1?—VkV1.

7

即當(dāng)*2<k〈l時(shí)，兩直線的交點(diǎn)在第一象限.

7

點(diǎn)評：兩直線的交點(diǎn)在第一象限，可以解兩直線的方程組成的方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo),

讓橫坐標(biāo)大于0,縱坐標(biāo)大于0,而后解不等式組即得k的范圍.類似的可以出現(xiàn)兩直線的交

點(diǎn)在其它象限或坐標(biāo)軸上，求參數(shù)的范圍問題.

考點(diǎn)4.兩條直線的對稱問題

例4.已知直線L:x+my+5=0和直線b:x+ny+p=0,則L、丑關(guān)于y軸對稱的充要條件是

5〃?]

A.-=-B.p=-5C.m=-n且p=-5D.—=一-且p=-5

mnmn

解析：直線L關(guān)于y軸對稱的直線方程為(r)+my+5=0,即x-my-5=0,與L比較，.?.nF-n

且P=-5.反之驗(yàn)證亦成立，故選C.

點(diǎn)評：兩條直線關(guān)于y軸對稱，如果有斜率，也可以抓住這兩條直線的斜率互為相反數(shù),

直接選出答案C.當(dāng)然兩條直線的對稱問題涉及的內(nèi)容非常廣泛，可能是直線關(guān)于直線對稱,

也可能是直線關(guān)于點(diǎn)對稱等，這些問題，學(xué)習(xí)時(shí)務(wù)必掌握.

考點(diǎn)5.兩條直線的距離問題

例5.求與直線/：5x-12片6=0平行且到/的距離為2的直線的方程.

解析：設(shè)所求直線的方程為5X-12尸L0.在直線5xT2戶6=0上取一點(diǎn)R(0,-),

2

點(diǎn)R到直線5x-12廣爐0的距離為

T2x；+cic_6i|c_6|

=J-----,由題意得------=2.所以。=32或c=-20.

J52+(-12)213

所以所求直線的方程為5xT2刀32=0和5xT2尸20=0.

點(diǎn)評：求兩條平行線之間的距離，可以在其中的一條直線上取一點(diǎn)，求這點(diǎn)到另一條直

線的距離.即把兩平行線之間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)然，本題也可以直接運(yùn)用兩

條平行直線4和1的距離公式d=＞一區(qū)求解.

2

VA2+52

總之，只有熟練掌握以上考點(diǎn)，力爭做到舉一反三，觸類旁通的目的，才能夠?yàn)楹罄m(xù)內(nèi)

容的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，進(jìn)而為以后奪取高考的勝利鋪平了道路.

第六講圓的方程問題在高考中的熱點(diǎn)解析

圓的方程是解析幾何中的重要內(nèi)容，是高考所必考的重要知識(shí)點(diǎn)之一，高考中，基礎(chǔ)題

一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，中檔題一般以解答題的形式出現(xiàn)，并常與直線方程或不

等式所表示的平面區(qū)域結(jié)合在一起考查，但隨著命題的改革，也出現(xiàn)了一些以能力立意的交

匯型或創(chuàng)新型問題，本講就近年來高考中所出現(xiàn)的與圓的方程有關(guān)的熱點(diǎn)問題解析如下，供

復(fù)習(xí)時(shí)參考.

熱點(diǎn)1.求圓的方程

根據(jù)條件,直接求圓的方程是一種最基本的題型，圓的方程有一般式和標(biāo)準(zhǔn)式兩種形式,

這兩種形式分別由不同的條件確定，但最主要的是要確定圓心與半徑，圓心與半徑一旦確定,

方程就確定了.

例1.在直角坐標(biāo)系中，以0為圓心的圓與直線：x-0y=4相切，求圓0的方程.

解析：(1)依題設(shè)，圓。的半徑r等于原點(diǎn)。到直線x-Jiy=4的距離，即

4CC

r=-j==2,所以得圓。的方程為V+y2=4.

熱點(diǎn)2.求圓的切線方程

根據(jù)條件，求圓的切線方程首先要確定切線有沒有斜率，如果沒有斜率，則直接得出答

案；如果有斜率，則抓住圓心到直線的距離等于半徑，運(yùn)用待定系數(shù)法確定切線方程中的待

求參數(shù)，從而進(jìn)一步確定圓的切線方程.

例2.過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2-4x+2y+3=0相切的直線的方程為()

2

(A)y=-3x或y=2x(B)y=3x或y=-4x(C)y=-3x或y=」x(B)y=3x或y=4x

3333

解析：由題意，所求切線方程過坐標(biāo)原點(diǎn)且有斜率，設(shè)為y=丘，則由y=6與圓

x2+y2-4x+2y+|=0相切，得圓心(2,-1)到直線方程的距離等于半徑半，由點(diǎn)到

直線的距離公式得畢坦=?,解得后=，或攵=—3,切線方程為

V17F23

y=-3x或y=gx,選A.

熱點(diǎn)3.求與圓有關(guān)的參數(shù)

根據(jù)條件，求與圓有關(guān)的參數(shù)問題，范圍非常廣泛，涉及到點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與

圓的位置關(guān)系等，運(yùn)用的方法主要是待定系數(shù)法.

例3.若直線y=kx+2與圓(X-2)2+(y-3)2=l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍

是.

解析：由直線y=4x+2與圓（x—2）z+（y—3）2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得直線與圓的

位置關(guān)系是相交，故圓心到直線的距離小于圓的半徑，即巴-3+2]<],解得ke（o,i）

熱點(diǎn)4.求與圓有關(guān)的軌跡方程

根據(jù)條件，求與圓有關(guān)的軌跡方程，主要抓住求軌跡方程的一般步驟，同時(shí)考慮求軌跡

方程的具體方法（例4是直接法）.

例4.已知。。的方程是f+V-2=0,。。的方程是》2+,2-8%+10=0,由動(dòng)點(diǎn)

P向。。和。?！那芯€長相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是,

解析：VOO-.Y+y2-2=0的圓心在原點(diǎn)（0,0）,半徑為近；0（?：

_?+/-8無+10=0即為（X—4）2+9=6,圓心為（4,0）,半徑為...由圓的切

線性質(zhì)及勾股定理有：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則

.+y2—（可=?x_4）\y2_?,化簡得x=g,即為所求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方

程.

熱點(diǎn)5.圓的參數(shù)方程問題

圓的參數(shù)方程問題涉及到圓的普通方程與圓的參數(shù)方程之間的互相轉(zhuǎn)化以及由圓的參

數(shù)方程迅速求出圓的半徑和圓心坐標(biāo)等問題.

例5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的參數(shù)方程為卜='+3（參數(shù)teR）,圓c

b=3-r

的參數(shù)方程為F=（參數(shù)。[0,2加），則圓C的圓心坐標(biāo)為_______,圓心到直

[y=2sin6+2

線1的距離為.

解析：將參數(shù)方程化為一般方程，得直線的方程為x+y-6=0,圓的方程為x2+（y-2）J4,

|4|

從而有圓心坐標(biāo)為（0,2）,圓心到直線的距離d==242.

正

熱點(diǎn)6.應(yīng)用型問題

應(yīng)用型問題是近年來高考命題所關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一，一般出現(xiàn)在概率和函數(shù)方面.而

關(guān)于圓的方程所出現(xiàn)的應(yīng)用型問題以往并不多見，這說明應(yīng)用型問題可能由傳統(tǒng)型向其它方

面轉(zhuǎn)變，這應(yīng)該引起高度重視.

例6.要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，

使整個(gè)草坪都能噴灑到水.假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是

半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個(gè)數(shù)最少是

()

A.3B.4C.5D.6

解析：因?yàn)辇堫^的噴灑面積為36”“113,正方形面積為256,

故至少三個(gè)龍頭.由于2R<16,故三個(gè)龍頭肯定不能，

保證整個(gè)草坪能噴灑到水.當(dāng)用四個(gè)龍頭時(shí)，可將正方形均分四個(gè)

小正方形，同時(shí)將四個(gè)龍頭分別放在它們的中心，由于

2R=12>8a,故可以保證整個(gè)草坪能噴灑到水，選B.

熱點(diǎn)7.交匯型問題

在知識(shí)的交匯處命題是近年來高考命題的趨勢所在,其中圓的方程可以很好地與平面區(qū)

域問題、向量問題等的交匯考查.

2x-y+2>0

例7.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域—+上，點(diǎn)Q在曲線―+（y+2）2=1上，那

x+y-2<0

么|PQ|的最小值為（）

(A)V5-1(C)2V2-1(D)-\1^2—1

2x-y+2>0

解析：點(diǎn)尸在平面區(qū)域+140上，畫出可行域

x+y-2<0

如圖,

點(diǎn)。在圓/+（y+2）2=1上，那么的最小值為圓心（0,一2）到直線x—2y+l=0的距

離減去半徑1,即為追一1,選A.

例8.在直角坐標(biāo)系中，以0為圓心的圓與直線：x-Jiy=4相切，（1）求圓0的

方程

（2）圓。與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使1PA|、：P0|、|PB|成等比數(shù)列,

求麗?麗的取值范圍.

解析：(1)依題設(shè)，圓。的半徑「等于原點(diǎn)。到直線X-百y=4的距離，即

得圓。的方程為V+y2=4.

(2)不妨設(shè)4出0),B(X2,0),百〈巧.由一=4即得A(—2,0),8(2,0).

設(shè)P(x,y),由|剛,「0|,|尸耳成等比數(shù)列，得

22

J(x+2尸+)?J(x-2f+y?=x+y,

22222

即x-y=2.PA?PB=(-2-x,-y)?(2-x,-y)^x-4+y=2(y-l).

??？+,2<4

由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故’由此得0?y2<].所以pW.p月的取值范圍為

x1-y=2.

[-2,0).

當(dāng)然，與圓的方程有關(guān)的問題還有許多，特別是交匯型問題和創(chuàng)新型問題，但是只要我

們熟練掌握了最基本的問題，那么，不論問題怎么變化，只要經(jīng)過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為我們

所熟悉的基本的問題，最后都可以得到順利的解決.

第七講直線和圓的方程問題熱點(diǎn)透視

直線和圓的方程問題是解析幾何中的重要問題，是高考所必考的重要知識(shí)點(diǎn)之一，一般

以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，偶爾也會(huì)出現(xiàn)在解答題中，難度中等，考查的熱點(diǎn)主要集中

在直線與圓的位置關(guān)系問題、圓的方程的求法以及直線與圓的交匯型問題等方面，下面以近

年來的高考試題為例，將其熱點(diǎn)透視如下，供學(xué)習(xí)時(shí)參考.

熱點(diǎn)一.考查直線與圓的位置關(guān)系問題

例1.若直線2+工=1與圓/+,2=1有公共點(diǎn)，則

ab

A.a2+b2<1B.a2+b2>1C.±+-^41D.二+321

a2b2a2b-

解析：設(shè)圓心(0,0)到直線±+上=1,即bx+ay-ab=o的距離為d,則€1=產(chǎn)1

ab7a2+b2LY

——+——21,選D.

a2b2

點(diǎn)評：本題主要考查運(yùn)用幾何法來判斷直線與圓的位置關(guān)系.

考點(diǎn)說明：直線與圓的位置關(guān)系是高考的重要考點(diǎn)之一，除了幾何法，有時(shí)也要用到代

數(shù)法，即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，由方程組的解的情況來確定直線與圓的位置關(guān)系.

配套練習(xí)1：若直線3x+4y+m=0=0與圓f+V—2x+4y+4=0沒有公共點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)，”的取值范圍是—.

熱點(diǎn)二.考查圓的方程的求法問題

例2.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x—3y=O和無軸相切，則該圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x-3)2+[y—3=1B.(x-2)2+(y-1)2=1

C.(I)?+(y—3/=1D.(x—|)+(y—l)2=l

解析：由題意，設(shè)圓心為(a,l),則由已知得1=匚14g/7-3」1=1,二。=2(舍—]1)，選B.

點(diǎn)評：本小題是在圓與直線相切的位置關(guān)系上，考查圓的方程的求法.

考點(diǎn)說明：根據(jù)條件，求圓的方程是一種最基本的題型，圓的方程有一般式和標(biāo)準(zhǔn)式兩

種形式，這兩種形式分別由不同的條件確定，但最主要的是要確定圓心與半徑，圓心與半徑

一旦確定，方程就確定了.

配套練習(xí)2：已知圓C的圓心與點(diǎn)尸(一2,1)關(guān)于直線y=x+l對稱.直線3x+4y-11=0

與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，且IA目=6,則圓C的方程為

熱點(diǎn)三.考查直線與圓的交匯型問題

2x-y+2>0

例3.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域<x—2y+lM0上，點(diǎn)。在曲線Y+(y+2)2=1上，那

x+y-2<0

么|PQ|的最小值為()

A.Vs—1B-卡7C.2V2—1D.V2—1

2x-y+2>0

解析：點(diǎn)75在平面區(qū)域,》-2丫+140上，畫出可行域

x+y-2<0

如圖，點(diǎn)。在圓/+(y+2『=1上，那么忙。的最小值為

圓心(0,-2)到直線x-2y+l=o的距離減去半徑1,即為石一1,選A.

點(diǎn)評：本題主要考察在線性約束條件下，求兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最小值問題，關(guān)鍵是抓住

圓心到平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的距離的最小值問題，而這一問題又可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題.

考點(diǎn)說明：在知識(shí)的交匯處命題是近年來高考命題的趨勢所在，直線和圓方面的交匯

問題，一般與線性規(guī)劃問題、向量問題等交匯考查.

配套練習(xí)3：在直角坐標(biāo)系中，以0為圓心的圓與直線：x-6y=4相切，(1)求

圓0的方程

(2)圓。與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、PO|、|PB|成等比數(shù)列，

求方?麗的取值范圍.

當(dāng)然，與直線和圓的方程有關(guān)的問題還有許多，如：求與圓有關(guān)的參數(shù)問題，求圓的切

線方程問題等都是近年來高考所考查的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)也應(yīng)該引起足夠的重視.

第八講集合與簡易邏輯問題中的考點(diǎn)解析

集合與簡易邏輯是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具，在高考中，集合與簡易

邏輯問題常以選擇題、填空題的題型出現(xiàn)，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中，主要考查基本概念、基

本運(yùn)算以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但不論以何形式出現(xiàn)，難度屬于中等偏下.本講就集合與

簡易邏輯問題的考點(diǎn)解析如下，供復(fù)習(xí)時(shí)參考.

考點(diǎn)1.考查集合與集合間關(guān)系

例1.第二十九屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2008年8月8日在北京舉行，若集合齊{參

加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的運(yùn)動(dòng)員},集合於{參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的男運(yùn)動(dòng)員}.集合小{參加北

京奧運(yùn)會(huì)比賽的女運(yùn)動(dòng)員},則下列關(guān)系正確的是()

A.A(^BB.B^CC.A^B=CZZ2?UOA

解析：由子集、交集和并集的概念，不難得出答案D.

點(diǎn)評：解決集合與集合的關(guān)系問題時(shí)，要準(zhǔn)確把握子集、真子集、交集和并集以及集合

相等的概念及性質(zhì).

考點(diǎn)2.考查集合的基本運(yùn)算

這類問題主要是為了考查集合的基本概念和運(yùn)算，常用的解題方法有定義法、列舉法、

韋恩圖法等.

例2.若A為全體正實(shí)數(shù)的集合，3={-2,-1,1,2},則下列結(jié)論正確的是()

A.AQ^={-2,-1}B.(^A)UB=(-℃,O)

C.AUB=(0,+oo)D.(匹4)”={-2,-1}

解析：?A是全體非正數(shù)的集合即負(fù)數(shù)和0,所以(。4)08={-2,—1},故選D.

點(diǎn)評：本題主要考查集合問題中的交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)3.考查集合與其它知識(shí)的交匯

這類問題通常以集合的運(yùn)算為載體，與高中數(shù)學(xué)中的任何知識(shí)點(diǎn)交匯起來考查，但最常

見的是與不等式的解法交匯在一起考查.

例3.已知全集U=R,且A={x||x—1|>2},B={x|x?—6x+8<0},貝ijA)ClB等于

()

A.[-1,4]B.(2,3)C.(2,3)D.(-1,4)

解析：全集〃=/?,且4=3|卜-1|>2}=3》<一1或犬>3},8=卜|?-6升8<0}

={x|2<x<4},A(Cy/1)AB=(2,3],選C.

點(diǎn)評：本題以集合的交、補(bǔ)集運(yùn)算為載體，將不等式的解法融于其中，這是集合問題的

常見考法，其中的不等式以一元二次不等式和分式不等式居多.

考點(diǎn)4.考查以集合為載體考查參數(shù)的范圍

這類問題通常以集合的運(yùn)算為載體，與參數(shù)的范圍的考查融于其中，可以出現(xiàn)小范圍內(nèi)

的綜合問題，難度中等.

例4.設(shè)aeR,二次函數(shù)/(x)=or2—2x—2a,若/(x)>0的解集為A,

B={x\\<x<3},Ap\B^(/),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解析：由f(x)為二次函數(shù)知令f(x)=O的解為—]2+，,々=：+,2+，

由此可知當(dāng)<0,工2>0

(i)當(dāng)a>0時(shí),A={X|X<XI}U{X|A:>X2}

ACBH。的充要條件是％<3,即_L+/2+-V<3,解得

a\a7

(ii)當(dāng)。<0時(shí)，A={x\xx<x<x2]

ACBR。的充要條件是超>1,即：+小2+*>1解得。<—2

綜上，使AcB=。成立的a的取值范圍為(-8,-2)口(9,+00).

7

點(diǎn)評：本題將不等式中的參數(shù)問題與集合運(yùn)算結(jié)合考查，同時(shí)考查了分類討論和數(shù)形結(jié)

合(利用數(shù)軸)的數(shù)學(xué)思想，不失為一道小范圍內(nèi)的綜合題.

考點(diǎn)5.考查集合方面的創(chuàng)新問題

這類問題通常以集合為載體，給集合定義一種新的運(yùn)算，解題時(shí)必須首先讀懂題意.

例5.定義集合運(yùn)算：A*8={z|z=wxeA,ye8}^A={l,2},B={0,2},則集

合A*8的所有元素之和為()

A.0B.2C.3D.6

解析：因?yàn)锳*8={0,2,4},所以集合A*3的所有元素之和為6,故選D.

點(diǎn)評：集合方面的創(chuàng)新題是近年來高考命題的新趨勢，主要考查對新問題，新概念以及

新情景的理解和運(yùn)用.

考點(diǎn)6.考查集合語言與集合思想的應(yīng)用

例6.記函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)锳g(x)=lg[(x—a—1)(2a—x)](a<l)的定

義域?yàn)锽.（l）求A；（2）若BqA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）2一色NO,得土二x<-l或x》l

1x+1

BPA=（—°°,—1）U[1,+°°]

(2)由(x—a—1)(2a—x)>0,得(x—a—1)(x—2a)<0.Va<l,/.a+l>2a,

.,.B=(2a,a+1).VBcA,；.2a2l或a+lW—1,即a》：或aW—2,而a〈l,

.??,WaVl或aW—2,故當(dāng)BuA時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一8,-2）U[1，1]

2-2

點(diǎn)評：本小題主要考查集合的有關(guān)概念，分式不等式及一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查簡單的分類討論方法，以及分析問題和推理計(jì)算能力.

考點(diǎn)7.考查邏輯聯(lián)結(jié)詞與復(fù)合命題真假的判斷

例7.命題p：若a、bSR,則a|+|b|>l是1Kbi〉1的充要條件；

命題q：函數(shù)y=X-11-2的定義域是（-