《微波有源電路理論分析及設(shè)計》課件第1章

第一章微波網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)1.1引言1.2微波網(wǎng)絡(luò)的引入1.3采用等效電壓和等效電流定義的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)1.4采用歸一化入射波和歸一化反射波定義的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)1.5不定導(dǎo)納矩陣1.6不定散射矩陣1.7散射信號流圖法

1.1引言

任何一個微波系統(tǒng)，都是由各種微波元件和微波傳輸線連接而成的。微波傳輸線的特性可以用廣義傳輸線方程來描述，微波元件的特性可以用(類似于低頻網(wǎng)絡(luò))等效電路來描述，于

是復(fù)雜的微波系統(tǒng)，就可以用電磁理論和低頻網(wǎng)絡(luò)理論相結(jié)合來求解，成為一門微波網(wǎng)絡(luò)理論。微波網(wǎng)絡(luò)理論以微波元件以及這些元件組合的系統(tǒng)為對象，研究它們的傳輸特性及其設(shè)計

和實(shí)現(xiàn)的方法。

1.2微波網(wǎng)絡(luò)的引入

1.2.1微波傳輸線的電磁場方程

研究任意橫截面的均勻微波傳輸線中的電磁場，應(yīng)從麥克斯韋方程出發(fā)，在正弦交變場的作用下，假設(shè)其周圍的空間是無源、線性、無耗、均勻的空間，其電場、磁場滿足復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組：(1-1)

1.矢量磁位A，標(biāo)量電位j，赫茲電矢量P

由麥克斯韋方程組得知?·B=0，由于B=mH，所以?

·H=0。在矢量分析中，任意一個矢量旋度的散度恒等于零，即?

·?×A≡0，則H=?×A，我們將A稱為矢量磁位，它具有任意性。由麥克斯韋方程組又可以得知?×E=－jwmH=－jwm?×A，可將此式寫成如下形式?×(E+jwmA)=0，由矢量恒等式得知?×?j≡0，則E+jwmA=－?

j，j稱為標(biāo)量電位，負(fù)號的來源是為了與靜電場取得一致。由此可以看出，求解電場、磁場的問題可以轉(zhuǎn)化為求解矢量磁位A和標(biāo)量電位j的問題。那么矢量磁位A和標(biāo)量電位j滿足什么方程呢？由麥克斯韋方程組得知?×H=jweE，將上面分析中得到的E和H表達(dá)式代入此式可得?×?×A=jwe(－?j－jwmA)，由矢量恒等式得令(?·A+jwej)=0，并稱為洛侖茲條件。洛侖茲條件給出了A和j之間的關(guān)系，使得矢量磁位A有了唯一的定義。則

(1-2)

矢量磁位A滿足赫姆赫茲方程。由麥克斯韋方程組還得知?·D=0，而D=eE，所以?·E=0，將E=－jwmA-?j代入得

?

·(－jwmA－?j)=0，則可得

將洛侖茲條件代入上式可得

(1-3)由以上分析可以得出矢量磁位A和標(biāo)量電位j同時滿足赫姆赫茲方程。我們知道H=?×A，由麥克斯韋方程組知?×H=jweE，則式中，，我們稱其為赫茲電矢量。它也滿足赫姆赫茲方程

(1-4)

小結(jié)：由?·B=0引入矢量磁位A，由?×E=－jwmH引入標(biāo)量電位j，由?×H=jweE證明A滿足赫姆赫茲方程并給出A的唯一條件——洛侖茲條件，由?·D=0證明標(biāo)量電位j滿足赫姆赫茲方程，最后定義了赫茲電矢量Pe，它也滿足赫姆赫茲方程。經(jīng)過分析可以得到如下結(jié)論：求解電磁場的問題可以轉(zhuǎn)化為求解赫茲電矢量Pe的問題，在以后的分析中我們可以看出，雖然赫茲電矢量Pe是一個矢量，但在大多數(shù)的應(yīng)用中赫茲電矢量Pe只存在一個方向分量，也就是說在求解矢量方程時，不必求解三個方程而只求解一個方程即可，這樣就可以簡化其運(yùn)算。

2.矢量電位Ae，標(biāo)量磁位y，赫茲磁矢量Pm

由麥克斯韋方程組，依照上述方法同樣可以定義出矢量電位Ae，標(biāo)量磁位y，赫茲磁矢量Pm

，其結(jié)果為(1-5)

小結(jié)：由?·D=0引入矢量電位Ae，由?×H=jweE引入標(biāo)量磁位y，由?×E=－jwmH

證明Ae滿足赫姆赫茲方程并給出Ae的唯一條件——洛侖茲條件，由?·B=0證明標(biāo)量磁位ψ滿足赫姆赫茲方程，最后定義了赫茲磁矢量Pm

，它也滿足赫姆赫茲方程。經(jīng)過分析可以得到如下結(jié)論：求解電磁場的問題可以轉(zhuǎn)化為求解赫茲磁矢量Pm的問題，在以后的分析中可以看出，雖然赫茲磁矢量Pm是一個矢量，但在大多數(shù)的應(yīng)用中赫茲磁矢量Pm只存在一個方向分量，也就是說在求解矢量方程時，不必求解三個方程而只求解一個方程即可。1.2.2傳輸線中電磁場的一般表達(dá)式

(1)在廣義的柱坐標(biāo)(u，v，z)下，令，而

，則(1-6)

(2)在廣義的柱坐標(biāo)(u，v，z)下，令而

同理可證(1-7)

(3)在直角坐標(biāo)系，令赫茲電矢量解

可得(1-8)

(4)在直角坐標(biāo)系，令赫茲磁矢量解

可得(1-9)

(5)在直角坐標(biāo)系下，我們從麥克斯韋方程組出發(fā)把求解橫磁波(TM波)轉(zhuǎn)化為求解標(biāo)量電位j的問題，把求解橫電波(TE波)轉(zhuǎn)化為求解標(biāo)量磁位y的問題。標(biāo)量電位f和標(biāo)量磁位y均滿足赫姆赫茲方程(1-10)由標(biāo)量電位j和標(biāo)量磁位y可直接計算出電磁場各分量。(1-11)1.2.3廣義傳輸線方程

求解傳輸線中的電磁場時，不論哪一種模式都必須求解赫姆赫茲方程

(1-12)

在廣義坐標(biāo)系下令P(u，v，z)=f(u,v)Z(z)，而Z(z)=Be－gz，而g2=k2t－k20，則

(1-13)對于TM模，(1-14)對于TE模，(1-15)波印廷矢量

由該表達(dá)式看出，功率(能量)的傳輸取決于橫向電場和橫向磁場，而縱向電場和縱向磁場對于能量傳輸沒有貢獻(xiàn)。我們知道在低頻電路中功率(能量)的傳輸取決于電壓和電流，而電壓和電流是沿著z方向傳輸?shù)?。因此我們仿照低頻電路來定義等效的電壓和等效的電流。令(1-16)根據(jù)波印廷定理，傳輸功率為

(1-17)

令稱為模式矢量函數(shù)歸一化條件，則

(1-18)

我們所得到的結(jié)果與電路理論的結(jié)果是一致的。而z點(diǎn)處的阻抗為

(1-19)1.2.4模式展開

在求解赫姆赫茲方程時，橫向波數(shù)有很多個解ktn，一個ktn對應(yīng)一個電磁場模式，與之對應(yīng)存在一個傳輸常數(shù)gn，故波函數(shù)(赫茲矢量)也有很多個解，其總的波函數(shù)為

(1-20)

所以

(1-21)

傳輸功率

(1-22)

該式表明多模傳輸線可用多模單端口網(wǎng)絡(luò)(以模式來劃分端口)來表示，如圖1-1所示。圖1-1多模單端口網(wǎng)絡(luò)示意圖

圖1-1中［U］和［I］分別為1.2.5單端口網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流與電磁場的關(guān)系

如果在均勻微波傳輸線的一端接入負(fù)載或其它微波元件，如圖1-2所示，則要引入不連續(xù)性，激勵起高次模，產(chǎn)生反射。如果傳輸線只能傳輸單一主模，則高次模是一衰減模，在離開不連續(xù)性不遠(yuǎn)的位置高次模就被衰減得很小，可以忽略。于是傳輸線上只存在一個入射波和一個反射波，兩者模式相同，橫截面上場分布一樣?？梢园堰@種微波電路看成一段傳輸線端接一個集總元件負(fù)載，傳輸線是輸入端口，故稱為單端口網(wǎng)絡(luò)。下面從電磁場理論出發(fā)研究單端口網(wǎng)絡(luò)的特性。圖1-2單端口網(wǎng)絡(luò)等效關(guān)系示意圖研究單端口網(wǎng)絡(luò)的特性時，首先要在輸入傳輸線上取一個參考面(即輸入傳輸線的某一個橫截面)，然后研究從參考面向負(fù)載看進(jìn)去的電磁場能量的變化，從而得到它的等效電路。在圖中我們做一個包括參考面在內(nèi)的封閉曲面S把負(fù)載包圍起來，除了輸入端口的參考面上存在電磁場外，其余面上電磁場均為零。在封閉曲面所包圍的體積內(nèi)，麥克斯韋方程組中的兩

個旋度方程為(1-23)式中s是介質(zhì)的電導(dǎo)率，作如下等式(1-24)將上式在體積內(nèi)進(jìn)行體積分，并應(yīng)用高斯定理把體積分變成面積分，可得(1-25)將電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度用模式電壓和模式電流來表示，

可得

所以(1-26)(1-27)

對于單模傳輸線U=IZ，所以(1-28)若單模傳輸線采用I=YU，那么(1-29)

1.3采用等效電壓和等效電流

定義的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)

任何具有兩個端口的微波元件，都可以看成微波雙端口網(wǎng)絡(luò)，如圖1-3所示。圖1-3雙端口網(wǎng)絡(luò)等效電壓和電流規(guī)定方向示意圖1.3.1阻抗參數(shù)和阻抗矩陣

如上所述，我們所研究的微波網(wǎng)絡(luò)是線性的，等效電壓

與等效電流的關(guān)系也是線性的，其電壓和電流的方向如圖1-3所示，它們之間的關(guān)系可以用一線性方程組來表征。(1-30)把上式寫成矩陣的形式(1-31)

1.阻抗參數(shù)的特性

(1)若微波網(wǎng)絡(luò)是互易網(wǎng)絡(luò)(在微波網(wǎng)絡(luò)中沒有各向異性介質(zhì)，即e或m不是張量，而是一個實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，則這個網(wǎng)絡(luò)稱為互易網(wǎng)絡(luò))，則該網(wǎng)絡(luò)阻抗參數(shù)滿足

證明互易網(wǎng)絡(luò)的特性應(yīng)從電磁場理論出發(fā)來證明。

在各向同性的媒質(zhì)中，電磁場滿足互易定理(洛侖茲定理)，即

Ea、Eb、Ha、Hb是兩個同頻，不同模式或不同場源發(fā)出的電磁波。由網(wǎng)絡(luò)中E、H與U、I的關(guān)系得知將上面兩式代入電磁場互易定理的表達(dá)式，可得

當(dāng)n＝2時則

(2)若網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)上是對稱的，則該網(wǎng)絡(luò)稱為對稱網(wǎng)絡(luò)。對稱網(wǎng)絡(luò)阻抗參數(shù)滿足

Z11=Z22

(3)若網(wǎng)絡(luò)沒有損耗，則稱該網(wǎng)絡(luò)為無耗網(wǎng)絡(luò)。無耗網(wǎng)絡(luò)阻抗參數(shù)滿足

Zij=jXij

i=1，2

j=1，2

也就是說阻抗參數(shù)為純虛數(shù)。

證明根據(jù)能量守恒定理來證明。

由1.2節(jié)的分析得知對于雙端口網(wǎng)絡(luò)

由于是無耗網(wǎng)絡(luò)，所以Pd=0，上式可以改寫成

將上式寫成矩陣形式

式中［I］+稱為哈密頓共軛矩陣，即矩陣的轉(zhuǎn)置共軛。根據(jù)阻抗矩陣的關(guān)系［U］=［Z］［I］，則上式可寫成

將阻抗矩陣實(shí)部和虛部分開則實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等可得要使上式恒等于零，必須使得R11=R22=R12=R21=0，所以

因此無耗網(wǎng)絡(luò)滿足

證明完畢。

2.阻抗參數(shù)的歸一化

在微波電路中電壓和電流是等效的，求解阻抗的方法有三種：一是用等效的電壓和電流之比來求出其阻抗，即

二是用功率和電壓來確定其阻抗，即三是用功率和電流來確定其阻抗，即用這三種方法確定的阻抗在數(shù)值上是不相等的，它們之間相差一個常數(shù)。為了避免采用不同方法所確定的阻抗不一致，在微波電路中常常使用歸一化的概念。即各端口的電壓、電流和阻抗均對其本身的特性阻抗歸一化，得到的雙端口網(wǎng)絡(luò)稱為歸一化的雙端口網(wǎng)絡(luò)。在歸一化雙端口網(wǎng)絡(luò)中要保證在歸一化過程中傳輸功率不變，即(1-32)所以規(guī)定式中：大寫的字母為未歸一化值，小寫的字母為歸一化值，Z01為端口1的特性阻抗，Z02為端口2的特性阻抗。將歸一值與未歸一值之間的關(guān)系寫成矩陣形式，可得(1-33)可以導(dǎo)出歸一化阻抗參數(shù)矩陣與未歸一化阻抗參數(shù)矩陣之間的關(guān)系：(1-34)稱為歸一化阻抗矩陣，其參數(shù)稱為歸一化阻抗參數(shù)。歸一化阻抗參數(shù)與未歸一化阻抗參數(shù)的關(guān)系為(1-35)

3.阻抗參數(shù)的求法

阻抗參數(shù)的含義是端口開路時(也就是端口電流等于零時)，端口的自阻抗或端口間的互阻抗。因此可以認(rèn)為阻抗參數(shù)是開路參數(shù)，可用開路法來求解。如一個并聯(lián)的阻抗(如圖1-4所示)，其阻抗參數(shù)求法如下：

根據(jù)定義

則其阻抗矩陣和歸一化阻抗矩陣為(在大多應(yīng)用場合Z01=Z02=Z0)

(1-36)圖1-4并聯(lián)阻抗電路示意圖

4.推廣到n端口網(wǎng)絡(luò)

對于線性多端口微波網(wǎng)絡(luò)(如圖1-5所示)其等效電壓與等效電流的關(guān)系仍然可以用線性方程組來表征。

(1-37)圖1-5多端口網(wǎng)絡(luò)阻抗參數(shù)示意圖其多端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣為

(1-38)多端口阻抗參數(shù)的歸一化方法與雙端口網(wǎng)絡(luò)阻抗參數(shù)歸一化方法一樣，多端口網(wǎng)絡(luò)歸一化阻抗矩陣為

(1-39)

5.阻抗矩陣的應(yīng)用舉例

例1-1分析兩個網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)(如圖1-6(a)所示)組成的電路時，如晶體管串聯(lián)反饋電路(如圖1-6(b)所示)，應(yīng)該采用阻抗參

數(shù)矩陣，這是因?yàn)榭偟淖杩箙?shù)矩陣等于兩個網(wǎng)絡(luò)阻抗參數(shù)矩陣之和，即圖1-6網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)示意圖(a)網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)；(b)晶體管串聯(lián)反饋電路1.3.2導(dǎo)納參數(shù)與導(dǎo)納矩陣

我們所研究的微波網(wǎng)絡(luò)(如圖1-7所示)是線性的，其等效電流與等效電壓的關(guān)系也是線性的，它們之間的關(guān)系可以用一線性方程組來表征。

(1-40)

將其寫成矩陣形式

(1-41)圖1-7雙端口網(wǎng)絡(luò)等效電流和電壓規(guī)定方向示意圖矩陣［Y］具有導(dǎo)納量綱，我們稱其為導(dǎo)納矩陣，導(dǎo)納矩陣各元素稱為導(dǎo)納參數(shù)。

(1-42)

1.導(dǎo)納參數(shù)的特性

(1)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是互易網(wǎng)絡(luò)，則Y12=Y21。

(2)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是對稱網(wǎng)絡(luò)，則Y11=Y22。

(3)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是無耗網(wǎng)絡(luò)，則Yi,j=jBi,j(導(dǎo)納參數(shù)為純

電納)。

2.導(dǎo)納參數(shù)的歸一化

與阻抗參數(shù)歸一化一樣，可以求出歸一化的導(dǎo)納參數(shù)。

(1-43)

(1-44)阻抗矩陣與導(dǎo)納矩陣的關(guān)系為

(1-45)

3.導(dǎo)納參數(shù)的求法

由于導(dǎo)納參數(shù)是短路參數(shù)，所以導(dǎo)納參數(shù)的求法采用短路法。如一個串聯(lián)的導(dǎo)納組成的雙端口網(wǎng)絡(luò)(如圖1-8所示)，根據(jù)導(dǎo)納參數(shù)的定義可得圖1-8串聯(lián)導(dǎo)納電路示意圖該網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣為

(1-46)

該網(wǎng)絡(luò)的歸一化導(dǎo)納矩陣為

(1-47)

4.推廣到n端口網(wǎng)絡(luò)

導(dǎo)納參數(shù)和導(dǎo)納矩陣與阻抗參數(shù)和阻抗矩陣一樣可以推廣到n個端口的情形(如圖1-9所示)，其導(dǎo)納矩陣和歸一化導(dǎo)納矩陣為

(1-48)

(1-49)圖1-9多端口網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納參數(shù)示意圖

5.導(dǎo)納矩陣的應(yīng)用舉例

例1-2分析兩個網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)(如圖1-10(a)所示)組成的電路時，如晶體管并聯(lián)反饋電路(如圖1-10(b)所示)，應(yīng)該采用導(dǎo)納參數(shù)矩陣，這是因?yàn)榭偟膶?dǎo)納矩陣等于兩個網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納矩陣之和，即圖1-10網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)示意圖(a)網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)；(b)晶體管并聯(lián)反饋1.3.3采用輸入量與輸出量定義的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)——轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣

如果我們所研究的微波網(wǎng)絡(luò)(如圖1-11所示)是線性的，則端口1的等效電壓和等效電流與端口2的等效電壓和等效電流的關(guān)系也是線性的，它們之間的關(guān)系可以用一線性方程組來表征。

(1-50)

將其寫成矩陣形式

(1-51)圖1-11雙端口網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移參數(shù)等效電流和電壓規(guī)定方向示意圖矩陣［A］稱為轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣，也稱為A矩陣，轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣各元素稱為轉(zhuǎn)移參數(shù)，也稱為A參數(shù)。

(1-52)

1.轉(zhuǎn)移參數(shù)的特性

(1)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是互易網(wǎng)絡(luò)，則轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣的行列式等于1。

證明由定義得知

1端口開路時，I1=0，則化簡此式可得互易網(wǎng)絡(luò)的阻抗參數(shù)滿足Z21=Z12，則

所以

證明完畢。

(2)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是對稱網(wǎng)絡(luò)(必須是互易網(wǎng)絡(luò))，則A11=A22。

(3)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是無耗網(wǎng)絡(luò)，則A11、A22為純實(shí)數(shù)，

A12、A21為純虛數(shù)。

2.轉(zhuǎn)移參數(shù)的歸一化

在歸一化雙端口網(wǎng)絡(luò)中式中大寫的字母為未歸一化值，小寫的字母為歸一化值。將它們寫成矩陣形式，可得

(1-53)

(1-54)歸一化轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣［a］為

(1-55)在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中Z01=Z02=Z0，所以

(1-56)

3.轉(zhuǎn)移參數(shù)的求法

由于轉(zhuǎn)移參數(shù)是開路短路參數(shù)，所以轉(zhuǎn)移參數(shù)的求法采用開路短路法。如一個串聯(lián)的阻抗組成的雙端口網(wǎng)絡(luò)(如圖1-12

所示)，根據(jù)定義其轉(zhuǎn)移參數(shù)為圖1-12串聯(lián)阻抗網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移參數(shù)示意圖一個串聯(lián)的阻抗組成的雙端口網(wǎng)絡(luò)，其轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

(1-57)

歸一化轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

(1-58)

下面給出幾種常用基本電路的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣和歸一化轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣，如表1-1所示。

4.推廣到n端口網(wǎng)絡(luò)

轉(zhuǎn)移參數(shù)描述輸入量與輸出量之間的關(guān)系，將它推廣到多端口網(wǎng)絡(luò)時，該網(wǎng)絡(luò)的端口數(shù)必須是偶數(shù)，也就是n為偶數(shù)，否則輸入端口和輸出端口就不好分了。將轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣用到多端口網(wǎng)絡(luò)，常見到的是四端口網(wǎng)絡(luò)，端口再多就很少見到了。下面我們給出四端口網(wǎng)絡(luò)(如圖1-13所示)的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣

的表達(dá)式。

(1-59)圖1-13多端口網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移參數(shù)示意圖其四端口網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

(1-60)

5.轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣的應(yīng)用舉例

例1-3分析兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)組成的電路時，如π型或T型電路(如圖1-14所示)，應(yīng)該采用轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣，這是因?yàn)榭偟霓D(zhuǎn)移參數(shù)矩陣等于兩個網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣之乘積，即

(1-61)圖1-14網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)示意圖(a)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)；(b)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)

1.4采用歸一化入射波和歸一化

反射波定義的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)

1.4.1歸一化入射波和歸一化反射波的概念

根據(jù)傳輸線理論得知，傳輸線上任意點(diǎn)的電壓等于入射波電壓和反射波電壓之和，而電流等于入射波電流與反射波電流之差，即

(1-62)入射波電壓和入射波電流的解可以寫成如下形式

(1-63)

特性阻抗的定義為

(1-64)入射波的功率為

(1-65)

反射波電壓和反射波電流的解可以寫成如下形式

(1-66)用反射波定義特性阻抗為

(1-67)

反射波的功率為

(1-68)特性阻抗歸一化

(1-69)

定義歸一化電壓和歸一化電流

(1-70)則歸一化入射波電壓和歸一化反射波電壓為

(1-71)

則歸一化入射波電流和歸一化反射波電流為

(1-72)傳輸線上任意點(diǎn)的歸一化電壓等于歸一化入射波電壓和歸一化反射波電壓之和，而歸一化電流等于歸一化入射波電流與歸一化反射波電流之差，即

(1-73)

電壓和電流歸一化后應(yīng)保持傳輸功率不變

(1-74)

因?yàn)樗評+=i+，又因?yàn)?/p>

所以u－=－i－

令

歸一化入射波a=u+=i+，歸一化反射波b=u－=－i－所以歸一化電壓u=a+b，歸一化電流i=a－b，則

(1-75)

反射系數(shù)

(1-76)1.4.2歸一化入射波和歸一化反射波定義散射參數(shù)和散射

矩陣

在線性的雙端口網(wǎng)絡(luò)中歸一化電壓與歸一化電流間的關(guān)系是線性關(guān)系，故由它們導(dǎo)出的歸一化反射波與歸一化入射波(如圖1-15所示)也應(yīng)該是線性的，因此各端口上的歸一化反射波與歸一化入射波可用線性方程組來表征：

(1-77)圖1-15雙端口網(wǎng)絡(luò)散射參數(shù)歸一化入射波和反射波方向示意圖將它們寫成矩陣形式

(1-78)

1.散射參數(shù)的特性

(1)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是互易網(wǎng)絡(luò)，則S12=S21，該特性可由電磁場互易定理獲得證明。

(2)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是對稱網(wǎng)絡(luò)，則S11=S22。

(3)若兩端口網(wǎng)絡(luò)是無耗網(wǎng)絡(luò)，則滿足么正性，即[[S]]T［S］=［1］。

證明網(wǎng)絡(luò)是無耗的，則根據(jù)能量守恒定理輸入的功率等于輸出功率，即

網(wǎng)絡(luò)的輸入功率

網(wǎng)絡(luò)的輸出功率

所以

將絕對值符號去掉，并將a和b分開，可得

將上式寫成矩陣形式

因?yàn)閷⑸鲜酱肟傻?/p>

化簡上式可得

證明完畢。網(wǎng)絡(luò)的么正性反映出無耗網(wǎng)絡(luò)的能量守恒，將［［S］］T［S］=［1］展開由此可得無耗網(wǎng)絡(luò)滿足的線性方程組

(1-79)上式中最后兩式不是互相獨(dú)立的，將其中一式取共軛，即可得到另一個。對于無耗互易網(wǎng)絡(luò)，S12=S21，于是上式就變成

(1-80)由前兩個方程給出反射功率與傳輸功率之和等于1，說明能量守恒，并且由前兩個方程可得

(1-81)

令

并代入式(1-80)第三個式中，則得可以導(dǎo)出

即

(1-82)

這說明第三個方程給出了散射參數(shù)之間的相位關(guān)系。

2.散射參數(shù)的求法

由于散射參數(shù)是匹配參數(shù)，所以其求法采用匹配法，即終端接一個阻抗等于1的負(fù)載，如圖1-16所示。下面用一個串聯(lián)阻抗網(wǎng)絡(luò)來說明其求法。圖1-16串聯(lián)阻抗網(wǎng)絡(luò)散射參數(shù)示意圖

2端口接一個匹配負(fù)載，所以

因?yàn)?/p>

可得

其解所以

同樣在網(wǎng)絡(luò)1端口接上匹配負(fù)載可以求出所以，串聯(lián)阻抗網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù)矩陣為

(1-83)

3.推廣到n端口網(wǎng)絡(luò)

若多端口網(wǎng)絡(luò)(如圖1-17所示)是線性網(wǎng)絡(luò)，則歸一化反射波與歸一化入射波的關(guān)系是線性的，就可以用線性方程組來表征，它們的關(guān)系為

(1-84)圖1-17多端口網(wǎng)絡(luò)散射參數(shù)示意圖寫成矩陣形式

(1-85)式中

(1-86)

4.散射參數(shù)和散射矩陣的應(yīng)用

1)兩端口網(wǎng)絡(luò)終端接一負(fù)載時的反射系數(shù)

例1-4一個兩端口網(wǎng)絡(luò)終端接一個反射系數(shù)為ΓL的負(fù)載，如圖1-18所示，求其輸入端的反射系數(shù)Γin。圖1-18兩端口網(wǎng)絡(luò)終端接一負(fù)載示意圖兩端口網(wǎng)絡(luò)歸一化反射波與歸一化入射波的關(guān)系為

b2是網(wǎng)絡(luò)2端口的歸一化反射波，但是負(fù)載的歸一化入射波，而a2是網(wǎng)絡(luò)2端口的歸一化入射波，但是負(fù)載的歸一化反射波，所以將該式寫成并代入第二個方程，可得將上式代入第一個方程，可得

(1-87)

2)兩端口網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)時的散射矩陣

例1-5兩個兩端口網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)，如圖1-19所示，求其總的散射矩陣［S］。

第一個網(wǎng)絡(luò)的歸一化反射波與歸一化入射波的關(guān)系是

第二個網(wǎng)絡(luò)的歸一化反射波與歸一化入射波的關(guān)系是圖1-19兩個兩端口網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)示意圖將其級聯(lián)后總的網(wǎng)絡(luò)的歸一化反射波排在前面，將其內(nèi)部相連接端口的歸一化反射波排在后面，按照此方法把上面兩個方程組重新組合排列可得寫成矩陣形式

為了求解方便，將上式寫成分塊矩陣的形式由圖可以看出，內(nèi)部接口歸一化反射波與歸一化入射波

的關(guān)系是b2=a1′，b1′=a2，將此關(guān)系寫成矩陣形式

此矩陣稱為關(guān)聯(lián)矩陣。將關(guān)聯(lián)矩陣代入分塊矩陣方程組第二個方程，可得化簡此方程可得將化簡結(jié)果代入分塊矩陣方程組第一個方程，可得級聯(lián)后總的網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù)矩陣為

因?yàn)樗?/p>

(1-88)因此級聯(lián)后新的雙端口網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù)為

(1-89)

3)多端口網(wǎng)絡(luò)任意連接時的散射矩陣

例1-6在微波網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分析中，散射矩陣廣為應(yīng)用。如果已經(jīng)分析或測量求得各個網(wǎng)絡(luò)的散射函數(shù)，而要確定組合網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣，一種可行的方法是把每個網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納矩陣(或阻抗矩陣，或轉(zhuǎn)移矩陣)，然后根據(jù)拓?fù)溥B接，求得組合網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣(或阻抗矩陣，或轉(zhuǎn)移矩陣)，最后再轉(zhuǎn)換成散射矩陣。這種矩陣多次轉(zhuǎn)換很繁瑣，應(yīng)用也不方便。圖1-20表示數(shù)個多端口網(wǎng)絡(luò)按任意連接方式組成的一個

n端口網(wǎng)絡(luò)，各相互連接端口具有相同的特性阻抗。若已知各個網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣參數(shù)，且任一個連接都不改變這些網(wǎng)絡(luò)的矩陣參數(shù)，則分析的任務(wù)在于直接求解相互連接后的組合網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣。圖1-20微波網(wǎng)絡(luò)的任意連接為了導(dǎo)出組合網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣，首先需要對各個網(wǎng)絡(luò)端口進(jìn)行統(tǒng)一的編號。設(shè)各單個網(wǎng)絡(luò)端口數(shù)目總和為n+m，其中端口1到端口n是不相互連接的端口，它們構(gòu)成組合網(wǎng)絡(luò)的外部端

口；端口n＋1到端口n+m是一對一相互連接的端口，連接方式是n＋1端口與n＋2端口級聯(lián)，n＋3端口與n＋4端口級聯(lián)，以此類推，最后是n+m－1端口與n+m端口級聯(lián)。顯然m必定為

偶數(shù)。在端口統(tǒng)一編號后，假定所有內(nèi)連端口全部都未連接，則組成一個n+m端口網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)按外部端口和內(nèi)部連接端口分塊組合，則此n+m端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣稱為聯(lián)合散射矩陣，以Sc表示，其關(guān)系為

(1-90)寫成向量形式

b=Sca

(1-91)

由于網(wǎng)絡(luò)尚未連接，各個網(wǎng)絡(luò)端口相互隔離。因此，在聯(lián)合散射矩陣Sc中，除僅含有各單個網(wǎng)絡(luò)散射矩陣參數(shù)外，其余元素均為零。把聯(lián)合散射矩陣Sc寫成分塊矩陣的形式

(1-92)

其中用下標(biāo)e代表一組外部端口，下標(biāo)r代表一組內(nèi)連端口；be、ae為n元列陣，br、ar為m元列陣，即

(1-93)而See是n階方陣，Srr是m階方陣，Ser是n×m階矩陣，Sre是m×n階矩陣，即

(1-94)

(1-95)把所有內(nèi)連端口連接起來，注意級聯(lián)端口處的連接條件是寫成矩陣形式

寫成向量形式

br=Aar

(1-96)矩陣A是m階方陣，稱為關(guān)聯(lián)矩陣。該矩陣中的元素是由

0或1構(gòu)成的，它表示對應(yīng)端口相互連接的情況。

將(1-92)式按分塊矩陣展開后得

把(1-96)式代入上式中的第二方程中可得然后再把上式代入第一個方程可得

be=(See+Ser(A－Srr)－1Sre)ae

即有

be=Sae

其中

S=See+Ser(A－Srr)－1Sre

(1-97)

(1-97)式就是組合網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣。由于組合網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部相連端口已被消除，所以組合網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣是不相連接端口的n階方陣。1.4.3傳輸參數(shù)和傳輸矩陣

在線性雙端口網(wǎng)絡(luò)(如圖1-21所示)中，若把1端口歸一化入射波a1和1端口歸一化反射波b1作為輸入量，而把2端口歸一化反射波b2和2端口歸一化入射波a2作為輸出量，則輸入量與輸出量的關(guān)系可以用一個線性方程組來表征

(1-98)圖1-21雙端口網(wǎng)絡(luò)傳輸參數(shù)歸一化入射波和反射波方向示意圖寫成矩陣形式

(1-99)

矩陣［T］稱為傳輸矩陣，傳輸矩陣中的各元素稱為傳輸參數(shù)。由線性方程組可以看出，傳輸參數(shù)是在a2=0或b2=0條件下定義的，除了T11是2端口匹配時，1端口向2端口傳輸系數(shù)的倒數(shù)外，其它沒有明確的物理含義。對于互易網(wǎng)絡(luò)其特性為

(1-100)

對于對稱互易網(wǎng)絡(luò)其特性為

(1-101)傳輸矩陣主要用來計算網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)的參數(shù)，如圖1-22所示，兩個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，它級聯(lián)后總網(wǎng)絡(luò)的傳輸矩陣等于兩個網(wǎng)絡(luò)各自傳輸矩陣的乘積。

(1-102)圖1-22雙端口網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)傳輸參數(shù)示意圖對于n個雙端口網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)，則有

(1-103)

下面給出幾種常用基本電路的散射參數(shù)矩陣和傳輸參數(shù)矩陣，如表1-2所示。1.4.4雙端口網(wǎng)絡(luò)的各種參數(shù)間的互換

1.［S］與［z］的關(guān)系

因?yàn)楣视?/p>

由此可求得

(1-104)

2.［S］與［y］的關(guān)系

因?yàn)楣视?/p>

由此可求得

(1-105)

3.［S］與［a］的關(guān)系

因?yàn)?/p>

可得上面兩式相加可求得a1，上面兩式相減可求得b1

根據(jù)S參數(shù)的定義可得

(1-106)同樣的方法可以求得用散射參數(shù)表示的轉(zhuǎn)移參數(shù)。

(1-107)

4.［S］與［T］的關(guān)系

因?yàn)榘凑諅鬏攨?shù)的定義可以求得

(1-108)

反之可得

(1-109)1.4.5網(wǎng)絡(luò)參數(shù)綜合應(yīng)用舉例

例1-7一段傳輸線的阻抗參數(shù)，如圖1-23所示。圖1-23傳輸線阻抗參數(shù)示意圖由傳輸線理論得知

U1=cosθU2+jZ0sinθ(－I2)

I1=jY0sinθU2+cosθ(－I2)

當(dāng)2端口開路時，I2=0，則

U1=cosθU2

I1=jY0sinθU2此時

當(dāng)1端口開路時，I1=0，則此時由于代入第一個方程可得

所以傳輸線是互易網(wǎng)絡(luò)，所以一段傳輸線的阻抗矩陣為

(1-110)

例1-8一段傳輸線的導(dǎo)納參數(shù)，如圖1-24所示。

由導(dǎo)納參數(shù)矩陣得知圖1-24傳輸線導(dǎo)納參數(shù)示意圖所以

(1-111)

例1-9分支線橋的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣的求法。

分支線電橋是一個四端口網(wǎng)絡(luò)，它由兩根歸一化特性導(dǎo)納為H的四分之一波長豎形傳輸線和兩根歸一化特性導(dǎo)納為K的四分之一波長橫形傳輸線組成，如圖1-25所示。把分支線橋看成由三個基本的四端口網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成，如圖1-26所示。圖1-25微帶型分支線電橋示意圖圖1-26分支線電橋分解成三個部分示意圖總的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

我們討論的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣是按電壓、電流排列的，1端口和2端口是輸入端口，而3端口和4端口是輸出端口，即

(1-112)

(1)［a1］的求法。把四分之一波長豎形傳輸線等效為四端口網(wǎng)絡(luò)(如圖1-27所示)，當(dāng)3端口和4端口開路時，I3=I4=0，上述方程組變?yōu)閳D1-27四分之一波長豎形傳輸線等效為四端口網(wǎng)絡(luò)示意圖當(dāng)3端口和4端口開路時，I3=I4=0，同時U1=U3，U2=U4，由方程(1-113)和方程(1-114)得知a11=a22=1，a12=a21=0。方程

(1-115)和方程(1-116)就是歸一化特性導(dǎo)納為H，電長度為θ

的一段傳輸線的歸一化導(dǎo)納矩陣(歸一化導(dǎo)納參數(shù))，如圖1-28所示。圖1-28豎形傳輸線等效電路根據(jù)傳輸線理論得知

(1-117)

(1-118)由(1-117)式可得

(1-119)

則

(1-120)式(1-115)、(1-116)與式(1-119)、(1-120)比較可得

當(dāng)3端口和4端口短路時，U3=U4=0，上述方程組變?yōu)楫?dāng)3端口和4端口短路時，U3=U4=0，同時U1=U2=0，由方程(1-121)和方程(1-122)得知a13=a14=0，a23=a24=0。此時I1=I3，I2=I4由方程(1-123)和方程(1-124)可以得知a33=a44=1，a43=a34=0。則該端的四端口轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

(1-125)

(2)［a2］的求法。該段實(shí)際上是兩段相互獨(dú)立，歸一化特性導(dǎo)納為K，長度為θ的傳輸線，如圖1-29所示。圖1-29兩段橫形傳輸線等效電路輸入量與輸出量之間的關(guān)系為方程(1-126)與方程(1-128)對應(yīng)著第一根傳輸線，方程

(1-127)與方程(1-129)對應(yīng)著第二根傳輸線。長度為θ的一段

傳輸線，輸入量與輸出量之間的關(guān)系為

(1-130)上式進(jìn)行比較可得則該端的四端口轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

(1-134)

(3)總［a］的求法。

［a］=［a1］［a2］［a1］(1-135)

(1-136)若傳輸線的電長度為θ=π/2，sinθ=1，cosθ=0，tanθ=∞，則

(1-137)

例1-10分支線橋的散射參數(shù)矩陣的求法。

(1)偶模和奇模分析方法。以分支線橋?yàn)槔齺碚f明偶模和奇模的分析方法。

如圖1-30所示，對稱面0—0′在實(shí)際應(yīng)用中不是磁壁就是電壁，所以分支線橋可以看成對稱面0—0′為磁壁情況和對稱面0—0′為電壁之和，這樣一來就變成兩個獨(dú)立的雙端口網(wǎng)絡(luò)，這樣的雙端口網(wǎng)絡(luò)它的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣是可以求出的。圖1-30分支線橋偶模和奇模分析方法示意圖在第一端口輸入歸一化入射波為a1=，在第二端口輸入歸一化入射波為a2=，則對稱面0—0′為磁壁(相當(dāng)于開路)，所對應(yīng)的模式稱為偶模。在第一端口輸入歸一化入射波為a1=，在第二端口輸入歸一化入射波為a2=－，則對稱面0—0′為電壁(相當(dāng)于短路)，所對應(yīng)的模式稱為奇模。兩種情況加起來，第一端口輸入歸一化入射波為a1=1(歸一化波)，第二端口輸入歸一化入射波為a2=0，這就對應(yīng)我們實(shí)際的使用情況。各端口的反射波可由偶模和奇模的反射系數(shù)和傳輸系數(shù)來確定。由圖可知由于a1=1，所以

(1-138)

偶模和奇模的反射系數(shù)與傳輸系數(shù)，可由偶模和奇模的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣求出。這樣S11、S21、S31、S41即可求出，再根據(jù)對稱性和互易性就可以把全部S參數(shù)求出。

(2)利用偶奇模方法求解分支線橋的散射參數(shù)矩陣。根據(jù)偶奇模的分析方法，分支線橋可以畫出如圖1-31所示的等效電路，偶模的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

(1-139)圖1-31分支線橋偶模和奇模的等效電路再根據(jù)歸一化轉(zhuǎn)移參數(shù)與散射參數(shù)之間的關(guān)系可以求出偶模的反射系數(shù)和偶模的傳輸系數(shù)。

(1-140)

(1-141)奇模的轉(zhuǎn)移參數(shù)矩陣為

(1-142)再根據(jù)歸一化轉(zhuǎn)移參數(shù)與散射參數(shù)之間的關(guān)系可以求出奇模的反射系數(shù)和奇模的傳輸系數(shù)。

(1-143)

(1-144)由偶奇模分析方法得知

(1-145)所以b1、b2、b3、b4分別為

(1-146)

b1為1端口的歸一化反射波，b2、b3、b4為1端口向2、3、4端口的傳輸波。對于分支線橋，希望b1=S11=0，即1端口無反射(因?yàn)閍1=

1)，b2=S21=0，即2端口隔離，則可以求出1－K2+H2=0。此時b3=S31=－，b4=S41=－j。若希望端口3和端口4功率平分，則H=1，K=。也就是說豎形傳輸線的歸一化特性導(dǎo)納為1(非歸一的特性阻抗為50Ω)，橫形傳輸線的歸一化特性導(dǎo)納為(非歸一的特性阻抗為35.36Ω)。此時b3=S31=－

b4=S41=－j。根據(jù)對稱網(wǎng)絡(luò)和互易網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，分支線橋的理想散射參數(shù)為

(1-147)

例1-11利用分支線電橋構(gòu)成功率合成模型的散射參數(shù)。

在放大器電路中，常常利用分支線電橋構(gòu)成功率合成電路，來提高輸出功率。圖1-32就是一個利用分支線電橋進(jìn)行功率合成的框圖。為了分析方便，容易理解基本概念，我們假設(shè)分支線電橋和放大器都是理想的。圖1-32分支線電橋構(gòu)成功率合成器示意圖理想分支線電橋的散射參數(shù)矩陣為

(1-148)理想放大器的散射參數(shù)矩陣為

(1-149)

我們先分析分支線電橋分別連接兩個放大器后的散射參數(shù)，然后再分析兩個四端口網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)后總的散射參數(shù)矩陣。分支線電橋分別連接兩個放大器的框圖及標(biāo)號如圖1-33所示。圖1-33分支線橋與功率放大器級聯(lián)示意圖根據(jù)散射參數(shù)級聯(lián)的方法，我們先構(gòu)造一個八端口網(wǎng)絡(luò)，然后找出關(guān)聯(lián)矩陣，最后化簡矩陣，就可以求出新的四端口散射矩陣。

根據(jù)級聯(lián)的方式首先構(gòu)造一個八端口網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù)矩陣

(1-150)將它寫成分塊矩陣的形式

(1-151)將方程(1-151)寫成兩個矩陣方程

(1-152)

(1-153)因?yàn)镾31=S42=－，S32=S41=－j，其余均為零，所以方程(1-153)可以簡化為

(1-154)由圖可知，b3=a5，b4=a6，b5=a3，b6=a4，方程(1-154)可以寫成下列形式

(1-155)將方程(1-155)重新排列可得

(1-156)在(1-152)式中，S11=S12=S21=S22=S77=S88=0，S13=S24=－，S23=S14=－j，S75=S86=K，所以方程(1-152)可以寫成

(1-157)將方程(1-156)代入方程(1-157)可得

(1-158)上式就是分支線電橋與兩個放大器連接后總的散射參數(shù)矩陣。它仍然是一個四端口網(wǎng)絡(luò)，將此四端口網(wǎng)絡(luò)與一個分支線電橋級聯(lián)，組成一個新的四端口網(wǎng)絡(luò)，其連接方式及標(biāo)號如圖1-34所示。圖1-34分支線橋與放大器網(wǎng)絡(luò)和分支線橋級聯(lián)示意圖分支線電橋及放大器網(wǎng)絡(luò)總的散射參數(shù)矩陣為

(1-159)分支線電橋的散射參數(shù)矩陣為

(1-160)根據(jù)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)的基本原理，首先建立八端口網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù)矩陣為

(1-161)寫成分塊矩陣的形式

(1-162)分解成兩個矩陣方程

(1-163)

(1-164)因?yàn)?/p>

而則將參數(shù)代入方程(1-163)和方程(1-164)可得

(1-165)

(1-166)方程(1-165)可簡化為

(1-167)方程(1-166)可簡化為

(1-168)由于b3=a6，b4=a5，b5=a4，b6=a3，方程(1-168)可以改寫為

(1-169)將方程(1-169)重新排列為

(1-170)將方程(1-170)代入方程(1-167)可得

(1-171)進(jìn)行矩陣相乘可得總網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù)矩陣

(1-172)

1.5不定導(dǎo)納矩陣

設(shè)有一線性網(wǎng)絡(luò)共有n個端點(diǎn)，每個端點(diǎn)與參考點(diǎn)P間接有電源，如圖1-35所示。參考點(diǎn)P是在線性網(wǎng)絡(luò)外部，不與網(wǎng)絡(luò)直接連接，稱為浮動點(diǎn)(浮地)。該線性網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成n端網(wǎng)絡(luò)，此

n端網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣稱為不定導(dǎo)納矩陣。圖1-35不定n端網(wǎng)絡(luò)圖1-36表示給定n個節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的局部電路，節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的導(dǎo)納用Yi，j或Yj，i表示，且Yi，j=Yj，i。當(dāng)k節(jié)點(diǎn)與j節(jié)點(diǎn)(j=1，2，…，n－1而且k≠j)有支路相連時，此兩節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)納才能定為Yk，j，而與k節(jié)點(diǎn)不直接相連接的各節(jié)點(diǎn)l與k節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)納應(yīng)定為零，即Yk，l=0。圖1-36

n個端點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的局部電路在圖1-36所示的電路結(jié)構(gòu)中，根據(jù)克?；舴螂娏鞫煽梢詫懗鰇節(jié)點(diǎn)的電流方程

(1-173)

式中：Ik為流入k節(jié)點(diǎn)的外部電流，Vj為j節(jié)點(diǎn)的電位，Vk為k節(jié)點(diǎn)的電位。

(1-174)令

則

(1-175)全電路有n個端點(diǎn)，總計可以列出n個電流方程，寫成矩陣形式

(1-176)

(1-177)

［Y］矩陣稱為該網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)有n個節(jié)點(diǎn)時，不定導(dǎo)納矩陣［Y］是n×n矩陣。1.5.1不定導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)

不定導(dǎo)納矩陣有如下四個基本性質(zhì)：

(1)不定導(dǎo)納矩陣任一列的列元素之和等于零，即

(1-178)

證明：

根據(jù)克?；舴螂娏鞫傻弥?/p>

將上式展開為當(dāng)各節(jié)點(diǎn)的電位(V1，V2，…，Vn)為任意值時，上式必定成

立，因此各項(xiàng)系數(shù)必定為零，即

(2)不定導(dǎo)納矩陣任一行的行元素之和等于零，即

(1-179)

證明：

若各節(jié)點(diǎn)的電位都相等(V1=V2=…=Vn=V0)，即各節(jié)點(diǎn)之間無電位差，則此時各節(jié)點(diǎn)的電流都應(yīng)為零，可得

由于V0≠0，所以

(3)不定導(dǎo)納矩陣行列式值等于零，即

(1-180)

根據(jù)行列式的性質(zhì)可知，若把不定導(dǎo)納矩陣的第二行、第三行、直到第n行都加到第一行，則行列式值不變，但由不定導(dǎo)納矩陣性質(zhì)(2)得知第一行的各元素值為零，由行列式的性質(zhì)得知，該行列式的值為零，所以不定導(dǎo)納矩陣的行列式值為零。

(4)若網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點(diǎn)接地，則不定導(dǎo)納矩陣降階，轉(zhuǎn)變?yōu)槎▽?dǎo)納矩陣。

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點(diǎn)接地，則Vi=0，電流方程組中含有Vi的項(xiàng)均為零，因此不定導(dǎo)納矩陣中的第i列消失。又由于第i個節(jié)點(diǎn)接地，所以Ii=0，因此不定導(dǎo)納矩陣中的第i行消失。這樣不定導(dǎo)納矩陣降1階，成為定導(dǎo)納矩陣。不定導(dǎo)納矩陣的上述性質(zhì)使它在許多場合下獲得應(yīng)用。歸納起來，較突出的有以下幾個方面：

(1)給定一個線性n端口網(wǎng)絡(luò)，可以方便地用節(jié)點(diǎn)電流法寫出它的不定導(dǎo)納矩陣。

(2)若某一個網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣［Y］已知，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的第i個節(jié)點(diǎn)接地，則只需刪除第i行和第i列，就可以確定(n－1)端口的定導(dǎo)納矩陣。

(3)兩個網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，其不定導(dǎo)納矩陣等于各自網(wǎng)絡(luò)不定導(dǎo)納矩陣之和。

(4)把一個導(dǎo)納Y接到n端網(wǎng)絡(luò)的第i個節(jié)點(diǎn)和第j個節(jié)點(diǎn)之間，所得到新網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣，相當(dāng)于在原網(wǎng)絡(luò)不定導(dǎo)納矩陣中的Yi，i和Yj，j元素加上導(dǎo)納Y，同時在Yi，j和Yj，i元素減去導(dǎo)納Y。1.5.2不定導(dǎo)納矩陣建立方法

當(dāng)電路給定時，不定導(dǎo)納矩陣的建立可按照下列步驟進(jìn)行：第一步先給全部節(jié)點(diǎn)編號，為了以后化簡的方便，一般將輸入端編為1號、將輸出端編為2號、最后一個編號應(yīng)為以后的接

地節(jié)點(diǎn)、其余的節(jié)點(diǎn)可以任意編號。第二步是求出每一個元件的不定導(dǎo)納矩陣［Y］m(m=1，…，n)。第三步是將已求出每一個元件的不定導(dǎo)納矩陣相加，相加后的不定導(dǎo)納矩陣就是該電路的不定導(dǎo)納矩陣。為了說明不定導(dǎo)納矩陣的建立方法，我們用圖1-37混合T型電路為例來說明不定導(dǎo)納矩陣的建立方法。該電路有4個節(jié)點(diǎn)，將來的輸入端定為節(jié)點(diǎn)1，將來的輸出端定為節(jié)點(diǎn)2，將來

準(zhǔn)備接地的節(jié)點(diǎn)定為節(jié)點(diǎn)4，節(jié)點(diǎn)編號已標(biāo)注在圖中。電路的不定導(dǎo)納矩陣將是4×4矩陣。圖1-37混合T型電路首先我們分析第一個元件Y1，它在節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3之間，根據(jù)不定導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)，其元件的不定導(dǎo)納矩陣為

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