《計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用》全冊配套完整教學(xué)課件2

《計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用》全冊配套完整教學(xué)課件2計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用重慶大學(xué)材料學(xué)院王柯課程基本情況教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容及安排教學(xué)參考資料說明教學(xué)目的要求介紹計(jì)算機(jī)技術(shù)在材料科學(xué)與工程領(lǐng)域應(yīng)用基本概況；學(xué)習(xí)將計(jì)算機(jī)技術(shù)用于解決材料科學(xué)中實(shí)際問題的思路、方法與手段；重點(diǎn)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬技術(shù)在材料加工過程中的應(yīng)用，使同學(xué)們初步掌握計(jì)算機(jī)技術(shù)在專業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用的基本知識、相關(guān)數(shù)學(xué)方法以及有關(guān)軟件的基本使用方法；開拓同學(xué)們的思路和視野，培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力課程教學(xué)內(nèi)容及安排(24+16=40)1周1章緒論（1）1周2章材料科學(xué)與工程研究中的數(shù)據(jù)處理（3）建?；A(chǔ)2周3章材料科學(xué)與工程研究中的數(shù)學(xué)模型與數(shù)值計(jì)算（4）建模方法步驟

3周4章材料科學(xué)與工程中典型物理場的數(shù)值模擬（4）典型模型的建立4周5章相圖計(jì)算（4）5周6章人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與專家系統(tǒng)及在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用（4）預(yù)測模型建立

6周材料成形過程中的計(jì)算機(jī)模擬Deform軟件應(yīng)用上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及安排3周實(shí)驗(yàn)1數(shù)據(jù)處理應(yīng)用實(shí)踐1——Excel的應(yīng)用3周實(shí)驗(yàn)2數(shù)據(jù)處理應(yīng)用實(shí)踐2——Origin的應(yīng)用4周實(shí)驗(yàn)3常用數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用實(shí)踐4周實(shí)驗(yàn)4溫度場的模擬計(jì)算實(shí)踐5周實(shí)驗(yàn)5濃度場的模擬計(jì)算實(shí)踐5周實(shí)驗(yàn)6相圖計(jì)算軟件的應(yīng)用實(shí)踐6周實(shí)驗(yàn)7物相分析軟件應(yīng)用實(shí)踐6周實(shí)驗(yàn)8人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用實(shí)踐教學(xué)參考資料教材：計(jì)算機(jī)在材料工程中的應(yīng)用，湯愛濤等主編，重大出版社，2008主要教學(xué)參考資料：計(jì)算機(jī)在材料熱加工領(lǐng)域中的應(yīng)用，李英民等主編，機(jī)械工業(yè)出版社，2001計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用，曾令可等主編，武漢理工大學(xué)出版社，2004有關(guān)事宜說明一、任課教師信息主講教師：王柯；電話E-mail：study_ke@輔導(dǎo)教師：吳明玉（研究生）；電話E-mail：mingyu.wu@二、教學(xué)相關(guān)安排：實(shí)驗(yàn)課時(shí)間：3-6周；周二、四：9-10節(jié)地點(diǎn)：A區(qū)綜合大樓324室答疑安排：待定(協(xié)商)三、成績評定方法：課程成績由平時(shí)成績30%和考試成績70%組成；平時(shí)成績(平時(shí)作業(yè)、實(shí)驗(yàn)報(bào)告、學(xué)習(xí)態(tài)度、表現(xiàn)、能力)。計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用第一章緒論材料是用以制造有用物件的物質(zhì)材料是人類社會(huì)發(fā)展的里程碑，是人類生產(chǎn)和生活水平提高的物質(zhì)基礎(chǔ)，是現(xiàn)代文明進(jìn)步的重要標(biāo)志和發(fā)展高新技術(shù)的基礎(chǔ)和先導(dǎo)。石器時(shí)代銅器時(shí)代鐵器時(shí)代當(dāng)代文明三大支柱（20世紀(jì)60年代說法）：材料、能源和信息新技術(shù)革命主要標(biāo)志（20世紀(jì)70年代說法）：新材料、信息技術(shù)和生物技術(shù)1.1.1材料的作用與分類1.1材料科學(xué)與工程（MSE）第一章緒論材料的分類金屬材料無機(jī)非金屬材料有機(jī)高分子材料復(fù)合材料結(jié)構(gòu)材料功能材料建筑材料能源材料電子材料耐火材料醫(yī)用材料耐火材料[英]馬克·米奧多尼克著；賴盈滿譯1.1材料科學(xué)與工程（MSE）—材料的作用與分類——研究材料組成、結(jié)構(gòu)、性能、制備工藝和使用性能以及它們之間相互關(guān)系的科學(xué)。1.1材料科學(xué)與工程（MSE）—MSE的研究內(nèi)容1.1.2MSE的研究內(nèi)容Source:MaterialsScienceandEngineeringforthe1990s,NRC,1989成分工藝組織結(jié)構(gòu)材料性能.使用性能四個(gè)要素

MSE特點(diǎn)：一門發(fā)展不成熟的學(xué)科，它的研究很大程度依賴于實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)的積累，系統(tǒng)的研究材料還有一個(gè)很長的過程。多學(xué)科交叉的新興科學(xué)。它與許多基礎(chǔ)學(xué)科有著不可分割的聯(lián)系，如固體物理學(xué)、電子學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)、量子化學(xué)、數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)等。1.1材料科學(xué)與工程（MSE）—MSE的研究內(nèi)容計(jì)算機(jī)硬件條件的飛速發(fā)展為計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)中的廣泛應(yīng)用提供了有力保證。Moore’sLaw(1965)：計(jì)算機(jī)的CPU速度每1.5年增加一倍。圖中電腦處理器中晶體管數(shù)目的增長曲線符合摩爾定律1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用第一章緒論計(jì)算機(jī)在MSE的應(yīng)用非常廣泛:材料科學(xué)是研究材料的組成與結(jié)構(gòu)、合成與制備、性能與應(yīng)用以及它們之間相互關(guān)系的一門科學(xué),在所有的這些方面,計(jì)算機(jī)都發(fā)揮了非常重要的作用。1.2.1材料科學(xué)研究中的計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算機(jī)模擬是一種根據(jù)實(shí)際體系在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的模擬實(shí)驗(yàn)。計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)的應(yīng)用：應(yīng)力應(yīng)變微觀組織變化與描述（分子、原子、電子）溫度場濃度場（組織場）應(yīng)力場流場磁場等相圖計(jì)算1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型建立是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法,它將現(xiàn)實(shí)問題簡化,抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型,再采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解,進(jìn)而對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行定量的分析和研究,最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。

網(wǎng)格劃分有限元模擬人腳走路受力情況有限元方法1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用——計(jì)算機(jī)模擬圖中是一個(gè)大型鋼錠的充型過程模擬，其中用到專業(yè)模擬軟件viewcast，從動(dòng)畫中可以清楚的看到整個(gè)鑄件充型過程。1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—計(jì)算機(jī)模擬鑄造模擬圖中顯示了計(jì)算機(jī)模擬的不同時(shí)刻的凝固枝晶形貌圖，不同的顏色代表不同的濃度分布。這樣顯微組織形核、生長等過程也將實(shí)現(xiàn)“可視化”！1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—計(jì)算機(jī)模擬鍛造模擬鍛造加工的悠久歷史

鍛造=打鐵？？如何加工大型巨輪中的大型曲軸曲拐呢？1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—計(jì)算機(jī)模擬曲拐加工的工廠試制和計(jì)算機(jī)模擬

1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用——計(jì)算機(jī)模擬其它加工過程的模擬鉆孔橫楔軋晶粒演化

齒輪架感應(yīng)加熱連桿

1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—計(jì)算機(jī)模擬1.2.2材料與工藝過程的優(yōu)化及自動(dòng)控制材料加工技術(shù)的發(fā)展主要體現(xiàn)在控制技術(shù)的飛速發(fā)展,微機(jī)和可編程控制器在材料加工過程中的應(yīng)用正體現(xiàn)了這種發(fā)展和趨勢。在材料加工過程中利用計(jì)算機(jī)技術(shù)不僅能減輕勞動(dòng)強(qiáng)度,更能改善產(chǎn)品的質(zhì)量和精度,提高產(chǎn)量。在材料的制備中,可以對過程進(jìn)行精確的控制,例如材料表面處理熱處理中的爐溫控制等。計(jì)算機(jī)技術(shù)和微電子技術(shù)、自動(dòng)控制技術(shù)相結(jié)合,使工藝設(shè)備、檢測手段的準(zhǔn)確性和精確度等大大提高。1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—計(jì)算機(jī)控制技術(shù)日照鋼鐵軋制車間1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—計(jì)算機(jī)控制技術(shù)1.2.3

計(jì)算機(jī)用于數(shù)據(jù)和圖像處理材料科學(xué)研究在實(shí)驗(yàn)中可以獲得大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),借助計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)設(shè)備,可以大量保存數(shù)據(jù),并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理計(jì)算、繪圖,擬合分析和快速查詢等。利用計(jì)算機(jī)的圖像處理和分析功能就可以研究材料的結(jié)構(gòu),從圖像中獲取有用的結(jié)構(gòu)信息,如晶體的大小,分布,聚集方式等,并將這些信息和材料性能建立相應(yīng)的聯(lián)系,用來指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的研究。1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—數(shù)據(jù)和圖像處理1.2.4相圖計(jì)算及其軟件相圖是描述相平衡系統(tǒng)的重要幾何圖形,通過相圖可以獲得某些熱力學(xué)資料。反之,由熱力學(xué)數(shù)據(jù)建立一定的模型也可計(jì)算和繪制相圖。用計(jì)算機(jī)來計(jì)算和繪制相圖有了廣泛的應(yīng)用。

Thermo-Calc包括物質(zhì)和溶液數(shù)據(jù)庫、熱力學(xué)計(jì)算系統(tǒng)和熱力學(xué)評估系統(tǒng)1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—相圖計(jì)算材料性能的測定大多使用專門的測試設(shè)備和儀表。如果使用計(jì)算機(jī)來控制整個(gè)系統(tǒng)，使其協(xié)調(diào)運(yùn)行，進(jìn)行數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)處理，通常使整個(gè)系統(tǒng)的功能得到飛躍性增強(qiáng)。計(jì)算機(jī)化得材料性能測試系統(tǒng)(CAT系統(tǒng))是提高材料研究水平的重要手段。由于計(jì)算機(jī)靈活的編程方式、強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力和很高的運(yùn)算速度，使得CAT系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)手動(dòng)方式不能完成的許多測試工作，提高了材料試驗(yàn)研究的水平和測試精度。1.2.5計(jì)算機(jī)技術(shù)用于材料性能表征與檢測1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—材料表征電子顯微鏡1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—材料表征金相顯微鏡1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—材料表征X射線衍射儀1.2計(jì)算機(jī)在MSE中的應(yīng)用—材料表征1.3主要使用的商業(yè)軟件第一章緒論通用類專業(yè)類一、通用軟件1、辦公類Office2、數(shù)據(jù)處理類

Origin3、計(jì)算模擬類Matlab有限元分析軟件（ANSYS、MARC，國產(chǎn)有限元軟件FEPG等135個(gè)有限元分析軟件）Flow3D4、輔助設(shè)計(jì)測試AutoCAD1.3主要使用的商業(yè)軟件二、專業(yè)類1.計(jì)算模擬類熱力學(xué)、相圖計(jì)算類軟件第一原理計(jì)算類組織模擬類材料加工類——Deform2.輔助設(shè)計(jì)測試分析類輔助設(shè)計(jì)輔助測試——相分析軟件Jade1.3主要使用的商業(yè)軟件計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用第二章材料科學(xué)與工過程中的數(shù)據(jù)處理GH4169高溫合金固溶處理后微觀組織的SEM照片:(a)1233K,30min;(b)1253K,30min;(c)1273K,30min;(d)1293K,30min;(e)1233K,60min;(f)1273K,60min.γ晶粒尺寸與固溶溫度和固溶時(shí)間之間的數(shù)學(xué)關(guān)系？？？引言K.Wang,M.Q.Li,C.Li,δandaustenitephasesevolutionandmodelinsolutiontreatmentofsuperalloyGH4169,MaterSciTech,29(2013)346-350.GH4169高溫合金固溶處理過程中δ和γ相的演變和模型研究引言納米鋁片CNTs/Al復(fù)合粉末冷壓/燒結(jié)球形鋁粉仿生CNTs/Al熱擠壓高強(qiáng)、高韌高效、宏量制備仿生“疊層”Al基復(fù)合材料制備新技術(shù)仿生疊層組織性能加工成形熱處理引言燒結(jié)態(tài)CNTs/Al-4Cu熱變形行為——流變應(yīng)力-應(yīng)變曲線相同應(yīng)變速率不同變形溫度下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線流變應(yīng)力與變形工藝參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系？？？引言數(shù)據(jù)特點(diǎn)量大主要內(nèi)容：2.1數(shù)據(jù)處理基本理論

最小二乘法

回歸分析方法2.2Excel和Origin軟件的應(yīng)用整理、歸納計(jì)算、繪圖、回歸分析規(guī)律性數(shù)學(xué)關(guān)系2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.1、回歸分析與最小二乘法分類：按照回歸模型中變量個(gè)數(shù)分（一元回歸，多元回歸）。按照回歸曲線的形態(tài)分（線性回歸，非線性回歸）?；貧w分析回歸分析（regressionanalysis)：是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。即：對具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其關(guān)系形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型y=f(x)，用來近似地表示變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.1、回歸分析與最小二乘法最小二乘法原理圖尋求規(guī)律：其中f(x)是多項(xiàng)式，計(jì)算多項(xiàng)式系數(shù)，使得殘差平方和Q最小試驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)測值與模型計(jì)算值之差為殘差最小二乘法殘差平方和：已知試驗(yàn)數(shù)據(jù)對2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.1、回歸分析與最小二乘法求解

系數(shù)的理論基礎(chǔ)一元線性回歸的一般步驟：將n個(gè)觀察單位的變量對(x，y)在直角坐標(biāo)系中繪制散點(diǎn)圖，若呈直線趨勢，則可擬合直線回歸方程。求回歸方程的回歸系數(shù)和截矩。（1）寫出回歸方程:，其中a,b稱為回歸系數(shù)；（2）畫出回歸直線；（3）對回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（相關(guān)分析）。一元線性回歸盡管較為簡單，但非常重要，是回歸分析的基礎(chǔ)。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸其中：回歸系數(shù)的求解計(jì)算殘差平方和根據(jù)最小二乘原理和極值原理有：2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸(1)回歸平方和計(jì)算最小二乘法的原則是使回歸值與測量值的殘差平方和最小，但它不能肯定所得到的回歸方程是否能夠反映實(shí)際情況，是否具有實(shí)用價(jià)值。為了解決這些問題，尚需進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸回歸分析的顯著性檢驗(yàn)殘余平方和Q：表示回歸方程的擬合誤差由試驗(yàn)誤差及其它因素引起自由度：fQ=n-m-1=n-2回歸平方和U：表示自變量x1,x2,……,xn變化所引起的y的波動(dòng)自由度fU=m(m為自變量個(gè)數(shù))=1離差平方和（總平方和）S：表示實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，yi值總波動(dòng)變化大小自由度f=fQ+fU=n-1當(dāng)全部實(shí)驗(yàn)點(diǎn)落在回歸線之上時(shí)，

如y與x之間不存在線性關(guān)系，則由此可見，的大小反映了自變量x與因變量y之間的相關(guān)程度。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸回歸分析的顯著性檢驗(yàn)(2)F檢驗(yàn)這是兩個(gè)方差之比，它服從自有度為m及n-m-1的F分布，即：要檢驗(yàn)y與x是否存在線性關(guān)系，就是要檢驗(yàn)假設(shè)當(dāng)假設(shè)成立時(shí)，則y與x無線性關(guān)系，否則認(rèn)為線性關(guān)系顯著。檢驗(yàn)假設(shè)H0應(yīng)用統(tǒng)計(jì)量具體如下：當(dāng)時(shí)，回歸方程是高度顯著的；當(dāng)時(shí)，所建立的回歸方程是顯著的；2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸用此統(tǒng)計(jì)量F可檢驗(yàn)回歸的總體效果當(dāng)時(shí)，則在顯著性水平

下，所建立的回歸方程是顯著的。回歸分析的顯著性檢驗(yàn)(2)F檢驗(yàn)由于其他因素和實(shí)驗(yàn)誤差的影響，回歸系數(shù)a與常數(shù)b的波動(dòng)，各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不一定都落在回歸線上，圍繞回歸線有一定的離散，其離散性的大小可用殘差平方和Qe與殘余方差Se2或殘余標(biāo)準(zhǔn)偏差Se來表示，即:

在某個(gè)給定的x所對應(yīng)回歸值y的100（1－α）％置信區(qū)間為：2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸回歸方程的精度與置信區(qū)間置信區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】求出工業(yè)總產(chǎn)值的點(diǎn)估計(jì)為100億元時(shí)，工業(yè)總產(chǎn)值95%置信水平下的置信區(qū)間.已知n=16

,se=2.457

解：t

(16-2)=2.1448(查表獲得)

置信區(qū)間為當(dāng)工業(yè)總產(chǎn)值的點(diǎn)估計(jì)為100億元時(shí)，工業(yè)總產(chǎn)值的平均值在97.9167億元到102.0833億元之間。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸利用回歸直線進(jìn)行預(yù)報(bào)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸

例:

下表是軸承鋼經(jīng)過真空處理前后鋼液中錳的含量。現(xiàn)在我們來研究真空處理后成品軸承鋼中錳含量(y)與真空處理前鋼液中錳含量(x)的相關(guān)關(guān)系。繪制實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，初步判斷有關(guān)線性關(guān)系,可以初步判斷x與y之間存在著線性趨勢。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸由此得回歸方程：y=0.085934+0.70869x

2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)：①作回歸分析要有實(shí)際意義，不能把毫無關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象，隨意進(jìn)行回歸分析，忽視事物現(xiàn)象間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律；如對兒童身高與小樹的生長數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析既無道理也無用途。另外，即使兩個(gè)變量間存在回歸關(guān)系時(shí)，也不一定是因果關(guān)系，必須結(jié)合專業(yè)知識作出合理解釋和結(jié)論。②直線回歸分析的資料，一般要求應(yīng)變量Y是來自正態(tài)總體的隨機(jī)變量，自變量X可以是正態(tài)隨機(jī)變量，也可以是精確測量和嚴(yán)密控制的值。若稍偏離要求時(shí)，一般對回歸方程中參數(shù)的估計(jì)影響不大，但可能影響到標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，也會(huì)影響假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)P值的真實(shí)性。③進(jìn)行回歸分析時(shí)，應(yīng)先繪制散點(diǎn)圖(scatterplot)。若提示有直線趨勢存在時(shí)，可作直線回歸分析；若提示無明顯線性趨勢，則應(yīng)根據(jù)散點(diǎn)分布類型，選擇合適的曲線模型(curvilinearmodal)，經(jīng)數(shù)據(jù)變換后，化為線性回歸來解決。一般說，不滿足線性條件的情形下去計(jì)算回歸方程會(huì)毫無意義，最好采用非線性回歸方程的方法進(jìn)行分析。④繪制散點(diǎn)圖后，若出現(xiàn)一些特大特小的離群值（異常點(diǎn)），則應(yīng)及時(shí)復(fù)核檢查，對由于測定、記錄或計(jì)算機(jī)錄入的錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，應(yīng)予以修正和剔除。否則，異常點(diǎn)的存在會(huì)對回歸方程中的系數(shù)a、b的估計(jì)產(chǎn)生較大影響。⑤回歸直線不要外延。直線回歸的適用范圍一般以自變量取值范圍為限，在此范圍內(nèi)求出的估計(jì)值稱為內(nèi)插（interpolation）；超過自變量取值范圍所計(jì)算的稱為外延（extrapolation）。若無充足理由證明，超出自變量取值范圍后直線回歸關(guān)系仍成立時(shí)，應(yīng)該避免隨意外延。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸

冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)2對數(shù)函數(shù)雙曲線函數(shù)S形曲線函數(shù)轉(zhuǎn)換為一元線性關(guān)系2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸可轉(zhuǎn)化為一元線性回歸的其它一元非線性回歸eg.:指數(shù)函數(shù)(exponentialfunction)對式兩邊取對數(shù)，得lny=lna+bxb>0時(shí)，y隨x增大而增大；b<0時(shí)，Y隨X增大而減少。更一般的指數(shù)函數(shù)，k為一常量，往往未知,應(yīng)用時(shí)可試用不同的值。lna和b分別為截距和斜率※

可線性化的曲線回歸模型,也稱為本質(zhì)線性回歸模型2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸例在陰極濺射中，正離子轟擊陰極時(shí)，使陰極的物質(zhì)以微?；蛩槠问矫撾x陰極向四方飛散，轟擊陰極的正離子質(zhì)量越大，陰極濺射越厲害。從直觀上看,在離子能量不大濺射率不高的情況下，離子能量較小的變化就可以引起濺射率的較大變化，在濺射率較大的情況下，則相反。在表中只列出惰性氣體對銅的濺射實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)以及描點(diǎn)曲線，缺少定量關(guān)系，因此有必要從數(shù)據(jù)處理上得到惰性氣體對銅的濺射率與離子能量的關(guān)系，在沒有物理推導(dǎo)公式的情況下，這種統(tǒng)計(jì)公式也能反映其關(guān)系。離子能量（kev）102030405060708090濺射率（%）8.115.017.019.219.519.820.020.020.12.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)系上標(biāo)出個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，得出曲線如下圖,在坐標(biāo)圖中可以得到濺射率和離子能量之間的大致趨勢。可以看出當(dāng)離子能量開始增加時(shí)，濺射率增長較快，到一定時(shí)間就基本穩(wěn)定在一個(gè)值上。方程組解得a=0.0357，b=0.8190還原為雙曲線形式1/y=0.0357+0.8190/x，也即y=x/（0.0357x+0.8190）方程組解得lna=2.8840,即a=17.8857，b=-1.4851,所以所得的指數(shù)曲線方程為。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.2、一元線性回歸2.1.3多元線性擬合當(dāng)影響依變量的自變量不止一個(gè)，而是多個(gè)，比如綿羊的產(chǎn)毛量這一變量同時(shí)受到綿羊體重、胸圍、體長等多個(gè)變量的影響，因此需要進(jìn)行一個(gè)依變量與多個(gè)自變量間的回歸分析，即多元回歸分析，而其中最為簡單、常用并且具有基礎(chǔ)性質(zhì)的是多元線性回歸分析，許多非線性回歸和多項(xiàng)式回歸都可以化為多元線性回歸來解決。(1)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸假設(shè)隨機(jī)變量y與p個(gè)自變量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，實(shí)際樣本量為n,其第i次觀測值為則其n次觀測值可寫為如下形式：其中

是未知參數(shù)，是p個(gè)可以精確測量并可控制的一般變量,是隨機(jī)誤差,(2)(3)假定是相互獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布N(0,)的隨機(jī)變量。2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸若將方程組(3)用矩陣表示，則有(4)式中:建立多元線性回歸方程(5)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸來描述多元線性模型(6)(7)(8)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸與一元線性回歸分析相同，其基本思想是根據(jù)最小二乘原理，求解

使全部觀測值

與回歸值由于殘差平方和的殘差平方和達(dá)到最小值。(9)是

的非負(fù)二次式，所以它的最小值一定存在。根據(jù)極值原理，當(dāng)Q取得極值時(shí)，

應(yīng)滿足(10)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸由（9）式，即滿足(11)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸上式(11)稱為正規(guī)方程組。它可以化為以下形式

如果用A表示上述方程組的系數(shù)矩陣可以看出A是對稱矩陣。則有(12)(13)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸

式中X是多元線性回歸模型中數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)矩陣，(13)式右端常數(shù)項(xiàng)也可用矩陣D來表示

是結(jié)構(gòu)矩陣X的轉(zhuǎn)置矩陣。即Ab=D或(14)(15)(17)如果A滿秩（即A的行列式則由(13)式和(14)式得

的最小二乘估計(jì)為）那么A的逆矩陣A-1存在，(16)

b就是多元線性回歸方程的回歸系數(shù)。為了計(jì)算方便往往并不先求而是通過解線性方程組來求b，再求b，(14)是一個(gè)有p+1個(gè)未知量的線性方程組，它的第一個(gè)方程可化為2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸式中(18)將（17）式代入（12）式中的其余各方程，得(19)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸其中(20)將方程組（19）式用矩陣表示，則有Lb=F其中

于是(21)(22)(23)2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸例：表觀變形激活能計(jì)算高溫塑性變形最顯著的特點(diǎn)之一便是變形速度受熱激活過程控制。表觀變形激活能表示原子躍遷所需克服的能壘大小，是反映塑性變形難易程度的重要物理參量。變形溫度、應(yīng)變速率對流動(dòng)應(yīng)力的影響可用Arrhenius方程表示：為應(yīng)變速率(s-1)；為表觀變形激活能(kJ·mol-1)；為流動(dòng)應(yīng)力(MPa)；為絕對變形溫度(K)；為普適氣體常數(shù)(8.3145J·mol-1·K-1)；為應(yīng)變速率敏感性指數(shù)。

2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸Ti-6Al-4V合金在不同溫度下壓縮變形時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸2.1數(shù)據(jù)處理的基本理論—2.1.3、多元線性回歸用多元線性回歸求解

利用多元線性回歸一次性求解系數(shù)a、b1、b2即可得Q值！2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用Excel應(yīng)用舉例研究某種材料在某種腐蝕液中腐蝕時(shí)間與腐蝕量的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：例2.1、一元(直線)回歸分析應(yīng)用實(shí)例方法一：1、在A,B列輸入x，y值；2、用鼠標(biāo)選中x，y數(shù)據(jù)區(qū)；3、用鼠標(biāo)指到“圖表向?qū)А惫ぞ甙粹o,選擇x，y散點(diǎn)圖，單擊下一步；4、在彈出的對話框中進(jìn)行相應(yīng)選擇；5、在產(chǎn)生的散點(diǎn)圖上單擊鼠標(biāo)右鍵,在彈出的菜單上選擇“添加趨勢線”，進(jìn)行相應(yīng)選擇即可得到所需結(jié)果。2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用方法二（以2013版Office-Excel為例）1、在A,B列輸入x,y值2、用鼠標(biāo)點(diǎn)擊文件-選項(xiàng)--加載項(xiàng)-3.再次用鼠標(biāo)3、點(diǎn)擊數(shù)據(jù)-數(shù)據(jù)分析-回歸4.在“回歸”分析對話框中進(jìn)行相關(guān)選擇后，即可得到所要結(jié)果。相關(guān)選擇：輸入?yún)^(qū)域選擇y值區(qū)域,x值區(qū)域輸出區(qū)域選擇置信度選擇95%2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用Multiple對應(yīng)的數(shù)據(jù)是相關(guān)系數(shù)R?；貧w系數(shù)殘差平方和Q回歸平方和U總平方和S例2.2、多元回歸分析應(yīng)用實(shí)例2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用Origin軟件簡介及的應(yīng)用Origin是美國OriginLab公司（其前身為Microcal公司）開發(fā)的圖形可視化和數(shù)據(jù)分析軟件，是科研人員和工程師常用的高級數(shù)據(jù)分析和制圖工具。Origin自1992年問世以來，由于其操作簡便，功能開放，很快就成為國際流行的分析軟件之一，是公認(rèn)的快速、靈活、易學(xué)的工程制圖軟件。它的最新的版本號是9.0。2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用基本功能(數(shù)據(jù)分析和繪圖)函數(shù)擬合數(shù)據(jù)管理：常規(guī)處理和一般的統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)分析：t-檢驗(yàn)、快速傅里葉變換、回歸分析等二維和三維繪圖多層繪圖2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用標(biāo)題欄菜單欄菜單欄WorksheetGraph2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用例2.3、Origin繪制曲線2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用例2.4、一元線性回歸2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用例2.5、多元線性回歸2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用例2.6、熱加工圖-能量耗散率-3D圖片用數(shù)據(jù)作圖后，無法借助人的眼和腦判斷數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，往往還需要進(jìn)一步對數(shù)據(jù)圖形進(jìn)行處理，提取有用的信息。這就涉及到譜線處理的一些內(nèi)容。譜線和曲線的處理包括以下幾個(gè)部分：數(shù)據(jù)曲線的平滑〔去噪聲)、數(shù)據(jù)譜的微分和積分、譜的基線校正或去除數(shù)據(jù)背景、求回歸函數(shù)與多函數(shù)擬合達(dá)到分解和分辨數(shù)據(jù)譜的目的。進(jìn)行這些處理的命令，基本上都包括在Origin圖形頁的“Analysis”和“Tool”兩個(gè)菜單中。材料科學(xué)與工程中的譜線處理2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用曲線平滑打開圖形頁中的“Analysis”菜單，其中的“Smoothing”-“Savitzky-Golay”或“AdiacentAveraging”或“FFTFilterSmoothing”命今分別是Savitzky-Golay方法、窗口平均法和快速傅里葉過濾器，選擇其中之一。根據(jù)軟件提供的平滑參數(shù)范圍，選擇適當(dāng)參數(shù)后確認(rèn)。統(tǒng)計(jì)

包括：平均值（Mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation，Std，SD）、標(biāo)準(zhǔn)誤差(StandardErroroftheMean)、最小值（Minimum）、最大值（Maximum）、百分位數(shù)（Percentiles）、直方圖（Histogram）、T檢驗(yàn)（T-testforOneorTwoPopulations）、方差分析（One-wayANOVA）、線性、多項(xiàng)式和多元回歸分析（Linear、PolynomialandMultipleRegressionAnalysis）。2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用(1)作原譜的微分譜選定作微分譜的數(shù)列，在圖形頁的“Analysis”萊單下，選擇“Calculus”-“Differentiale”，微分譜顯示在另一個(gè)“Deriv”窗口中。(2)求譜的積分在圖形頁的“Data”菜單中選定求積分的譜數(shù)據(jù)列，在圖形頁的“Analysis”菜單下，選擇“Caculus”—“Intedrate”命令，曲線下方面積的積分結(jié)果顯示在“ResultLog”中。譜的微分和積分:2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用作業(yè)：1.運(yùn)用一元線性擬合進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的一般步驟。2.分別對常用的非線性函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)2、對數(shù)函數(shù)、雙曲線函數(shù)、S形曲線函數(shù)，進(jìn)行線性化處理，并寫出線性化后的函數(shù)關(guān)系式。（教材P19）2.2Excel和Origin軟件在材料科學(xué)與工程中的數(shù)據(jù)處理應(yīng)用實(shí)驗(yàn)：教材p39習(xí)題2.5(Excel)，2.6(Origin)計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用第三章材料科學(xué)與工過程中的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值分析引言陳文豪,周晚林,張付軍.GH4169合金渦輪盤鍛造成型的數(shù)值模擬和分析,計(jì)算機(jī)輔助工程,23(2014)68-72.大型復(fù)雜鋁合金壓鑄件成形數(shù)值模擬及工藝優(yōu)化-李世釗-碩士論文-華中科技大學(xué)引言引言數(shù)值模擬主要內(nèi)容：3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法依賴于數(shù)學(xué)模型建模求解3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識什么叫數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型（mathematicalmodel)：用數(shù)學(xué)語言描述的實(shí)際現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)象特征的數(shù)學(xué)關(guān)系式（包括完整的方程組及全部單值條件），是實(shí)際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)簡化。主要具有解釋、判斷、預(yù)見三大功能。3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.11.按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域(或所屬學(xué)科)分如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等。范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)等。2.按照建立模型的數(shù)學(xué)方法(或所屬數(shù)學(xué)分支)分如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等。數(shù)學(xué)模型分類3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.1數(shù)學(xué)模型分類3.按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機(jī)性模型取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響。近年來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，又有所謂突變性模型和模糊性模型。靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化。線性模型和非線性模型取決于模型的基本關(guān)系，如微分方程是否是線性的。離散模型和連續(xù)模型指模型中的變量(主要是時(shí)間變量)取為離散還是連續(xù)的。3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.1數(shù)學(xué)模型分類4.按照建模目的分類有描述模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等5.按照對現(xiàn)象的認(rèn)識程度分類白箱模型：又稱機(jī)理模型，是根據(jù)相關(guān)的基本原理直接建立的模型。（機(jī)理研究的目標(biāo)）灰箱模型：以相關(guān)的定律為基礎(chǔ)，同時(shí)包含一定的經(jīng)驗(yàn)假設(shè)或參數(shù)的模型，又稱半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。黑箱模型：在分析一些?fù)雜體系時(shí)，如果缺乏對過程性質(zhì)和內(nèi)部構(gòu)造的了解，不了解過程的機(jī)理，則把過程體系看成一個(gè)黑箱，并設(shè)法用數(shù)學(xué)公式表述體系的輸入輸出參數(shù)之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.2數(shù)學(xué)建模的過程數(shù)學(xué)建模的過程3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.2數(shù)學(xué)建模的過程1.模型準(zhǔn)備（初步研究）了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的特征,由此初步確定用哪一類模型，可能的建模方法等。2.模型假設(shè)根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設(shè)。3.模型構(gòu)成根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.2數(shù)學(xué)建模的過程4.模型求解可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。5.模型分析對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào)，有時(shí)則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等。6.模型檢驗(yàn)把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。7.模型應(yīng)用應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的.3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.3數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)1）模型的逼真性和可行性（“費(fèi)用”與“效益”）一方面希望模型盡可能逼近研究對象；另一方面，越逼真的模型常常越復(fù)雜，即使能數(shù)學(xué)上能處理，“費(fèi)用”高2）模型的漸進(jìn)性建模過程的反復(fù)迭代，由簡到繁，刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型3）模型的強(qiáng)健性當(dāng)觀測數(shù)據(jù)（或其他信息）有微小改變時(shí)，模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只有微小變化，并且一般也應(yīng)導(dǎo)致模型求解的結(jié)果有微小變化。4）模型的可轉(zhuǎn)移性模型是現(xiàn)實(shí)對象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對象的所屬領(lǐng)域所獨(dú)有，可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.3數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)5）模型的非預(yù)制性許多應(yīng)用廣泛的模型，但實(shí)際問題時(shí)各種各樣、變化萬千的，不可能要求把各種模型做成預(yù)制品供建模時(shí)使用。6）模型的條理性促使對現(xiàn)實(shí)對象的分析更全面、更深入、更具條理性。7）模型的技藝性經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞擦力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起較大作用比起一些具體的數(shù)學(xué)知識。8）模型的局限性模型是現(xiàn)實(shí)對象簡化、理想化的產(chǎn)物人們的認(rèn)識能力和科學(xué)技術(shù)，包括數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制有些領(lǐng)域的問題尚未能用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律3.1數(shù)學(xué)模型的基本知識—3.1.41）理論分析法應(yīng)用自然科學(xué)中的定理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2）模擬方法如果模型的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)和性質(zhì)相同，而且構(gòu)造出來的模型也類似，就可把另一種模型看作是原來模型的模擬。3）類比分析法根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也有可能相似的一種方法。4）數(shù)據(jù)分析法當(dāng)有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可以利用時(shí)，就可以通過描述系統(tǒng)功能的數(shù)據(jù)分析來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。數(shù)學(xué)模型的建立方法3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—理論分析法

1理論分析法

理論分析法是指應(yīng)用自然科學(xué)中的定理和定律,對被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。理論分析這是人們在一切科學(xué)研究中廣泛使用的方法。在工藝比較成熟、對機(jī)理比較了解時(shí)，可采用此法。根據(jù)問題的性質(zhì)可直接建立模型。例.在滲碳工藝過程中通過平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢之間的理論關(guān)系式。甲醇加煤油滲碳?xì)夥罩?，描述爐氣碳勢和CO2含量的關(guān)系的實(shí)際數(shù)據(jù)如下表：模型假設(shè)滲碳過程中的爐氣化學(xué)反應(yīng)：可求平衡常數(shù)，由上式可得：其中，P為總壓，設(shè)P=1atm，、分別為CO、CO2氣體的分壓，分別為CO、CO2所占的體積百分?jǐn)?shù)。K2為平衡常數(shù)，為碳的活度。則又其中，表示平衡碳濃度，即爐氣碳勢。表示加熱到溫度T時(shí)奧氏體中的飽和碳濃度。同樣，可得：3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—理論分析法對上式兩邊取對數(shù)，可得：由于在溫度一定時(shí)，和

均為常數(shù)，上式右邊前兩項(xiàng)也應(yīng)為常數(shù)。即，可設(shè)。而對于這兩項(xiàng)，由于、與有關(guān)，且要建立和之間的數(shù)學(xué)模型，于是令設(shè)，可得：利用表中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，求得：于是即上式即為碳勢控制的單參數(shù)數(shù)學(xué)模型。3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—理論分析法

2模擬方法模型的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解卻相當(dāng)麻煩。如果有另一種系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同、而且構(gòu)造出的模型也類似，就可以把后一種模型看成是原來模型的模擬，而對后一個(gè)模型去分析或?qū)嶒?yàn)并求得其結(jié)果。例如，研究鋼鐵材料小裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布，可以通過彈塑性力學(xué)及斷裂力學(xué)知識進(jìn)行分析計(jì)算，但求解非常麻煩。此時(shí)可以借助實(shí)驗(yàn)光測力學(xué)的手段來完成分析。首先，根據(jù)—定比例，采用模具將環(huán)氧樹脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)鋼鐵材料小裂紋形式在環(huán)氧樹脂模型加工出裂紋；隨后，將環(huán)氧樹脂模型放入恒溫箱內(nèi)，對環(huán)氧樹脂模型在凍結(jié)溫度下加載，并在載荷不變的條件下緩緩冷卻到室溫卸載；3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—模擬方法將已凍結(jié)應(yīng)力的環(huán)氧樹脂模型在平面偏振光場或圓偏振光場下觀察，環(huán)氧樹脂模型中將出現(xiàn)一定分布的條紋，這些條紋反應(yīng)了模型在受載時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變情況，用照相法將條紋記錄下來并確定條紋級數(shù)、再根據(jù)條紋級數(shù)計(jì)算應(yīng)力；最后，根據(jù)相似原理、材料等因素確定—定的比例系數(shù)，將計(jì)算出的應(yīng)力換算成鋼鐵材料中的應(yīng)力，從而獲得了裂紋尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布。3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—模擬方法3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—模擬方法得：3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—模擬方法3類比分析法若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分忻法是根據(jù)兩個(gè)(或兩類)系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也可能相似的—種方法。在聚合物的結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度?，F(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過程（即推導(dǎo)Avrami方程）采用類比分析法。聚合物的結(jié)晶過程包括成核和晶體長大兩個(gè)過程，這一下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過水波擴(kuò)散模型來推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—類比分析法在水面上任選一參考點(diǎn)，根據(jù)概率分析，在時(shí)間0~t時(shí)刻范圍內(nèi)通過該點(diǎn)的水波數(shù)為m的概率P(m)為Poisson分布（假設(shè)落下的雨滴數(shù)大于m，從0到t時(shí)刻通過任意點(diǎn)P的水波數(shù)的平均值為E）則有把水波擴(kuò)散模型作為結(jié)晶前期的模擬來討論薄層熔體形成“二維球晶”的情況。雨滴接觸水面相當(dāng)于形成晶核，水波相當(dāng)于二維球晶的生長表面，當(dāng)m=0時(shí)，意味著所有的球晶面都不經(jīng)過P點(diǎn)，即P點(diǎn)仍處于非晶態(tài)。根據(jù)式（3.41）可知其概率為（3.41）（3.42）（3.43）設(shè)此時(shí)球晶部分占有的體積分?jǐn)?shù)為，則有3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—類比分析法假定：從0到t時(shí)刻水波前進(jìn)的距離為r。那么，以P點(diǎn)為中心，以r為半徑的圓面內(nèi)所有的雨滴所產(chǎn)生的水波都將通過P點(diǎn)。這個(gè)圓面積稱為有效面積，通過P點(diǎn)的水波數(shù)就等于在這個(gè)有效面積內(nèi)落入的雨滴數(shù)。圖3.3有效面積示意圖prdr3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—類比分析法求平均值E，應(yīng)為時(shí)間的函數(shù)。二維形核的兩種情況（1）一次性同時(shí)成核的情況—所有水滴同時(shí)落入水面（2）晶核不斷形核的情況—雨滴不斷落入（1）一次性同時(shí)成核的情況—所有水滴同時(shí)落入水面設(shè)單位面積內(nèi)的平均雨滴數(shù)為N，當(dāng)時(shí)間由t增加到t+dt時(shí)，有效面積的增量即圖中陰影部分的面積為2πrdr，平均值E的增量為（3.46）圖3.3有效面積示意圖prdr若水波前進(jìn)速度即球晶徑向生長速度為v，則r=vt，對式（3.46）作積分得平均值同t的關(guān)系為（3.47）代入式（3.45），得（3.48）該式表示晶核密度為N，一次性成核時(shí)體系中的非晶部分與時(shí)間的關(guān)系。3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—類比分析法設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位面積上平均產(chǎn)生的晶核數(shù)即晶核生成速度為I，到t時(shí)刻產(chǎn)生的晶核數(shù)（相當(dāng)于生成的水波）則為It。時(shí)間增加dt，有效面積的增量仍為2πrdr，其中，只有滿足t>r/v的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有（3.49）積分得（3.50）代入可得同樣的方法可用來處理三維晶球，這時(shí)把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對于同時(shí)成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則（3.51）（3.52）3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—類比分析法（2）晶核不斷形核的情況—雨滴不斷落入同時(shí)形核：同樣的方法可用來處理三維晶球，這時(shí)把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對于同時(shí)成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則（3.52）3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—類比分析法三維形核不斷成核體系：定義I為單位時(shí)間、單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則將上述情況進(jìn)行歸納，可用一通式：式中，k是同核密度及晶體一維生長速度有關(guān)的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度倍數(shù)；n是與成核方式及核結(jié)晶生長方式有關(guān)的常數(shù)。該式稱為Avrami方程。（3.53）（3.54）

模型檢驗(yàn)：圖3.4為尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)果，可見在結(jié)晶前期實(shí)驗(yàn)同理論相符，在結(jié)晶的最后部分同理論發(fā)生了偏離。

解釋：因?yàn)樯L著的球晶面相互接觸后，接觸區(qū)的增長即停止。在前期球晶尺寸較小，非晶部分多，球晶之間不致發(fā)生接觸，隨時(shí)間延長，球晶增長到滿足相互接觸的體積時(shí)，總體的結(jié)晶速度就要降低，Avrami方程將出現(xiàn)偏差。3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—類比分析法3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—數(shù)據(jù)分析法4數(shù)據(jù)分析法當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，無法從理論分析中得到系統(tǒng)的規(guī)律，也不便于類比分析，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，就可以通過描述系統(tǒng)功能的數(shù)據(jù)分忻來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型?；貧w分析是處理這類問題的有利工具。求一條通過或接近一組數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，這一過程叫曲線擬合，而表示曲線的數(shù)學(xué)式(稱為回歸方程。求系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：設(shè)有一未知系統(tǒng)，已測得該系統(tǒng)有n個(gè)輸入、輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)為3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—數(shù)據(jù)分析法

5利用計(jì)算機(jī)軟件(Origin軟件)建立數(shù)學(xué)模型例，在日常生活中時(shí)我們常要用熱水，例如我們口渴了要喝開水，冬天洗澡要用熱水，等等。熱水的溫度比周圍環(huán)境的溫度要高，因此熱水和周圍的環(huán)境存在熱傳遞，其溫度會(huì)逐漸地下降，直至與環(huán)境的溫度一致。一杯熱水在自然的條件下與周圍的環(huán)境發(fā)生熱傳遞，其溫度的下降有什么規(guī)律？能用數(shù)學(xué)公式表達(dá)嗎？（1）猜想與假設(shè)：由日常生活獲得的經(jīng)驗(yàn)：熱水在冬天降溫快，在夏天降溫慢，因此降溫速度跟熱水與環(huán)境的溫差有關(guān)；一杯水比一桶水降溫快，因此速度與熱水的體積有關(guān)，體積越小速度就越快。（2）制定計(jì)劃：如圖3-4所示,以不同體積的熱水作為探究的對象。將體積分別為50mL、100mL和200mL的水加熱至沸騰，然后利用實(shí)驗(yàn)室的MultilogPro數(shù)據(jù)采集器和溫度探頭（DT092）對其降溫過程進(jìn)行監(jiān)測，記錄其溫度變化數(shù)據(jù)，以便利用計(jì)算機(jī)作進(jìn)一步的分析處理。3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用OriginDT029是用感溫半導(dǎo)體電阻制成的溫度傳感器，其外殼是導(dǎo)熱性能極佳的金屬，具有很強(qiáng)的抗化學(xué)腐蝕性能。工作原理：(p57)（3）實(shí)驗(yàn)步驟：1)用量筒量取50mL水并將其注入圓底燒瓶，將水加熱至沸騰。2)將一個(gè)溫度傳感器（DT029）連接到MultilogPro的I/O1端口，用以采集熱水的降溫?cái)?shù)據(jù)；另一個(gè)連接到I/O2端口，用以采集環(huán)境的溫度數(shù)據(jù)。開啟數(shù)據(jù)采集器，設(shè)置采樣頻率為1persec，采樣總數(shù)為10000。3)將一個(gè)探頭置于沸水中，另一個(gè)置于實(shí)驗(yàn)裝置旁。約30sec后停止加熱，同時(shí)開啟按鈕開始采集數(shù)據(jù)。4)重復(fù)上述步驟依次采集體積為100mL和200mL的熱水的降溫過程溫度變化數(shù)據(jù)。圖3-4實(shí)驗(yàn)裝置圖3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin5)利用Db-lab軟件將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)從MultilogPro下載到計(jì)算機(jī)并完成降溫曲線繪制，用科學(xué)計(jì)算繪圖軟件Origin對數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。（4）數(shù)據(jù)處理,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3-5所示.圖3-5熱水降溫曲線3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin從圖3-5可以看出，降溫的初期熱水的溫度高，與環(huán)境的溫差大，曲線很陡，這說明溫差越大降溫速度就越快，與第一個(gè)猜想吻合；體積為50mL的熱水的降溫曲線最陡，100mL的次之，200mL的最平，這說明熱水的體積越小降溫越快，體積越大降溫越慢。這與我們的第二個(gè)猜想吻合。表3.3是三個(gè)不同體積的水實(shí)驗(yàn)的特征數(shù)據(jù)。表3.3實(shí)驗(yàn)特征數(shù)據(jù)起始溫度(℃)過程平均室溫(℃)溫差(℃)50mL100.0830.9169.17100mL100.3130.6869.63200mL100.2331.2668.973.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin（5）數(shù)學(xué)建模:3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin因此A就是熱水與環(huán)境的最大溫差?；谏厦娣治觯梢詫?shù)據(jù)輸入到科學(xué)計(jì)算繪圖軟件Origin（version7.0）中進(jìn)行曲線擬合.如圖3-6所示,擬合的過程如下：在Origin7.0中打開工作簿中的數(shù)據(jù)（擴(kuò)展名為.xls，其創(chuàng)建的方法是：先由Db-lab輸出一個(gè).csv文件，此文件可以由MicrosoftExcel2000打開，再利用Excel將其保存為MicrocalOrigin7.0可以處理的.xls文件，或者直接將數(shù)據(jù)復(fù)制到Origin的工作簿中）；分別繪制三組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖得到三個(gè)曲線圖Graph1、Graph2和Graph3，擊活Graph1為當(dāng)前工作窗口。在菜單中選擇Analysis-->Non-linearCurveFit，打開NLSF的SelectFunction對話框，選擇ExpDec1，單擊StartFitting，此時(shí)分析系統(tǒng)會(huì)彈出對話框要求用戶選擇擬合的數(shù)據(jù)，用戶只須單擊activedataset，因?yàn)橹耙褜?shù)據(jù)擊活；3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin1）設(shè)定參數(shù)：從表3.3中將當(dāng)前擬合的相應(yīng)參數(shù)（y0為室溫、A為溫差）輸入到文字框中，將y0、A后的Vary選項(xiàng)的√去掉，因?yàn)檫@兩個(gè)參數(shù)已經(jīng)經(jīng)過分析確定，無須擬合。2）開始迭代：單擊1Iter進(jìn)行一次迭代，對應(yīng)于當(dāng)前參數(shù)的理論曲線將顯示在Graph1窗口，多次單擊10Iter，以使擬合的曲線與數(shù)據(jù)曲線最大程度地吻合，單擊Done完成擬合。三組數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果如圖3-7到3-9所示：圖3-6參數(shù)設(shè)置界面3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin圖3-750mL熱水降溫?cái)M合曲線圖3-8100mL熱水降溫?cái)M合曲線圖3-9200mL熱水降溫?cái)M合曲線三條降溫曲線經(jīng)過擬合，參數(shù)顯示在圖中，表3.4歸納了三條曲線的數(shù)學(xué)模型。如果忽略三組實(shí)驗(yàn)中由于儀器（DT092）誤差而造成的細(xì)微差異，那么y0和A1這兩個(gè)參數(shù)在三組實(shí)驗(yàn)中完全一致，可見在本實(shí)驗(yàn)所處的條件下，t是與熱水的體積有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，體積越大，t的值就越大。表3.4曲線的數(shù)學(xué)模型V/mLy0At5030.9169.171082.7410030.6869.631582.3920031.2668.972911.92假設(shè)t是體積v的函數(shù)，t=f(v)，用Origin對表3.4中V、t進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)t與v成線性關(guān)系，如圖3-10所示。通過數(shù)學(xué)建模得出其關(guān)系為：t=417.98+12.35V3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin因此（3.62）式可表示為，用T、T0、t分別替換y、y0、x有：。其中T為熱水的實(shí)時(shí)溫度，T0為環(huán)境的溫度，A是熱水和環(huán)境的最大溫差（開始溫差），t為時(shí)間，V為熱水的體積。圖3-10t與v的線性關(guān)系3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin熱水溫度下降的速度跟熱水與環(huán)境的溫差有關(guān)，溫差越大溫度下降就越快，反之則越慢；熱水溫度下降的速度與熱水的體積有關(guān)，體積越大溫度下降就越慢，反之則越快；在本實(shí)驗(yàn)所處的條件下，熱水降溫過程可以用如下公式描述3.2材料科學(xué)與工程研究中數(shù)學(xué)模型—利用Origin3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法在材料科學(xué)與工程中的許多工程分析問題，如彈性力學(xué)中的位移場和應(yīng)力場分析、塑性力學(xué)中的位移速度場和應(yīng)變速率場分析、電磁學(xué)中的電磁場分析、傳熱學(xué)中的溫度場分析、流體力學(xué)中的速度場和壓力場分析等，都可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解其控制方程的問題。控制方程的求解有解析和數(shù)值兩種方法。（1）解析方法。根據(jù)控制方程的類型，采用解析的方法求出問題的精確解。該方法只能求解方程性質(zhì)比較簡單，且邊界條件比較規(guī)則的問題。（2）數(shù)值方法。采用數(shù)值計(jì)算的方法，利用計(jì)算機(jī)求出問題的數(shù)值解。該方法適用于各種方程類型和各種復(fù)雜的邊界條件及非線性特征。通俗來講：解析解：嚴(yán)格的公式，是一個(gè)求解公式，適用于所有這類方程的求解。數(shù)值解：是利用有限元法、數(shù)值逼近法、插值方法等的求解。數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法許多的力學(xué)問題和物理問題人們已經(jīng)得到了它們應(yīng)遵循的基本規(guī)律（微分方程）和相應(yīng)的定解條件。但是只有少數(shù)性質(zhì)比較簡單、邊界比較規(guī)整的問題能夠通過精確的數(shù)學(xué)計(jì)算得出其解析解。大多數(shù)問題是很難得到解析解的。對于大多數(shù)工程技術(shù)問題，由于物體的幾何形狀比較復(fù)雜或者問題的某些特征是非線性的，解析解不易求出或根本求不出來，所以常常用數(shù)值方法求解。對工程問題要得到理想或滿足工程要求的數(shù)值解，必須具備高性能的計(jì)算機(jī)（硬件條件）和合適的數(shù)值解法。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值模擬通常由前處理、數(shù)值計(jì)算、后處理三部分組成。（1）前處理。前處理主要完成下述功能：實(shí)體造型———將研究問題的幾何形狀輸入到計(jì)算機(jī)中；物性賦值———將研究問題的各種物理參數(shù)（力學(xué)參數(shù)、熱力學(xué)參數(shù)、流動(dòng)參數(shù)、電磁參數(shù)等）輸入到計(jì)算機(jī)中；定義單元類型———根據(jù)研究問題的特性將其定義為實(shí)體、梁、殼、板等單元類型；網(wǎng)格剖分———將連續(xù)的實(shí)體進(jìn)行離散化，形成節(jié)點(diǎn)和單元。（2）數(shù)值計(jì)算。數(shù)值計(jì)算主要完成下述功能：施加載荷———定義邊界條件、初始條件；設(shè)定時(shí)間步———對于瞬態(tài)問題要設(shè)定時(shí)間步；確定計(jì)算控制條件———對求解過程和計(jì)算方法進(jìn)行選擇；求解計(jì)算———軟件按照選定的數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行求解。（3）后處理。后處理主要完成下述功能：顯示和分析計(jì)算結(jié)果———圖形顯示體系的應(yīng)力場、溫度場、速度場、位移場、應(yīng)變場等，列表顯示節(jié)點(diǎn)和單元的相關(guān)數(shù)據(jù)；分析計(jì)算誤差；打印和保存計(jì)算結(jié)果。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法解決這類問題通常有兩種途徑：（1）對方程和邊界條件進(jìn)行簡化，從而得到問題在簡化條件下的解答；（2）采用數(shù)值解法。第一種方法只在少數(shù)情況下有效，因?yàn)檫^多的簡化會(huì)引起較大的誤差，甚至得到錯(cuò)誤的結(jié)論。目前，常用的數(shù)值解法大致可以分為兩類：有限差分法和有限元法。應(yīng)用有限差分法和有限元法求解數(shù)學(xué)模型最終歸結(jié)到求解線性方程組。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法線性方程組計(jì)算機(jī)計(jì)算（迭代）在自然科學(xué)和工程技術(shù)中很多問題的解決常常歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組.若其系數(shù)矩陣為非奇異陣，且aii≠0（i=1,2，…），將方程組（3.62）改寫為3.623.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.1線性方程組計(jì)算機(jī)計(jì)算（迭代）通過簡單迭代可得式（3.63）（3.63）簡寫為（3.64）對于式（3.63），式（3.64），給定一組初始值后，經(jīng)反復(fù)迭代得到一向量系列：如果收斂于其中，是方程組（3.62）的解，式（3.64）被稱為雅可比迭代格式。如果不收斂，則迭代失敗。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.1線性方程組計(jì)算機(jī)計(jì)算（迭代）賽德爾迭代法：一般地，計(jì)算時(shí)，使用代替能使收斂快些。為確定計(jì)算是否終止，設(shè)為允許的絕對誤差限，當(dāng)滿足時(shí)，停止計(jì)算。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.1線性方程組計(jì)算機(jī)計(jì)算（迭代）3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.1線性方程組計(jì)算機(jī)計(jì)算（迭代）3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.1線性方程組計(jì)算機(jī)計(jì)算（迭代）有限差分法是數(shù)值求解微分問題的一種重要工具，很早就有人在這方面作了一些基礎(chǔ)性的工作。到了1910年，L.F.Richardson在一篇論文中論述了Laplace方程、重調(diào)和方程等的迭代解法，為偏微分方程的數(shù)值分析奠定了基礎(chǔ)。但是在電子計(jì)算機(jī)問世前，研究重點(diǎn)在于確定有限差分解的存在性和收斂性。這些工作成了后來實(shí)際應(yīng)用有限差分法的指南。20世紀(jì)40年代后半期出現(xiàn)了電子計(jì)算機(jī)，有限差分法得到迅速的發(fā)展，在很多領(lǐng)域（如傳熱分析、流動(dòng)分析、擴(kuò)散分析等）取得了顯著的成就，對國民經(jīng)濟(jì)及人類生活產(chǎn)生了重要影響，積極地推動(dòng)了社會(huì)的進(jìn)步。有限差分法初等模型--為采用簡單而且初等的方法建立問題的數(shù)學(xué)模型。微分方程模型--指的是在所研究的現(xiàn)象或過程中取一局部或一瞬間，然后找出有關(guān)變量和未知變量的微分（或差分）之間的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.2有限差分法求解在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。但是在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問題。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.2有限差分法求解物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和它的變化規(guī)律在數(shù)學(xué)上是用函數(shù)關(guān)系來描述的，因此，這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個(gè)或者幾個(gè)未知函數(shù)。也就是說，凡是這類問題都不是簡單地去求一個(gè)或者幾個(gè)固定不變的數(shù)值，而是要求一個(gè)或者幾個(gè)未知的函數(shù)。解這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面，都和初等數(shù)學(xué)中的解方程有許多不同的地方。在數(shù)學(xué)上，解這類方程，要用到微分和導(dǎo)數(shù)的知識。因此，凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.2有限差分法求解有限差分法在材料成形領(lǐng)域的應(yīng)用較為普遍，與有限元法一起成為材料成形計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)的主要兩種數(shù)值分析方法。目前材料加工中的傳熱分析（如鑄造成形過程的傳熱凝固、塑性成形中的傳熱、焊接成形中的熱量傳遞等）、流動(dòng)分析（如鑄件充型過程，焊接熔池的產(chǎn)生、移動(dòng)，激光熔覆中的動(dòng)量傳遞等）都可以用有限差分方式進(jìn)行模擬分析。特別是在流動(dòng)場分析方面，與有限元相比，有限差分法有獨(dú)特的優(yōu)勢，因此目前進(jìn)行流體力學(xué)數(shù)值分析，絕大多數(shù)都是基于有限差分法。另外，一向被認(rèn)為是有限差分法的弱項(xiàng)—應(yīng)力分析，目前也取得了長足進(jìn)步。一些基于差分法的材料加工領(lǐng)域的應(yīng)力分析軟件紛紛推出，從而使得流動(dòng)、傳熱、應(yīng)力統(tǒng)一于差分方式下。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.2有限差分法求解有限差分法是數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛的一種方法。有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一種數(shù)值計(jì)算法。其實(shí)質(zhì)是以有限差分代替無限微分、以差分代數(shù)方程代替微分方程、以數(shù)值計(jì)算代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程，從而將連續(xù)函數(shù)離散化，以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.2有限差分法求解3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.2有限差分法求解3.3常用的數(shù)值計(jì)算方法—3.3.2有限差分法求解3.3常