新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-4-1平面課件新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.了解平面的概念，會(huì)用圖形與字母表示平面直觀想象2.能用符號(hào)語(yǔ)言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直觀想象3.了解基本事實(shí)1,2,3，理解基本事實(shí)1,2,3的地位與作用直觀想象、邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|1．平面的概念幾何里所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．幾何里的平面是________________的．2．平面的畫法(1)我們常用___________表示平面，當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成____向，當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形一邊畫成_____向．水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍．如圖1.平面向四周無(wú)限延展平行四邊形橫豎(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用______畫出來(lái)．如圖2.3．平面的表示法圖1的平面可表示為______、__________、________或________．虛線平面α平面ABCD平面AC平面BD【預(yù)習(xí)自測(cè)】下列說(shuō)法：①書桌面是平面；②8個(gè)平面重疊后，要比6個(gè)平面重疊后厚；③有一個(gè)平面的長(zhǎng)是100m，寬是90m；④平面是絕對(duì)平滑，無(wú)厚度，無(wú)限延展的抽象概念．其中正確的個(gè)數(shù)為 (

)A．0

B．1

C．2

D．3【答案】B【解析】①錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫婢哂醒诱剐?；②錯(cuò)誤，平面無(wú)厚度；③錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫鏌o(wú)厚度、大小之分；④正確，符合平面的概念．平面的基本性質(zhì)不在一條直線上兩點(diǎn)l?α公共直線α∩β＝l，且P∈l公共直線α∩β＝l，且P∈l特別提醒三個(gè)推論：推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面． (

)(2)一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面． (

)(3)四邊形是平面圖形． (

)(4)兩條相交直線可以確定一個(gè)平面． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√【解析】(1)不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．(2)一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．(3)四邊形不一定是平面圖形．(4)兩條相交直線可以確定一個(gè)平面．|課堂互動(dòng)|

用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上．素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了直觀想象的核心素養(yǎng)．題型1立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化

用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上．素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了直觀想象的核心素養(yǎng)．題型1立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化解：(1)用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖1.(2)用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖2.三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換的注意點(diǎn)(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先注意觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．(3)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．1．用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形：(1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．解：(1)符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖1.(2)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖2.

如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a.求證：PQ?α.素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．題型2點(diǎn)線共面問(wèn)題·證明：∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個(gè)平面β.∴直線a?β，點(diǎn)P∈β.∵P∈b，b?α，∴P∈α.又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α.解決點(diǎn)線共面問(wèn)題的基本方法2．求證：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．解：已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求證：直線AB，BC，AC共面．證明：(方法一)因?yàn)锳C∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锽∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α.因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，所以直線AB，BC，AC共面．(方法二)因?yàn)锳不在直線BC上，所以點(diǎn)A和直線BC可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锽∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．(方法三)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，所以A，B，C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈α，B∈α，所以AB?α.同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．

如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．素養(yǎng)點(diǎn)睛：本題考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．題型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題證明：因?yàn)樘菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)．設(shè)AB∩CD＝M.又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.即AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．【例題遷移】(變換條件和問(wèn)法)本例變?yōu)椋喝鐖D所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上．證明：若EF，GH交于一點(diǎn)P，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．又因?yàn)镋F?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD．由基本事實(shí)3可得P∈BD．證明點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在此直線上．證明三線共點(diǎn)的步驟(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn)．(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交．(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)．3．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．證明：∵AB∥CD，∴AB，CD確定一個(gè)平面β.又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，即E為平面α與平面β的一個(gè)公共點(diǎn)．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)．∵兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．

已知A，B，C，D，E五點(diǎn)中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面嗎？錯(cuò)解：A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面．因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在B，C，D所確定的平面內(nèi)．因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)．所以點(diǎn)A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面．易錯(cuò)警示應(yīng)用公理或其推論時(shí)忽略條件致誤易錯(cuò)防范：錯(cuò)解忽略了基本事實(shí)1中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這個(gè)重要條件．實(shí)際上B，C，D三點(diǎn)有可能共線．正解：(1)如果B，C，D三點(diǎn)不共線，則B、C、D三點(diǎn)確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)．因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E在平面α內(nèi)．所以點(diǎn)A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面．(2)如果B，C，D三點(diǎn)共線于l，若A∈l，E∈l，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面；若A，E中有且只有一個(gè)在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)可能不共面．|素養(yǎng)達(dá)成|1．立體幾何的三種語(yǔ)言(體現(xiàn)邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng))．圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言是立體幾何的三大語(yǔ)言，要準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換．2．三個(gè)基本事實(shí)的作用：基本事實(shí)1——判定點(diǎn)共面、線共面的依據(jù)；基本事實(shí)2——判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實(shí)3——判定點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的依據(jù)．3．證明幾點(diǎn)共線的方法：首先考慮兩個(gè)平面的交線，再證有關(guān)的點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．或先由某兩點(diǎn)作一條直線，再證明其他點(diǎn)也在這條直線上．1．下列說(shuō)法中正確的是 (

)A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．兩個(gè)不同平面α和β有不在同一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)【答案】C【解析】不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A不正確；四邊形有時(shí)指空間四邊形，故B不正確；梯形的上底和下底平行，可以確定一個(gè)平面，故C正確；兩個(gè)平面如果相交，一定有一條交線，所有這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)都在這條交線上，故D不正確．故選C．2．用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”，正確的是 (

)A．A∈l，l?α

B．A∈l，l?αC．A?l，l?α

D．A?l，l?α【答案】B【解析】點(diǎn)與直線，直線與平面間的關(guān)系分別用“∈或?”和“?或?”表示．3．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________.【答案】C【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB．∴AB∩β＝C．4．有以下三個(gè)說(shuō)法：①平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)；②直線l在平面α內(nèi)，可以用符號(hào)“l(fā)∈α”表示；③已知平面α與β不重合，若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交．其中正確的序號(hào)是________．【答案】①③【解析】若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則這條直線一定在這個(gè)平面內(nèi)，故①正確；直線l在平面α內(nèi)用符號(hào)“?”表示，即l?α，②錯(cuò)誤；由a與b相交，說(shuō)明兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，因此一定相交，故③正確．5．如圖所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D與B，C分別在平面α的兩側(cè)，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．證明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可確定一個(gè)平面，設(shè)為β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC?β，BD?β.∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三點(diǎn)是平面α與平面β的公共點(diǎn)．∴P，Q，R都在α與β的交線上，故P，Q，R三點(diǎn)共線．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng)