第14講 橢圓（學(xué)生版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第14講橢圓【學(xué)習(xí)目標】1.了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義，標準方程及簡單幾何性質(zhì)3.通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想．4.了解橢圓的簡單應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】一、橢圓的概念平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a<c，則集合P為空集．二、橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2【解讀】1.利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．2.注意長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.3.求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．4.用標準方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標準形式.(2)確定焦點位置.(3)求出a,b,c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).5.利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系．②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．三、焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當(dāng)r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大；②S＝b2taneq\f(θ,2)＝ceq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0))，當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0))＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.四、焦點弦(過焦點的弦)焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq\f(2b2,a).五、弦長公式AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦(斜率為k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則弦長l＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|六、求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，求橢圓離心率或取值范圍七、橢圓中的最值問題1.橢圓中距離的最值問題的解法①利用橢圓的定義結(jié)合平面幾何知識求解(適用于所求的表達式中隱含有長軸或者離心率e)或利用均值不等式；②根據(jù)橢圓標準方程的特點，把距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題(適用于定點在橢圓的對稱軸上)；③用橢圓的參數(shù)方程設(shè)動點的坐標，轉(zhuǎn)化為三角問題求解．2.橢圓中常見的最值問題(1)橢圓上的點P到二焦點的距離之積取得最大值的點是橢圓短軸的端點，取得最小值的點在橢圓長軸的端點。(2)橢圓上到的橢圓內(nèi)一個定點的距離與它到焦點距離之差取得最大值或最小值的點是這個定點與焦點連線延長線或反向延長線與橢圓的交點,最大值、最小值分別是定點到該焦點的距離和其相反數(shù)。(3)橢圓上到橢圓內(nèi)定點的距離與它到橢圓的一個焦點的距離之和取得最小值或最大值的點是另一焦點與定點連線的延長線或反向延長線與橢圓的交點。(4)橢圓上的點P到定點A的距離與它到橢圓的一個焦點F的距離的倍的和的最小值(為橢圓的離心率)，可通過轉(zhuǎn)化為(為P到相應(yīng)準線的距離)最小值，取得最小值的點是A到準線的垂線與橢圓的交點。(5)以過橢圓中心的弦的端點及橢圓的某一焦點構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點與該焦點構(gòu)成的三角形。(6)橢圓上的點與橢圓二焦點為頂點的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個端點與橢圓二焦點為頂點的三角形。(7)橢圓上的點與橢圓長軸的端點為頂點的面積最大的三角形是短軸的一個端點和長軸兩個端點為頂點的三角形。(8)橢圓上的點到坐標軸上的定點的距離最大值、最小值問題可利用兩點間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。(9)橢圓的焦點到橢圓上的距離最近和最遠點是橢圓長軸的兩個端點。八、橢圓中點弦問題1.根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決.2.點差法:在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點的有關(guān)問題時，我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個端點坐標分別為，代入圓錐曲線得兩方程后相減，得到弦中點坐標與弦所在直線斜率的關(guān)系，然后加以求解，這即為“點差法”，此法有著不可忽視的作用，其特點是巧代斜率.九、橢圓中的一個定值問題若點P是橢圓C上任意一點，點M，N是橢圓C上關(guān)于過原點對稱的兩點，且不與點P重合，則?！究键c剖析】考點一：求橢圓的方程例1．(2022學(xué)年廣東省廣州市育才中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓的兩個焦點分別為是橢圓上一點，，且離心率為，則橢圓C的標準方程為(

)A． B． C． D．考點二：橢圓定義的應(yīng)用例2．已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的周長為(

)A． B． C． D．考點三：求橢圓的離心率例3．(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)高二上學(xué)期第一次大測)己知橢圓的左右焦點分別、，過且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若，則該橢圓C的離心率______．考點四：求橢圓離心率的取值范圍例4．(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考)已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是(

)A． B．C． D．考點五：橢圓中的焦點三角形例5．已知分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．考點六：與橢圓有關(guān)的最值例6．(多選)(2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左?右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，B兩點，則下列說法正確的是(

)A．的周長為8 B．橢圓的長軸長為2C．的最大值為5 D．面積最大值為3考點七：直線與橢圓例7．(2022學(xué)年江西省臨川一中暨臨川一博中學(xué)高二下學(xué)期第月考)已知橢圓過點，且離心率為．(1)求該橢圓的方程；(2)在x軸上是否存在定點M，過該點的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，使得為定值？如果存在，求出點M坐標；如果不存在，請說明理由.【真題演練】1.(2021年新高考全國卷Ⅰ)已知,是橢圓的兩個焦點,點在上,則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．62.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第七高級中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考)若方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．3．(2021年高考全國卷乙)設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．4.(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學(xué)高二上學(xué)期第一次大測)以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點和，兩焦點為，是上的動點，斜率為的直線不經(jīng)過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點．下列結(jié)論正確的是(

)A．面積的最大值為2B．若直線方程為，則點坐標為C．若點坐標為，則直線方程為D．的最大值為25.(2022學(xué)年江蘇省淮安市淮陰中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有(

)A．若，則 B．面積的最大值為C．的最大值為 D．滿足是直角三角形的點有個6.(2022年新高考全國卷Ⅰ)已知橢圓,C的上頂點為A,兩個焦點為,,離心率為．過且垂直于的直線與C交于D,E兩點,,則的周長是________．7.(2022年新高考全國卷=2\*ROMANII)已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點,l與x軸,y軸分別交于M,N兩點,且,則l的方程為_______．8.(2021年新高考全國卷Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為,右焦點為,且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點,直線與曲線相切．證明：M,N,F三點共線的充要條件是．【過關(guān)檢測】1.橢圓以坐標軸為對稱軸，經(jīng)過點，且長軸長是短軸長的倍，則橢圓的標準方程為(

)A． B．C．或 D．或2.(2020-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，直線與直線的交點為P，若的面積是面積的2倍(O為坐標原點)，則該橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．3.(2022學(xué)年四川省攀枝花市第三高級中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，，分別是橢圓的左、右焦點，若點在的平分線上，且，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．4.(多選)平面上，動點M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是(

)A．M到兩定點，的距離之和為4B．M到兩定點，的距離之和為6C．M到兩定點，的距離之和為6D．M到兩定點，的距離之和為85.(多選)(2022學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期3月月考)已知橢圓：，：，則(

)A．，的焦點都在軸上 B．，的焦距相等C．，沒有公共點 D．離心率比離心率小6.(多選)(2022學(xué)年河北省衡水市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是E上異于頂點的一動點，圓I(圓心為I)與的三邊，，分別切于點A，B，C，延長PI交x軸于點D，作交于點H，則(

)．A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值7.(2022學(xué)年安徽省滁州市部分學(xué)校高二下學(xué)期4月聯(lián)考)已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長軸長與短軸長的比值為______．8.(2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高中高二上學(xué)期12月月考)已知橢圓：的離心率為，過右焦點F且傾斜角為的直線與橢圓形成的弦長為，且橢圓上存在4個點M，N，P，Q構(gòu)成矩形，則矩形MNPQ面積的最大值為_______