有限元課件第5講結(jié)構(gòu)單元

第5講結(jié)構(gòu)單元本講介紹有限元方法中結(jié)構(gòu)單元的概念。結(jié)構(gòu)單元是將連續(xù)結(jié)構(gòu)離散化后的基本單元，其形狀和大小取決于具體問題。結(jié)構(gòu)單元的類型包括桿單元、梁單元、板單元、殼單元和實體單元等。ffbyfsadswefadsgsa1.單元概述有限元方法的核心是將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散為若干個單元，單元是有限元方法的基本單元，是構(gòu)成有限元模型的基本單元。單元是有限元分析的基礎，單元的精度、穩(wěn)定性和效率直接影響有限元分析的精度和效率。1單元有限元分析的基礎2單元類型三角形、四邊形、三棱柱、六面體3單元性質(zhì)剛度、質(zhì)量、載荷2.單元幾何建模1單元形狀單元形狀根據(jù)實際結(jié)構(gòu)的幾何形狀選擇，例如梁單元、板單元、殼單元、實體單元等。2節(jié)點位置節(jié)點是單元的連接點，需要根據(jù)單元形狀和實際結(jié)構(gòu)進行確定，每個節(jié)點代表一個自由度。3單元尺寸單元尺寸取決于結(jié)構(gòu)的復雜程度和計算精度要求，過小的尺寸會導致計算量增加，過大的尺寸會導致精度下降。3.單元類型桿單元桿單元用于模擬一維結(jié)構(gòu)，例如梁和柱。它具有兩個節(jié)點，每個節(jié)點有三個自由度：軸向位移、橫向位移和扭轉(zhuǎn)角。梁單元梁單元用于模擬承受彎曲和剪切力的二維結(jié)構(gòu)，例如梁和板。它具有兩個或多個節(jié)點，每個節(jié)點有六個自由度：軸向位移、橫向位移、扭轉(zhuǎn)角、橫向旋轉(zhuǎn)、軸向旋轉(zhuǎn)和垂直旋轉(zhuǎn)。殼單元殼單元用于模擬具有曲面的薄壁結(jié)構(gòu)，例如薄殼和圓柱。它具有多個節(jié)點，每個節(jié)點有六個自由度，類似于梁單元。實體單元實體單元用于模擬三維結(jié)構(gòu)，例如固體和流體。它具有多個節(jié)點，每個節(jié)點有三個自由度：軸向位移、橫向位移和垂直位移。4.單元坐標系1局部坐標系便于單元內(nèi)部計算2全局坐標系描述結(jié)構(gòu)整體3坐標轉(zhuǎn)換連接局部與全局單元坐標系是有限元分析中的重要概念，它分為局部坐標系和全局坐標系。局部坐標系是用于描述單元內(nèi)部幾何形狀和節(jié)點位置的坐標系，便于單元內(nèi)部計算。全局坐標系是用于描述結(jié)構(gòu)整體幾何形狀和節(jié)點位置的坐標系，描述整個結(jié)構(gòu)的變形和應力。為了將單元內(nèi)部的計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)整體的分析結(jié)果，需要進行坐標轉(zhuǎn)換，將局部坐標系中的信息轉(zhuǎn)換為全局坐標系中的信息。5.單元節(jié)點1節(jié)點定義單元節(jié)點是單元的幾何邊界點，每個節(jié)點對應一個或多個自由度，表示單元在該點處的位移或旋轉(zhuǎn)。2節(jié)點編號單元節(jié)點通常按照順序進行編號，方便進行單元組裝和有限元計算。3節(jié)點坐標每個節(jié)點都具有其在全局坐標系下的坐標，用于確定單元的幾何形狀和尺寸。6.單元變形節(jié)點位移單元變形指的是單元中節(jié)點位移導致的幾何形狀變化。應變節(jié)點位移會導致單元內(nèi)部產(chǎn)生應變，反映了單元內(nèi)部材料的形變程度。應力應變會引起單元內(nèi)部產(chǎn)生應力，反映了單元內(nèi)部材料所承受的內(nèi)力。7.單元應變單元應變是指單元內(nèi)各點位移引起的變形量。應變是描述材料變形程度的物理量。在有限元分析中，單元應變通常用應變矩陣表示。1應變定義應變是材料變形程度的描述2應變矩陣用矩陣表示單元應變3應變計算根據(jù)節(jié)點位移計算應變單元應變的計算方法取決于單元類型和所采用的應變理論。應變矩陣中的元素對應著不同方向上的應變分量。應變分析是有限元分析中重要的步驟，它可以幫助我們了解結(jié)構(gòu)的變形情況，并進而分析結(jié)構(gòu)的承載能力。8.單元應力1應力定義單元內(nèi)部應力的計算和分析2應力類型正應力、剪應力3應力分布單元內(nèi)部應力分布規(guī)律單元應力是有限元分析中重要的結(jié)果之一，它反映了單元內(nèi)部的受力狀態(tài)。應力定義為單位面積上的內(nèi)力，可以分為正應力和剪應力兩種。應力分布規(guī)律可以通過應力分析軟件來獲取，它可以幫助我們了解單元內(nèi)部的應力集中區(qū)域和受力情況。9.單元剛度矩陣1概念單元剛度矩陣表示單元在節(jié)點位移作用下的剛度特性。該矩陣通過單元材料性質(zhì)、幾何形狀和節(jié)點位置等信息計算得到。2作用單元剛度矩陣用于建立有限元方程，將單元的變形和應力與節(jié)點位移聯(lián)系起來。它是有限元分析中的重要組成部分。3計算單元剛度矩陣通常采用數(shù)值積分方法計算?？梢酝ㄟ^不同的積分方法和數(shù)值積分點來提高計算精度。10.單元質(zhì)量矩陣1質(zhì)量矩陣定義描述單元質(zhì)量特性2計算方法積分方法得到質(zhì)量矩陣3應用場景動力學分析、振動分析4矩陣特點對稱矩陣、稀疏矩陣單元質(zhì)量矩陣是有限元分析中用于描述單元質(zhì)量特性的矩陣。它可以通過積分方法獲得，并用于動力學分析和振動分析。單元質(zhì)量矩陣是一個對稱矩陣，并且通常是稀疏矩陣，這意味著它包含大量零元素。11.單元載荷向量單元載荷向量是有限元分析中表示作用在單元上的外力的向量。1集中力點作用力2分布力面、線作用力3體積力重力、慣性力單元載荷向量是將單元上的外力轉(zhuǎn)化為節(jié)點上的等效力的向量，為求解有限元方程提供必要的信息。12.單元坐標轉(zhuǎn)換全局坐標系全局坐標系是整個結(jié)構(gòu)的參考坐標系，用于描述結(jié)構(gòu)的整體幾何形狀和運動。局部坐標系局部坐標系是針對每個單元定義的，用于描述單元內(nèi)部的幾何形狀和變形。坐標轉(zhuǎn)換矩陣將局部坐標系中的坐標轉(zhuǎn)換為全局坐標系中的坐標需要使用坐標轉(zhuǎn)換矩陣。轉(zhuǎn)換公式坐標轉(zhuǎn)換公式用于將局部坐標系中的節(jié)點坐標和變形量轉(zhuǎn)換為全局坐標系中的對應值。13.單元自由度1節(jié)點位移節(jié)點在X、Y、Z方向上的位移2節(jié)點轉(zhuǎn)角節(jié)點繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)角3單元自由度所有節(jié)點自由度的總和單元自由度是指單元內(nèi)所有節(jié)點的自由度之和。每個節(jié)點在空間中有六個自由度，即三個方向上的位移和三個方向上的轉(zhuǎn)角。單元自由度直接影響著單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的尺寸。14.單元邊界條件1固定約束節(jié)點位移為零2自由約束節(jié)點位移可以變化3載荷約束節(jié)點上施加外部力單元邊界條件定義了單元邊界上的物理約束。單元邊界條件可以是固定約束、自由約束或載荷約束。固定約束是指節(jié)點位移為零，自由約束是指節(jié)點位移可以變化，載荷約束是指節(jié)點上施加外部力。邊界條件決定了單元的運動方式，影響了單元的應力、應變和位移。15.單元類型選擇1單元類型概述單元類型是有限元分析中一個重要的概念。不同的單元類型具有不同的形狀、節(jié)點數(shù)和自由度。在選擇單元類型時，需要根據(jù)問題的具體情況進行權(quán)衡。2單元類型選擇原則選擇單元類型需要考慮精度、效率和計算成本等因素。精度指的是單元類型對真實解的逼近程度。效率指的是單元類型所需的計算時間和存儲空間。計算成本指的是進行有限元分析所需的硬件和軟件資源。3常見單元類型常用的單元類型包括三角形單元、四邊形單元、三維實體單元等。在實際應用中，可以根據(jù)問題的具體情況選擇合適的單元類型。16.單元網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分方法單元網(wǎng)格劃分是有限元分析的關鍵步驟，選擇合適的網(wǎng)格劃分方法可以有效提高分析精度和效率。常用的網(wǎng)格劃分方法包括結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。網(wǎng)格尺寸選擇網(wǎng)格尺寸的選擇會影響分析精度和計算時間，需要根據(jù)具體問題進行權(quán)衡。一般情況下，網(wǎng)格尺寸越小，分析精度越高，但計算時間也越長。網(wǎng)格質(zhì)量評估網(wǎng)格質(zhì)量會直接影響分析結(jié)果，需要對網(wǎng)格質(zhì)量進行評估，確保網(wǎng)格質(zhì)量滿足分析要求。17.單元尺寸選擇單元尺寸選擇是有限元分析中一個重要的環(huán)節(jié)，它直接影響著計算結(jié)果的精度和效率。1網(wǎng)格密度細化網(wǎng)格，提高精度2單元類型選擇合適的單元類型3幾何形狀考慮幾何形狀復雜度4計算資源平衡精度和效率單元尺寸選擇需要綜合考慮網(wǎng)格密度、單元類型、幾何形狀和計算資源等因素，最終目標是在保證計算精度的前提下，盡可能提高計算效率。18.單元積分數(shù)值積分方法有限元分析中，單元積分通常采用數(shù)值積分方法，如高斯積分法，以計算單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和載荷向量。積分精度積分精度會影響有限元分析結(jié)果的準確性，需要根據(jù)單元類型、材料屬性和問題類型選擇合適的積分點和權(quán)重。積分誤差數(shù)值積分方法會引入積分誤差，需要在精度和效率之間權(quán)衡選擇，并進行誤差分析以保證分析結(jié)果的可信度。19.單元誤差分析1誤差來源單元誤差源于近似假設和數(shù)值計算。近似假設包括單元形狀、材料屬性和邊界條件。2誤差類型誤差類型包括截斷誤差、舍入誤差和離散化誤差。截斷誤差由近似假設產(chǎn)生，舍入誤差由計算機精度限制產(chǎn)生，離散化誤差由有限元離散化產(chǎn)生。3誤差評估誤差評估通過比較解析解和數(shù)值解，或通過網(wǎng)格加密測試來進行。誤差評估可以幫助判斷數(shù)值解的可靠性。20.單元收斂性1網(wǎng)格加密單元數(shù)量增加2誤差減小逼近真實解3收斂性單元數(shù)量趨于無窮單元收斂性是指當單元數(shù)量趨于無窮大時，有限元解趨于真實解的性質(zhì)。網(wǎng)格加密可以提高單元數(shù)量，從而減少誤差，最終達到收斂狀態(tài)。收斂性是有限元方法有效性的重要保證，確保計算結(jié)果的準確性。21.單元穩(wěn)定性1穩(wěn)定性單元解的穩(wěn)定性2收斂性單元解的收斂速度3誤差單元解的誤差大小單元穩(wěn)定性是指在有限元計算過程中，單元解是否能保持穩(wěn)定，避免出現(xiàn)振蕩或發(fā)散現(xiàn)象。影響單元穩(wěn)定性的因素包括單元的形狀、尺寸、節(jié)點位置、邊界條件等。單元解的穩(wěn)定性與單元的收斂性密切相關。收斂性是指隨著網(wǎng)格尺寸的減小，單元解是否能逐漸逼近真實解。穩(wěn)定性是收斂性的必要條件，但不是充分條件。22.單元鎖定單元鎖定是指在有限元分析中，由于單元形狀、單元類型或單元積分方法的選擇不當，導致單元在某些變形模式下出現(xiàn)過度的剛性，從而無法正確模擬結(jié)構(gòu)的實際變形行為。1單元形狀形狀不規(guī)則2單元類型低階單元3積分方法積分點數(shù)過少單元鎖定會影響分析結(jié)果的準確性，甚至會導致計算發(fā)散。因此，在進行有限元分析時，應注意選擇合適的單元類型、形狀和積分方法，避免單元鎖定現(xiàn)象的出現(xiàn)。24.單元選擇原則精度要求單元精度影響結(jié)果的準確性。高精度單元可以模擬更復雜的情況，但計算量也會增加。計算成本單元數(shù)量和類型直接影響計算成本。選擇合適的單元可以降低計算時間和資源消耗。建模復雜度復雜模型需要更復雜的單元才能準確模擬。選擇能滿足模型需求的單元至關重要。經(jīng)驗積累豐富的實踐經(jīng)驗可以幫助工程師選擇最佳的單元類型。24.單元優(yōu)化1單元形狀優(yōu)化盡量選擇形狀規(guī)則的單元，例如三角形或四邊形。避免使用長條形或扭曲形狀的單元，因為這些單元容易導致計算精度下降。2單元尺寸優(yōu)化單元尺寸應根據(jù)問題的尺度和精度要求來選擇。單元尺寸過小會導致計算量過大，而單元尺寸過大則會導致精度不足。3單元類型優(yōu)化選擇合適的單元類型取決于問題的類型和邊界條件。例如，對于線性彈性問題，可以選擇線性三角形單元或線性四邊形單元。對于非線性問題，則需要選擇更高階的單元。25.單元退化單元退化是指在有限元分析中，將高階單元簡化為低階單元的過程。單元退化可以提高計算效率，但也可能降低分析精度。1單元降階高階單元轉(zhuǎn)換為低階單元2節(jié)點減少減少單元節(jié)點數(shù)3計算簡化簡化單元矩陣計算4效率提升降低計算時間單元退化是有限元分析中常用的優(yōu)化技巧，可以有效提高計算效率。在進行單元退化時，需要權(quán)衡計算效率和分析精度之間的關系。27.單元退化處理識別退化單元在有限元分析中，單元退化指的是單元形狀發(fā)生畸變，導致單元的幾何形狀和物理性質(zhì)發(fā)生變化，從而影響分析結(jié)果的準確性。單元質(zhì)量檢查使用有限元軟件中的單元質(zhì)量檢查功能，對網(wǎng)格進行檢查，識別出形狀異常的單元。網(wǎng)格重劃分針對退化單元進行網(wǎng)格重劃分，通過增加節(jié)點數(shù)量或調(diào)整單元形狀，改善單元的幾何形狀。單元類型調(diào)整如果網(wǎng)格重劃分無法有效解決退化問題，可以考慮調(diào)整單元類型，例如使用更高階單元或更適合處理特殊形狀的單元。27.單元應用案例1梁單元梁單元廣泛應用于橋梁、建筑、機械等領域。它可以用于模擬梁的彎曲、剪切和扭轉(zhuǎn)行為。2板單元板單元用于模擬板的彎曲、剪切和拉伸行為。它在建筑、航空航天、船舶等領域應用廣泛。3殼單元殼單元可以模擬薄殼結(jié)構(gòu)的彎曲、剪切和膜力。它應用于汽車、飛機、船舶等領域。28.單元建模技巧11.網(wǎng)格劃分合理劃分網(wǎng)格，保證精度22.單元選擇根據(jù)結(jié)構(gòu)類型選單元33.邊界條件準確定義邊界約束44.載荷定義模擬真實載荷分布單元建模技巧對有限元分析結(jié)果至關重要。合理劃分網(wǎng)格，選擇合適的單元類型，準確定義邊界條件和載荷分布，可以有效提高分析精度和效率。29.單元建模注意事項單元類型選擇選擇合適的單元類型，如三角形單元、四邊形單元等，需要考慮模型的幾何形狀、精度要求和計算效率。網(wǎng)格劃分策略合理劃分網(wǎng)格，保證網(wǎng)格質(zhì)量，避免過大或過小的單元尺寸，影響計算結(jié)果的準確性和收斂性。邊界條件處理正確定義邊界條件，如固定約束、載荷條件等，確保模型邊界條件與實際情況相一致。單元尺寸控制根