《全等三角形》教學的一些思考(曹自由)

《全等三角形》教學的一些思考北京五中分校曹自由三個思考為什么而學？教什么？怎么教？2011課程標準2001實驗版新課程標準3．三角形（3）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角。（4）掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（5）掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（6）掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。（7）證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。（8）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。（4）三角形③了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形全等的條件。了解（認識）：從具體事例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情景中辨認或者舉例說明對象。理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。教什么（問課標）2011課程標準2001實驗版新課程標準3．三角形（3）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角。（4）掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（5）掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（6）掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。（7）證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。（8）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。（4）三角形③了解全等三角形的概念，探索并掌

握兩個三角形全等的條件。掌握：在理解的基礎上，把對象用于新的情境．教什么（問課標）2011課程標準2001實驗版新課程標準3．三角形（3）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角。（4）掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（5）掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（參見例61）。（6）掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等。（7）證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。（8）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。（4）三角形③了解全等三角形的概念，探索并掌

握兩個三角形全等的條件。探索：獨立或與他人合作參與特定的數(shù)學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識．教什么（問課標）掌握理解教什么（問課標）

1．全等三角形A．了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全等三角形之間的關(guān)系。B．掌握兩個三角形全等的條件和全等三角形性質(zhì)；會應用全等三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題。C．會運用全等三角形的知識和方法解決有關(guān)問題。教什么（問中考）全等三角形問題是我們第一次接觸的封閉圖形的關(guān)系問題，因此其作用是很主重要的，它要提供學習這類問題的基本方法以及研究思路．

2．角平分線的性質(zhì)A．了解角平分線的概念并會表示。B．會用尺規(guī)作圖作已知角的平分線；會用角平分線的性質(zhì)解決簡單問題。

教什么（問中考）

3．證明A．知道證明的必要性；了解反證法的含義B．掌握用綜合法證明的格式，證明的過程要步步有據(jù)．C．會用歸納和類比進行簡單的推理教什么（問中考）變化一關(guān)于“基本事實”教什么（問教材）基本事實：SSS、SAS、ASA定理：AASHL（課本中對HL未給出證明）關(guān)于“三角形全等的判定”基本事實?公理？出發(fā)點？教什么（問教材）實驗稿2011年版（1）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。(2)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（3）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全。（4）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。（5）三邊分別相等的兩個三角形全等。（6）兩個全等三角形的對應邊相等，對應角相等。（1)兩點確定一條直線。（2）兩點之間線段最短。(3)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。(4)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（5）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。（6）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全。（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。（8）三邊分別相等的兩個三角形全等。（9）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例?；臼聦嶊P(guān)于“基本事實”變化二關(guān)于三角形全等的判定的探究8個探究5個探究、3個思考探究目標探究思路分階段探究活動教什么（問教材）變化二關(guān)于三角形全等的判定的探究一個元素兩個元素三個元素----一邊、一角----兩邊、兩角、一角一邊三邊兩邊一角兩角一邊三角---ASA、AAS---SAS、SSA----SSS教什么（問教材）變化三增加“利用信息技術(shù)探究三角形全等的條件”（課本P46）教什么（問教材）變化四關(guān)于“箏形”(課本P53)教什么（問教材）到底教什么？1.用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學.研究對象一個圖形的要素之間的關(guān)系兩個或多個圖形之間的關(guān)系

教學建議一、知識探究關(guān)于真假探究的問題

1.用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學.幾何圖形判定性質(zhì)對任何確定的一類圖形進行變換(剛體運動、壓縮、圓的反演等等)，圖形的什么性質(zhì)將保持不變.按照變換的方式把幾何分為不同分支的思想是克萊因在1872年提出的.關(guān)于真假探究的問題

一、知識探究

怎么教？2.讓學生充分經(jīng)歷探究過程.畫圖、測量、實驗、分析、歸納關(guān)于真假探究的問題

一、知識探究

怎么教？關(guān)于真假探究的問題

一、知識探究

怎么教？關(guān)于真假探究的問題

一、知識探究

怎么教？關(guān)于真假探究的問題

會有學生問

為什么要做這件事嗎？一、知識探究

怎么教？

角平分線的性質(zhì)為什么引入這個知識是關(guān)鍵問題，角平分線本身有性質(zhì)，為什么還要研究？設計一個問題：不借助作圖工具，只用直尺能否作一個角的平分線？關(guān)于真假探究的問題

一、知識探究

怎么教？在探究這個問題時，我們也可以約定利用其他的工具實現(xiàn)，例如只使用三角板等．關(guān)于真假探究的問題

一、知識探究

怎么教？合情推理：探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理：證明結(jié)論．引導學生多經(jīng)歷“猜想——證明”的問題探索過程

二、例題引入關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題

怎么教？

已知AB=BC，請你添加一個條件

，使得△ABD≌△BCD.圖形已知選擇條件SASSSS作業(yè)中可以將條件AB=BC

改為BD平分∠ABC可以將圖形特殊化：在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠A=∠C=90°，增加怎樣一個條件可以使這兩個三角形全等呢？

HLAAS關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題

二、例題引入

怎么教？已知：AB=AE，請你添加一個條件

，使得△BOC≌△EOD，并證明.已知：AB=AE，AC=AD.求證：△BOC≌△EOD.O請你觀察圖形，圖中有幾對三角形看似全等？具備什么條件可以證明他們?nèi)?？關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題

二、例題引入

怎么教？利用中點構(gòu)造全等求中線AD的取值范圍.關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題

二、例題引入

怎么教？

在△ABC中，點D是AC的中點，過點D

做射線BD，E是BD上一點，連結(jié)CE，問：在此圖中是否有全等三角形？若沒有，點E進行怎樣的運動可以構(gòu)造全等三角形．關(guān)于培養(yǎng)推理能力的問題

二、例題引入

怎么教？1.運動變化的觀點識圖2.基本圖形的積累三、習題變式關(guān)于模式與模式化的問題

怎么教？關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？如圖，∠A=∠B=90°,DC⊥EC，DC=EC.求證：△ADC≌△BCE變圖關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？如圖，∠A=∠B=90°,DC=EC,AC=BE.求證：DC⊥EC變題設、結(jié)論關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？等腰Rt△ABC中，AC=BC,AD⊥CD,BE⊥CE,直線DE過C點，問：DE、AD、BE之間有怎樣的等量關(guān)系？（注意直線DE過AB中點、A點、B點時的圖形未給出）關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜α＜180°，其它條件不變，如圖③．你認為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？圖1圖2圖3關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？∠ABC=90°∠ABC=120°關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，求證：DC=AD.關(guān)于模式與模式化的問題三、習題變式

怎么教？關(guān)于模式與模式化的問題

三、習題變式

怎么教？基本作圖：1.作一條線段等于已知線段；2.作一個角等于已知角；3.作一個角的平分線；4.作一條線段的垂直平分線;5.過一點作已知直線的垂線.四、關(guān)于作圖關(guān)于能力和習慣的問題

怎么教？尺規(guī)作圖：1.會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；2.已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；3.已知一直角邊和斜邊作直角三角形.四、關(guān)于作圖關(guān)于能力和習慣的問題

怎么教？●證明一個文字命題的基本步驟例如：證明：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等