第3章 不等式 章末題型歸納總結(jié)-蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練（解析版）

第第頁第3章不等式章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用經(jīng)典題型二：利用基本不等式求最值經(jīng)典題型三：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法經(jīng)典題型四：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用經(jīng)典題型五：恒成立與有解問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用例1．（多選題）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則【答案】ACD【解析】對于A中，若，則，所以，所以A正確；對于B中，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以B不正確；對于C中，若，，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可得，所以C正確；對于D中，若，可得，所以，所以D正確.故選：ACD.例2．（多選題）（2023·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校校考期末）下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【解析】對于A，因?yàn)椋?，則，故A正確；對于B，取，則滿足，但，故B錯(cuò)誤；對于C，取，則滿足，但，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，則，所以，故D正確.故選：AD.例3．（多選題）（2023·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，，，下列敘述正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．【答案】AD【解析】對于A，根據(jù)不等式性質(zhì)，若，，則，故A正確；對于B，若，則，不等式兩邊同乘，則，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D，等價(jià)于，成立，故D正確.故選：AD.例4．（多選題）（2023·河北衡水·高一衡水市第二中學(xué)校考期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，所以A正確；因?yàn)?，所以，所以B正確；因?yàn)椋?，所以，所以C不正確；因?yàn)?，所以，，，所以，所以D正確.故選：ABD.例5．（多選題）（2023·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）若，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確，因?yàn)椋?，又，∴，故C正確；對于D：令，，，，滿足，但是，故D錯(cuò)誤.故選：BC例6．（多選題）（2023·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，則下列正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由，可得，又，所以，故A正確；由，可得，又，所以，故B錯(cuò)誤；由，可得，又，所以，故C正確；因?yàn)?，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.例7．（多選題）（2023·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知且，則（

）A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C．a(chǎn)b的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】ABC【解析】因?yàn)榍?，，所以，，故AB正確；當(dāng)時(shí)，，又，所以，故；當(dāng)時(shí)，又，所以；當(dāng)時(shí)，；綜上，且，可得，故C正確；當(dāng)時(shí)，，又，所以，故；當(dāng)時(shí)，又，所以；當(dāng)時(shí)，；綜上，且，可得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.例8．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】對于A中，由，可得，所以，所以A正確；對于B中，若，，則，所以，所以B不正確；對于C中，若，則，所以C正確；對于D中，若，則，所以D正確．故選：ACD.例9．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）對于實(shí)數(shù)，，，正確的命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則， D．若，，則【答案】ABD【解析】對選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；對選項(xiàng)B，，，所以，因?yàn)?，所以，即，故B正確；對選項(xiàng)C，令，，滿足，不滿足，.對選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：ABD經(jīng)典題型二：利用基本不等式求最值例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．【解析】（1）我們首先來證明一個(gè)不等式：因?yàn)?，所以，所以不等式成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；由題意，且，因此，所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.（2）因?yàn)?，所以根?jù)“乘1法”并利用基本不等式可得，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知.(1)求證：；(2)求的最小值.【解析】（1）由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，得證.（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為2.例12．（2023·山東臨沂·高一校考開學(xué)考試）求下列代數(shù)式的最值(1)已知，求的最小值；(2)已知，且滿足，求的最小值；【解析】（1）因?yàn)?則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值為5.（2）因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),.例13．（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎?，且，.(1)求的最小值；(2)求的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為3.（2），因?yàn)?，所以，所以原式，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.例14．（2023·廣東揭陽·高一普寧市華僑中學(xué)?？计谥校?1)已知正數(shù)、滿足，求的最小值；(2)求函數(shù)的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為；（2）因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值.例15．（2023·福建福州·高一福建省長樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)在（1）的條件下，求的最小值；【解析】（1）由題設(shè)，即在上恒成立，所以，可得.（2）由（1）知：，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為.例16．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知且，求的最小值.【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值；（2），，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即時(shí)，上式取等號(hào).故當(dāng)時(shí)，.例17．（2023·江蘇宿遷·高一?？计谥校?）求的最小值，并求取得最小值時(shí)的值；（2）若正實(shí)數(shù)、滿足，求的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值；（2）由已知可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.例18．（2023·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【解析】（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有最小值；（2）由題意，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即是等號(hào)成立，結(jié)合，知時(shí)，有最小值為.例19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值．【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即．例20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值．【解析】因?yàn)?，所以，又，所以＝?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為.例21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)滿足，求的取值范圍．【解析】由于都是正數(shù)，又，根據(jù)基本不等式，，對不等式平方整理可得，，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，即例22．（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）（1）已知，，求的取值范圍；（2）已知正數(shù)x，y滿足.（i）求的最大值；（ii）求的最小值.【解析】（1）由，得，又，得；（2）（i）因?yàn)檎龜?shù)x，y，由基本不等式得，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最大值；（ii）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號(hào)，故的最小值為4.例23．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校?）已知求的最大值（2）已知求的最大值（3）已知，且，求的最小值【解析】（1）因?yàn)?，所以，故由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為；（2）因?yàn)?，所以，，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故的最大值為；（3）已知，且，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.經(jīng)典題型三：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法例24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）重新考查不等式.這個(gè)不等式的左邊可分解因式為.根據(jù)實(shí)數(shù)乘法的符號(hào)法則，問題可歸結(jié)為求一元一次不等式組（1）和（2）的兩個(gè)解集的并集不等式組（1）的解為，不等式組（2）無解，從而不等式的解集為.試用上述方法解下面的不等式：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）由，得或，解得或，所以原不等式的解集為或；（2）由，得或，解得或，所以原不等式的解集為；（3）由，得或，解得或，所以原不等式的解集為；（4）由，得或，解得或，所以原不等式的解集為或.例25．（2023·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解下列不等式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）由，得，得，所以不等式的解集為.（2）由得，得，得，得或，即或，所以原不等式的解集為或.（3）由得，所以.所以原不等式的解集為.例26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）解不等式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）可化為，即，解得，∴原不等式的解集為.（2），∴原不等式的解集為.（3）∴原不等式的解集為.例27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式【解析】原不等式可化為.當(dāng)，即時(shí)，或；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，或.綜上，當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.例28．（2023·高一單元測試）設(shè).(1)若不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.【解析】（1）由題意，不等式對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，等價(jià)于對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）不等式，即，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.例29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【解析】方程：且解得方程兩根：；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：綜上所述,當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：例30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【解析】由對應(yīng)函數(shù)開口向上，且，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，原不等式解集為；當(dāng)，即或時(shí)，由，可得，所以原不等式解集為；綜上，解集為；或解集為.例31．（2023·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集是，求不等式的解集.【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以是方程的解，由韋達(dá)定理解得，故不等式為，即，解得或，故不等式得其解集為或.例32．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，解關(guān)于的不等式．【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式為，若，不等式為，解得；若，解得或；，解得或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是或．例33．（2023·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集.【解析】（1）原不等式化為，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，的根為且，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，解得；當(dāng)時(shí)，的根為且，解得或；當(dāng)時(shí)，由解得，故不等式解集為.綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.（2）由題意得，且，解得，不等式可化為，即，解得或，故不等式解集為.經(jīng)典題型四：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例34．（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）（1）在面積為定值的矩形中，邊長是多少時(shí)矩形的周長最小？（2）在周長為定值的矩形中，邊長是多少時(shí)矩形的面積最大？【解析】（1）設(shè)矩形的相鄰兩條邊的長分別是，，由已知得，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)這個(gè)矩形是邊長為的正方形時(shí)，它的周長最小，最小值為；（2）設(shè)矩形的相鄰兩條邊的長分別是，，則，矩形的面積為，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)這個(gè)矩形是邊長為的正方形時(shí)，它的面積最大，最大為．例35．（2023·山東濟(jì)寧·高一嘉祥縣第一中學(xué)校考期末）為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設(shè)．(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形ABCD的面積最小）？【解析】（1）設(shè)陰影部分直角三角形的高為所以陰影部分的面積：，所以即：，由圖像知：，（2）由（1）知：，當(dāng)且僅當(dāng)即，即等號(hào)成立.綜上，選擇長寬分別為的海報(bào)紙.例36．（2023·湖南永州·高一校考期中）用一段長為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（靠墻的一面不用籬笆）的矩形菜園,墻長,問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積時(shí)多少?【解析】設(shè)圍成的矩形菜園的長為,寬為,菜園的面積為,由已知得:,,,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)上式取等號(hào),此時(shí),即當(dāng)長為,寬為7.2m時(shí),菜園的面積最大,最大面積為.例37．（2023·浙江溫州·高一校考階段練習(xí)）某市在建造運(yùn)動(dòng)會(huì)主體育場時(shí)需建造隔熱層，并要求隔熱層的使用年限為15年．已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬元，設(shè)每年的能源消耗費(fèi)用為萬元，隔熱層的厚度為厘米，兩者滿足關(guān)系式：(，為常數(shù))．若隔熱層的厚度為5厘米，則每年的能源消耗費(fèi)用為2萬元，15年的總維修費(fèi)用為20萬元，記為15年的總費(fèi)用．(總費(fèi)用＝隔熱層的建造成本費(fèi)用＋使用15年的能源消耗費(fèi)用＋15年的總維修費(fèi)用).(1)求常數(shù)；(2)請問當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時(shí)，15年的總費(fèi)用最小，并求出最小值．【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，（2）由(1)知()當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，最小值為70萬元例38．（2023·北京·高一校考階段練習(xí)）設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為，面的上下各空白，左右各留空白，怎樣設(shè)計(jì)畫面的高與寬，才能使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是多少？【解析】設(shè)畫面的高為厘米，寬為厘米，因?yàn)楫嬅婷娣e為，所以，所以，紙張的面積的表達(dá)式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時(shí)等號(hào)成立，所以畫面的高為，寬為時(shí)可使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是例39．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的等腰梯形菜園ABCD，，，．（單位：m），．(1)若籬笆的長度為12m，菜園的面積為，求x，y的值；(2)若要求菜園的面積為，求籬笆的長度的最小值．【解析】（1）如圖，過B作于E，過點(diǎn)C作于F，在中，，，，所以，．同理，，則．所以，即，則．（2），即，．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）,此時(shí)籬笆的最小值為9，例40．（2023·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在抗擊疫情中，某市根據(jù)需要迅速啟動(dòng)“方艙醫(yī)院”建設(shè)，在方艙醫(yī)院中要建1000個(gè)長方體形狀?高度恒定的相同房間，每個(gè)房間造價(jià)不超過960元.為了充分利用資源，每一個(gè)房間的后墻利用原有的五合板，不需要購買，正面用木質(zhì)纖維板隔離，每米造價(jià)60元.兩側(cè)面用高密度合成板，每米造價(jià)30元，頂部每平方米造價(jià)30元.設(shè)每個(gè)房間正面木質(zhì)纖維板長度為米，一側(cè)面高密度合成板的長度為米.(1)用，表示每個(gè)房間造價(jià)；(2)當(dāng)每個(gè)房間面積最大時(shí)，求的值.【解析】（1）根據(jù)題意，只需要計(jì)算正面、兩個(gè)側(cè)面和一個(gè)頂面的造價(jià)，則有：（）（2）根據(jù)題意，每個(gè)房間造價(jià)不超過960元，則有：即有：設(shè)每個(gè)房間的面積為S，則有：則有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得“=”解得：故當(dāng)每個(gè)房間面積最大時(shí)，例41．（2023·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谥校┮O(shè)計(jì)一張矩形廣告，矩形廣告牌的高與寬分別為a，b．(1)若該廣告欄目含有大小相等的上下和左右四欄，且四周空白的寬度為4，欄與欄之間的中縫空白寬度為2，如圖1所示．當(dāng)四欄面積之和為400時(shí)，怎樣確定矩形廣告牌的高a與寬b的尺寸，才能使得整個(gè)矩形廣告牌面積最小．(2)若該廣告欄目含有大小相等的左、右兩欄，且四周空白的寬度為8，欄與欄之間的中縫空白寬度為2，如圖2所示．當(dāng)廣告牌面積為1568時(shí)，如何設(shè)計(jì)左、右兩欄的高與寬，才能使得廣告欄目的面積最大？【解析】（1）設(shè)每一欄長x，寬為y，由題意可得，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以當(dāng)a為30，b為30時(shí)，整個(gè)矩形廣告牌面積最?。唬?）由題意可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)欄高，欄寬時(shí)，廣告欄目的面積最大，最大為512．例42．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，欲在山林一側(cè)建一矩形苗圃，苗圃左側(cè)為林地，三面通道與苗圃之間由柵欄隔開.(1)若苗圃面積為1250，求柵欄總長的最小值；(2)若柵欄總長為200，如何設(shè)計(jì)可使苗圃面積最大？【解析】（1）設(shè)苗圃的長，寬分別為a，b，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故柵欄總長的最小值為100米；（2）由題可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)長為50米寬為100米時(shí)苗圃面積最大，最大值為5000平方米．例43．（2023·浙江寧波·高一慈溪市滸山中學(xué)校聯(lián)考期中）自2020新冠疫情爆發(fā)以來，直播電商迅猛發(fā)展，以信息流為代表的各大社交平臺(tái)也相繼入場，平臺(tái)用短視頻和直播的形式，激發(fā)起用戶情感與場景的共鳴，讓用戶在大腦中不知不覺間自我說服，然后引起消費(fèi)行動(dòng).某廠家往年不與直播平臺(tái)合作時(shí)，每年都舉行多次大型線下促銷活動(dòng)，經(jīng)測算，只進(jìn)行線下促銷活動(dòng)時(shí)總促銷費(fèi)用為20萬元.為響應(yīng)當(dāng)?shù)卣酪哒?，決定采用線上（直播促銷）線下同時(shí)進(jìn)行的促銷模式，與某直播平臺(tái)達(dá)成一個(gè)為期4年的合作協(xié)議，直播費(fèi)用（單位：萬元）只與4年的總直播時(shí)長x（單位：小時(shí)）成正比，比例系數(shù)為0.1.已知與直播平臺(tái)合作后該廠家每年所需的線下促銷費(fèi)C（單位：萬元）與總直播時(shí)長x（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系為（，k為常數(shù)）.記該廠家線上促銷費(fèi)用與4年線下促銷費(fèi)用之和為y（單位：萬元）.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該廠家直播時(shí)長x為多少時(shí)，可使y最?。坎⑶蟪鰕的最小值.【解析】（1）由題得，當(dāng)時(shí)，，則，故該廠家4年促銷費(fèi)用與線上直播費(fèi)用之和為（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即線上直播150小時(shí)可使y最小為35萬元.經(jīng)典題型五：恒成立與有解問題例44．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)正實(shí)數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁接薪猓源笥诘淖钚≈?，即，解得或，即?shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C例45．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí)（

）A．，， B．，，C． D．，【答案】A【解析】因?yàn)?、，且，，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值9，若有解，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．故選：．例46．（2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式組有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】不等式組有解，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A．例47．（2023·四川遂寧·高一?？计谀┤絷P(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，得在區(qū)間內(nèi)有解，從而大于在區(qū)間的最小值.令，，函數(shù)圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，則在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增則，，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．例48．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式組有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】依題意，，而不等式組有解，則不等式成立，因此，，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.故選：A例49．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若不等式在上有解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以不等式化為，又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．所以a的取值范圍是．故選：B．例50．（2023·天津北辰·高一天津市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知時(shí)，與在同一點(diǎn)取得相同的最小值，關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值3，由題意可知：時(shí)，在時(shí)取得最小值3，則有，，則關(guān)于的不等式在上有解，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式在上有解，因?yàn)闀r(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，不等式為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)不等式恒成立；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A例51．（2023·海南·高一?？计谥校┮阎?，，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】因?yàn)?，，且，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)楹愠闪?，則，即，解得.因此，.例52．（2023·云南楚雄·高一校考階段練習(xí)）設(shè).(1)若，求的解集；(2)若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)解關(guān)于x的不等式.【解析】（1）若，則，對應(yīng)函數(shù)開口向下，，所以不等式的解集為（2）由題意可得對一切實(shí)數(shù)成立，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3）由題意可得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)，解集，②當(dāng)，解集為或，③當(dāng)，解集為或.綜上所述，當(dāng)，不等式的解集為或，當(dāng)，不等式的解集為，當(dāng)，不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.例53．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期中）設(shè)函數(shù)的圖象與平面直角坐標(biāo)系的軸交于點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的前提下若對于任意的，有恒成立，求的最大值.【解析】（1）當(dāng)，函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于點(diǎn).所以方程令有兩個(gè)根，所以，故（2）由題意關(guān)于方程有兩個(gè)正根，所以由韋達(dá)定理知，所以解得；所以的取值范圍為；（3）因?yàn)?，由得，所以，由于，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)實(shí)數(shù)符合條件，故，且當(dāng)時(shí)，取得最小值，由已知可得，所以的最大值為.例54．（2023·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，.(1)若，，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），且，，若，，且是的必要不充分條件，則,則且等號(hào)不同時(shí)成立，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為：；（2）若，恒成立，即，，令，，當(dāng)時(shí)，取最大值為，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為：.例55．（2023·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谀?）解不等式：（2）已知集合，對于任意的集合A中的每一個(gè)元素，恒成立，求m的取值范圍.【解析】（1），令得或當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2），因?yàn)閷τ谌我獾募螦中的每一個(gè)元素，恒成立，則或，解得例56．（2023·湖南長沙·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程在有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）若不等式的解集為，即1，2是方程的兩個(gè)根，則，即，由得，即得，得或，即不等式的解集為.（2）不等式在恒成立，即在恒成立，故，解得，故的取值范圍為.（3）由，得，即，若方程在有解，等價(jià)為有解，，，即，即，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.例57．（2023·高一單元測試）已知，，.(1)求的最小值并說明取得最小值時(shí)，滿足的條件；(2)，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，，∴由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.（2）由已知，，當(dāng)時(shí)，由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，即已知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，，又∵恒成立，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.例58．（2023·安徽池州·高一?？计谥校┮阎P(guān)于的x不等式．(1)解這個(gè)關(guān)于x的不等式；(2)，恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得，解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式化為，①若，可得，解集為；②若，則，可得解集為；③若，則，可得解集為；（2）對，恒成立，等價(jià)為在上恒成立，由于恒成立，可得在上恒成立，設(shè)，，可得，，在時(shí)取得最小值2，可得的最大值為1，則．即a的取值范圍是．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例59．（2023·江蘇南通·高一海門市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解得差不超過14，則的最大值與最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】不等式，時(shí)解集為，時(shí)解集為，時(shí)解集為，由題意可得時(shí)，時(shí)，解得，則的最大值與最小值的差為4，故選：B.例60．（2023·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可知，可以異號(hào)，可以同正，當(dāng)異號(hào)時(shí)，必有，故可以推出；當(dāng)同正時(shí)，即，由基本不等式知，則當(dāng)時(shí)，有，解得，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，即“”不能推出“”，故必要性不成立；所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A例61．（2023·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)校考階段練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】分類討論和兩種情況，分別計(jì)算結(jié)果，并取并集.（1）當(dāng)，即時(shí)，原不等式可化為，顯然恒成立．（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即，解得．綜上可知，故a的取值范圍是．故選：A．例62．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解中