高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系練習(xí)理

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(\x(基)礎(chǔ))eq\x(回)eq\x(顧)一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系若圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2,那么點(diǎn)(x0,y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；圓內(nèi)?(x0
－a)2＋(y0－b)2＜r2.二、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓有三種位置關(guān)系:相離、相切和相交.有兩種判斷方法:1.代數(shù)法(判別式法).Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離.2.幾何法:圓心到直線的距離

一般宜用幾何法.三、圓與圓的位置關(guān)系:相離,外切,相交,內(nèi)切,內(nèi)含設(shè)圓O1與圓O2的半徑分別為r1和r2,于是有1.

>r1＋r2?相離.2.

＝r1＋r2?外切.3.

<

<r1＋r2?相交.4.

＝

?內(nèi)切.5.

<

?內(nèi)含.四、弦長求法一般采用幾何法:弦心距d,圓半徑r,弦長l,則d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＝r2.eq\a\vs4\al(\x(基)礎(chǔ))eq\x(自)eq\x(測)Ｋ1.直線y＝kx＋2與圓:x2＋y2＝1沒有公共點(diǎn)的充要條件是(B)A.k∈(－

,

)B.k∈(－

,

)C.k∈(－∞,－

)∪(

,＋∞)D.k∈(－∞,－

)∪(

,＋∞)解析:由圓心到直線的距離公式可得d＝

>1,解得－

<k<

,故選B.2.圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(A)A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析:點(diǎn)(1,2)關(guān)于y＝x對稱的點(diǎn)為(2,1).3.過原點(diǎn)的直線與圓
x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為2x－y＝0.解析:圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－1)2＋(y－2)2＝1,又相交所得弦長為2,故相交弦為圓的直徑,由此得直線過圓心(1,2),故所求直線方程為2x－y＝0.4.已知直線l:x－y＋4＝0與圓C:

＋

＝2,則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為

.解析：如圖,過圓心作直線l：x－y
＋4＝0的垂線,則AD長即為所求.∵C:

＋

＝2的圓心為C

,半徑為

,點(diǎn)C到直線l：x－y＋4＝0的距離為d＝

＝2

,∴|AD|＝|CD|－|AC|＝2

－

＝

,故C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為

.高考方向1.直線與圓的三種位置關(guān)系、弦長、最值等是近幾年高考命題的熱點(diǎn).2.常與橢圓、雙曲線、拋物線交匯考查,有時也與對稱性、平面幾何性質(zhì)結(jié)合考查.3.題型主要以選擇、填空為主,有時也會以解答
題形式出現(xiàn),屬中低檔題.eq\x(品)eq\x(味)eq\x(高)eq\x(考)1.(2014·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為

.解析:因為圓心(2,－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝

＝

,所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長為2

＝2

＝

.2.(2014·上海卷)已
知曲線C：x＝－

,直線l：x＝6.若對于點(diǎn)A(m,0),存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得

＋

＝0,則m的取值范圍為[2,3].解析：設(shè)Q(6,q),由

＋

＝0得P(2m－6,－q),又點(diǎn)P在曲線C上,所以

解得2≤m≤3.eq\x(高)eq\x(考)eq\x(測)eq\x(驗)1.已知圓C:x2＋y2－2x＋4y－4＝0,直線l:2x＋y＝0,則圓C上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為(C)A.1B.2C.3D.4解析:直線l:2x＋y＝0是確定的,圓上的動點(diǎn)到直線的距離的最大值為圓心到直線的距離加上圓的半徑.圓的圓心為(1,－2),半徑為3,因為點(diǎn)(1,－2)在直線l:2x＋y＝0上,所以,最大距離為圓的半徑3.故選C.2.已知x、y滿足x2＋y2＝4,則z＝3x－4y＋5的取值范圍是(A)A.[－5,15]B.[－10,10]C.[－2,2]D.[0,3]解析：z＝3x－4y＋5即直線3x－4y＋5－z＝0,由題意可得直線和圓x2＋y2＝4有交點(diǎn),故有

≤2,化簡可得－10≤z－
5≤10,解得－5≤z≤15,故選A.課時作業(yè)1.對任意的實(shí)數(shù)k,直線y＝kx
＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是(C)A.相離B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心解析:圓心C(0，0)到直線kx－y＋1＝0的距離為d＝

＜

＜

＝r，且圓心C(0，0)不在該直線上.故選C.2.直線x＋y＋

＝0截圓x2＋y2＝4所得劣弧所對圓心角為(D)A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)解析:弦心距為d＝

＝1,r＝2,∴cos

＝

,∴θ＝eq\f(2π,3).故選D.3.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi),過點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(B)A.5

B.10

C.15

D.20

解析:將圓方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10.設(shè)圓心為G,易知G(1,3).最長弦AC為過點(diǎn)E的直徑,則|AC|＝2

.最短弦BD為與GE垂直的弦,如圖所示．易知|BG|＝

,|EG|＝

＝

,|BD|＝2|BE|＝2eq\r(BG2－EG2)＝2eq\r(5).所以四邊形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝10eq\r(2).故選B.4.(2013·煙臺四校聯(lián)考)直線y＝x－1上的點(diǎn)到圓x2＋y2＋4x－2y＋4＝0上的點(diǎn)的最近距離是(C)A.±

B.

－1C.2

－1D.1解析:圓心坐標(biāo)為(－2,1),則圓心到直線y＝x－1的距離d＝

＝2

,又圓的半徑為1,則圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為2

－1.5.圓

＋(y＋1)2＝

與圓(x－sinθ)2＋(y－1)2＝

(θ為銳角)的位置關(guān)系是(D)A.相離B.外切C.內(nèi)切D.相交解析:兩圓圓心之間的距離d＝

＝

,因為θ為銳角,所以0<sinθ<1,

<sinθ＋

<

,

<

＋4<

,所以

<d<

,又兩圓的半徑之和為

,兩圓的半徑之差的絕對值為2,所以兩圓相交.6.若直線y＝x＋b與曲線y＝3－

有公共點(diǎn),則b的取值范圍是(D)A.[1－2

,1＋2

]B.[1－

,3]C．[－1,1＋2

]D．[1－2

,3]解析:曲線方程化簡為(x－2)2＋(y－3)2＝4＜(0≤y≤3),即表示圓心為(2,3)半徑為2的半圓,利用數(shù)形結(jié)合,當(dāng)直線y＝x＋b與此半圓相切時須滿足圓心(2,3)到直線y＝x＋b距離等于2,解得b＝1＋2

或b＝1－2

,∵是下半圓,故可得b＝1＋2

(舍去),當(dāng)直線過(0,3)時,解得b＝3,故1－2

≤b≤3.7.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2

,則a＝1.解析:方程x2＋y2＋2ay－6＝0與
x2＋y2＝4.相減得2ay＝2,則y＝

.由已知條件

＝

,即a＝1.8.已知圓C:x2＋y2－6x－6y＋17＝0,過原點(diǎn)的直線l被圓C所截得的弦長最長,則直線l的方程是x－y＝0.解析:圓的最長弦為圓的直徑,所以直線l經(jīng)過圓的圓心(3,3),因為直線l過原點(diǎn),所以其方程為x－y＝0.9.已知點(diǎn)A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4,從點(diǎn)A發(fā)出的一束光線經(jīng)過x軸反射到圓C的最短路程是9.解析：點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(－1,－1),又圓心坐標(biāo)為C(5,7
),圓的半徑r＝2,根據(jù)幾何光學(xué)的性質(zhì),所求的最短路程為|A′C|－r＝eq\r(（－1－5）2＋（－1－7）2)－2＝8.10.已知圓C1:x2＋y2＝2和圓C2,直線l與圓C1相切于點(diǎn)A(1,1),圓C2的圓心在射線2x－y＝0(x≥0)上,圓C2過原點(diǎn),且被直線l截得的弦長為4

.(1)求直線l的方程；(2)求圓C2的方程.解析：(1)∵AO⊥l,∴kl＝－eq\f(1,kOA)＝－1.又∵切點(diǎn)為A(1,1)∴直線l的方程是y－1＝－
(x－1),即x＋y－2＝0.(2)設(shè)圓心C2(a,2a)(a≥0),則r＝

a,∵C2到直線l的距離
d＝

,∴

＋12＝5a2,化簡得a2＋12a－28＝0,解得a＝2或a＝－14(舍去).∴C2的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝20.11.
已知圓O:x2＋y2＝1和圓C:(x－2)2＋(y－4)2＝1,由兩圓外一點(diǎn)P(a,b)引兩圓切線PA.PB,切點(diǎn)分別為A.B,且滿足|PA|＝|PB|.(1)求實(shí)數(shù)a、b間滿足的關(guān)系式；(2)求切線長|PA|的最小值；(3)是否存在以P為圓心的圓,使它與圓O相內(nèi)切且與圓C相外切？若存在,求出圓P的方程,若不存在,說明理由.解析:(1)∵|PA|＝

,PB＝

,∴a