【高考數(shù)學解題指導】高中數(shù)學軌跡方程求法梳理

高中數(shù)學軌跡方程求法梳理

1.求軌跡方程的常用方法

（1）直接法

如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，

只需把這種關系“翻譯”成含X,y的等式，就得到曲線的軌跡方程.由于這種求軌跡方程的過程直接以

曲線方程的定義為依據(jù)求解，所以稱之為直接法.

步驟：（1）建系，目前大部分題目都已經(jīng)建好坐標系了，一般可以省略；

（2）設點，直接設動點坐標為（x,y）；

（3）寫式，運用一定平面幾何知識，寫出題目中動點滿足的幾何關系式；

（4）代入，將動點坐標、已知數(shù)據(jù)全部代入關系式；

（5）化簡，化簡式子，注意等價性；

（6）證明，證明軌跡的完備性和純粹性，由于前幾步的等價性，所以現(xiàn)已省略此步.

（2）幾何法

若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線、角平分線的性質(zhì)等），則可以用幾何法，列

出幾何式，再代入點的坐標，較簡單（一般通過幾何法分析轉變?yōu)橹苯臃ê投x法）.幾個常見定義：

（1）到定點的距離等于定值的點的軌跡——圓；

（2）到定直線的距離等于定值的點的軌跡--—兩條平行線；

（3）到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡（該和大于兩定點間的距離）…--橢圓

（4）到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡（該和等于兩定點間的距離）一一線段

（5）到兩定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡（差絕對值小于兩定點間的距離）--一雙曲線

（6）到兩定點的距離之差的為定值的點的軌跡（差絕對值小于兩定點間的距離）--一雙曲線的一支

（7）到兩定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡（差絕對值等于兩定點間距離）-一兩條射線

（8）到兩定點的距離之差的為定值的點的軌跡（差的絕對值等于兩定點間距離）------一條射線

（9）到定點與到定直線距離相等的點的軌跡（該定點不在定直線上）一--拋物線

（10）到定點與到定直線距離相等的點的軌跡（該定點在定直線上）——直線

注意：I..理論上，所有的幾何定義法的題目都可以用直接法解決，但往往計算量大，容易出錯

2.而在用幾何定義法做題時，也不是萬能的，一定要注意定義的細節(jié)以及等價原則

3.曲線的定義與方程無關，并不是說所有題一定都是標準方程

（3）定義法

若動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義法直接設出所求方程，再確定系數(shù)求出動點

的軌跡方程.

（4）相關點法（代入法或轉移法）

有些問題中，若動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關點）的運動而

運動的.如果相關點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時可以用動點坐標表示相關點坐標，根

據(jù)相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫作相關點法或坐標代入法.

解題步驟：

第一，需找到動點和相關點之間的坐標關系，進行表示和反表示，就是坐標轉移；

第二，需找到相關點在運動時滿足的那個關鍵式，代入關鍵式；

第三，化簡即可，注意范圍.

目前一般常見的題型有兩種：一靜一動類，雙動類.

（5）參數(shù)法

有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個

動點的運動常常受到另一個變量（角度、斜率、比值、截距或時間等）的制約，即動點坐標（x,四中的x,y

分別隨另一變量的變化而變化，可稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，如果

需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可.在選擇參數(shù)時，選用的參變量可以具有某種物理或幾何

意義，如時間、速度、距離、角度、有向線段的數(shù)量、直線的斜率、點的橫（縱）坐標等，也可以沒有具

體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響.

（6）交軌法

在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)求兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常通過解方程組得出交點（含

參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求出所求軌跡的方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用.

2.區(qū)分“求軌跡”與“求軌跡方程”的不同

一般來說，若遇“求軌跡方程”，求出方程就可以了；若是“求軌跡”，求出方程還不夠，還應指

出方程所表示的曲線的類型，有時候，問題僅要求指出軌跡的形狀，如果應用“定義法”求解，可不求

軌跡方程.

一、直接法求軌跡方程

直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略：

⑴題目給出等量關系，求軌跡方程.直接代入即可得出方程.

(2)題中未明確給出等量關系，求軌跡方程.可利用已知條件尋找等量關系，得出方程.

例題1：已知點B(-2,0)、C(2,0),頂點A在坐標平面上運動，且滿足心小3°=-4,求動點A的軌

跡方程.

【解析】設動點A的坐標為(x,y)又曰.匕9=—4,即丁+4/=16

x+2x-2

又當點A在x軸上時，kAR=kAC=0,所以點A在x軸上時，不合題意，

動點A的軌跡方程是+V=16(yH0)

例題2：已知AASC中，|BC|=2,M=機，求點力的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

|AC|

【解析】以8c所在直線為x軸，中點。為原點建立直角坐標系，則8(—1,O),C(1,O),

設點A的坐標為(x,y),由!/Bl=m，得：4^^=加,

|AC|+/

化簡得：(1一m2)f+(l-機2)/+(2+2m2)x+l-垓2=0

12/77

當加=1時，軌跡為直線X=0;當機Hl時，配方得：(X+—，)2+y2=(——)2

l-/n\-rn~

(1)m=0時，方程為爐+9_2》+1=0,軌跡為點(1,0)；

(2)相。0時，軌跡是圓心為(一1,0),半徑為|上、|的圓.

m-11-m

22

例題3：在平面直角坐標系xOy中，點尸(a,6)為動點，B，6分別為橢圓二+乙=1(心6>0)的左，右

a2b2

焦點.已知△QP同為等腰三角形.設直線與橢圓相交于4B兩點,"是直線上的點，滿

^AM-BM=-2,求點”的軌跡方程.

【解析】易知a=2c,6=小的可得橢圓方程為直線P4的方程為夕=小(》一。).

3x2+4y2=12c2,Q

A,8兩點的坐標滿足方程組，消去y并整理，得5N—8cx=0.解得xi=0,X2=§(

y=y[3x-c.

■8

X2,

xi=0,~5C不妨設個c,9：),5(0,~y[3c).

得方程組的解，

y[=-y/3cf3s

J2=5a

3s、

設點M的坐標為(x,y),則力f=8

工一鏟，y5。,BK1=(X,y+y/3c).由歹=g。-c),得c=x—

8-S383仍、

于是彳甘廠尹，廠5x,BK1=(X,事x),由力/?就/=-2,

隊/3

即?黃x=-2.化簡得18x2-16^3^-15=0.

,15*

如18x2-15、j0/+5

將尸F(xiàn)T代入,得c=->0.所以x>0.點"的軌跡方程是18x2—16小盯一15=0(x>0).

例題4：己知兩點〃(-1,0),N(1,O),且點P時橋?麗，西?兩，麗?而成公差小于零的等差數(shù)

列.(1)點尸的軌跡是什么曲線？(2)若點尸的坐標為(玉),用)，記。為兩與兩的夾角，求tan。

【解析】設尸(x,y),□M(-l,0),N(l,0),nPM=-MP=(-]-x,-y),

PN=-NP=(l-x,-y),MN=-NM=(2,0),□初.麗=2(x+1)

PMPN=x2+y2-},WJVP=2(l-x),則赤.麗，麗?麗板.而成公差小于零的等差數(shù)列等價

2

X2+/-1=-[2(1+X)+2(1-X)]x+J=3

于42,即所以點p軌跡是以原點為圓心，G為半徑右半圓.

x>0

2(l-x)-2(l+x)<0

(2)尸的坐標為(1,%),由麗?麗=%2+%2-1=2,

PMPN21

COS。，0v/工6，0—<cos0<1

I兩II麗「2也一/2一"-療

鞏固1:已知00方程為爐+產(chǎn)=4,過M(4,0)的直線與交于4B兩點,則弦中點P的軌跡方

程為_____________________

【解析】根據(jù)垂徑定理知：OPPM,所以P點軌跡是以。加為直徑的圓且在口。內(nèi)的部分，以為直

徑的圓的方程為(x—2)2+產(chǎn)=4,它與口。的交點為(1,地)，結合圖形可知所求軌跡方程為(x—2)2+/

=4(0<x<l).

鞏固2:已知圓C：(尤+lf+(y—l)2=4,由動點P向圓C引兩條切線24、PB,切點分別為A、

B,并且NAP8=60°,求點尸的軌跡。

【解析】設P(x,y),由題得"AC是直角三角形，且NPAC=90°.

在直角三角形PAC中，ZAPC=30°MC=2PC|=4

.?.J(x+l)2+g)2=4.?.(x+l)2+(y—l)2=16

所以動點P的軌跡方程為(x++(y-1)2=16它是以點(—1,1)為圓心，4為半徑的圓。

鞏固3:已知48為平面內(nèi)兩定點，過該平面內(nèi)動點M作直線的垂線，垂足為N.若麗=雙?標，

其中2為常數(shù)，則動點"的軌跡不可能是()

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【解析】以N8所在直線為x軸，的中垂線為y軸，建立坐標系，設M(x,y),A(-a,O),則

N(x,0).因為麗=切?楊，所以爐=%(x+a)(a-x),即近2+產(chǎn)=九/2,當;1=1時，軌跡是圓；當方>0且

4W1時，軌跡是橢圓；當力<0時，軌跡是雙曲線；當4=0時，軌跡是直線.綜上，動點/的軌跡不可

能是拋物線.

二、定義法求軌跡方程

(一)、知識精講

定義法求軌跡方程的步驟

(1)判斷動點的運動軌跡滿足某種曲線的定義；

(2)設標準方程，求方程中的基本量；

(3)求軌跡方程.

例題5：設尸為圓錐曲線的焦點,「是圓錐曲線上任意一點,則定義尸尸為圓錐曲線的焦半徑,下列幾個命題：

①.平面內(nèi)與兩個定點廠”尸2的距離之和為常數(shù)的點的軌跡是橢圓

②.平面內(nèi)與兩個定點a，B的距離之差的絕對值為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線.

③.平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/的距離相等的點的軌跡是拋物線

以橢圓的焦半徑為直徑的圓和以長軸為直徑的圓相切

⑤.以拋物線的焦半徑為直徑的圓和y軸相切

⑥.以雙曲線的焦半徑為直徑的圓和以實軸為直徑的圓相切

其中正確命題的序號是.

【答案】④⑤⑥

例題6：已知A、B是兩個定點，且從q=2,動點M到定點A的距離是4,線段"3的垂直平分線/

交線段AM于點P,求動點P的軌跡方程.

【解析】過A,3兩點的直線為x軸，A,3兩點的中點。為坐標原點，建立直角坐標系

'：\A^=2,：.A,8兩點坐標分別為(一1,0),(1,0).

連結P&???/垂直平分線段.“PMTP目，1曰+歸目=|/M+|PM=|AM=4.

設點P(x,y),由兩點距離公式得7(%+1)2+/+7(x-l)2+y2=4,

化簡方程，移項兩邊平方得(移項)2j(%—l)2+y2=4—x.

22

兩邊再平方移項得：土+匕=1,即為所求點P軌跡方程.

43

例題7：設雙曲線也一］b>0）兩焦點為Fi，B，點。為雙曲線上除頂點外的任一點，過焦點

Q作/萬。尸2的平分線的垂線，垂足為P,則P點的軌跡是（）

A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分

C.拋物線的一部分D.圓的一部分

【解析】設點。在雙曲線的右支上（如圖），延長0月，交PP的延長線于點連接。尸,則有10M=1。~1，

尸為尸畫的中點，；.伊。=如'2例|=|（|。陽一|072|）=3（|0川一|。尸2|）=0,且「點不能落在乂軸上，故尸

點的軌跡是圓的一部分.

9

例題8：設定點8（0,-3）,92（0,3）,動點尸滿足條件『人|+|尸/囹="+1（心0）,則點P的軌跡是.

【解析】。十后2、^。1=6.當。=3時，a+-=6,此時IPQI+IPEzUEBI，

P點的軌跡為線段892，當今3,心0時，『丹|+|尸尸2|>陰尸2|.由橢圓定義知P點的軌跡為橢圓.

例題9：已知圓M：（x+l）2+爐=1,圓N：。-1）2+產(chǎn)=9,動圓尸與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心

尸的軌跡為曲線C.求C的方程.

【解析】由已知得圓M的圓心為M—1,0）,半徑八=1；圓N的圓心為Ml,0），半徑，n=3.設圓P的圓

心為P（x,y）,半徑為R.因為圓P與圓M外切并且與圓，內(nèi)切，

所以|PM+/N|=（R+，I）+&2—夫）=八+，，2=4>2=|刈.由橢圓的定義可知，曲線C是以“，N為左，右

焦點，長半軸長為2,短半軸長為小的橢圓（左頂點除外），其方程為5+==1（/-2）.

例題10：設圓。和圓。2是兩個相離的定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心軌跡可能

是①兩條雙曲線；②一條雙曲線和一條直線；③一條雙曲線和一個橢圓.以

上命題正確的是（）

A.①@B.②③C.①②D.①②③

【解析】（1）彳，

□動圓與這兩個圓都外切，此時軌跡為一條直線的中垂線）

□動圓與這兩個圓都內(nèi)切，情況同口

□動圓與這兩個圓一個外切、一個內(nèi)切,

設動圓半徑為R,ri=r2=r

PQi=R+r=R-r

則4=R+1圖—p?！?

PO2=R-r

此時軌跡為一條雙曲線

（2）4工4（以4>為為例進行分析）

0動圓與這兩個圓都外切,

PC\=R十八

=|PO1-PO21=6—弓

PO2=R+r2

此時軌跡為雙曲線的一支

□動圓與這兩個圓都內(nèi)切,

pq=R_八

=>lPO-PO\=r-r

PQ=R—4]22t

此時軌跡為雙曲線的一支

動圓與這兩個圓一個外切、一個內(nèi)切,

POi=R+t]PO

則〈}

=|PO]-PO2\=rt+r2,

PO2=R-r2PO2=R+r2

此時軌跡為一條雙曲線綜上，選C

鞏固4:已知兩個定圓Q和Q，它們的半徑分別是1和2,且|。。2尸4.動圓M與圓。內(nèi)切，又與圓

。2外切，建立適當?shù)淖鴺讼担髣訄A圓心〃的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

。275X

【解析】如圖所示，以。。2的中點。為原點，所在直線為X軸建立平面直角坐標系.

由|。。2|=4,01(-2,0),02(2,0).設動圓”的半徑為r,則由動圓”與圓。i內(nèi)切,有|加。|=1；

由動圓M與圓。2外切，有肘。2尸r+2.

加。2|一M。|=3.

」點〃的軌跡是以。1、。2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支.

37

一；“=/,c=2,b2=c2-a2=-^.

1點M的軌跡方程喏一竽=1(爛一多.

22

鞏固5:設雙曲線二一匕=i(a>0,/>>0)兩焦點為B,F,點。為雙曲線上除頂點外的任一點，過焦點

八2八22

Q作NBQB的平分線的垂線，垂足為尸，則尸點的軌跡是(

A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分

C.拋物線的一部分D.圓的一部分

【解析】設點。在雙曲線的右支上(如圖)，延長QFz,交FF的延長線于點連接OP,則有10M=|0H|,

P為EM的中點，f。|=找例|=她〃|—|。尸2|)斗|的一|。勵=。，且尸點不能落在x軸上，故P

點的軌跡是圓的一部分.

三、“代入法”或“相關點”求軌跡方程

(一)、知識精講

“代入法”或“相關點法”的基本步驟：

(1)設點：設被動點坐標為(X,力，主動點坐標為(X1,");

X|=/(x,V),

(2)求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式

lyi=g(x,y);

(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程.

例題11：求橢圓/+2：/=1關于直線/：%+2y一1=0對稱的曲線方程.

【解析】設對稱后曲線上任一點P(x,y),它關于/的對稱點為尸(a,份

3x-4y+2

a+x?h+y,,、a=

…----+2——--1=05所以產(chǎn),(3x-；y+2,~4x-；)，+4)

則有彳22，解得，

—4x—3y+4

2(a-x)-(0-y)=0b=

5

又因為P應在原來的橢圓上，所以代入得：(3,_4)+2y+2(Tx-31+4-]

55

例題12：雙曲線彳-彳=1的實軸為4小，點尸是雙曲線上的一個動點，引AyQLA\P,A2Ql.A2P，

ab~

小。與40的交點為0，則0點的軌跡方程為()

A.a2x2+/?2y2=a4(x^±a)B.a2x2-fry2=a4(x^±a)

C.b2y2-a2x2=b4(y±b)D.h2x2+a2y2=h4(y^±h)

y4:/=-x(xw±a)

x+ax+a0

【解析】設尸(xo,yo)(%工±〃),。(可).:4(一〃,0)〃2(〃,0).由條件Q得,x2-a2

y-^=-1%=------

x-a玉)一。

Y—/7

而點P(xojo)在雙曲線上，???〃靖一層那二層"即ft2(—x2)—a2(-------)2=a2b2

y

化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2-by=aXx^土a).

例題13：設直線x—y=4〃與拋物線產(chǎn)=4ax交于兩點4,3(〃為定值)，。為拋物線上任意一點，求

△ABC的重心的軌跡方程.

【解析】設0/BC的重心為G（x,y）,點C的坐標為（xo,yo）,A（X],川），Bgyi）

\x-y=4af

由方程組：1消去y并整理得：x2—l2ax+l6a2=0.\Jx\+x2=\2a

[yz=4ax,

yi+y2=(xi-4tz)+(X2-4t7)=(xI+x2)-8a=4a.aG(x,y)為LL48C的重心

「xo+xi+x2xo+12a

Ix=3=-3-

xo=3x—12。，

、又點C（xo,次）在拋物線上

yo+yi+12y()+4ayo=3y-4a.

J=3=3，

□將點C的坐標代入拋物線的方程得：（3y—4a）2=4a（3x—12Q）,即（y—了）2=至。-4a）.

又點。與4B不重合，由6±2的入口1_48。的重心的軌跡方程為0—華）2=爭工一甸（樣（6±半州）

例題14：已知橢圓匕+丁2=1,

2

（1）求過點且被P平分的弦所在直線的方程；

（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；

（3）過A（2,l）引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；

（4）橢圓上有兩點P、Q,。為原點，且有直線。P、0Q斜率滿足左。求線段PQ中

點M的軌跡方程.

【解析】設弦兩端點分別為加（斗，％）,N（X2,y2）,線段MN的中點R（x,y）,則

x；+2y；=2,①一二得（X+%2X%-%2）+2（y+%XM-%）=。?

x；+2y；=2,②

由題意知工產(chǎn)了2，則上式兩端同除以X[-%，有

玉+/=2尤，③

y+%=2y，④（2+/）2（y+%）"&=°，將③④代入得x+2y紅二&=0.⑤

（1）將x=L,y=，代入口，得豈二&=一_1,故所求直線方程為：2x+4y-3=0.

2-2玉一/2

將口代入橢圓方程/+2丁=2得6y2—6y—'=0,△=36-4x6x，＞0符合題意，2x+4y—3=0

44

為所求.

（2）將2m=2代入口得所求軌跡方程為：x+4y=0.（橢圓內(nèi)部分）

玉-x2

（3）將人二”=2二1代入口得所求軌跡方程為：x2+2y2-2x-2y^0.（橢圓內(nèi)部分）

X）-x2x-2

由□+□得~；9腎)=

(4)：+(4+2,□,將「1平方并整理得

片+4=4/-2中2，口，才+￡=4,2—2M），2，□

將口口代入口得：?;中2+（4._2y%）=2,□

再將y%=—；代入口式得：2x?—玉工2+4y2—2（-/王%）=2,即x2+-^—=1.

2

鞏固6:自橢圓總+?=1上的任意一點P向x軸引垂線，垂足0,則線段PQ中點M軌跡方程為.

2

【答案】白r+丁=1（＞。0）

鞏固7:已知P（4,0）是圓/+『=36內(nèi)的一點，/、8是圓上兩動點，且滿足N/P8=90°,貝ij矩形/尸8。

的頂點。的軌跡方程是（）

2222

A.x2+y2-56B.—+—=1C.-=1D.x2+y2=72

3939

【解析】設N8的.中點為R,坐標為（x,y）,則在RtD48尸中，陷=|「/?|.

又因為R是弦Z8的中點，依垂徑定理：在RtlO/l火中，⑷?|2十012一。卬2=36—（/+產(chǎn)）,

又0R|=/R|=7（X-4）2+/

所以有（》一4）2+產(chǎn)=36—伊+爐）,即x2+/一以一10=0

因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，0點即在所求的軌跡上運動.

設0（x/），R（xi,yi）,因為R是P0的中點，所以H=若±必=與9，

代入方程N4儼一4x—10=0,得（苫^）2+（2）2一4.專一10=0。整理得：^=56,

鞏固8:設2(1,0),M點在x軸上，P點在y軸上，且血=2而，PMLPF,當點P在y軸上運動時,

求點N的軌跡方程.

【解析】設Mxo,O),P(0,y0),N(x,y),'：PM±PF,PM=(x0,一泗)，PF=(\,~yo),

?,?(xo,—yo>(l,—yo)=O,.,.xo+網(wǎng)=0.由MV=2A/P得(x—xo,y)=2(—xo,yo),

XQ=-X92

x—xo=-2xo,即｛1...-x+?=0,即V=4x.故所求的點N的軌跡方程是V=4x.

y=2yo,泗=鏟

鞏固9:已知橢圓:+V=1的焦點為線、鳥，點P為橢圓上任意一點，過鳥作/耳。鳥的外角平分

線的垂線，垂足為點Q,過Q點作y軸的垂線，垂足為N,線段QN的中點為M,則點。的軌跡

方程為，點M的軌跡方程為

【答案】/+/=4,21+》2=1

4

鞏固10:已知拋物線V=X+1和點A(31),3為拋物線上一點，點尸在線段至上且BP:R4=1:2,當

點B在該拋物線上移動時，求點尸的軌跡方程.

【解析】設點尸(x,y),B(x',y'),由BP:K4=1:2,知點P分荏所成的比為;1=2,

3+2/,3x—3

X=-------：x=----

1+22

貝小=><又3點在拋物線上,31

1+2/,3y-l2

1+2尸丁

整理得()，-；

為所求軌跡方程.

r

鞏固11：如圖，設橢圓/+3=\{a>b>0)兩頂點A(—b,0),8S,0),短軸長為4,焦距為2,過點

P(4,0)的直線//與橢圓交于兩點設直線AC與直線BO交于點Q-

(1)求橢圓的方程；(2)求線段C,D中點Q的軌跡方程；

22

【解析】(1)橢圓方程為二+匕=1

54

2222

設)>。(尤則=~+斗=,卷+與""

(2)C(%,y)D(X2,y23,%)>11

5454

①.⑵得(》2一k).(乂+凹)=_』(必一必)=上，⑴+x)=￡

、(x2-Xj)?(x2+Xj)4'(x2-x{)x-4(x2+X1)X

所以上

即5/一20%+49=0(0<x<l)-

x-4x4

四、參數(shù)法求軌跡方程

(一)、知識精講

參數(shù)法求軌跡方程的步驟

（1）選取參數(shù)比用人表示動點M的坐標;

x=f⑷，

（2）得動點M的軌跡的參數(shù)方程，、

\y=g（k）；

（3）消參數(shù)4,得M的軌跡方程；

（4）由左的范圍確定x,y的范圍，確保完備性與純粹性.

例題15：設橢圓方程為一+1-=1,過點M（0.1）的直線/交橢圓于點A、B,O是坐標原點,

4

—.1—.—.11

點P滿足OP=—（。A+。B）,點N的坐標為（一,一），當/繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程.

222

解法一：直線/過點M（0,1）設其斜率為左，貝h的方程為y=A:x+L

記A（X］，M）、以占，%），由題設可得點A、B的坐標（司，,）、（工2，為）是方程組

y-kx+1①

的解.將□代入口并化簡得，（4+公）/+2攵》一3=0,

②

2k

X]+=-------------7

4+公于是人海+麗=（可，號）=（法

所以4

8

_k

4+k消去參數(shù)上得4/+y2—y=。

設點P的坐標為（x,y）,貝人

4

當"不存在時，A、B中點為坐標原點（0,0）,也滿足方程口，所以點P的軌跡方程為4/+y2一y=（）

解法二：設點P的坐標為（x,y）,因A（$,y）、3（%,打）在橢圓上，所以

22

X.2+—=1,□Xj+—=1.

1424

72

一得不—X2+—C>1—yf）=0，所以（％_工2）（玉+x2）+—一丁2）（必+，2）二°?

當X]W工2時，有X]+工2--（、]+%）,----=0.

-4x}-x2

Xj+x2

并且,智，□

將口代入口并整理得Ax2+y2-y=0.

yT_yf

當項=々時，點A、B的坐標為（0,2）、（0,-2）,這時點P的坐標為（0,0）

（y-；）2

x2

也滿足〕，所以點P的軌跡方程為彳-

164

例題16：設點/和8為拋物線產(chǎn)=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，已知。4口。8,OMQAB,求點

用的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

解法一：設N(xi,yi),B(X2,y2)Mx,y)依題意，有

2

M=4跖①

2.

y2=4p。②

A.A.-i

③

X]x2

上.)'1一乃=_]④

Xx}-x2

⑤

必一%—)'一)'1

x}-x2x-x}

1一]得⑴一詞&|+》2尸4/?Qj—X2)

若制方2貝U有“~~—4P□

X]-x2M+為

□xL,得>12./2=1()p2X]X2

③代入上式有16P2⑦

⑥代入④，得」=一2⑧

必+%y

⑥代入⑤，得———=-—―=-~~=，所以———=—個即4px—_y12=y(y\+yi)~y\2-y\yi

M+為x一匹)，「必+乃4px-y「

x----

4P

⑦、⑧代入上式，得必+y一4"=0(xW0),當xi=X2時，軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.

故點M的軌跡方程為》2+/一4/.=0(》#0)它表示以(20,0)為圓心，以2P為半徑的圓，去掉坐標原點.

解法二：設M(xy),直線的方程為尸fcr+6,由。A/_LN8,得上一二

y

方2

由產(chǎn)=42x及y=kx+h,消去乃得k2x2+(2kh—4p)x+h2=0,所以x\X2=^-，消x,得ky2—4py^-4ph=0

k

所以川次=蟲也，由04_L03,得y”2=-RM，所以"^=—與■力=—43

kkk

y

故產(chǎn)4p),用k=——代入，得x2+y2,—4/?x=0(x0)

y

故動點"的軌跡方程為好+/-4川=0(.號0),它表示以(22,0)為圓心，以22為半徑的圓，去掉坐標原點.

丫223

例題17：已知橢圓C：T+9v=l（a>〃>0）的右焦點為/。，°），且點尸（1，1）在橢圓。上.

（1）求橢圓。的標準方程；

22

r.x?y7

（2）過桶圓5,7丁/一1上異于其頂點的任意一點。作圓0：f+y2=4的兩條切線，切點分別

b—3

3

為不在坐標軸上），若直線MN在x軸，丁軸上截距分別為牡〃證明：」方+與為定值；

3m~n

【解析】（1）由題意得，C=1.所以。2=從+1,

31a

又點P（l,-）在橢圓。上，所以滔■+/=1,解得/=4,從=3,

22

所以橢圓。的標準方程為二+匕=1.

43

r23V2

(2)由(1)知，C*----1------=1,設點。(X,%),M(x),%),N(X3,%),

44

44

則直線QM的方程為々x+y2y=§，①直線QN的方程為當彳+%丁=5,②

4

可+y2y=44

把點。的坐標代入①②得〈所以直線MN的方程為=

工3%+%%=1

4444

令y=0,得機=「，令x=0,得〃=「，所以％=一,乂=一，又點。在橢圓G上,

J%13m3〃

4o4o113

所以(―)2+3(丁了=4,即丁下+==:，為定值.

3m3n3mn4

x=\cos—+sin—I,

鞏固12:方程<22（0<6<2萬）表示（）

y=g（l+sin0}

A.雙曲線的一支，這支過點（1,，）B.拋物線的一部分，這部分過（1,,）

22

C.雙曲線的一支，這支過點（-1,-）D.拋物線的一部分，這部分過（-1i）

22

【答案】B

x1y2

鞏固13:已知MN是橢圓/+后=1上垂直于長軸的動直線，A,8是長軸的兩個頂點，求直線也與

NB的交點P的軌跡方程.

22

【答案】-r—七v=1

ab

22

鞏固14:已知MV是雙曲線__匕=1上垂直于實軸的動直線，4、8是實軸的兩個頂點，求直線

/h2

與NB的交點P的軌跡方程.

【答案】KF=1

鞏固15:在學習數(shù)學的過程中，我們通常運用類比猜想的方法研究問題.

(1)已知動點尸為圓0：/+,2=/外一點，過尸引圓。的兩條切線刃尸瓦為切點，若⑸.而=0,

求動點P的軌跡方程；

(2)若動點。為橢圓M：二+2=1外一點，過0引橢圓”的兩條切線0C、QD,C、。為切點,

94

若配?藥=0,求出動點Q的軌跡方程;

爐+￡

(3)在(2)問中若橢圓方程為=1(。>〃>()),其余條件都不變，那么動點Q的軌跡方程是

什么(直接寫出答案即可，無需過程).

【解析】(1)由切線的性質(zhì)及內(nèi).麗=0可知，四邊形OAPB為正方形，所以點P在以O為圓心，|。尸|

長為半徑的圓上，且|。閆=&|。4|=及r,進而動點P的軌跡方程為爐+丁=2/

(2)設兩切線為(4，

□當/與x軸不垂直且不平行時，設點Q的坐標為。(/，*)則//±3,

22

設/斜率為h則4的斜率為」4的方程為卜％=心-獷聯(lián)立三+3=1,

k

2

得(4+9%2)%2+18化(％—Ax0)x+9(y0-fcc0)—36=0,

因為直線與橢圓相切,所以△=()，得/242(9一版。)2-4(4+9%2).9[(%-5)2-4]=0

化簡，942(%-5)2-(4+9k2)(%-5)2+(4+9爐)4=0

進而(%-5)2-(4+9-2)=0,所以(年-9)22-2工0%女+此一4=()

所以七是方程(片-9)42-2%濟女+4-4=()的一個根，同理是方程

K

2

(片-9)k-2xoyok+尤—4=0的另一個根,得*+y；=13,其中X。#±3,

口當(,無軸或4//x軸時，對應4//x軸或/,Lx軸，可知P(±3，±2);

因為P(±3,±2)滿足上式，綜上知：點P的軌跡方程為用+y：=13.

(3)動點Q的軌跡方程是+=/+/

五、