高中數(shù)學(xué)專題練習(xí)20-立體幾何中的平行與垂直問題(新高考地區(qū)專用)解析版

立體幾何中的平行與垂直問題一、題型選講題型一、線面平行與垂直知識點撥：證明直線與平面的平行與垂直問題，一定要熟練記憶直線與平面的平行與垂直判定定理和性質(zhì)定理，切記不可缺條件。直線與平面的平行有兩種方法：一是在面內(nèi)找線；二是通過面面平行轉(zhuǎn)化。直線與平面垂直關(guān)鍵是找兩條相交直線例1、如圖，在四棱錐PABCD中，M，N分別為棱PA，PD的中點．已知側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求證：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.例2、如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B為矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，點E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1B1B，BB1C1C對角線的交點．(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求證：BB1⊥AC.例3、如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分別是AB1和BC的中點．求證：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.例4、如圖，三棱錐DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F(xiàn)分別為BD，CD的中點．求證：(1)EF∥平面ABC；(2)BD⊥平面ACE.例5、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，A1B1⊥B1C1.設(shè)A1C與AC1交于點D，B1C與BC1交于點E.求證：(1)DE∥平面ABB1A1；(2)BC1⊥平面A1B1C.例6、如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分別為BC，B1C1的中點，點F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求證：(1)直線A1E∥平面ADC1；(2)直線EF⊥平面ADC1.題型二、線面與面面平行與垂直證明平面與平面的平行與垂直問題，一定要熟練記憶平面與平面的平行與垂直判定定理和性質(zhì)定理，切記不可缺條件。平面與平面的平行關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找兩條相交直線；平面與平面垂直可以從二面角入手頁可以從線面垂直進行轉(zhuǎn)化。例7、（2020年江蘇高考）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．例8、在四棱錐SABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．(1)求證：平面SAC⊥平面SBD；(2)若點M是棱AD的中點，點N在棱SA上，且AN＝eq\f(1,2)NS，求證：SC∥平面BMN.例9、ABCDPEF如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCDPEF，E，F(xiàn)分別是PC，AD的中點．求證：（1）BE⊥CD；（2）EF∥平面PAB．例10、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，AC的中點．(1)求證：B1C1∥平面A1DE；(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求證：AB⊥DE.例11、如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點在棱上(異于點，)，平面與棱交于點．（1）求證：；ABCDEFP(（2）若平面ABCDEFP(二、達標(biāo)訓(xùn)練1、如圖，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求證：AC∥平面BEF.2、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點．求證：(1)MN∥平面ABB1A1；(2)AN⊥A1B.3、如圖，已知矩形ABCD所在平面與△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分別為DE，AB，BE的中點．(1)求證：MN∥平面BEC；(2)求證：AH⊥CE.4、如圖，在三棱錐PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，CP⊥PB，求證：CP⊥PA；(2)若過點A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC.．5、如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，點Q是棱PC上異于P，C的一點．(1)求證：BD⊥AC；(2)過點Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF(點F在棱PB上)，求證：QF∥BC.立體幾何中的平行與垂直問題一、題型選講題型一、線面平行與垂直知識點撥：證明直線與平面的平行與垂直問題，一定要熟練記憶直線與平面的平行與垂直判定定理和性質(zhì)定理，切記不可缺條件。直線與平面的平行有兩種方法：一是在面內(nèi)找線；二是通過面面平行轉(zhuǎn)化。直線與平面垂直關(guān)鍵是找兩條相交直線例1、(2019南通、泰州、揚州一調(diào)）如圖，在四棱錐PABCD中，M，N分別為棱PA，PD的中點．已知側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求證：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.【證明】(1)在四棱錐P－ABCD中，M，N分別為棱PA，PD的中點，所以MN∥AD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC.(6分)(2)因為底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥側(cè)面PAD.(8分)又MD?側(cè)面PAD，所以AB⊥MD.(10分)因為DA＝DP，又M為AP的中點，從而MD⊥PA.(12分)又PA，AB在平面PAB內(nèi)，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)例2、(2019揚州期末）如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B為矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，點E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1B1B，BB1C1C對角線的交點．(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求證：BB1⊥AC.規(guī)范解答(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B，四邊形BB1C1C均為平行四邊形，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1B1B，BB1C1C對角線的交點，所以E，F(xiàn)分別是AB1，CB1的中點，所以EF∥AC.(4分)因為EF?平面ABC，AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)(2)因為四邊形AA1B1B為矩形，所以BB1⊥AB.因為平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1?平面AA1B1B，所以BB1⊥平面ABC.(12分)因為AC?平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)例3、(2019南京、鹽城二模）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分別是AB1和BC的中點．求證：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.規(guī)范解答(1)連結(jié)A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以四邊形AA1B1B是平行四邊形．又因為D是AB1的中點，所以D也是BA1的中點．(2分)在△BA1C中，D和E分別是BA1和BC的中點，所以DE∥A1C.又因為DE?平面ACC1A1，A1C?平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DE∥A1C，因為A1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.(8分)又因為BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE?平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.又因為AE?平在ADE，所以AE⊥BC1.(10分)在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中點，所以AE⊥BC.(12分)因為AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC?平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1.(14分)例4、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）如圖，三棱錐DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F(xiàn)分別為BD，CD的中點．求證：(1)EF∥平面ABC；(2)BD⊥平面ACE..規(guī)范解答(1)三棱錐DABC中，因為E為DB的中點，F(xiàn)為DC的中點，所以EF∥BC，(3分)因為BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分)(2)因為AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC?平面BCD所以AC⊥平面BCD，(8分)因為BD?平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)因為DC＝BC，E為BD的中點，所以CE⊥BD，(12分)因為AC∩CE＝C，AC，CE?平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)例5、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，A1B1⊥B1C1.設(shè)A1C與AC1交于點D，B1C與BC1交于點E.求證：(1)DE∥平面ABB1A1；(2)BC1⊥平面A1B1C.規(guī)范解答(1)因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，所以側(cè)面ACC1A1為平行四邊形．又A1C與AC1交于點D，所以D為AC1的中點，同理，E為BC1的中點．所以DE∥AB.(3分)又AB?平面ABB1A1，DE?平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.(6分)(2)因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因為A1B1?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1.(8分)又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1?平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分)又因為BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.(12分)又因為側(cè)面BCC1B1為正方形，所以BC1⊥B1C.又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C.(14分)例6、(2017蘇北四市一模）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分別為BC，B1C1的中點，點F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求證：(1)直線A1E∥平面ADC1；(2)直線EF⊥平面ADC1.規(guī)范解答(1)證法1連結(jié)ED，因為D，E分別為BC，B1C1的中點，所以B1E∥BD且B1E＝BD，所以四邊形B1BDE是平行四邊形，(2分)所以BB1∥DE且BB1＝DE.又BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以AA1∥DE且AA1＝DE，所以四邊形AA1ED是平行四邊形，所以A1E∥AD.(4分)又因為A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，所以直線A1E∥平面ADC1.(7分)證法2連結(jié)ED，連結(jié)A1C，EC分別交AC1，DC1于點M，N，連結(jié)MN，則因為D，E分別為BC，B1C1的中點，所以C1E∥CD且C1E＝CD，所以四邊形C1EDC是平行四邊形，所以N是CE的中點．(2分)因為A1ACC1為平行四邊形，所以M是A1C的中點，(4分)所以MN∥A1E.又因為A1E?平面ADC1，MN?平面ADC1，所以直線A1E∥平面ADC1.(7分)(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.又△ABC是正三角形，且D為BC的中點，所以AD⊥BC.(9分)又BB1，BC?平面B1BCC1，BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，又EF?平面B1BCC1，所以AD⊥EF.(11分)又EF⊥C1D，C1D，AD?平面ADC1，C1D∩AD＝D，所以直線EF⊥平面ADC1.(14分)題型二、線面與面面平行與垂直證明平面與平面的平行與垂直問題，一定要熟練記憶平面與平面的平行與垂直判定定理和性質(zhì)定理，切記不可缺條件。平面與平面的平行關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找兩條相交直線；平面與平面垂直可以從二面角入手頁可以從線面垂直進行轉(zhuǎn)化。例7、（2020年江蘇高考）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．【解析】（1）由于分別是的中點，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.例8、(2019宿遷期末）在四棱錐SABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．(1)求證：平面SAC⊥平面SBD；(2)若點M是棱AD的中點，點N在棱SA上，且AN＝eq\f(1,2)NS，求證：SC∥平面BMN.規(guī)范解答(1)因為SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SA⊥BD.(2分)又因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又SA，AC?平面SAC，且SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.(5分)由BD?平面SBD，得平面SAC⊥平面SBD.(7分)(2)設(shè)AC與BM的交點為E，連結(jié)NE.由底面ABCD是菱形，得AD∥BC.所以eq\f(AE,EC)＝eq\f(AM,BC)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(1,2).(9分)又因為AN＝eq\f(1,2)NS，所以eq\f(AE,EC)＝eq\f(AN,NS)＝eq\f(1,2)，所以NE∥SC.(11分)因為NE?平面BMN，SC?平面BMN，所以SC∥平面BMN.(14分)例9、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）ABCDPEF如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCDPEF，E，F(xiàn)分別是PC，AD的中點．求證：（1）BE⊥CD；（2）EF∥平面PAB．證（1）在△PBC中，因為，E是PC的中點，所以BE⊥PC.……2分又因為平面BPC⊥平面DPC，平面BPC平面DPC，平面BPC，ABCDPEFH所以BABCDPEFH又因為平面DPC，所以BE⊥CD.……7分（2）取PB的中點H，連結(jié)EH，AH.在△PBC中，又因為E是PC的中點，所以HE∥BC，.……9分又底面ABCD是平行四邊形，F(xiàn)是AD的中點，所以AF∥BC，.所以HE∥AF，，所以四邊形AFEH是平行四邊形，所以EF∥HA.……12分又因為平面PAB，平面PAB，所以EF∥平面PAB.……14分例10、(2018揚州期末）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，AC的中點．(1)求證：B1C1∥平面A1DE；(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求證：AB⊥DE.規(guī)范解答(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形B1BCC1是平行四邊形，所以B1C1∥BC.(2分)在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，故BC∥DE，所以B1C1∥DE.(4分)又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(7分)(2)如圖，在平面ABB1A1內(nèi)，過A作AF⊥A1D于F.因為平面A1DE⊥平面A1ABB1，平面A1DE∩平面A1ABB1＝A1D，AF?平面A1ABB1，所以AF⊥平面A1DE.(11分)又DE?平面A1DE，所以AF⊥DE.在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，DE?平面ABC，所以A1A⊥DE.因為AF∩A1A＝A，AF?平面A1ABB1，A1A?平面A1ABB1，所以DE⊥平面A1ABB1.因為AB?平面A1ABB1，所以DE⊥AB.(14分)(注：作AF⊥A1D時要交代在平面內(nèi)作或要交代垂足，否則扣1分．)例11、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點在棱上(異于點，)，平面與棱交于點．（1）求證：；ABCDEFP(（2）若平面ABCDEFP(．規(guī)范解答（1）因為是矩形，所以又因為平面，平面，所以平面．又因為平面，平面平面，所以．（2）因為是矩形，所以．又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由（1）知，所以．二、達標(biāo)訓(xùn)練1、(2018無錫期末）如圖，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求證：AC∥平面BEF.規(guī)范解答(1)證明：因為DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DE⊥AC.(2分)因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，(4分)因為DE，BD?平面BDE，且DE∩BD＝D，所以AC⊥平面BDE.(6分)(2)證明：設(shè)AC∩BD＝O，取BE中點G，連結(jié)FG，OG，易知OG∥DE且OG＝eq\f(1,2)DE.(8分)因為AF∥DE，DE＝2AF，所以AF∥OG且AF＝OG，從而四邊形AFGO是平行四邊形，所以FG∥AO.(10分)因為FG?平面BEF，AO?平面BEF，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF.(14分)2、(2018蘇北四市期末）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點．求證：(1)MN∥平面ABB1A1；(2)AN⊥A1B.規(guī)范解答(1)如圖，取AB的中點P，連結(jié)PM，PB1.因為P，M分別是AB，AC的中點，所以PM∥BC，且PM＝eq\f(1,2)BC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因為N是B1C1的中點，所以PM∥B1N，且PM＝B1N.(2分)所以四邊形PMNB1是平行四邊形，所以MN∥PB1.(4分)而MN?平面ABB1A1，PB1?平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.(6分)(2)因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因為BB1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.(8分)又因為∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1.又平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1?平面A1B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1.(10分)又因為A1B?平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.連結(jié)AB1，在平行四邊形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B.又因為NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1?平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N.(12分)而AN?平面AB1N，所以AN⊥A1B.(14分)3、(2018南京、鹽城、連云港二模）如圖，已知矩形ABCD所在平面與△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分別為DE，AB，BE的中點．(1)求證：MN∥平面BEC；(2)求證：AH⊥CE.規(guī)范解答(1)解法1取CE中點F，連結(jié)FB，MF.因為M為DE的中點，F(xiàn)為CE的中點，所以MF∥CD且MF＝eq\f(1,2)CD.(2分)又因為在矩形ABCD中，N為AB的中點，所以BN∥CD且BN＝eq\f(1,2)CD，所以MF∥BN且MF＝BN，所以四邊形BNMF為平行四邊形，所以MN∥BF.(4分)又MN?平面BEC，BF?平面BEC，所以MN∥平面BEC.(6分)解法2取AE中點G，連結(jié)MG，GN.因為G為AE的中點，M為DE的中點，所以MG∥AD.又因為在矩形ABCD中，BC∥AD，所以MG∥BC.又因為MG?平面BEC，BC?平面BEC，所以MG∥平面BEC.(2分)因為G為AE的中點，N為AB的中點，所以GN∥BE.又因為GN?平面BEC，BE?平面BEC，所以GN∥平面BEC.又因為MG∩GN＝G，MG，GN?平面GMN，所以平面GMN∥平面BEC.(4分)又因為MN?平面GMN，所以MN∥平面BEC.(6分)(2)因為四邊形ABCD為矩形，所以BC⊥AB.因為平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC?平面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABE.(8分)因為AH?平面ABE，所以BC⊥AH.因為AB＝AE，H為BE的中點，所以BE⊥AH.(10分)因為BC∩BE＝B，BC?平面BEC，BE?平面BEC，所以AH⊥平面BEC.(12分)又因為CE?平面BEC，所以AH⊥CE.(14分)4、(2018蘇州暑假測試）如圖，在三棱錐PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，CP⊥PB，求證：CP⊥PA；(2)若過