新人教版高中數(shù)學(xué)必須第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)學(xué)案

平面向量的概念

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向

平面向量的相關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象

量的相關(guān)概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的幾何表示數(shù)學(xué)抽象

概念

理解兩個(gè)向量相等的含義以及共線向量

相等向量與共線向量數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

的概念

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P2—P4的內(nèi)容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？

2.怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個(gè)向量（向量的模）能否比較大小？

4.如何判斷相等向量或共線向量？向量牯與向量或是相等向量嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

向量的相關(guān)概念

例1：給出下列命題：

①若通=氏,則A,B,C,。四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；

②在中，一定有油=成；

③若a=A,b=c,則a=c.

其中所有正確命題的序號為.

解析：磋=a,A,B,C,。四點(diǎn)可能在同一條直線上，故①不正確；在中，|曲

|=|Dt|,牯與成平行且方向相同，故息=況，故②正確；a=b,則⑷=步|,且Q與。的方向

相同；b=c,則向=|c|,且力與c的方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故a=c,故③

正確.

答案：②③

探究點(diǎn)2：

向量的表示

例2：在如圖所示的坐標(biāo)紙上（每個(gè)小方格的邊長為1）,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

（1）0X,使|3|=4啦，點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東45。方向上；

（2）Ah,使|砌=4,點(diǎn)8在點(diǎn)A正東方向上；

（3）Bt,使|覺|=6,點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30。方向上.

解：（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45。方向上，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)。的橫向小方格

數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又|以|=4啦，小方格的邊長為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)

與縱向小方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)A的位置可以確定，畫出向量浪，如圖所示.

（2）由于點(diǎn)8在點(diǎn)A正東方向上，且|曲|=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)8距點(diǎn)A的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)8的位置可以確定，畫出向量感，如圖所示.

（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30。方向上，且|覺|=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標(biāo)紙上點(diǎn)

C距點(diǎn)8的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為34=5.2,于是點(diǎn)。的位置可以確定，畫出向

量炭1,如圖所示.

探究點(diǎn)3：

共線向量與相等向量

例3：如圖所示，。是正六邊形A3CDEF的中心，且SA=a,O^=b,在每兩點(diǎn)所確定的

向量中.

（1）與。的長度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）與a共線的向量有哪些？

解：（1）與a的長度相等、方向相反的向量有仍，Bt,Ab,Fk.

(2)與a共線的向量有戲，Bt,Ob,Ft,Ch,Db,Ab,DX,Ab.

互動(dòng)探究

1.變條件、變問法：本例中若龍=c,其他條件不變，試分別寫出與a,b,c相等的向

量.

解：與a相等的向量有毋，Dt),逸；與方相等的向量有戊，Eb,苗；與c相等的向量

有劭，Eb,晶.

2.變問法：本例條件不變，與勸共線的向量有哪些？

解：與勸共線的向量有防，Bt,ob,Ft,ch,Db,Ab,DX,ok.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.向量的概念及表示

(1)概念：既有大小又有方向的量.

(2)有向線段

①定義：具有方向的線段.

②三個(gè)要素：起點(diǎn)、方囪、長度.

③表示：在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點(diǎn)、8為終點(diǎn)的有向線段

記作曲.

④長度：線段A3的是度也叫做有向線段油的長度，記作曲.

(3)向量的表示

■名師點(diǎn)撥

(1)判斷一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個(gè)因素.

(2)用有向線段表示向量時(shí)，要注意感的方向是由點(diǎn)A指向點(diǎn)8,點(diǎn)A是向量的起點(diǎn)，

點(diǎn)8是向量的終點(diǎn).

2.向量的有關(guān)概念

(1)向量的模(長度)：向量超的大小，稱為向量息的長度(或稱模)，記作?1.

(2)零向量：長度為。的向量，記作0.

(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.

3.兩個(gè)向量間的關(guān)系

(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量.若a,力是平行向量，記

作■a//b.

規(guī)定：零向量與任意向量平行,即對任意向量。，都有0〃”.

（2）相等向量：長度相等且方向相同的向量,若）是相等向量，記作4=4

■名師點(diǎn)撥

（1）平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒有區(qū)別.

（2）共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同.

（3）平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

四、精煉反饋

1.如圖，在%BCD中，點(diǎn)E,尸分別是4?,CD的中點(diǎn)，圖中與版平行的向量的個(gè)數(shù)為

（）

AER

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.圖中與金平行的向量為理，F(xiàn)b,危共3個(gè).

2.下列結(jié)論中正確的是（）

①若a〃、且|a|=|例，則a=b；

②若a=b,則a〃。且同=|加；

③若。與方方向相同且|a尸血，則a=A；

④若。孫，則a與下方向相反且|a罔加.

A.①③B.②③

C.③④D.②④

解析：選B.兩個(gè)向量相等需同向等長，反之也成立，故①錯(cuò)誤，a,8可能反向；②③正

確；④兩向量不相等，可能是不同向或者長度不相等或者不同向且長度不相等.

3.已知。是正方形ABCO對角線的交點(diǎn)，在以0,A,B,C,。這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起

點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，寫出：

（1）與配相等的向量；

（2）與防長度相等的向量；

（3）與用共線的向量.

解：畫出圖形，如圖所示.

(1)易知3C〃A。，BC=AD,

所以與反1相等的向量為At).

(2)由。是正方形A3CD對角線的交點(diǎn)知OB=OD=OA=OC,

所以與防長度相等的向量為劭，ot,cb,oX,Ab,ob,Db.

(3)與力A共線的向量為At),泥，cb.

平面向量的應(yīng)用

【第一學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

會(huì)用向量方法解決平面幾何中的

向量在平面幾何中的應(yīng)用平行、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理

垂直、長度、夾角等問題

會(huì)用向量方法解決物理中的速

向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算

度、力學(xué)問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.利用向量可以解決哪些常見的幾何問題？

2.如何用向量方法解決物理問題？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

向量在幾何中的應(yīng)用

角度一：平面幾何中的垂直問題

tam如圖所示，在正方形ABC。中，E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF1DE.

ER

證明：法一：設(shè)At)=a,Ah=b,

則⑷=|例,a-b=Q,

又循=DA+助=—#=儲+防=5+ga,

所以尋'.瓦1=(。+上)(一@+，)=_52—105+/=一12+如2=0.

故球，旗，BPAFLDE.

法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2,則A(0,0),D(0,2),E(l,

0),F(2,1),AP=(2,1),Dk=(1,-2).

因?yàn)??波=(2,1)?(1,-2)=2-2=0,

所以辦，瓦，BPAFIDE.

角度二：平面幾何中的平行(或共線)問題

_____CPA17

哂如圖，點(diǎn)。是平行四邊形A8CO的中心，E,尸分別在邊。，AB上，且器=若

匕DrD

=；.求證：點(diǎn)E,。，廠在同一直線上.

DEC

西

AFR

證明：設(shè)腦=機(jī)，Ab=n,

CFAFI

由流=能=今知E,尸分別是CO,A3的三等分點(diǎn),

乜DrDZ

所以劭=設(shè)+初=;或+;祀

=-1/n+1(/n+n)=1m+|n,

ok=ob+cfe=^At+|cZ)

1..11,1

=2(r加十〃)一§加=%機(jī)十]

所以劭=ok

又。為劭和融的公共點(diǎn)，故點(diǎn)￡,O,尸在同一直線上.

角度三：平面幾何中的長度問題

匐可如圖，平行四邊形ABC。中，已知A￡>=1,AB=2,對角線8。=2,求對角線AC

的長.

A

解：設(shè)A力=a,A^=b,則后方=a—A,At=a+b,

而\Bt)\=\a-b\=y]a2—2ab~^b2=yf1+4_2a-Z>=-\/5—2a-Z>=2,

所以5—2a0=4,所以。仍=3，X|At?|2=|a+Z>|2=a2+2a-Z>+Z>2=l+4+2a-Z>=6,所以質(zhì)

1=^6,即AC=y[6.

探究點(diǎn)2：

向量在物理中的應(yīng)用

麗(1)在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25

km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？

(2)已知兩恒力Fi=(3,4),尸2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)

移動(dòng)到點(diǎn)8(7,0),求￡,乃分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功.

解：(1)如圖，設(shè)防表示水流的速度，3力表示渡船的速度，祝表示渡船實(shí)

際垂直過江的速度.

因?yàn)殛?初=祝，所以四邊形A8CO為平行四邊形.

在R3ACZ)中，ZACD=90°,|Dt|=|A^|=12.5.

風(fēng)力1=25,所以/C4O=30。，即渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)為北偏西30。.

(2)設(shè)物體在力尸作用下的位移為s,則所做的功為W=Fs.

因?yàn)槌?(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以Wi=Fi-屈=(3,4)?(—13,-15)

=3x(-13)+4x(-15)=-99(焦)，

W2=F2-Ah=(6,-5)?(-13,-15)

=6x(-13)+(-5)x(-15)=-3(焦).

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個(gè)步驟”

2.向量在物理學(xué)中的應(yīng)用

(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的減法和加法

相似，可以用向量的知識來解決.

(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，即為力尸與位移s的數(shù)量積，即W=Ks=|F||s|cos。(夕

為尸與s的夾角).

四、精煉反饋

1.河水的流速為2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜

水中的速度大小為()

A.10m/sB.2^/26m/s

C.44m/sD.12m/s

解析：選B.由題意知|v水1=2m/s,僅船|=10m/s,作出示意圖如圖.

所以小船在靜水中的速度大小

Iv|=-\/102+22=2y[26(m/s).

2.已知三個(gè)力力=(-2,-1),力=(-3,2),(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一

點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力加，則力=()

A.(—1,—2)B.(1,12)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：選D.由物理知識知力+#+力+加=0,故/1=一(力+拉+力)=(1,2).

3.設(shè)P,Q分別是梯形A8CO的對角線AC與8。的中點(diǎn)，AB//DC,試用向量證明：PQ

//AB.

證明：設(shè)覺=24&(%>0且2ri)，因?yàn)橹?雙一勸=超十匝一助=牯+；(就一祀)

=A^+1[CAb-A^)~CAb+Dt)]

=A^+1(Cb一通)

=；(Ct>+A&)=；(—A+l)A&,

所以靦〃初，又P,Q,A,B四點(diǎn)不共線，所以PQ〃AB.

【第二學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

余弦定理了解余弦定理的推導(dǎo)過程邏輯推理

掌握余弦定理的幾種變形公式及應(yīng)

余弦定理的推論數(shù)學(xué)運(yùn)算

用

能利用余弦定理求解三角形的邊、

三角形的元素及解三角形數(shù)學(xué)運(yùn)算

角等問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題:

1.余弦定理的內(nèi)容是什么？

2.余弦定理有哪些推論？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

已知兩邊及一角解三角形

匐T(1)(2018.高考全國卷II)在“8。中，《?苧=乎,BC=1,AC=5,則AB=()

A.4啦B.^30

C.^29D.2小

（2）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=小，c=2,cosA=1,則〃

=（）

A.72B,小

C.2D.3

r13

解析：（1）因?yàn)閏osC=2cos2-^―1=2x-—1=—所以由余弦定理，得A32=AC2+BC2

-2AC3CcosC=25+l-2x5xlx（一|）=32,所以故選A.

（2）由余弦定理得5=22+〃-2x28cosA,

2

因?yàn)閏osA=g,所以3扶一昉一3=0,

所以〃=3[=-]舍去）.故選D.

答案：（1）A

（2）D

互動(dòng)探究：

2、八

變條件：將本例（2）中的條件“a=小，c=2,cosA=w”改為“a=2,c=2小，COST4=2

求匕為何值？

解：由余弦定理得：

a2=b2+c1-2bccosA,

所以22=序+（2小）2—2X/?X24§X坐，

即廿一66+8=0,解得Z?=2或/?=4.

探究點(diǎn)2：

已知三邊（三邊關(guān)系）解三角形

偏田（1）在aABC中，已知a=3,b=5,c=回，則最大角與最小角的和為（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

（2）在△ABC中，若（a+c）（a—c）=h（/?—c）?則A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：（1）在△ABC中，因?yàn)閍=3,b=5,c=小，

所以最大角為B,最小角為A,

所以cosC=3=；,所以C=60。，所以A+B=120。，所以△ABC中

Z.CIUZ

的最大角與最小角的和為120。.故選B.

廿+/一屋

(2)因?yàn)?a+c)(a—c)=b(/?—c),所以〃2+02—〃2=反，所以cosA=---------=

因?yàn)锳G(0°,180°),所以4=60。.

答案：(1)B

(2)B

探究點(diǎn)3：

判斷三角形的形狀

例⑶在A48C中，若Z?2sin2C+c2sin2B=2/?ccosBcosC,試判斷AABC的形狀.

解：將已知等式變形為

b1(1—cos2C)+c2(1—COS2B)=2Z?ccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

22+〃2一/、2〃2+/一〃2、2

拄+/一序

2ab2ac

屋+/一從屋+從一02

=2bexx-T~

lac2ab

[(/+/—c2)+(4+/一層)]24/

所以Z?2+c2==a2.

4屋一4屋

所以A=90。.所以△ABC是直角三角形.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.余弦定理

三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾

文字語言

角的余弦的積的兩倍

。2=序+——2Z?ccosA

符號語言2accos3

C2=+——2.Z?cos_C

2.余弦定理的推論

?+。2一屋

cosA=3；

層十一一一2

cosB=迎；

cosC=2ab丁

3.三角形的元素與解三角形

（1）三角形的元素

三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.

四、精煉反饋

1.在△ABC中，已知a=5,b=7,c=8,則A+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

/+。2一序25+64—491

解析：選

B.cosB=-------------=-—2,

所以8=60。，所以A+C=120。.

2.在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc,則角A等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：選B.因?yàn)?￡>+c)2-a1=b2-\-c1+2bc—d1=3bc,

所以b2+c2—a2=bc,

所以cosA=:beF所以A=60。.

3.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c滿足（a+b）2—。2=4,且C=60。，則必

解析：因?yàn)镃=60°,所以c2=a2+b2—2abcos60°,

即c2=a2-\-h2—ab.①

又因?yàn)?a+。)2-C2=4,

所以/=次+爐+24?—4.②

4

由①②知一必=2"—4,所以M?=g.

答案：|4

4.在AABC中，acosA+反os8=ccosC,試判斷△ABC的形狀.

b~~\~c^-cr。之+次一扶/+82-

解：由余弦定理知cosA=-^―,cos5=—亳一,cosC=—五廠，代入已知條

22

z?〃+/—42C2+tZ—/702—82

件得a--2^b7c---+b--2-c-a---+c--V2aTb-=0,

通分得/（〃+/一屋）+〃（足+廿一左）4-c2Cc2—a2—b2）=0,

展開整理得（層一戶）2-4.

所以a2-b2=±c2,即/=按+/或b2=a2+c2.

根據(jù)勾股定理知AABC是直角三角形.

【第三學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系

正弦定理的探索，掌握正弦邏輯推理

定理的內(nèi)容及其證明方法

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.在直角三角形中，邊與角之間的關(guān)系是什么？

2.正弦定理的內(nèi)容是什么？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

已知兩角及一邊解三角形

匐T]在AABC中，已知c=10,A=45。，C=30°,解這個(gè)三角形.

解：因?yàn)锳=45°,C=30°,所以8=180°—(A+C)=105°.

八

,ac,ncsinA=…-sin45°.r-

pl~s|~inA"A=~sin7C^1^ci——si-nC7=7lOxsi;n3.c0o=lQ\、/2.

因?yàn)閟in75o=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°=,所以

^t4^sinC

lOxsin(A+C)V2+V6,

一市行一:20x工仔=5啦r+5班r.

探究點(diǎn)2：

已知兩邊及其中一邊的對角解三角形

國已知△ABC中的下列條件，解三角形：

(1)a=10,b=20,A=60°；

(2)a=2,c=\[6,

解：⑴因?yàn)槔?總，

所以$皿8="$=智茨=?。?,

所以三角形無解.

E、，.acmi”..asinC也

1-

（2）因?yàn)?114一411。'所以0"4—c2-

JT

因?yàn)樗設(shè)A.所以A=不

的I”D5KcsinB加、叫？巧

所以8=無，力=定下=一

sin3

互動(dòng)探究：

變條件：若本例（2）中。=全改為A=j,其他條件不變，求C,B,h.

解：因?yàn)榭?潦7,所以0皿0=生看=乎?

sinAsinCa2

所以c=：或弩.

當(dāng)3M”含2縹牛=小+1.

w「27tli門兀,asinBr-

當(dāng)C=3時(shí)，8=五，b=飛啟=小一1f?

探究點(diǎn)3：

判斷三角形的形狀

隔⑶已知在△ABC中，角A,B所對的邊分別是a和4若acos8=AcosA,則△ABC一

定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：acos8=/?cosAosinAcos3=sinBcosA=>sin(A—B)=0,由于一兀

<A-B<it,故必有A—5=0,A=B,即△ABC為等腰三角形.

答案：A

互動(dòng)探究

變條件：若把本例條件變?yōu)椤凹觟nB=csin。'，試判斷AABC的形狀.

解:由加inB=csinC可得sin2jB=sin2C,因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180。，

所以sin8=sinC所以B=C.故△ABC為等腰三角形.

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.正弦定理

條件在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

a_____b_____c

結(jié)論sinAsinBsinC

文字

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等

敘述

2.正弦定理的變形

若/?為△ABC外接圓的半徑，則

(1)a=27?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

__Q_.__.廠__

(2)sinA4—2H，sinDB—2R，smC—2R；

(3)sinA：sin3：sinC=a:〃：c；

、a+b+c

(z4)；-----------------=2R

sinA+sinB+sinC

四、精煉反饋

1.(2019?遼寧沈陽鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中考試)在"6C中,AB=2,AC=3,8=60。，則cos

1

近

V3

33

AC.

B.必

V23D.

2

解析：選8,由正弦定理，得洪=黑，即急=凝，解得sinC=孚因?yàn)锳3V

AC,所以CVB,所以cosC=<1-sin2C=^.

2.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A：B：C=1：2：3,則a：A：c

=()

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：#：1D.1：?。?

解析：選D.在AABC中，因?yàn)锳：8：C=1：2：3,所以B=2A,C=3A,又A+B+C

=180°,所以4=30。,8=60°,C=90°,所以a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：

sin90°=1:小：2.

3.在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,h,c,若c—acosB=(2a—b)cosA,則

△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析:選D.已知c—acosB=(2a-b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcosB=2sinAcos

A-sinBcosA,所以sinCA+B)—sinAcosB=2sinAcosA—sin5cosA,化簡得cosA(sinB-

sinA)=0,所以cosA=0或sinB—sinA=0,則A=90?；駻=B,故AABC為等腰三角形或直

角三角形.

【第四學(xué)時(shí)】

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

理解測量中的基線等有關(guān)名詞、

測量中的術(shù)語直觀想象

術(shù)語的確切含義

會(huì)利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)

測量距離、高度、角度問題踐中的有關(guān)距離、高度、角度等數(shù)學(xué)建模

問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題:

1.什么是基線？

2.基線的長度與測量的精確度有什么關(guān)系？

3.利用正、余弦定理可解決哪些實(shí)際問題？

二、合作探究

探究點(diǎn)1：

測量距離問題

所海上A,B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60。的視角，從8島望

。島和A島成75。的視角，則B島與C島間的距離是.

解析：如圖，在AABC中，ZC=180°-(ZB+ZA)=45°,

由正弦定理，可得篇=卷,

所以8C=出xl0=5加(海里).

答案：5a海里

互動(dòng)探究：

變條件：在本例中，若“從8島望C島和A島成75。的視角”改為“A,。兩島相距20海

里”，其他條件不變，又如何求8島與。島間的距離呢？

解：由已知在△ABC中，AB=\0,AC=20,ZBAC=60°,即已知兩邊和兩邊的夾角，利

用余弦定理求解即可.

BC2=AB2+AC2-2ABACCOS60°=102+202-2x10x20x|=300.故8C=IChJl

即8,C間的距離為1M海里.

探究點(diǎn)2

測量高度問題

國如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D

在西偏北30。的方向上，行駛600m后到達(dá)8處，測得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為

30°,則此山的高度CD=m.

D

解析：由題意，在AABC中，ZBAC=30°,ZABC=180°-75°=105°,故NAC8=450.

又AB=600m,故由正弦定理得:^黑=系3

zIOxi1DU

解得BC=30Mm.在RtZkBC。中，CD=BCtan30°=30()V2x^-=lOChJe(m).

答案：100^6

互動(dòng)探究：

變問法：在本例條件下，汽車在沿直線A8方向行駛的過程中，若測得觀察山頂。點(diǎn)的最

大仰角為a,求tana的值.

解：如圖，過點(diǎn)C,作垂足為E,則NOEC=a,由例題可知，

ZCBE=75°,8C=300VL

所以CE=BCsinZCBE

=30()V2sin75°

=300V2x^±^

=150+150^/3.

而z.DCi。廝3n

所以tana=^=i50+15(h/T3-

探究點(diǎn)3：

測量角度問題

麗島A觀察站發(fā)現(xiàn)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時(shí)10

海里的速度向東南方向航行(如圖所示)，觀察站即刻通知在島A正南方

向8處巡航的海監(jiān)船前往檢查.接到通知后，海監(jiān)船測得可疑船只在其北

偏東75。方向且相距10海里的。處，隨即以每小時(shí)海里的速度前往

攔截.

(1)問：海監(jiān)船接到通知時(shí)，在距離島A多少海里處？

(2)假設(shè)海監(jiān)船在。處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時(shí)間.

解：（1）根據(jù)題意得NBAC=45。，ZABC=15°,BC=IO,

所以NACB=180°—75°—45°=60。，

在"80中’由sinNACB=sinN3AC'

10x近

/曰BCsinZACBIOsin6002

得■=sin/BAC=2寸=丁=5而r

2

所以海監(jiān)船接到通知時(shí)，在距離島A54海里處.

（2）設(shè)海監(jiān)船航行時(shí)間為f小時(shí)，則8。=1即3CD=\Ot,

又因?yàn)镹3C。=180°—NA=180°—60°=120°,

所以BD1=BC2+CD1-2BC-CDcos1200,

所以300Z2=100+100^-2x10x10/-^-^,

所以2尸一Ll=0,

解得t=l或r=—1（舍去）.

所以CO=10,所以8C=CD,

所以NCBO=g（180°-120°）=30。，

所以NAB￡>=75°+30°=105°.

所以海監(jiān)船沿方位角105。航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí).

（或海監(jiān)船沿南偏東75。方向航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí)）

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.基線

在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.

2.基線與測量精確度的關(guān)系

一般來說，基線越長，測量的精確度越高.

3.實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語

名稱定義圖示

視線

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線鉛初角

垂

仰角線

的夾角水平線

鉛

在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線垂

了水平線

俯角線7^

的夾角視線

北南偏西60°

西J（指以正南

從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線裝碑可方向?yàn)槭?/p>

方向角

是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90。）南?邊，轉(zhuǎn)向目

標(biāo)方向線形成的角）

北

從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水0

方位角

平角艮

四、精煉反饋

1.若P在。的北偏東44。50,方向上，則。在尸的（）

A.東偏北45。10,方向上B.東偏北45。50,方向上

C.南偏西44。50,方向上D.西偏南45。50,方向上

解析：選C.如圖所示.

2.如圖，D,C,8三點(diǎn)在地面同一直線上，從地面上C,。兩點(diǎn)望山頂A,測得它們的

仰角分別為45。和30。，已知CD=200米，點(diǎn)C位于BD上,則山高A3等于（）

A.10麗米B.50（V3+1）米

C.100（V3+D米D.200米

解析：選C.設(shè)A8=x米，在R3ACB中，ZACB=45°,

所以BC=AB=x.

在R3ABO中，ZD=30°,貝1|8。=5/18=小工

因?yàn)锽D—5C=CO,所以小尤一%=200,

解得x=100（A/3+D.故選C.

3.已知臺風(fēng)中心位于城市A東偏北a（a為銳角）度的150公里處，以丫公里/小時(shí)沿正

西方向快速移動(dòng)，2.5小時(shí)后到達(dá)距城市A西偏北夕（尸為銳角）度的200公里處，若cosa

3

=4C0S4，則v~（）

A.60B.80

C.100D.125

解析：選C.畫出圖象如圖所示，由余弦定理得（2.5v）2=2002+1502+2X200X150COS（a

3

200而z.4._22

+夕）①，由正弦定理得oalilnl(A所以Sina—[JSinp.Xcosa=4cos夕，sina+cosa=

34.43M1?12

1,解得sinQ=W，故COSQ=5,sina=g,cosa=g,故cos（a+4）=行一行=。，代入①解得

v=100.

4.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45。距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75。的方向

以12海里/小時(shí)的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12小海里/小時(shí)的速度沿直線追擊，問巡邏

艇最少需要多長時(shí)間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向.

解：設(shè)經(jīng)過7小時(shí)在點(diǎn)C處剛好追上走私船，依題意：AC=12?BC=nt,ZABC=

120°,

在"BC中,由正弦定理得1添=而樂,

所以sinNA4c=},所以NBAC=30。，

L

2

所以AB=8C=8=12f,解得，=],航行的方向?yàn)楸逼珫|75。.

即巡邏艇最少經(jīng)過;小時(shí)可追到走私船，沿北偏東75。的方向航行.

平面向量的運(yùn)算

【第一課時(shí)】

向量的加法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

理解向量加法的概念以及向量

平面向量加法的幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

加法的幾何意義

掌握向量加法的平行四邊形法

平行四邊形法則

則和三角形法則，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

和三角形法則

會(huì)用它們解決實(shí)際問題

掌握向量加法的交換律和結(jié)合

平面向量加法的運(yùn)算律數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算

律，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.在求兩向量和的運(yùn)算時(shí)，通常使用哪兩個(gè)法則？

2.向量加法的運(yùn)算律有哪兩個(gè)?

二、新知探究

探究點(diǎn)1：

平面向量的加法及其幾何意義

例1：如圖，已知向量a,b,c,求作和向量a+Z>+c.

解：法一：可先作a+c,再作(a+c)+b,即a+0+c.如圖，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

0,作向量8=4,接著作向量前=C,

則得向量仍=a+c,然后作向量配=兒

則向量猶=。+方+c為所求.

法二：三個(gè)向量不共線，用平行四邊形法則來作.如圖，(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作

OA=a,仍="

(2)作平行四邊形A03C,則沈=a+b；

(3)再作向量仍=c；

(4)作平行四邊形CQDE,

^\Ok=Ot+c=a+b+c.波即為所求.

D..........E

修

A

探究點(diǎn)2：

平面向量的加法運(yùn)算

例2：化簡：

(1)配+砌

(2)D^+Cb+Bt；

(3)A^+D^+Cb+Bt+FA.

解：(1)Bt+Ah=Ab+Bt=At.

(2)D^+Cb+Bt

=Bt+Ct+D^

=(Bt+cb)+Db

=協(xié)+防=0.

(3)Ah+D^+Cb+Bt+7A

=A^+Bt+Ct)+D>+M

=At+cb+D>+M

=A5+D>+M=A>+M=O.

探究點(diǎn)3：

向量加法的實(shí)際應(yīng)用

例3：某人在靜水中游泳，速度為4小千米/小時(shí)，他在水流速度為4千米/小時(shí)的河中游

泳.若他垂直游向河對岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？

解：如圖，設(shè)此人游泳的速度為加，水流的速度為3,以以，仍為鄰邊作“MCB,則

此人的實(shí)際速度為溫+防=配.

由勾股定理知I配1=8,且在RraACO中，ZCOA=60°,故此人沿與河岸成60。的夾角順

著水流的方向前進(jìn)，速度大小為8千米/小時(shí).

三、學(xué)習(xí)小結(jié)

1.向量加法的定義及運(yùn)算法則

定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法

三角前提已知非零向量Q,b

法則形法作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作牯=4,比=兒再作向量At

則結(jié)論向量叫做a與b的和，記作a+b9

即a+Z>=莉+於=定

圖形

4Z—a-、B

前提已知不共線的兩個(gè)向量a,b

平行在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0，以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)已

作法

法四邊知向量a,分為鄰邊作oOACB

則形法結(jié)論對角線龍就是a與方的和

則

圖形。七

規(guī)

對于零向量與任一向量a,我們規(guī)定a+0=2z匕=2

定

2.\a+b\,\a\,|b|之間的關(guān)系

一般地，\a+b]<\a\+\b\,當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時(shí)等號成立.

3.向量加法的運(yùn)算律

交換律g-\-b=b-\-g

結(jié)合律(。+。)+c=a+(b+c)

四、精煉反饋

1.化簡辦+地+丙+N的結(jié)果等于（）

A.B.Ot2

C.SpD.

解析：選B.OP+P^+P^+SP=O^+0=O^.

2.在四邊形ABC。中，At=A^+Ab,則一定有（）

A.四邊形ABC。是矩形

B.四邊形ABC。是菱形

C.四邊形A3C。是正方形

D.四邊形A8CD是平行四邊形

解析：選D.由祝=超+初得3力=配，即AO=