第二章-測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理(完整版)(傳感器)

第二章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2.1誤差2.2測(cè)量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6系統(tǒng)誤差的合成2.7測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

2.1誤差測(cè)量：是以確定被測(cè)對(duì)象的量值為目標(biāo)而進(jìn)行的一組操作。是把未知量與已知標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比對(duì)的過程。

只要有測(cè)量就必然存在誤差。

誤差存在原因：（1）檢測(cè)系統(tǒng)(儀表)不可能絕對(duì)精確；（2）測(cè)量原理的局限；（3）測(cè)量方法的不盡完善；（4）環(huán)境因素和外界干擾的存在；（5）測(cè)量過程可能會(huì)影響被測(cè)對(duì)象的原有狀態(tài)等使得測(cè)量結(jié)果不能準(zhǔn)確地反映被測(cè)量的真值而存在一定的偏差，這個(gè)偏差就是測(cè)量誤差。一、誤差1．真值A(chǔ)0

一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值稱作它的真值。電流單位安培，簡(jiǎn)稱安，符號(hào)是:A.它的定義是：1安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距1米的兩無限長(zhǎng)，而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力在每米長(zhǎng)度上等于2×10-7牛頓。

真值A(chǔ)0純理論的物理量的真值實(shí)際上是無法測(cè)得的。

2．指定值A(chǔ)s

（約定真值）

由于絕對(duì)真值是不可知的，所以一般由國(guó)家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指定值。指定值也叫約定真值，一般就用來代替真值，其值被公認(rèn)為國(guó)際或國(guó)家基準(zhǔn)。國(guó)際單位制的長(zhǎng)度單位“米”(meter,metre)起源于法國(guó)。1790年5月由法國(guó)科學(xué)家組成的特別委員會(huì)，建議以通過巴黎的地球子午線全長(zhǎng)的四千萬分之一作為長(zhǎng)度單位──米，1791年獲法國(guó)國(guó)會(huì)批準(zhǔn)。為了制造出表征米的量值的基準(zhǔn)器，在法國(guó)天文學(xué)家捷梁布爾和密伸的領(lǐng)導(dǎo)下，于1792～1799年，對(duì)法國(guó)敦克爾克至西班牙的巴塞羅那進(jìn)行了測(cè)量。1799年根據(jù)測(cè)量結(jié)果制成一根3．5毫米×25毫米短形截面的鉑桿(platinummetrebar)，以此桿兩端之間的距離定為1米，并交法國(guó)檔案局保管，所以也稱為“檔案米”。這就是最早的米定義。

3．實(shí)際值A(chǔ)（相對(duì)真值）

由于無法直接和國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)比對(duì)，在量值傳遞中，高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，即實(shí)際值，亦稱相對(duì)真值。在實(shí)際測(cè)量中代替真值。如果更高一級(jí)測(cè)量?jī)x器的誤差為本級(jí)測(cè)量?jī)x器誤差1/3-1/10，就可以認(rèn)為前者是后者的相對(duì)真值。

4．標(biāo)稱值計(jì)量或測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值（測(cè)量工具定度的精度）。由于制造和測(cè)量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)。(如游標(biāo)卡尺、螺旋測(cè)微器)5．示值（測(cè)量值或讀數(shù)）由測(cè)量器具或檢測(cè)儀器（或系統(tǒng)）指示或顯示的被測(cè)參量的數(shù)值叫示值，也叫測(cè)量值或讀數(shù)，它包括數(shù)值和單位。一般地說，示值與測(cè)量?jī)x表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。對(duì)于數(shù)字顯示儀表，通常示值與讀數(shù)是統(tǒng)一的。6．測(cè)量誤差測(cè)得值與被測(cè)量真值之間的差值。在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量器具不準(zhǔn)確、測(cè)量手段不完善、環(huán)境影響、各種人為因素等，都會(huì)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值不同。所以，人們只能根據(jù)需要和可能，將誤差限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。

沃納·卡爾·海森堡：德國(guó)物理學(xué)家（1901—1976）。海森堡于1927年提出“不確定性”，闡明了我們科學(xué)度量的能力在理論上存在的某些局限性，如果一個(gè)科學(xué)家用物理學(xué)基本定律甚至在最理想的情況下也不能獲得有關(guān)他正在研究的體系的準(zhǔn)確知識(shí)，那么就顯然表明該體系的將來行為是不能完全預(yù)測(cè)出來的。根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，不管對(duì)測(cè)量?jī)x器做出何種改進(jìn)都不可能會(huì)使我們克服這個(gè)困難！對(duì)某些成對(duì)的物理變量，例如位置和動(dòng)量，永遠(yuǎn)是互相影響的。雖然都可以測(cè)量，但不可能同時(shí)得出精確值。

“不確定性”適用于一切宏觀和微觀現(xiàn)象，但它的有效性通常只限于微觀物理學(xué)。由于在取得整個(gè)科學(xué)史上的最重要的成就之──量子力學(xué)的創(chuàng)立中所起的作用1932年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。著有《量子論的物理原理》、《原子核物理學(xué)》等。

測(cè)不準(zhǔn)原理（Uncertaintyprinciple），又稱“不確定性原理”、“不確定關(guān)系”，是量子力學(xué)的一個(gè)基本原，本身為傅立葉變換導(dǎo)出的基本關(guān)系。該原理表明：一個(gè)微觀粒子的某些物理量（如位置和動(dòng)量，或方位角與動(dòng)量矩，還有時(shí)間和能量等），不可能同時(shí)具有確定的數(shù)值，其中一個(gè)量越確定，另一個(gè)量的不確定程度就越大。測(cè)量一對(duì)共軛量的誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）的乘積必然大于常數(shù)h/2π（h是普朗克常數(shù)）,是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律——以共軛量為自變量的概率幅函數(shù)（波函數(shù)）構(gòu)成傅立葉變換對(duì)；以及量子力學(xué)的基本關(guān)系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理學(xué)中又一條重要原理。研究誤差的目的在于：1、正確認(rèn)識(shí)誤差產(chǎn)生的原因和性質(zhì)，以減小測(cè)量誤差。2、正確處理測(cè)量數(shù)據(jù)，得到接近真值的結(jié)果。3、合理地制定測(cè)量方案，組織科學(xué)實(shí)驗(yàn)，正確地選擇測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器，在條件允許的情況下得到理想的測(cè)量結(jié)果。4、在設(shè)計(jì)儀器時(shí)，由于理論不完善，如采用近似公式、忽略微小因素的作用等，從而導(dǎo)致儀器原理設(shè)計(jì)誤差，它必然影響測(cè)量的準(zhǔn)確性。因此在設(shè)計(jì)時(shí)，必須要用誤差理論進(jìn)行分析并適當(dāng)控制這些誤差因素，使儀器的測(cè)量準(zhǔn)確度達(dá)到設(shè)計(jì)要求。7．單次測(cè)量和多次測(cè)量單次(一次)測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器對(duì)待測(cè)量進(jìn)行一次測(cè)量的過程。在測(cè)量精度要求不高的場(chǎng)合，可以進(jìn)行單次測(cè)量。單次測(cè)量不能反映測(cè)量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個(gè)量的大致概念和規(guī)律。多次測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量的過程。依靠多次測(cè)量可以觀察測(cè)量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測(cè)量都須進(jìn)行多次測(cè)量，如儀表的比對(duì)、校準(zhǔn)等。8.精度測(cè)量?jī)x器的讀數(shù)或測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值相一致的程度。

精度高，表明誤差小；精度低，表明誤差大。因此，精度不僅用來評(píng)價(jià)測(cè)量?jī)x器的性能，也是評(píng)定測(cè)量結(jié)果最主要最基本的指標(biāo)。

精度又可用精密度、正確度和準(zhǔn)確度三個(gè)指標(biāo)加以表征。

(1)精密度精密度說明儀表指示值的分散性，表示在同一測(cè)量條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，得到的測(cè)量結(jié)果的分散程度。

它反映了隨機(jī)誤差的影響。精密度高意味著隨機(jī)誤差小，測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性好。比如某電壓表的精密度為0.1V，即表示用它對(duì)同一電壓進(jìn)行測(cè)量時(shí)，得到的各次測(cè)量值的分散程度在-0.1V~0.1V之間。

(2)正確度

正確度說明儀表指示值與真值的接近程度。所謂真值是指待測(cè)量在特定狀態(tài)下所具有的真實(shí)值的大小。正確度反映了系統(tǒng)誤差的影響。正確度高則說明系統(tǒng)誤差小，比如某電壓表的正確度是0.1V，則表明用該電壓表測(cè)量電壓時(shí)的指示值與真值之差不大于0.1V。

(3)準(zhǔn)確度()

準(zhǔn)確度是精密度和正確度的綜合反映。準(zhǔn)確度高，說明精密度和正確度都高，也就意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小，因而最終測(cè)量結(jié)果的可信賴度也高。

在具體的測(cè)量實(shí)踐中，可能會(huì)有這樣的情況：正確度較高而精密度較低，或者情況相反，相當(dāng)精密但欠正確。當(dāng)然理想的情況是既正確，又精密，即測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確度高。要獲得理想的結(jié)果，應(yīng)滿足三個(gè)方面的條件：即性能優(yōu)良的測(cè)量?jī)x器、正確的測(cè)量方法和正確細(xì)心的測(cè)量操作。為了加深對(duì)精密度、正確度和準(zhǔn)確度三個(gè)概念的理解，可以以射擊打靶為例加以比喻。

用射擊比喻測(cè)量以靶心比作被測(cè)量真值，以靶上的彈著點(diǎn)表示測(cè)量結(jié)果。其中圖(a)彈著點(diǎn)分散而偏斜，對(duì)應(yīng)測(cè)量中既不精密，也不正確，即準(zhǔn)確度很低。圖(b)彈著點(diǎn)仍較分散，但總體而言大致都圍繞靶心，屬于正確而欠精密。圖(c)彈著點(diǎn)密集但明顯偏向一方，屬于精密度高而正確度差。圖(d)彈著點(diǎn)相互很接近且都圍繞靶心，屬于既精密又正確因而準(zhǔn)確度很高的情況。

二、誤差的表示方法

1．絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差定義為

式中△x為絕對(duì)誤差，x為測(cè)得值，A0為被測(cè)量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用指定值（約定真值）代替A0

，

也可用由高精度標(biāo)準(zhǔn)器所測(cè)得的實(shí)際值（相對(duì)真值）代替。因而絕對(duì)誤差更有實(shí)際意義的定義是

對(duì)于絕對(duì)誤差，應(yīng)注意下面幾個(gè)特點(diǎn)：

①絕對(duì)誤差是有單位的量，其單位與測(cè)得值和實(shí)際值量綱相同。②絕對(duì)誤差是有符號(hào)的量，其符號(hào)表示出測(cè)量值與實(shí)際值的大小關(guān)系，若測(cè)得值較實(shí)際值大，則絕對(duì)誤差為正值，反之為負(fù)值。 ③絕對(duì)誤差體現(xiàn)了測(cè)得值與被測(cè)量實(shí)際值間的偏離程度和方向。

④對(duì)于信號(hào)源、穩(wěn)壓電源等供給量?jī)x器，絕對(duì)誤差定義為

式中A為實(shí)際值，x為供給量的指示值(標(biāo)稱值)。與絕對(duì)誤差絕對(duì)值相等但符號(hào)相反的值稱為修正值，一般用符號(hào)c表示

測(cè)量?jī)x器的修正值，可通過檢定，由上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。利用修正值和儀器示值，可得到被測(cè)量的實(shí)際值注：

1、前提條件：隨機(jī)誤差已被低償或忽略隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響。

2、上式表明：可以修正系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的影響。

例如由某電流表測(cè)得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書，得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值為－0.02mA，那么被測(cè)電流的實(shí)際值為在自動(dòng)測(cè)量?jī)x器中，修正值還可以先編成程序儲(chǔ)存在儀器中，測(cè)量時(shí)儀器可以對(duì)測(cè)量結(jié)果自動(dòng)進(jìn)行修正。

絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比，稱為相對(duì)誤差(或稱為相對(duì)真誤差)，用γ表示為

γ=

×100％

相對(duì)誤差是兩個(gè)有相同量綱的量的比值，只有大小和符號(hào)，沒有單位。一般來說相對(duì)誤差值越小，其測(cè)量精度就越高。

（1）相對(duì)真誤差2、相對(duì)誤差

(2)實(shí)際相對(duì)誤差實(shí)際相對(duì)誤差定義為

(3)示值相對(duì)誤差示值相對(duì)誤差也叫標(biāo)稱相對(duì)誤差，定義為

如果測(cè)量誤差不大，可用示值相對(duì)誤差代替實(shí)際相對(duì)誤差，但若相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。

(4)滿度相對(duì)誤差

在連續(xù)刻度的儀表中，用相對(duì)誤差來表示整個(gè)量程內(nèi)儀表的準(zhǔn)確程度就有些不便。因?yàn)槭褂眠@種儀表時(shí)，在某一測(cè)量量程內(nèi)，隨著被測(cè)量的不同，求得的相對(duì)誤差也將隨著改變。滿度相對(duì)誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對(duì)誤差

與測(cè)量?jī)x器滿度值(量程上限值)的百分比值

滿度相對(duì)誤差也叫作滿度誤差和引用誤差。通過滿度誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值

我國(guó)常用電工儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)（精度等級(jí)

）S就是按滿度誤差分級(jí)的，分為：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0七級(jí)。若某儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)為S，它的滿度相對(duì)誤差不會(huì)超過S%，即

儀表精度等級(jí)的數(shù)字愈小，儀表的精度愈高。如0.5級(jí)的儀表精度優(yōu)于1.0級(jí)儀表，而劣于0.2級(jí)儀表。

值得注意的是：精度等級(jí)高低僅說明該檢測(cè)儀表的滿度誤差最大值的大小，它決不意味著該儀表某次實(shí)際測(cè)量中出現(xiàn)的具體誤差值是多少。檢測(cè)儀器（系統(tǒng)）精度等級(jí)的確定按選大不選小的原則套用標(biāo)準(zhǔn)化精度等級(jí)值。[例1]量程為0～1000V的數(shù)字電壓表，如果其整個(gè)量程中最大絕對(duì)誤差為1.05V，則有

由于0.105不是標(biāo)準(zhǔn)化精度等級(jí)值，因此該儀器需要就近套用標(biāo)準(zhǔn)化精度等級(jí)值。0.105位于0.1級(jí)和0.2級(jí)之間，盡管該值與0.1更為接近，但按選大不選小的原則該數(shù)字電壓表的精度等級(jí)G應(yīng)為0.2級(jí)。

[例2]某儀表的精度等級(jí)是S，它的滿度值為Xm,被測(cè)量的實(shí)際值為A,求（1）測(cè)量的絕對(duì)誤差（2）測(cè)量的實(shí)際相對(duì)誤差[例3]某電壓表s＝1.5，試算出它在0V～100V量程中的最大絕對(duì)誤差。解：在0V～l00V量程內(nèi)上限值xm＝100V，得到

一般講，測(cè)量?jī)x器在同一量程不同示值處的絕對(duì)誤差實(shí)際上未必處處相等，但對(duì)使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對(duì)誤差是個(gè)常數(shù)且等于△xm，這種處理叫作誤差的整量化。給出了儀表的等級(jí)精度和滿度值，實(shí)質(zhì)上給出了絕對(duì)誤差測(cè)量中所用儀表的準(zhǔn)確度不等于測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值等于滿度值時(shí)才相等，否則測(cè)量值的準(zhǔn)確度數(shù)值低于儀表準(zhǔn)確度等級(jí)的一般情況下，對(duì)于線性刻度類儀器，選擇量程時(shí)應(yīng)使指針盡可能接近滿度值，可以減小測(cè)量中的實(shí)際相對(duì)誤差，最好能工作在（2／3——1）的滿度值范圍內(nèi)。1.結(jié)構(gòu)螺旋彈簧IINS指針永久磁鐵圓柱形鐵心O'O線圈(1)固定部分馬蹄形永久磁鐵、極掌N、S極、圓柱形鐵心、表盤等。(2)可動(dòng)部分鋁框及線圈，兩根半軸O和O

，螺旋彈簧及指針。

極掌與鐵心之間的空氣隙的長(zhǎng)度是均勻的，其中產(chǎn)生均勻的輻射方向的磁場(chǎng)。磁電式儀表結(jié)構(gòu)2.工作原理(1)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩T的產(chǎn)生(2)反作用力矩TC的產(chǎn)生

在線圈和指針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺旋彈簧被扭緊而產(chǎn)生反作用力矩TC。

線圈受到的轉(zhuǎn)矩T=k1IFSNF

線圈通入電流

電磁力

F

線圈受到轉(zhuǎn)矩T

線圈和指針轉(zhuǎn)動(dòng)，

彈簧的TC與指針的偏轉(zhuǎn)角

成正比，即

TC=k2

當(dāng)線圈受到的轉(zhuǎn)矩T與彈簧的反作用力矩TC達(dá)到平衡時(shí)，可動(dòng)部分停止轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有T=TC

儀表的標(biāo)度尺上作均勻刻度。

即指針的偏轉(zhuǎn)角

結(jié)論:

指針偏轉(zhuǎn)的角度與流經(jīng)線圈的電流成正比。

3.阻尼力矩的產(chǎn)生當(dāng)線圈通入電流而發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)，鋁框切割磁通，在框內(nèi)感應(yīng)出電流，其電流再與磁場(chǎng)作用，產(chǎn)生與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的制動(dòng)力，于是可轉(zhuǎn)動(dòng)部分受到阻尼作用，快速停止在平衡位置。由轉(zhuǎn)動(dòng)的鋁框受磁場(chǎng)力的作用而產(chǎn)生的。因?yàn)榫€圈轉(zhuǎn)動(dòng)而帶動(dòng)鋁框一起轉(zhuǎn)動(dòng)，使得穿過鋁框的磁通發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流。這個(gè)感應(yīng)電流方向始終與線圈中流過的電流的方向相反，因而感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中產(chǎn)生的力矩也始終與轉(zhuǎn)動(dòng)力矩方向相反，稱為阻尼力矩。阻尼力矩減小了指針因?yàn)閼T性作用而來回?cái)[動(dòng)的幅度，使指針很快停止在平衡位置上。因此阻尼力矩不影響指針的偏轉(zhuǎn)角，只起到縮短指針擺動(dòng)時(shí)間的作用。1、用滿度相對(duì)誤差來標(biāo)定儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)[例]某電流表的量程為100mA，在量程內(nèi)用待定表和標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)量幾個(gè)電流的讀數(shù)如表所示。試根據(jù)表中測(cè)量數(shù)據(jù)大致標(biāo)定該儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。

解：由Δx=x-A計(jì)算出各點(diǎn)Δxi如表所示。

因?yàn)棣m=80-78=2mA且xm=100mA，求得該表的最大滿度相對(duì)誤差為

γm=

×100%=

×100%=2%所以該表大致為2.5級(jí)表。當(dāng)然，在實(shí)際中，標(biāo)定一個(gè)儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)是要通過大量的測(cè)量數(shù)據(jù)并經(jīng)過一定的計(jì)算和分析后才能完成的。【例】利用微差法測(cè)量一個(gè)10V電源，使用9V標(biāo)稱相對(duì)誤差±0.1%的穩(wěn)壓源和一只準(zhǔn)確度為S的電壓表，如圖所示。要求測(cè)量誤差±0.5%,問：S=？[例]檢定一個(gè)1.5級(jí)100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大,為1.4mA，其它刻度處的誤差均小于1.4mA，問這塊電流表是否合格？解：求得該表的最大滿度相對(duì)誤差為γm=

×100%=

×100%=1.4%＜1.5%所以這塊表是合格的。實(shí)際中，要判斷該電流表是否合格，應(yīng)在整個(gè)量程內(nèi)取足夠多的點(diǎn)進(jìn)行檢定。2、用滿度相對(duì)誤差來檢定儀表是否合格3、指導(dǎo)我們?cè)谑褂枚嗔砍虄x表時(shí)，合理選擇儀表量程

[例]某1．0級(jí)電流表，滿度值xm＝l00uA，求測(cè)量值分別為x1＝100uA，x2＝80uA，x3

＝20uA時(shí)的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差。解：得絕對(duì)誤差

前已敘述，絕對(duì)誤差是不隨測(cè)量值改變的。而測(cè)得值分別為100A、80A、20A時(shí)的示值相對(duì)誤差各不相同，分別為

可見在同一量程內(nèi)，測(cè)得值越小，示值相對(duì)誤差越大。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測(cè)量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等(不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差)。通常測(cè)得值的準(zhǔn)確度數(shù)值低于儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。為減小示值誤差而使示值盡可能接近滿度值的結(jié)論，只適用正向刻度的電壓表、電流表等類型的儀表，對(duì)普通歐姆表，上述結(jié)論不成立。因?yàn)闅W姆表是反向刻度且是非線性的。

[例]要測(cè)量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級(jí)、測(cè)量范圍為0～300℃和l.0級(jí)、測(cè)量范圍為0～l00℃的兩種溫度計(jì)，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。解：對(duì)0.5級(jí)溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差

按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對(duì)誤差，因此示值相對(duì)誤差

同樣可算出用l.0級(jí)溫度計(jì)可能產(chǎn)生的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差

可見用1.0級(jí)低量程溫度計(jì)測(cè)量所產(chǎn)生的示值相對(duì)誤差反而小一些，因此選l.0級(jí)溫度計(jì)較為合適。

由上例不難看出，檢測(cè)儀表產(chǎn)生的測(cè)量誤差不僅與所選儀表精度等級(jí)s有關(guān)，而且與所選儀表的量程有關(guān)。

通常量程m和測(cè)量值X相差愈小，測(cè)量準(zhǔn)確度較高。所以，在選擇儀表時(shí)，應(yīng)選擇測(cè)量值盡可能接近的儀表量程。

在實(shí)際測(cè)量操作時(shí)，一般應(yīng)先在大量程下，測(cè)得被測(cè)量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測(cè)量，以盡可能減小相對(duì)誤差。4、在一定量的測(cè)量中，滿度相對(duì)誤差可指導(dǎo)我們合理選擇儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。

[例]欲測(cè)量一個(gè)10V左右的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表，其中一塊量稱為100V，1.5級(jí)；另一塊量程為15V，2.5級(jí)，問選用哪一塊表好？解：用1.5級(jí)量程為100V的電壓表測(cè)量10V電壓時(shí)，最大相對(duì)誤差為

γ1=

s1%=

×1.5%=15%

用2.5級(jí)量程為15V的電壓表測(cè)量10V電壓時(shí)，最大相對(duì)誤差為

γ2=

s2%=

×2.5％=3.75％

測(cè)量10V電壓時(shí)，采用2.5級(jí)量程為15V電壓表測(cè)量的準(zhǔn)確度高于用1.5級(jí)量程為100V電壓表測(cè)量的準(zhǔn)確度，且2.5級(jí)量程為15V電壓表經(jīng)濟(jì)實(shí)用，所以應(yīng)選擇2.5級(jí)量程為15V的電壓表。

如果選擇合適的量程，即使使用較低等級(jí)的儀表進(jìn)行測(cè)量，也可以取得比高等級(jí)儀表還高的準(zhǔn)確度。因此，在選用儀表時(shí)，不要單純追求儀表的級(jí)別，而應(yīng)根據(jù)被測(cè)量的大小，兼顧儀表的級(jí)別和測(cè)量上限，合理地選擇儀表。

1、儀表的準(zhǔn)確度不等于測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，一般而言測(cè)量值的準(zhǔn)確度數(shù)值低于儀表準(zhǔn)確度等級(jí)，只有在示值X等于滿度值M時(shí)才相等。2、為了減小示值誤差，在測(cè)量時(shí)量程選擇應(yīng)盡可能接近滿度值，一般示值以不小于滿度值的2／3為宜。此規(guī)律適用于正向刻度的電壓、電流類儀表。3、對(duì)于反向刻度的儀表，結(jié)論（2）不適用例歐姆表（反向非線性刻度）：當(dāng)示值與歐姆表中值接近時(shí)，測(cè)量準(zhǔn)確度最高。4、并不是選擇的儀表精度越高，測(cè)量結(jié)果就越準(zhǔn)確，還要考慮選用合適的量程。在實(shí)際測(cè)量中，一般先在大量程下測(cè)得被測(cè)量的大致數(shù)值，再選合適量程再行測(cè)量，以減小相對(duì)誤差。(5)分貝誤差在電子學(xué)及聲學(xué)測(cè)量中，特別是通信系統(tǒng)測(cè)試中，通常并不直接測(cè)量或計(jì)算電路某測(cè)試點(diǎn)的電壓或負(fù)載吸取的功率，而是計(jì)算它們與某一電壓或功率基準(zhǔn)量之比的對(duì)數(shù)。常用分貝來表示相對(duì)誤差，稱為分貝誤差。A、電壓、電流測(cè)量：

γ[db]=20lg(1+γx)[db]

注：γx=B、功率測(cè)量：

γ[db]=10lg(1+γx)[db]

解：測(cè)量的絕對(duì)誤差為

Δx=96-100=-4μA

測(cè)量的實(shí)際相對(duì)誤差為

γA=

=

×100%=-4%

分貝誤差為

γdB=20lg［1+(-0.04)］=-0.355dB[例]某電流表測(cè)出的電流值為96μA，標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)出的電流值為100μA，求測(cè)量的相對(duì)誤差和分貝誤差。

[例]

某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui＝1.2mV時(shí)，測(cè)得輸出電壓Uo＝6000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的測(cè)量誤差求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及分貝誤差。解：電壓放大倍數(shù)電壓分貝增益輸出電壓絕對(duì)誤差因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對(duì)誤差電壓增益相對(duì)誤差電壓增益分貝誤差實(shí)際電壓分貝增益如果在測(cè)量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分貝誤差直接按來計(jì)算。三、容許誤差 容許誤差是指測(cè)量?jī)x器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時(shí)就稱作儀器誤差，它是衡量電子測(cè)量?jī)x器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)。電子測(cè)量?jī)x器的精度和穩(wěn)定性等，都可用儀器的容許誤差來表征。 我國(guó)部頒標(biāo)準(zhǔn)SJ943—82《電子測(cè)量?jī)x器誤差的一般規(guī)定》中規(guī)定：用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項(xiàng)指標(biāo)來描述電子測(cè)量?jī)x器的容許誤差。

為了保證測(cè)量?jī)x器示值的準(zhǔn)確，儀器出廠前必須由檢驗(yàn)部門對(duì)其誤差指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)，在使用期間，必須定期進(jìn)行校準(zhǔn)檢定，凡各項(xiàng)誤差指標(biāo)在容許誤差范圍之內(nèi)的，視為合格，否則就不能算做合格的儀器，其測(cè)量結(jié)果失去可靠性而只能供作參考。儀器的容許誤差的表示方法可以用絕對(duì)誤差，也可用相對(duì)誤差。

l．工作誤差

工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值。外部、內(nèi)部各種影響量最極端、最不利組合產(chǎn)生的誤差最大值特點(diǎn)：使用方便，利用工作誤差可直接估計(jì)測(cè)量結(jié)果誤差的最大范圍；實(shí)際使用中最不利組合的可能性很小。

結(jié)論：用工作誤差來估計(jì)測(cè)量結(jié)果的誤差相比實(shí)際值會(huì)偏大。2．固有誤差固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時(shí)儀器所具有的誤差。3．影響誤差影響誤差是當(dāng)一個(gè)影響量在其額定使用范圍內(nèi)(或一個(gè)影響特性在其有效范圍內(nèi))取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時(shí)所測(cè)得的誤差。例如溫度誤差、頻率誤差等。 只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時(shí)才給出，它是該影響量誤差的極限。4.穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)慣上以相對(duì)誤差形式給出或者注明最長(zhǎng)連續(xù)工作時(shí)間。如：溫度

[例]

用4位半數(shù)字電壓表2V檔和200V檔測(cè)量1V電壓，該電壓表各檔容許誤差均為個(gè)字，試分析用上述兩檔分別測(cè)量時(shí)的相對(duì)誤差。

解：

①用2V檔測(cè)量，絕對(duì)誤差為

為了便于觀察，式中前一項(xiàng)是容許誤差的相對(duì)值部分，后一項(xiàng)是絕對(duì)值部分即土1個(gè)字誤差，此時(shí)后者影響較小，測(cè)量數(shù)值(顯示值)為0．9996到1．0004V間，有效顯示數(shù)字是四位到五位。相對(duì)誤差為

②用200V檔測(cè)量，絕對(duì)誤差為

可見此時(shí)土1個(gè)字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，按科學(xué)計(jì)數(shù)法規(guī)定寫成1.0×10-2，由于此時(shí)最末位士1個(gè)字誤差或最末位為l時(shí)代表的數(shù)值是10mV或0．01V，因此此時(shí)電壓表顯示為0.99～1.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對(duì)誤差為可見，此時(shí)相對(duì)誤差很大，沒有充分發(fā)揮4位半數(shù)字電壓表的較高準(zhǔn)確度的優(yōu)勢(shì)。由上例不難看出，檢測(cè)儀表產(chǎn)生的測(cè)量誤差不僅與所選儀表精度等級(jí)S有關(guān)，而且與所選儀表的量程有關(guān)。在選用數(shù)字顯示式測(cè)量?jī)x表時(shí)，應(yīng)盡可能使顯示的位數(shù)多一些，以減小測(cè)量誤差。通常量程L和測(cè)量值X相差愈小，測(cè)量準(zhǔn)確度較高。所以，在選擇儀表時(shí)，應(yīng)選擇測(cè)量值盡可能接近上限的儀表量程。

1.2測(cè)量誤差的來源

一、儀器誤差儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測(cè)量?jī)x器設(shè)備帶有的誤差。儀器誤差還可細(xì)分為：讀數(shù)誤差，包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(±l個(gè)字誤差)；儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差；元器件疲勞、老化及周圍環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差；儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動(dòng)態(tài)誤差；探頭等輔助設(shè)備帶來的其他方面的誤差。

減小儀器誤差的主要途徑：根據(jù)具體測(cè)量任務(wù)，正確地選擇測(cè)量方法和使用測(cè)量?jī)x器，包括要檢查所使用的儀器是否具備出廠合格證及檢定合格證，在額定工作條件下按使用要求進(jìn)行操作等。

量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差，減小由它帶給測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確度的影響的辦法是設(shè)法使顯示器顯示盡可能多的有效數(shù)字。

二、使用誤差使用誤差又稱操作誤差，是由于對(duì)測(cè)量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的誤差。

減小使用誤差的最有效途徑是提高測(cè)量操作技能，嚴(yán)格按照儀器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進(jìn)行操作。如：（1）指針式萬用表測(cè)電阻時(shí)應(yīng)校零，變換量程擋后也要先校零再測(cè)量。

（2）老式電子管示波器在使用之前應(yīng)先預(yù)熱、然后再校準(zhǔn)，最后才能進(jìn)行測(cè)量。

三、人身誤差人身誤差主要指由于測(cè)量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等而對(duì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。

減小人身誤差的主要途徑有：

a、提高測(cè)量者的操作技能和工作責(zé)任心；

b、采用更合適的測(cè)量方法；

c、采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)，以避免指針式儀表的讀數(shù)視差。（或針式儀表加裝鏡面）

四、影響誤差（環(huán)境誤差）影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。

主要影響因素：環(huán)境溫度、濕度、大氣壓、電源電壓、磁場(chǎng)變化和震動(dòng)。 當(dāng)環(huán)境條件符合要求時(shí)，影響誤差通常可不予考慮。但在精密測(cè)量及計(jì)量中，需根據(jù)測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。

五、方法誤差方法誤差是指所使用的測(cè)量方法不當(dāng)，或測(cè)量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y(cè)量計(jì)算公式不適當(dāng)簡(jiǎn)化等原因而造成的誤差，方法誤差也稱作理論誤差。 例如當(dāng)用于均值檢波器測(cè)量交流電壓時(shí)，平均值檢波器輸出正比于被測(cè)正弦電壓的平均值U，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：

式中，稱為定度系數(shù)。由于和均為無理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時(shí)，只好取近似公式

顯然兩者相比，就產(chǎn)生了誤差，這種由于計(jì)算公式的簡(jiǎn)化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。

方法誤差通常以系統(tǒng)誤差(主要是恒值系統(tǒng)誤差)形式表現(xiàn)出來。產(chǎn)生的原因：方法、理論、公式不當(dāng)或過于簡(jiǎn)化。解決方法：通過理論分析和計(jì)算或改變測(cè)量方法來加以消除或修正。

[例]

測(cè)量?jī)x表的負(fù)載效應(yīng)，現(xiàn)重畫于圖中。圖中虛框代表一臺(tái)輸入電阻Rv＝10MΩ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0.005％讀數(shù)±2個(gè)字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù)Uo＝l0.0025V。試分析儀器誤差和方法誤差。解；

即比值Rs/RV愈大，示值相對(duì)誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV＝10MΩ,Rs＝10kΩ代入得方法誤差：電壓表本身的儀器誤差

測(cè)得值Uo與實(shí)際值Us間有確定的函數(shù)關(guān)系，只要知道，那么這里的方法誤差可以得到修正。利用修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)，得到1.3誤差的分類

一、系統(tǒng)誤差

1、定義：在相同條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一被測(cè)參量時(shí)，測(cè)量誤差的大小和符號(hào)保持不變；或當(dāng)條件改變時(shí)，誤差按某種確定的規(guī)律變化，這種測(cè)量誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。恒定系差：系差的大小、符號(hào)不變而保持恒定。 變值系差：系差的大小、符號(hào)發(fā)生變化。 變值系差包括：累進(jìn)性系差 周期性系差 按復(fù)雜規(guī)律變化的系差

圖中描述了幾種不同系差的變化規(guī)律： 直線（a）表示恒定系差 直線（b）屬變值系差中累進(jìn)性系差（遞增）

曲線(c)表示周期性系差 曲線(d)屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差0

系統(tǒng)誤差的特征

2、主要特點(diǎn)：

①測(cè)量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測(cè)量取平均值的辦法不能改變或消除系差。

②條件改變，誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復(fù)性。

③只能用修正公式的辦法來減小系統(tǒng)誤差。

3、產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因：

（1）測(cè)量?jī)x器方面的因素：儀器設(shè)計(jì)原理的缺陷；儀器零件制造偏差和安裝不當(dāng)；元器件性能不穩(wěn)定等。如：把運(yùn)算放大器當(dāng)作理想運(yùn)放，由被忽略的輸入阻抗、輸出阻抗引起的誤差；刻度偏差及使用過程中的零點(diǎn)漂移等引起的誤差。（2）測(cè)量方法的因素：采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等引起的誤差。

(3)環(huán)境方面的因素：測(cè)量時(shí)的實(shí)際環(huán)境條件(溫度、濕度、大氣壓、電磁場(chǎng)等)相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境條件的偏差，測(cè)量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律變化引起的誤差。

(4)測(cè)量人員方面的因素：由于測(cè)量人員的個(gè)人特點(diǎn)，在刻度上估計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一方向；動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)，記錄快速變化信號(hào)有滯后的傾向。系差表明一個(gè)測(cè)量結(jié)果偏離真值的程度，常稱系統(tǒng)偏差，在誤差理論中，常用正確度表征系差的大小。系統(tǒng)誤差越小，測(cè)量的正確度高。

二、隨機(jī)誤差

1、定義：隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，在相同條件下多次重復(fù)測(cè)量同一被測(cè)參量時(shí)，測(cè)量誤差的大小與符號(hào)均無規(guī)律變化，這類誤差稱為隨機(jī)誤差。就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。

2、隨機(jī)誤差的特點(diǎn)

a、有界性

b、對(duì)稱性

c、抵償性

d、單峰性

的正態(tài)分布曲線由于隨機(jī)誤差的上述特點(diǎn)，可以通過對(duì)多次測(cè)量取平均值的辦法，來減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對(duì)隨機(jī)誤差加以處理。

表1．3—l是對(duì)某電阻進(jìn)行15次等精度測(cè)量的結(jié)果。表中Ri為第i次測(cè)得值，R為測(cè)得值的算術(shù)平均值，定義為殘差，由于電阻的真值R無法測(cè)得，我們用R

代替R，用ui表示隨機(jī)誤差的性質(zhì)。為了更直觀地考察測(cè)量值的分布規(guī)律，用圖1．3—2表示測(cè)量結(jié)果的分布情況，圖中小黑點(diǎn)代表各次測(cè)量值。表1.3—l圖1.3—3電阻測(cè)量值的隨機(jī)誤差由表1．3—l和圖1.3—3可以看出以下幾點(diǎn)：①所有隨機(jī)誤差的絕對(duì)值都沒有超過某一界限，反映了隨機(jī)誤差的有界性。②正誤差出現(xiàn)了7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機(jī)誤差的對(duì)稱性。

③∑vi＝0，正負(fù)誤差之和為零，反映了隨機(jī)誤差的抵償性。④誤差的絕對(duì)值介于(0，0．1)、(0．1，0．2)、(0．2，0．3)、(0．3，0．4)、(0．4，0．5)區(qū)間，大于0.5的個(gè)數(shù)分別為6、3、2、1、2個(gè)和1個(gè)，反映了絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，反映了隨機(jī)誤差的單峰性。這雖然僅是一個(gè)例子，但也基本反映出隨機(jī)誤差的一般特性。3、產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因：

(1)測(cè)量裝置方面的因素：儀器元器件產(chǎn)生的噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。

(2)環(huán)境方面的因素：溫度的微小波動(dòng)、濕度與氣壓的微量變化、光照強(qiáng)度變化、電源電壓的無規(guī)則波動(dòng)、電磁干擾、振動(dòng)等。

(3)測(cè)量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。

隨機(jī)誤差表示測(cè)量結(jié)果的分散性，用精密度表示隨差的大小。精密度越高，隨機(jī)誤差越小。隨差不能用修正或采取某種技術(shù)措施的辦法來消除。

三、粗大誤差

1、定義：在一定的測(cè)量條件下，測(cè)得值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差也稱為疏失誤差，簡(jiǎn)稱粗差。特點(diǎn)是誤差數(shù)值大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。

確認(rèn)含有粗差的測(cè)得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用。因?yàn)閴闹挡荒芊从潮粶y(cè)量的真實(shí)數(shù)值，我們通常研究的測(cè)量結(jié)果誤差中僅包含系統(tǒng)和隨機(jī)兩類誤差。

2、產(chǎn)生粗差的主要原因：

①測(cè)量方法不合理②讀錯(cuò)讀數(shù)③記錄錯(cuò)誤

④計(jì)算錯(cuò)誤⑤儀器故障⑥干擾等因素引起

除粗差較易判斷和處理外，在任何一次測(cè)量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的，需根據(jù)各自對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理：

①系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響，此時(shí)可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機(jī)誤差。

②系差極小或已得到修正，此時(shí)基本上可按純粹隨機(jī)誤差處理。③系差和隨機(jī)誤差相差不遠(yuǎn)，二者均不可忽略，此時(shí)應(yīng)分別按不同的辦法來處理，然后估計(jì)其最終的綜合影響。1.4隨機(jī)誤差分析

隨機(jī)誤差是在相同條件下對(duì)同一參量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)均發(fā)生變化。隨機(jī)誤差是由沒有規(guī)律的大量微小因素共同作用所產(chǎn)生的結(jié)果，因而這種變化沒有確定的規(guī)律也不能事先預(yù)知，不易掌握，也難以消除。

隨機(jī)誤差使測(cè)量數(shù)據(jù)產(chǎn)生分散，即偏離它的數(shù)學(xué)期望。因此對(duì)單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差的大小和符號(hào)都是不確定的，沒有規(guī)律性的；但隨機(jī)誤差具有隨機(jī)變量的一切特點(diǎn)，它的概率分布通常服從一定的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律。因此，在進(jìn)行多次測(cè)量后，可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，對(duì)其分布范圍做出估計(jì)，得到隨機(jī)影響的不確定度。

我們的任務(wù)就是要研究隨機(jī)誤差使測(cè)量數(shù)據(jù)按什么規(guī)律分布，多次測(cè)量的平均值有什么性質(zhì)，以及在實(shí)際測(cè)量中對(duì)于有限次的測(cè)量，如何根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的分布情況，估計(jì)出被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望、方差和被測(cè)量的真值出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率等?？傊?，我們是用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來研究隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的影響，并用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，從而克服或減少隨機(jī)誤差的影響。

一、測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1．?dāng)?shù)學(xué)期望設(shè)對(duì)被測(cè)量x進(jìn)行n次等精度測(cè)量，得到n個(gè)測(cè)得值，由于隨機(jī)誤差的存在，這些測(cè)得值也是隨機(jī)變量。定義n個(gè)測(cè)得值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為式中也稱作樣本平均值。

當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，樣本平均值的極限定義為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望式中稱作總體平均值。

假設(shè)上面的測(cè)得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測(cè)量得到的測(cè)得值xi與真值之間的絕對(duì)誤差就等于隨機(jī)誤差

對(duì)于有限次測(cè)量，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值：當(dāng)時(shí)，上式中第一項(xiàng)即為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望Ex，

當(dāng)時(shí)，上式中第一項(xiàng)即為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望Ex，所以

由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n趨于無限大時(shí)，趨于零：

即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零，即即測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量真值A(chǔ)。

實(shí)際上不可能做到無限多次的測(cè)量，對(duì)于有限次測(cè)量，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為

在實(shí)際測(cè)量中，采用某些技術(shù)措施基本消除系統(tǒng)誤差的影響并且剔除粗大誤差后，雖然有隨機(jī)誤差存在，但可以用多次測(cè)量值的算術(shù)平均值作為最后測(cè)量結(jié)果，并稱之為被測(cè)量的最佳估值或最可信賴值。

2．剩余誤差

當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，各次測(cè)得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：對(duì)上式兩邊分別求和，有

當(dāng)n足夠大時(shí)，殘差的代數(shù)和為零，這一性質(zhì)可用來檢驗(yàn)計(jì)算的算術(shù)平均值是否正確。

3．方差與標(biāo)準(zhǔn)差

隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測(cè)量的精密度即測(cè)量值的分散程度。由于隨機(jī)誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計(jì)測(cè)量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。方差定義為時(shí)測(cè)量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值，即

因隨機(jī)誤差，故

δ取平方的目的是，不論δ是正是負(fù)，其平方總是正的，這樣取平方后再進(jìn)行平均才不會(huì)使正負(fù)方向的誤差相互抵消，從而可以用來描述隨機(jī)誤差的分散程度。且求和取平均后，個(gè)別較大的誤差在式中所占的比例也較大，使得方差對(duì)較大的隨機(jī)誤差反映較靈敏所以它是表征精密度的參數(shù)。二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布1．正態(tài)分布

（1）在大多數(shù)情況下，測(cè)得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對(duì)期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。（2）隨機(jī)誤差等于零的出現(xiàn)概率最大，隨著隨機(jī)誤差絕對(duì)值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測(cè)得值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布。

設(shè)測(cè)量值xi落在區(qū)間（x，x+dx）內(nèi)的概率為P（x<xi<x+dx)，當(dāng)△x→0，P與△x的比值的極限存在，即則P（x）為測(cè)量值在x點(diǎn)上的概率密度函數(shù)。對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，有對(duì)于正態(tài)分布的xi，其概率密度函數(shù)為的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線

由圖1．4-2可以看到如下特征：①

愈小，愈大，說明絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，隨著的加大，很快趨于零，即超過一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn)(隨機(jī)誤差的有界性)。

②大小相等符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機(jī)誤差的對(duì)稱性和抵償性)。

③

愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測(cè)得值愈集中，精密度高；反之愈大，曲線愈平坦，表明測(cè)得值分散，精密度低。正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨(dú)立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號(hào)源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。小結(jié)：隨機(jī)誤差

①有界性：絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零，即隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定界限。②對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。③抵償性：當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，全部誤差的代數(shù)和趨于零。

④單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。

2、非正態(tài)分布測(cè)量中的隨機(jī)誤差除了大量滿足正態(tài)分布外，還有一些不滿足正態(tài)分布，統(tǒng)稱為非正態(tài)分布。常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。其中均勻分布的應(yīng)用僅次于正態(tài)分布。表中列出了三種分布的概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)差和適用條件。可以看出，這三種分布都服從對(duì)稱性、有界性和抵償性。

表2-2幾種常見的非正態(tài)分布

3．極限誤差對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差落在區(qū)間的概率為同樣可以求得隨機(jī)誤差落在和范圍內(nèi)的概率為：

隨機(jī)誤差絕對(duì)值大于3σ的概率(可能性)僅為0.003或0.3％，實(shí)際上出現(xiàn)的可能極小，因此定義

如果在測(cè)量次數(shù)較多的等精度測(cè)量中，出現(xiàn)時(shí)，必須予以仔細(xì)考慮。通常將的測(cè)得值判為壞值，予以剔除。壞值判別準(zhǔn)則---------萊特準(zhǔn)則適用條件：（1）萊特準(zhǔn)則只適用于測(cè)量次數(shù)較多（n>25）、測(cè)量誤差分布接近正態(tài)分布的情況使用。（2）當(dāng)?shù)染葴y(cè)量次數(shù)較少（n≤20）時(shí)，采用基于正態(tài)分布的萊特準(zhǔn)則，其可靠性將變差，且容易造成鑒別值界限太寬而無法發(fā)現(xiàn)壞值。（3）當(dāng)測(cè)量次數(shù)n<10時(shí)，萊特準(zhǔn)則將徹底失效，不能判別任何粗大誤差。萊特準(zhǔn)則：n次等精度測(cè)量，X1、X2…….Xn，若此Xi值為壞值，予以剔除。1、有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值被測(cè)量x的數(shù)學(xué)期望就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，各次測(cè)量值的算術(shù)平均值。在實(shí)際等精度測(cè)量中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n為有限次時(shí)，常用算術(shù)平均值作為被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望或被測(cè)量的估計(jì)值，用

表示，即三.有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值

可以證明，算術(shù)平均值是被測(cè)量數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)值和一致估計(jì)值。

用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果是否可以減小隨機(jī)誤差的影響呢？我們可以通過計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來回答這個(gè)問題。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限時(shí)，統(tǒng)計(jì)特征本質(zhì)上是隨機(jī)的，所以，所有算術(shù)平均值本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)變量之和的分布仍然是正態(tài)分布的理論，也屬于正態(tài)分布。

2．算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量分成m組，每組重復(fù)n次測(cè)量，則每組測(cè)得值都有一個(gè)平均值。由于隨機(jī)誤差的存在,這些平均值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。

由概率論中方差運(yùn)算法則，可求出算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

根據(jù)概率論中“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè)隨機(jī)變量方差之和”的定理可推導(dǎo)出的方差為

即

n次測(cè)量值的算術(shù)平均值的方差是總體或單次測(cè)量值的方差的1／n，或者說算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差的1/倍。這是由于隨機(jī)誤差的抵償性，在計(jì)算的求和過程中，正負(fù)誤差相互抵消；測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所以，用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差的影響。3.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值（貝塞爾公式）隨機(jī)誤差，其中xi為第i次測(cè)得值，A為真值，為xi的數(shù)學(xué)期望，且

采用測(cè)量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差來表征測(cè)量值的分散程度

當(dāng)n為有限值時(shí)，用殘差來近似或代替真正的隨機(jī)誤差

對(duì)νi求和，則得到

貝塞爾公式適用于有限次等精度測(cè)量。在n為有限值時(shí)，用貝塞爾公式計(jì)算的結(jié)果仍然是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個(gè)估計(jì)值，用符號(hào)

表示有限次測(cè)量時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)值，即

或小結(jié)：

在有限次分組測(cè)量中，以表示各組算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值

因?yàn)閷?shí)際測(cè)量中n只能是有限值，所以就將和叫作測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測(cè)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差?；驕y(cè)量平均值標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計(jì)值:

(平均值離散程度表征)測(cè)量平均值標(biāo)準(zhǔn)差:（有限次測(cè)量）下面列出前面所定義的各種標(biāo)準(zhǔn)差的符號(hào)公式及所表示的不同意義，以便在使用時(shí)不致于混淆?？傮w測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)差:(測(cè)量值離散程度表征)

總體測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計(jì)值:（有限次測(cè)量）四、有限次測(cè)量下測(cè)量結(jié)果的表達(dá)

對(duì)于精密測(cè)量，常進(jìn)行多次等精度測(cè)量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測(cè)量結(jié)果中剔除壞值后，測(cè)量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行：

1、列出測(cè)量數(shù)據(jù)表；

2、計(jì)算算術(shù)平均值，殘差及；

3、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值；

4、按萊特準(zhǔn)則判斷有無壞值。有壞值予以剔除，然后重復(fù)1-4步，直到無壞值為止（每次只能剔除一個(gè)壞值）

5、計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

6、最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式：

[例]

用電壓表對(duì)某一電壓測(cè)量10次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測(cè)得數(shù)據(jù)及有關(guān)計(jì)算值如表，試給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。解：計(jì)算得到，表示的計(jì)算正確。進(jìn)一步計(jì)算得到：因此該電壓的最終測(cè)量結(jié)果為1.5系統(tǒng)誤差分析

一、系統(tǒng)誤差的特性

排除粗差后，測(cè)量誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和

假設(shè)進(jìn)行n次等精度測(cè)量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即，則的算術(shù)平均值為

當(dāng)n足夠大時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性，的算術(shù)平均值趨于零，得到

若測(cè)量次數(shù)足夠多，則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差。這說明測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。

系差最顯著的特點(diǎn)就是在一定的條件下，其數(shù)值服從某一確定的函數(shù)規(guī)律。這個(gè)規(guī)律原則上可以結(jié)合有關(guān)專業(yè)知識(shí)，通過理論分析和實(shí)驗(yàn)的方法加以掌握，由于系差的特點(diǎn)，因此在處理方法上與隨差截然不同。雖然系差是一種按確切函數(shù)規(guī)律變化的誤差，但由于常常涉及到具體測(cè)量對(duì)象及原理的分析，因此在許多情況下處理起來往往比沒有確切的規(guī)律的隨差還要困難。由于系差伴隨著隨差同時(shí)出現(xiàn)，因此在不同程度上對(duì)隨差的分布產(chǎn)生影響，因此可以根據(jù)隨差被影響的程度來推測(cè)被測(cè)量中是否含有不可忽視的系差，這就是用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論研究系差的方法。二、系統(tǒng)誤差的判斷1．理論分析法因測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的系差，可理論計(jì)算及分析的方法加以修正。

2．校準(zhǔn)和比對(duì)法

常用校準(zhǔn)的方法來檢查恒定系統(tǒng)誤差是否存在，通常用標(biāo)準(zhǔn)儀器或標(biāo)準(zhǔn)裝置來發(fā)現(xiàn)并確定系統(tǒng)誤差的數(shù)值，或依據(jù)儀器說明書上的修正值，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。還可用實(shí)驗(yàn)比對(duì)的方法來判斷是否存在不變的系統(tǒng)誤差，即改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進(jìn)行不同的測(cè)量。例如，用兩臺(tái)儀器對(duì)同一量分別進(jìn)行多次測(cè)量，然后分別計(jì)算平均值，若兩個(gè)平均值相差較大，可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。

3、改變測(cè)量條件法有些恒值系差在一定條件下為確定不變的值，當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)為另一恒定的值，即屬于隨測(cè)量條件改變的恒值系差。利用這一特性，有意改變測(cè)量條件（更換測(cè)量人員、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量方法等），分別測(cè)出兩組數(shù)據(jù)，然后比較二者差異，便可判斷是否有系差。

系統(tǒng)誤差的判斷4．殘差觀察法

將所測(cè)得的數(shù)據(jù)及其殘差按測(cè)得的先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號(hào)的變化情況，從而判斷是否存在系統(tǒng)誤差及其規(guī)律。但此方法只適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況，當(dāng)系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差小時(shí)，就不能通過殘差法來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

為了直觀，通常將剩余誤差制成曲線，如圖1．5—1所示： 圖(a)表示剩余誤差大體上正負(fù)相同，無明顯變 化規(guī)律，可以認(rèn)為不存在系差；

圖(b)呈現(xiàn)線性遞增規(guī)律，可認(rèn)為存在累進(jìn)性系差； 圖(c)中大小和符號(hào)大體呈現(xiàn)周期性，可認(rèn)為存 在周期性系差； 圖(d)變化規(guī)律復(fù)雜，大體上可認(rèn)為同時(shí)存在線性遞 增的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。

剩余誤差法主要用來發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。5．公式判斷法通常有馬林科夫判據(jù)和阿卑—赫梅特判據(jù)，可分別用來判定有無累進(jìn)性系差和周期性系差。（1）馬林科夫判據(jù)（累進(jìn)性系差）對(duì)某物理量進(jìn)行n次等精度測(cè)量，A、測(cè)量數(shù)據(jù)按先后順序排列：X1、X2、……..XnB、測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差按先后順序排列：V1、V2、….VnC、若n為偶數(shù)前后各半，若為奇數(shù)中間值可不要，求出差值：n為偶數(shù)：n為奇數(shù)：判斷：若則有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差。（2）阿卑—赫梅特判據(jù)（周期性系差）對(duì)某物理量進(jìn)行n次等精度測(cè)量，A、測(cè)量數(shù)據(jù)按先后順序排列：X1、X2、……..XnB、測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差按先后順序排列：V1、V2、….Vn判斷：若則有周期性系統(tǒng)誤差。三、減小系統(tǒng)誤差的方法1、針對(duì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因采取對(duì)應(yīng)措施，消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源1）依據(jù)正確的原理，采用正確的測(cè)量方法2）選擇正確的和滿足測(cè)量準(zhǔn)確度要求的儀表3）采用數(shù)字顯示儀器，減小由于刻度不準(zhǔn)及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng)誤差。

4）測(cè)量?jī)x器定期檢定、校準(zhǔn)，測(cè)量前要正確調(diào)節(jié)零點(diǎn)，應(yīng)按操作規(guī)程正確使用儀器。精密測(cè)量，測(cè)量環(huán)境的影響不能忽視，必要時(shí)應(yīng)采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。5）提高測(cè)量人員的素質(zhì)，消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。2、利用修正值或修正因數(shù)加以消除修正法是預(yù)先通過檢定、校準(zhǔn)或計(jì)算得出測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差的估計(jì)值，作出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同、方向相反的值作為修正值，將實(shí)際測(cè)量結(jié)果加上相應(yīng)的修正值，即可得到已修正的測(cè)量結(jié)果。實(shí)際測(cè)量中，可根據(jù)測(cè)量?jī)x器檢定書中已經(jīng)給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對(duì)測(cè)得值進(jìn)行修正，是常用的消除系統(tǒng)誤差的辦法。

如米尺的實(shí)際尺寸不等于標(biāo)稱尺寸，若按照標(biāo)稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此，應(yīng)按經(jīng)過檢定得到的尺寸校準(zhǔn)值(即將標(biāo)稱尺寸加上修正值)使用，即可減少系統(tǒng)誤差。值得注意的是，修正不可能達(dá)到理想，因此系統(tǒng)誤差不可能完全消除。

3、削弱恒值系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)

削弱和消除恒值系差的測(cè)量技術(shù)，比較典型的有：零示法、代替法、交換法（對(duì)照法）、微差法（1）零示法將被測(cè)量與已知量標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)兩者的效應(yīng)相互抵消時(shí)，指零儀器示值為0，到達(dá)平衡，這時(shí)已知量的數(shù)值就是被測(cè)量的數(shù)值平衡狀態(tài)判斷準(zhǔn)確與否，取決于指示器的靈敏度。電位差計(jì)是采用零示法的典型例子，其中Es為標(biāo)準(zhǔn)電壓源，RS為標(biāo)準(zhǔn)電阻，Ux為待測(cè)電壓，p為零示器，一般用檢流計(jì)。調(diào)RS使ID＝0，則被測(cè)電壓Ux＝Us，即被測(cè)量Ux的數(shù)值僅與標(biāo)準(zhǔn)電壓源Es及標(biāo)準(zhǔn)電阻R2、Rl有關(guān)，只要標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度很高，被測(cè)量的測(cè)量準(zhǔn)確度也就很高。零示法廣泛用于阻抗測(cè)量(各類電橋)、電壓測(cè)量(電位差計(jì)及數(shù)字電壓表)、頻率測(cè)量(拍頻法、差頻法)及其他參數(shù)的測(cè)量中。（2）替代法（置換法）在一定的測(cè)量條件下，選擇一個(gè)適當(dāng)大小的標(biāo)準(zhǔn)已知量去替代測(cè)量電路中原來接入的被測(cè)物理量，并保證儀器的示值不變，則被測(cè)量的數(shù)值等于標(biāo)準(zhǔn)已知量。 由于替代前后整個(gè)測(cè)量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測(cè)量中的恒定系差對(duì)測(cè)量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測(cè)量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器靈敏度。

替代法測(cè)量電阻替代法在精密電阻電橋中的應(yīng)用實(shí)例。

首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡，此時(shí)有

由于都有誤差，若利用它們的標(biāo)稱值來計(jì)算Rx，則Rx也帶有誤差，即進(jìn)一步計(jì)算，得到

為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻RS代替Rx，并在保持不變的情形下通過調(diào)節(jié)RS

，使電橋重新平衡，因而得到

可見測(cè)量誤差△RS

，僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差△RS，而與的誤差無關(guān)。

（3）交換法（對(duì)照法）適于在對(duì)稱的測(cè)量裝置中用來檢查其對(duì)稱性是否良好，或從兩次測(cè)量結(jié)果的處理中，消弱或消除系統(tǒng)誤差。以等臂電橋?yàn)槔f明這種方法。

對(duì)照法測(cè)電阻

（a)電橋平衡時(shí)：當(dāng)R1，R2有誤差△R1，△R2時(shí)

(b)交換位置，調(diào)節(jié)Rs使電橋至平衡。設(shè)此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs2

如果，則(等臂電橋)

x的示值相對(duì)誤差為由于

，所以

，又由于

，所以（4）微差法

微差法又叫虛零法或差值比較法，實(shí)質(zhì)上是一種不徹底的零示法。微差法是允許標(biāo)準(zhǔn)量s與被測(cè)量x的效應(yīng)不完全抵消，而是相差一微小量，來得到待測(cè)量【例】利用微差法測(cè)量一個(gè)10V電源，使用9V標(biāo)稱相對(duì)誤差±0.1%的穩(wěn)壓源和一只準(zhǔn)確度為S的電壓表，如圖所示。要求測(cè)量誤差±0.5%,問：S=？4、削弱和消除變值系統(tǒng)誤差的測(cè)量技術(shù)（1）采用交叉讀數(shù)法減小線性系統(tǒng)誤差（累進(jìn)型系統(tǒng)誤差）

交叉讀數(shù)法（對(duì)稱測(cè)量法、對(duì)稱讀數(shù)法）：在時(shí)間上將測(cè)量順序等間隔對(duì)稱安排，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次交叉讀入測(cè)量值，然后取其算術(shù)平均值作為測(cè)量值，即可有效地減小測(cè)量的線性系統(tǒng)誤差（累進(jìn)型系統(tǒng)誤差）。

（2）采用半周期法減小周期性系統(tǒng)誤差

對(duì)周期性系統(tǒng)誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行一次測(cè)量，如圖2-2所示。

取兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值，即可有效地減小周期性系統(tǒng)誤差。因?yàn)橄嗖畎胫芷诘膬纱螠y(cè)量，其誤差在理論上具有大小相等、符號(hào)相反的特征，所以這種方法在理論上能很好地減小和消除周期性系統(tǒng)誤差。5、消除或削弱系統(tǒng)誤差的其他方法

（1）系統(tǒng)誤差的隨機(jī)化處理利用同一類型測(cè)量?jī)x器的系統(tǒng)誤差具有隨機(jī)特性的特點(diǎn)，對(duì)同一被測(cè)量用多臺(tái)儀器進(jìn)行測(cè)量，取各臺(tái)儀器測(cè)量值的平均值做為測(cè)量結(jié)果。此外，某些按復(fù)雜規(guī)律變化的系差也可按隨差的處理方法處理。（2）智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除在智能儀器中，可利用微處理器的計(jì)算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。直流零位校準(zhǔn)、自動(dòng)校準(zhǔn)四、系統(tǒng)誤差的消除準(zhǔn)則

無論采用什么方法,都不能完全把系統(tǒng)誤差消除干凈,終會(huì)殘留一部分系差。設(shè)最后殘留的系差為,根據(jù)保留有效數(shù)字的四舍五入原則,只有當(dāng)︳︳不超過總誤差的有效數(shù)字最后一位所在單位的一半時(shí),即可舍去不計(jì),則推出消除系差的具體準(zhǔn)則為當(dāng)誤差用兩位有效數(shù)字表示時(shí):

︳︳＜當(dāng)誤差用一位有效數(shù)字表示時(shí):1.6系統(tǒng)誤差的合成

在測(cè)量中通?？梢杂孟到y(tǒng)誤差ε及隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ(x)來反映測(cè)量結(jié)果的正確度和精密度，在國(guó)際通用計(jì)量學(xué)術(shù)語(yǔ)中，用測(cè)量不確定度來表征被測(cè)量之值可能的分散程度，即測(cè)量結(jié)果的誤差大小。但是，在實(shí)際測(cè)量中，誤差常常來源于很多方面。例如用n個(gè)電阻串聯(lián)，則總電阻的誤差大小就與每個(gè)電阻的誤差大小有關(guān)。

又如，用間接法測(cè)電阻上的功率，通常只需測(cè)得這個(gè)電阻的阻值、電壓、電流這三項(xiàng)中的兩項(xiàng)，然后計(jì)算電阻消耗的功率。這時(shí)，功率的誤差就與各直接測(cè)量量的誤差有關(guān)。不管某項(xiàng)誤差是由若干因素產(chǎn)生的還是由于間接測(cè)量產(chǎn)生的，只要某項(xiàng)誤差與若干分項(xiàng)有關(guān)，這項(xiàng)誤差就叫總誤差，各分項(xiàng)的誤差叫分項(xiàng)誤差或部分誤差。

在測(cè)量工作中，常常需要從以下兩個(gè)方面考慮總誤差與分項(xiàng)誤差的關(guān)系：一方面是如何根據(jù)各分項(xiàng)誤差來確定總誤差，即誤差合成問題；另一方面，當(dāng)技術(shù)上對(duì)某量的總誤差限定一定范圍以后，如何確定各分項(xiàng)誤差的數(shù)值，即誤差的分配問題。正確地解決這兩個(gè)問題可以指導(dǎo)我們?cè)O(shè)計(jì)出最佳的測(cè)量方案。在注重測(cè)量經(jīng)濟(jì)、簡(jiǎn)便的同時(shí)，提高測(cè)量的準(zhǔn)確度，使測(cè)量總誤差降低到最小。

一、

誤差傳遞公式

誤差的合成是研究如何根據(jù)分項(xiàng)誤差求總誤差的問題。由于分項(xiàng)與總項(xiàng)的函數(shù)關(guān)系是各種各樣的，例如可以是和差關(guān)系、積商關(guān)系、乘開方關(guān)系、指數(shù)對(duì)數(shù)關(guān)系等等，只給出一個(gè)普遍適用的公式——誤差傳遞公式。

設(shè)最終測(cè)量結(jié)果為y，各分項(xiàng)測(cè)量值為

它們滿足函數(shù)關(guān)系

設(shè)各xi間彼此獨(dú)立，xi絕對(duì)誤差為△xi

，y的絕對(duì)誤差為△y，則由泰勒級(jí)數(shù)展開略去上式右邊高階項(xiàng)，得因此

已知各分項(xiàng)誤差，并有確定的函數(shù)時(shí)，可以分析和計(jì)算總的合成誤差。

在實(shí)際應(yīng)用中，各分項(xiàng)誤差的符號(hào)不定，通常采用保守的辦法估算誤差絕對(duì)誤差傳遞公式相對(duì)誤差傳遞公式類似，可以得到：

二、常用函數(shù)的合成誤差

1．和差函數(shù)的合成誤差設(shè)兩式相減得絕對(duì)誤差當(dāng)△x1、△x2符號(hào)不能確定時(shí)，有相對(duì)誤差

[例]

電阻R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，相對(duì)誤差均為±5％，求串聯(lián)后總的相對(duì)誤差。解：串聯(lián)后電阻串聯(lián)后電阻的相對(duì)誤差

[例]

用指針式頻率計(jì)測(cè)量放大電路的頻帶寬度，儀器的滿度值fm＝10MHz，準(zhǔn)確度±1％，測(cè)得高端截止頻率fh＝10MHz，低端截止頻率fl＝9MHz，試計(jì)算頻帶寬度的合成誤差?

解：儀器的最大絕對(duì)誤差即頻帶寬度的相對(duì)誤差

由此可見，所用儀器為1.0級(jí)，準(zhǔn)確度已很高，但最終測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差卻很大。這是由于fk、fl比較接近的緣故，屬于測(cè)量方法不當(dāng)(差函數(shù)慎用)，應(yīng)利用掃頻儀等來測(cè)量。

2．積函數(shù)的合成誤差設(shè)，絕對(duì)誤差為相對(duì)誤差

[例]

已知電阻上電壓及電流的相對(duì)誤差分別為則功率的，計(jì)算功率，則P的相對(duì)誤差是多少?

解：由積函數(shù)誤差合成公式得

3．商函數(shù)的合成誤差設(shè)絕對(duì)誤差分別為若都帶有正負(fù)號(hào)，則相對(duì)誤差

[例]

用間接法測(cè)電阻上直流電流。已知電阻lkΩ

，標(biāo)稱值相對(duì)誤差，電壓表測(cè)得該電阻端電壓U＝2.0V，相對(duì)誤差。求流過該電流I及其相對(duì)誤差。解得相對(duì)誤差

4.冪函數(shù)的合成誤差設(shè)為常數(shù)，將積函數(shù)的合成誤差公式略加推廣得當(dāng)帶有正負(fù)號(hào)時(shí)

[例]

電流流過電阻產(chǎn)生的熱量Q＝0.24I2Rt，若已知求。

解：直接引用式(2．6-14)、(2．6-19)結(jié)論，有

5．積商冪函數(shù)的合成誤差設(shè)，式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得到當(dāng)都有正負(fù)號(hào)時(shí)，有

[例]

用電橋法測(cè)電阻，，已知