押福建卷第18題【四邊形與三角形全等結(jié)合】(原卷版+解析)

押福建卷第18題四邊形與三角形全等結(jié)合題號(hào)分值2022年

中考2021年

中考2020年

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中考2018年

中考188三角形全等三角形全等菱形與三角形全等矩形與三角形全等平行四邊形與三角形全等解題技巧（1）三角形全等：熟練掌握三角形判定與性質(zhì)，垂線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)。（2）平行四邊形：熟練掌握平行四邊形與特殊平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，特殊平行四邊形重點(diǎn)在于特殊性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用?！菊骖}1】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊DC，DA上，且CE=AF．求證：∠ABF=∠CBE．【真題2】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點(diǎn)，且DF＝BE.求證：AF=CE.1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，如圖，在?ABCD中，延長AB到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得BE=DF，連接EF，分別交BC，AD于點(diǎn)M，N，連接AM，CN．(1)求證：△BEM≌△DFN；(2)求證：四邊形AMCN是平行四邊形．2．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線BC上兩點(diǎn)，且滿足BF=DE．求證：AF∥3．（2023春·福建廈門·九年級(jí)廈門雙十中學(xué)校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且∠ADF=∠CBE，連接DE、BF．求證：DF=BE．4．（2023春·福建廈門·九年級(jí)廈門市松柏中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、DE上，AF=AB，∠AFE=∠B，求證：AD=DE5．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，點(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)，連接MB，MC，若∠MBC=∠MCB，求證：6．（2023·福建三明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，求證：AE=CF．7．(2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，連結(jié)DE，BF．求證：DE=BF．8．（2023春·福建福州·九年級(jí)福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，AE=CF9．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，△AGB與△CGD關(guān)于點(diǎn)G中心對(duì)稱，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在GA，GC上，且AE=CF，求證：BF=DE．10．（2023秋·福建廈門·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，AE，CF分別平分∠BAD和11．(2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，荾形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，AF=CE，求證：AE=CF．12．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，AE與CD交于點(diǎn)F．求證：△DAF≌△ECF．13．(2023秋·福建福州·九年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E恰好落在AD邊上，BH⊥CE交于點(diǎn)H，求證：BH=CD．14．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)F、C在AD上，已知AB∥DE，AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°．求證：四邊形BCEF是矩形．15．(2023秋·福建漳州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且CE=CF．求證：16．(2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F．求證：AE=CF．17．(2023秋·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD、AB上，DE=BF．求證：EC=FC．18．(2023秋·福建福州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F．連接AF、CE．試判斷AF與CE的關(guān)系并說明理由．19．(2023秋·福建三明·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD、EC．(1)求證：△ADC≌(2)若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．20．(2023春·福建龍巖·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的BC邊上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DH⊥AE，垂足為點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)F．求證：AF＝BE．21．(2023·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（AD>AB），點(diǎn)E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足為F，求證：DF=AB．22．(2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，在□ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：BE＝DF．23．（2023春·福建廈門·九年級(jí)廈門市蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．24．（2023春·福建福州·九年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)校考期中）如圖，在?ABCD中，E，G，H，F(xiàn)分別是AB,?BC,?CD,?25．(2023·福建福州·福建省福州外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E、F分別在平行四邊形ABCD的邊BC、AD上，若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，求證AF=CE．押福建卷第18題四邊形與三角形全等結(jié)合題號(hào)分值2022年

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中考2018年

中考188三角形全等三角形全等菱形與三角形全等矩形與三角形全等平行四邊形與三角形全等解題技巧（1）三角形全等：熟練掌握三角形判定與性質(zhì)，垂線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)。（2）平行四邊形：熟練掌握平行四邊形與特殊平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，特殊平行四邊形重點(diǎn)在于特殊性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用。【真題1】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊DC，DA上，且CE=AF．求證：∠ABF=∠CBE．答案:證明見解析.【詳解】試題分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC，∠A＝∠C，再證明ΔABF≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．試題解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，AF=CE∠A=∠C∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF=∠CBE．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)．【真題2】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點(diǎn)，且DF＝BE.求證：AF=CE.答案:證明見解析分析：由SAS證明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△CBE中，AD＝BC∠D＝∠B∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，如圖，在?ABCD中，延長AB到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得BE=DF，連接EF，分別交BC，AD于點(diǎn)M，N，連接AM，CN．(1)求證：△BEM≌△DFN；(2)求證：四邊形AMCN是平行四邊形．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAD=∠ADF，∠EBC=∠BCD，∠E=∠F，求出∠ADF=∠EBC，根據(jù)全等三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)全等求出DN=BM，求出AN=CM，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD，AB∥CD，∴∠BAD=∠ADF，∠EBC=∠BCD，∠E=∠F，∴∠ADF=∠EBC，在△DFN和△BEM中∠F=∠EDF=BE∴△DFN≌△BEMASA（2）證明：由（1）知△DFN≌△BEM，∴DN=BM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，且AD∥BC，∴AD?DN=BC?BM，∴AN=CM，AN∥CM，∴四邊形ANCM是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線BC上兩點(diǎn)，且滿足BF=DE．求證：AF∥答案:證明過程見解析分析：由題中條件證明△ABF?△CDE，得出∠BFA=∠DEC，根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∠ABD=∠CDB，又∵BF=DE，∴△ABF?△CDESAS∴∠BFA=∠DEC，∴AF∥【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建廈門·九年級(jí)廈門雙十中學(xué)校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且∠ADF=∠CBE，連接DE、BF．求證：DF=BE．答案:見詳解分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=CB，AD∥CB，再結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可推導(dǎo)∠DAF=∠BCE，即可證明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性質(zhì)可證明【詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=CB，AD∥∴∠DAF=∠BCE，又∵∠ADF=∠CBE，∴在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBEAD=CB∴△ADF≌△CBE(ASA∴DF=BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ADF≌△CBE是解題關(guān)鍵．4．（2023春·福建廈門·九年級(jí)廈門市松柏中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、DE上，AF=AB，∠AFE=∠B，求證：AD=DE答案:見解析分析：利用平行四邊形的性質(zhì)，先得出△DFA與△ECD全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD∥∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，∵∠AFE=∠B，∠AFE+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠C，又∵AF=AB，∴AF=DC，∴△DFA≌∴AD=DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論．5．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，點(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)，連接MB，MC，若∠MBC=∠MCB，求證：答案:證明見解析分析：先由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，再由線段中點(diǎn)的定義得到AM=DM，由等角對(duì)等邊得到MB=MC，進(jìn)而證明△ABM≌△DCMSSS，得到∠A=∠D=90°【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∴∠A+∠D=180°，∵點(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)，∴AM=DM，∵∠MBC=∠MCB，∴MB=MC，∴△ABM≌△DCMSSS∴∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·福建三明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，求證：AE=CF．答案:見解析分析：解法一：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABE=∠CDF，再由AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，可得∠BAE=∠DCF，再證明△BAE≌△DCF即可得證．解法二：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CBF，再由AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，可得∠DAE=∠BCF，再證明△DAE≌△BCF即可得證．【詳解】解法一：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD．∴∠ABE=∠CDF．∵AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD∵∠BAD=∠BCD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠BAE=∠DCF∴△BAE≌△DCFASA∴AE=CF．解法二：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD．∴∠ADE=∠CBF．∵AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，∴∠DAE=12∠BAD∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAE=∠BCF．∵AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∴△DAE≌△BCFASA∴AE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．7．(2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，連結(jié)DE，BF．求證：DE=BF．答案:見解析分析：運(yùn)用SAS證明△DAE?△BAF即可得到結(jié)論【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，∴AE=12AB∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB．∴AE=AF．又∵∠A=∠A，∴△DAE?△BAF．∴DE=BF．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023春·福建福州·九年級(jí)福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，AE=CF答案:見解析分析：由四邊形ABCD是菱形得到DA=DC，則∠DAC=∠DCA，即可證明△DAE≌△DCFSAS，則∠ADE=∠CDF【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，在△DAE和△DCF中，DA=DC∴△DAE≌△DCFSAS∴∠ADE=∠CDF，∴∠ADE+∠EDF=∠CDF+∠EDF，∴∠ADF=∠CDE．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，△AGB與△CGD關(guān)于點(diǎn)G中心對(duì)稱，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在GA，GC上，且AE=CF，求證：BF=DE．答案:證明見解析分析：先根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)得到BG=DG，AG=CG，再證明EG=FG即可利用SAS證明△DGE≌△BGF【詳解】證明：∵△AGB與△CGD關(guān)于點(diǎn)G中心對(duì)稱，∴BG=DG，∵AE=CF，∴AG?AE=CG?CF，∴EG=FG，又∵∠DGE=∠BGF，∴△DGE≌△BGFSAS∴BF=DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·福建廈門·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，AE，CF分別平分∠BAD和答案:見解析分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABE=∠CDF，再由AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，可得【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∴∠ABE=∵AE，CF分別平分∠BAD和∴∠BAE=12∠BAD∵∠BAD=∴∠BAE=∵AB=∴△BAE≌∴BE=【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．11．(2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，荾形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，AF=CE，求證：AE=CF．答案:證明見解析分析：解法一：由菱形的性質(zhì)和已知可得AD=CD，DF=DE，再證明△ADE≌△CDFSAS解法二：連接AC，由菱形的性質(zhì)可得DA=DC，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠DAC=∠DCA，再證明△ACE≌△CAFSAS【詳解】證明：解法一：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD，又∵AF=CE，∴AD?AF=CD?CE，∴DF=DE，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠D=∠D∴△ADE≌△CDFSAS∴AE=CF．解法二：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，在△ACE和△CAF中，CA=AC∠EAC=∠FAC∴△ACE≌△CAFSAS∴AE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，運(yùn)用了一題多解的思路．靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．12．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，AE與CD交于點(diǎn)F．求證：△DAF≌△ECF．答案:見解析分析：由矩形與折疊的性質(zhì)可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，則AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°．在△DAF和△ECF中，∠DFA=∠EFC∠D=∠E∴△DAF≌△ECFAAS【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．13．(2023秋·福建福州·九年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E恰好落在AD邊上，BH⊥CE交于點(diǎn)H，求證：BH=CD．答案:證明見詳解分析：由平行線的性質(zhì)可得∠DEC=∠BCH，再根據(jù)“AAS”可得△EDC≌△CHB，【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCH，∵∠D=90°，∴∠D=∠BHC，由旋轉(zhuǎn)得，CE=CB，在△EDC和△CHB中，∠DEC=∠HCB∠D=∠BHC∴△EDC≌△CHB（∴BH=CD．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)“AAS”得到△EDC≌△CHB是解題關(guān)鍵．14．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)F、C在AD上，已知AB∥DE，AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°．求證：四邊形BCEF是矩形．答案:證明過程見詳解分析：證明△ABF≌△DEC(SAS)，可知BF=CE，再證明∠BFC=∠ECF，得出BF∥EC，由此可知平行四邊形BCEF，且∠CEF=90°，由矩形的判定即可求證．【詳解】證明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，在△ABF和△DEC中，AF=DC,∠A=∠D,AB=DE，∴△ABF≌△DEC(SAS)，∴BF=CE,∠AFB=∠DCE，∵∠AFB+∠BFC=180°,∠DCE+∠ECF=180°，∴∠BFC=∠ECF，∴BF∥EC，∴四邊形BCEF是平行四邊形，又∵∠CEF=90°，∴四邊形BCEF是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定，掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．15．(2023秋·福建漳州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且CE=CF．求證：答案:證明見解析分析：只需要利用SAS證明△ABE≌△ADF即可證明AE=AF．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，∵CE=CF，∴BC?CE=CD?CF，即BE=DF，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADFSAS∴AE=AF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明△ABE≌△ADF是解題的關(guān)鍵．16．(2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F．求證：AE=CF．答案:證明見解析.分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BA=BC，∵BE⊥AD，∴∠BEA=∠BFC=90°，在△ABE與△CBF中，∠BEA=∠BFC∠A=∠C∴△ABE?△CBFAAS∴AE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．17．(2023秋·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD、AB上，DE=BF．求證：EC=FC．答案:見解析分析：首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠D=∠B，CD=BC，然后證明出△【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D=∠B∴在△DEC和△DE∴△DEC∴EC=FC．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．18．(2023秋·福建福州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F．連接AF、CE．試判斷AF與CE的關(guān)系并說明理由．答案:AF=CE，AF∥CE．理由見解答．分析：先證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF得AE=CF，得四邊形AECF是平行四邊形；由平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解∶AF=CE，AF∥CE，理由如下∶∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴AE∥CF，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AF=CE，AF∥CE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．(2023秋·福建三明·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD、EC．(1)求證：△ADC≌(2)若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．答案:(1)見解析；(2)見解析分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED∠ACD=∠EDC∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個(gè)角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個(gè)角是直角的‘四邊形’是矩形”．20．(2023春·福建龍巖·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的BC邊上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DH⊥AE，垂足為點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)F．求證：AF＝BE．答案:證明見解析分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AB＝AD，∠DAB＝∠ABC，再根據(jù)DH⊥AE，可得∠ADH＝∠BAE，可知△ABE≌△DAF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAH+∠BAE＝90°，∵DH⊥AE，∴∠AHD＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠ADH＝∠BAE，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF＝BE．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，證明△ABE≌△DAF是解題的關(guān)鍵．21．(2023·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（AD>AB），點(diǎn)E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足為F，求證：DF=AB．答案:見解析分析：根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，求出∠DAF=∠AEB，△AFD≌【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠DFA=90°，AD∥∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中，∠DAF=∠AEB∠AFD=∠B∴△AFD≌△EBA（∴DF=AB．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：矩形的每個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)邊平行．22．(2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，在□ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證：BE＝DF．答案:見解析分析：根據(jù)全等三角形的判定理AAS證明ΔABE?【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠DCF，又∵BE⊥AC，DF⊥AC