相似三角形專題講義二

...wd......wd......wd...相似三角形專題講義【教學(xué)目標(biāo)】認(rèn)識相似圖形及相似三角形【教學(xué)重點】相似三角形的性質(zhì)及判定【教學(xué)難點】相似三角形的性質(zhì)及判定的應(yīng)用【教學(xué)內(nèi)容】第1講線段的比及平行線分線段成比例定理線段的比一、兩條線段的比：同一長度單位下兩條線段長度的比叫兩條線段的比。二、比例尺：在地圖或工程圖紙上，圖上距離與實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。三、成比例線段：1.比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段。2.比例中項：如果〔或〕，則b叫做a、c的比例中項。四、比例的性質(zhì)：1.比例的基本性質(zhì)：如果，那么。2．更比性質(zhì)：如果，那么。3．反比性質(zhì)：如果，那么。4．合〔分〕比性質(zhì)：如果，那么。5．等比性質(zhì)：如果，那么?！局仉y點高效突破】例1.〔1〕線段AB=2.5m，線段CD=400cm，則線段AB與CD的比為_________.〔2〕1，，5三個數(shù)，如果再添一個數(shù)，使之能與的三個數(shù)成比例，則這個數(shù)應(yīng)該為多少例2.〔1〕在1:50000的地圖上的A、B兩地的距離是15cm，則A、B兩地的實際距離是_______km.〔2〕在比例尺為1：n的某市地圖上，規(guī)劃出一塊長5cm×2cm的矩形工業(yè)區(qū)，則該工業(yè)區(qū)的實際面積是平方米.例3.〔1〕.〔2〕例4.x∶y∶z=3∶4∶5，①求的值；②假設(shè)x+y+z=6，求x、y、z.例5.知一次函數(shù)y=kx-1中，比例系數(shù)k滿足，求直線y=kx-1與x軸交點坐標(biāo).【素質(zhì)能力測試】A組一、選擇題(每題3分，共30分)1.一矩形的長a=1.35m，寬b=60cm，則a∶b的值為〔〕(A)9∶400(B)9∶40(C)9∶4(D)90∶42.以下線段能成比例線段的是〔〕A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm,cm,2cm,2cmC,cm,cm,1cmD.2cm,5cm,3cm,4cm3.如果線段a=4，b=16，c=8，那么a、b、c的第四比例項d為〔〕(A)8(B)16(C)24(D)324.，則的值為〔〕(A)(B)(C)(D)5.在比例尺為1∶38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長約為7cm，它的實際長度約為〔〕(A)0.226km(B)2.66km(C)26.6km(D)266km6.某班同學(xué)要測量學(xué)校升國旗的旗桿高度，在同一時刻，量得某一同學(xué)的身高是1.5米，影長是1米，旗桿的影長是8米，則旗桿的高度是〔〕(A)12米(B)11米(C)10米(D)9米7.點C是AB的黃金分割點(AC>BC)，假設(shè)AB=4cm，則AC的長為〔〕(A)(2EQ\r(,5)–2)cm(B)(6-2EQ\r(,5))cm(C)(EQ\r(,5)–1)cm(D)(3-EQ\r(,5))cm8.假設(shè)D、E分別是ΔABC的邊AB、AC上的點，且EQ\F(AD,AB)=EQ\F(AE,AC)，那么以下各式中正確的選項是〔〕(A)EQ\F(AD,DB)=EQ\F(DE,BC)(B)EQ\F(AB,AD)=EQ\F(AE,AC)(C)EQ\F(DB,EC)=EQ\F(AB,AC)(D)EQ\F(AD,DB)=EQ\F(AE,AC)9.假設(shè)，且a+b+c≠0，則k的值為〔〕(A)-1(B)(C)1(D)-EQ\F(1,2)二、填空題(每題3分，共30分)1.在x∶6=(5+x)∶2中的x=；2.假設(shè),則.3.假設(shè)a∶3=b∶4=c∶5,且a+b-c=6,則a=，b=，c=.4.x∶y∶z=3∶4∶5,且x+y+z=12,那么x=，y=，z=.5.假設(shè),則.6.x∶4=y∶5=z∶6,則①x∶y∶z=,②(x+y)∶(y+z)=.7.假設(shè),則.8.，線段=2cm，cm，則線段a、c的比例中項b是.三、解答題(每題8分，共40分)1.，求以下各式的值：(1)(2).2.假設(shè)ΔABC的三內(nèi)角之比為1∶2∶3，求ΔABC的三邊之比.3.a、b、c為ΔABC的三邊，且a+b+c=60cm，a∶b∶c=3∶4∶5，求ΔABC的面積.平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用【知識點梳理】平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例?；緢D形：1、平行線分線段成比例定理的基本圖形：〔型、型〕CF平移至過點DCF平移至過點ACF平移至過點DCF平移至過點A一招制勝：基本圖形別離法，別離出基本圖形，或者通過輔助線，構(gòu)造基本圖形！例題講解：例1.如圖，在中，，且,假設(shè)，求的長。例2．：在中，，，，且〔1〕求的長；〔2〕求證：例3如圖，，假設(shè)，，，求證：.例4如以以以下圖，BD：DC=5：3，E為AD的中點，求BE：EF的值.例5如圖，延長正方形ABCD的一邊CB至E，ED與AB相交于點F，過F作FG∥BE交AE于G，求證：GF＝FB．課堂練習(xí)：平行線分線段成比例定理應(yīng)用題型一、三角形中直接觀察尋找基本圖形解決問題1：如圖，，，求,,2：在中，平分，與相交于點;，交于點，ABEDCA，，求的長。ABEDCA3如圖，在四邊形中，與相交于點，直線平行于，且與、、、及的延長線分別相交于點、、、和.求證：DBGACEFDBGACEF5、：，為的中點，.假設(shè),求6、：，求證：題型二：三角形中構(gòu)造基本圖形解決問題核心輔助線：平行線1中，，，求：2在中，點、分別在邊、上，且，，直線和的延長線交于點，求〔1〕〔2〕3如圖〔1〕，在中，是的中點，是上一點，且，連接并延長，交的延長線于，則.〔2〕如圖〔2〕，中，，，與相交于，則的值為〔〕A.B.C.D.4.等腰直角中，、分別為直角邊、上的點，且,過、分別作的垂線，交斜邊于，．求證：．家庭作業(yè)1．〔福州市中考題〕a∶b＝3∶1且a＋b＝8，則a－b＝。2．〔常州市中考題〕==(n+q≠0)，則＝。3．一個三角形三邊的比為2∶3∶4則這個三角邊上的高的比為。4．線段a＝3，b＝4，c＝5則b，a，c的第四比例項是，b、c的比例中項是．5.〔杭州市中考題〕=，則的值〔〕A．-5 B．5 C．-4 D．46．3a＝5b，以下各式的值在2與3之間的是〔〕A． B． C． D．7．：如圖△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點O，AO與DE、BC分別交于點N、M，

求證：〔1〕= 〔2〕BM=MC，且DN=NE8．如圖，AC∥BD，AD和BC相交于點E，EF∥AC交AB于點F，且AC＝p，BD＝q，EF＝r，〔1〕試證+=,〔2〕圖中AC＝20,BD＝80，試求EF的值。第2講 相似三角形的判定〔1〕【根基知識精講】1.相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，截其它兩邊(或其延長線)，那么所截得的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；2．相似三角形的判定判定定理(1)：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似． 補充：〔1〕有一組銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似。 〔2〕頂角或底角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形相似。3.尋找相似三角形的思路〔1〕、橫向三點定形法，要證=，則證明〔2〕、縱向三點定形法：如要證=，則證明【重難點高效突破】例1．如圖，直線DE分別與△ABC的邊AB、AC的反向延長線相交于D、E，由ED∥BC可以推出嗎請說明理由。例2．〔射影定理〕：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.求證：〔1〕；〔2〕例3．如圖，AD是RtΔABC斜邊BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AC于E、F.則嗎說說你的理由.例4．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD于E,連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE=∠C求證：△ABF∽△EAD；假設(shè)AB=4，∠BAE=30°，求AE的長；在〔1〕〔2〕條件下，假設(shè)AD=3，求BF的長.【素質(zhì)能力測試】A組一、選擇題1．如圖，△ABC經(jīng)平移得到△DEF，AC、DE交于點G，則圖中共有相似三角形〔〕A．3對B．4對C．5對D．6對2．如圖，DE∥BC，EF∥AB，則以下比例式中錯誤的選項是〔〕A．B．C．D．.3.在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點，假設(shè)∠AEF=90°，則一定有〔〕A．ΔADE∽ΔAEF B.ΔECF∽ΔAEFC.ΔADE∽ΔECF D.ΔAEF∽ΔABF4.如圖，直線l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，則AE∶EC是〔〕A.5∶2B.4∶1C.2∶1D.3∶2〔1題圖〕〔2題圖〕〔3題圖〕〔4題圖〕5.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長線上的一點，連結(jié)AE交CD于F，則圖中共有相似三角形〔〕A.1對B.2對C.3對D.4對(5題圖)(6題圖)(7題圖)(8題圖)6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于〔〕A.2∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶27.如圖，P是RtΔABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P做直線截ΔABC，使截得的三角形與ΔABC相似，滿足這樣條件的直線共有〔〕A.1條B.2條C.3條D.4條8.如圖，DE∥BC，EF∥AB，則以下比例式中錯誤的選項是〔〕A.B.C.D.二、填空題1.以下說法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等邊三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正確的選項是(把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上).2.如圖ΔABC中，BC=a.(1)假設(shè)AD1=AB，AE1=AC，則D1E1=；(2)假設(shè)D1D2=D1B，E1E2=E1C，則D2E2=；(3)假設(shè)D2D3=D2B，E2E3=E2C，則D3E3=；……(4)假設(shè)Dn-1Dn=Dn-1B，En-1En=En-1C，則DnEn=.3.：如圖，ΔABC中，∠B=∠C=30°.請你設(shè)計三種不同的分法，將ΔABC分割成四個三角形，使得其中兩個是全等三角形，而另外兩個是相似三角形但不全等的直角三角形.請畫出分割線段，標(biāo)出能夠說明分法的所得三角形的頂點和內(nèi)角度數(shù)或記號，并在各種分法的空格線上填空.(畫圖工具不限，不要求寫出畫法，不要求說明理由).分法一分法二分法三分法一：分割后所得的四個三角形中，Δ≌Δ，RtΔ∽RtΔ.分法二：分割后所得的四個三角形中，Δ≌Δ，RtΔ∽RtΔ.分法三：分割后所得的四個三角形中，Δ≌Δ，RtΔ∽RtΔ.三、解答題1.如圖，ΔABC中，BD是角平分線，過D作DE∥AB交BC于點E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的長.2.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，BD⊥DC.(1)ΔABD與ΔDCB相似嗎請說明理由.(2)如果AD=4，BC=9，求BD的長.3.：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點.ΔADQ與ΔQCP是否相似為什么B組1.如圖，AD為△ABC的角平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于點E，交AB與F，試判定△BAE與△ACE是否相似，并說明理由。2.如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動點P在AB邊上由A向B作勻速運動，1分鐘可到達(dá)B點；動點Q在BC邊上由B向C作勻速運動，1分鐘可到達(dá)C點，假設(shè)P、Q兩點同時出發(fā)，問經(jīng)過多長時間，恰好有PQ⊥BD【課后思考】1.：如以以下圖，D是AC上一點，BE∥AC，AE分別交BD、BC于點F、G，∠1=∠2.則BF是FG、EF的比例中項嗎請說明理由.2.如圖，CD是RtΔABC的斜邊AB上的高，∠BAC的平分線分別交BC、CD于點E、F.AC?AE=AF?AB嗎說明理由.3.如圖，AD是RtΔABC斜邊BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AC于E、F.則嗎說說你的理由.4.零件的外徑為25cm，要求它的厚度x，需先求出它的內(nèi)孔直徑AB，現(xiàn)用一個穿插卡鉗(AC和BD的長相等)去量(如圖)，假設(shè)OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7cm.求此零件的厚度x.第3講 相似三角形的判定〔2〕【根基知識精講】1．相似三角形的判定判定定理(2)：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理(3)：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．2．直角三角形相似的判定：在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．3．相似三角形中的基本圖形：〔A型，X型〕〔2〕交織型〔3〕旋轉(zhuǎn)型〔4〕母子形【典例剖析】例1．如圖在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在長為1的小正方形頂點上．〔1〕填空：∠ABC=______，BC=_______．〔2〕判定△ABC與△DEF是否相似并說明理由。例2.如圖，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，試說明△ADE∽△ABC。例3．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點P在BD上由B點向D點移動，當(dāng)BP等于多少時，△ABP與△CPD相似例4.求證：假設(shè)一個直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高與另一個直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高成比例，那么這兩個直角三角形相似．例5．在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E，M為DE的中點，AM與BE相交于點N，延長AM交BC于點G，AD與BE相交于點F，求證：〔1〕;〔2〕△BCE∽△ADM；〔3〕AM⊥BE.【素質(zhì)能力測試】A組1.以下命題中正確的選項是〔〕①三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似②二邊對應(yīng)成比例且一個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似③一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似④一個角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形相似A、①③B、①④C、①②④D、①③④2．如圖D、E分別是AB、AC上兩點，CD與BE相交于點O，以下條件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是〔〕A.∠B=∠C B.∠ADC=∠AEBC.BE=CD，AB=AC D.AD∶AC=AE∶AB如圖在正方形網(wǎng)格上有6個斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，與三角形①相似的是〔〕A.②③④(B)③④⑤(C)④⑤⑥(D)②③⑥4．如圖，DE與BC不平行，當(dāng)=時，ΔABC與ΔADE相似。5．〔煙臺〕如圖，平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF∽△CDE，則BF的長是〔〕．A．5B．8.2C．6.4D．1.8〔3題圖〕〔4題圖〕〔5題圖〕

5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)ΔABE與ΔADF相似嗎說明理由.(2)ΔAEF與ΔABC相似嗎說說你的理由.6．：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點.ΔADQ與ΔQCP是否相似為什么7．如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC△AEF∽△EFC嗎假設(shè)相似，請證明；假設(shè)不相似，請說明理由。假設(shè)ABCD為矩形呢B組1．:如圖,CE是RtΔABC的斜邊AB上的高,BG⊥AP.求證:CE2=ED·EP.DCPAB2.如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，DCPAB3．△ABC，△DCE，△EFG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=，BC=1，連接BF，分別交AC，DC，DE于P，Q，R．〔1〕求證：△BFG∽△FEG，并求出BF的長?！?〕觀察圖形，請你提出一個與點P相關(guān)的問題，并進(jìn)展解答．4.如圖：AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，點M在邊AC上，點N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點C落在AB上，設(shè)其落點為P，①當(dāng)P是邊AB中點時，求證：；②當(dāng)P不是邊AB中點時，是否仍成立請證明你的結(jié)論；5．如以以下圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D、E在直線BC上運動，設(shè)BD=x，CE=y．〔1〕如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕如果∠BAC的度數(shù)為α，∠DAE的度數(shù)為β，當(dāng)α、β滿足若何的關(guān)系式時，〔1〕中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由．【課后思考】1．如圖正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，AF與DE相交于點O，則等于〔〕．A．B．C．D．2．如圖，直線EF交AB、AC于點F、E，交BC的延長線于點D，AC⊥BC，,求證：第4講相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用【根基知識精講】相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．②相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．③相似三角形周長的比等于相似比．④相似三角形面積的比等于相似比的平方．【素質(zhì)能力測試】例1.(1)兩個相似三角形的面積比為，與它們對應(yīng)高之比之間的關(guān)系為_______BBBBCDEEAAO(2)題圖BBBBCDEEAAO(2)題圖(5)題圖CA’DD’C’B’BA(4)題圖BGFEDAC(3)題圖CEFOBAD〔3〕如圖，AB∥CD,BO:OC=1:4,點E、F分別是OC，OD的中點，則EF:AB的值為〔〕〔4〕如圖，DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,則A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36〔5〕如圖，把正方形ABCD沿著對角線AC的方向移動到正方形A’B’C’D’的位置，它們的重疊局部的面積是原正方形面積的一半，假設(shè)AC=,則正方形移動的距離AA’是.OBCDA〔6〕梯形ABCD中，AD∥BC，〔AD<BC〕，AC、BD交于點O,假設(shè),則△OBCDA例2.如圖，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE:S四邊形BCED＝1:2，BC＝2。ABABCDE例3.如以以下圖，DE∥BC，且與⊿ABC的邊CA、BA的延長線分別相交于點D、E，F(xiàn)、G分別在邊AB、AC上，且AF：FB=AG：GC，求證：⊿AFG∽⊿AED。例4.如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點D，交EH于點M，BC＝20㎝，AM＝8㎝，ABCDEFMABCDEFMHG例5.⊿ABC中，D為AB上一點，假設(shè)∠ABC=∠ACD，AD=8㎝，DB=6㎝，求AC的長。例6.，如圖⊿ABC中，∠BAC=900，AB=AC=1,D為BC上一動點〔不與B,C重合〕，∠ADE=45°〔1〕求證⊿ABD∽⊿DCE(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式〔3〕假設(shè)⊿ADE為等腰直角三角形時，求AE的長例7.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=60°，P為下底BC上一點〔不與B、C重合〕，連結(jié)AP,過P點作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.〔1〕求證：△ABP∽△PCE；〔2〕求等腰梯形的腰AB的長；〔3〕在底邊BC上是否存在一點P,使得DE∶EC=5∶3，如果存在,求出BP的長,如果不存在,請說明理由.6060°AE第7題圖PDCB【素質(zhì)能力測試】A組一.填空(選擇)題：1．在長度為１的線段上找到兩個黃金分割點Ｐ、Ｑ.則ＰＱ＝____________.2.兩個相似三角形的面積比為4：9，那么它們周長的比為__________.3．假設(shè)x：y：z=3：5：7，3x＋2y－4z＝9則x＋y＋z的值為____________.4.如圖，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，則以下結(jié)論成立的是〔〕A.ΔPAB∽ΔPCAB.ΔPAB∽ΔPDAC.ΔABC∽ΔDBAD.ΔABC∽ΔDCAADADE1BC第8題6.順次連接三角形三邊的中點，所成的三角形與原三角形對應(yīng)邊上中線的比是.7.在坐標(biāo)系中,A〔-3，0〕，B〔0，-4〕，C〔0，1〕,過點C作直線L交x軸于點D,使得以點D、C、O為頂點的三角形與△AOB相相似,這樣的直線一共可以作出________條.8、〔天府前沿〕如圖，D、E分