高考數學一輪總復習課件：第一章集合與常用邏輯用語

第一章集合與常用邏輯用語1．1集合的概念與運算最新考綱1.了解集合的含義、集合元素與集合的屬于關系．

2．能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．

3．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．

4．在具體情境中，了解全集與空集的含義．

5．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．

6．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．

7．能使用Venn圖表示集合的關系及運算．1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：________、________、________．(2)集合中元素與集合的關系元素與集合的關系：對于元素a與集合A，或者_____，或者_____．二者必居其一．(3)常見集合的符號表示確定性互異性無序性a∈Aa?A(4)集合的表示法：______、______、_________．NN*或N+ZQ

R列舉法描述法Venn圖法【思考探究】集合{?}是空集嗎？它與{0}、?有什么區(qū)別？相同A=BA?BB?A不是ABA∪BA∩B?UA{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈

U,且x

?

A}1．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，則實數a的所有可能取值的集合為(

)A．{－1}B．{1}C．{－1，1}D．{－1，0，1}2．下列命題中，正確的個數是(

)①?＝{0}；②??{0}；③M＝{(1，2)}與N＝{1，2}表示同一集合；④若M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|x＝t2＋1，t∈R}，則M＝N.A．1B．2C．3D．43．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．4．已知集合M＝{x|x=n+

,n∈Z}，N={x|x=

n+1,n∈Z

}

，n∈Z，則集合M與N的關系為________．5．已知集合S＝{3，a}，T＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，且S∩T＝{1}，設P＝S∪T，則集合P的真子集的個數是________.答案：1.D2.B3.－3/24.M

N5.7探究點一集合的基本概念(1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數為________．(2)設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝_____．總結反思：(1)掌握集合的概念，關鍵是把握集合中元素的特性，要特別注意集合中元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢之時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確．(2)用描述法表示集合時，首先應清楚集合的類型和元素的性質．如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．解析：(1)由x－y∈A，及A＝{1，2，3，4，5}得x>y，當y＝1時，x可取2，3，4，5，有4個；當y＝2時，x可取3，4，5，有3個；當y＝3時，x可取4，5，有2個；當y＝4時，x可取5，有1個．故共有1＋2＋3＋4＝10(個)．(2)因為{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，得＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案：(1)10(個)

(2)2【變式訓練】1.(1)已知集合M＝{x|(x2＋1)(x＋a)≤0}，P＝{x|a2－x≤0}，若M∩P的子集的個數為2，則實數a的值是(

)

A．0B．1C．－1D．－1或0(2)對任意兩個集合M，N，定義：M－N＝{x|x∈M且x?N}，設M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，則集合M*N＝(M－N)∪(N－M)＝__________.解析：(1)∵a∈R，x∈R，∴M＝{x|x≤－a}．又P＝{x|x≥a2}，且M∩P的子集的個數為2，則M∩P中有且僅有一個元素，即M∩P＝{x|a2≤x≤－a}中有且僅有一個元素，∴a2＝－a，解得a＝0或a＝－1，故正確選項為D.(2)由已知M＝{y|y≥0}，N＝{y|－3≤y≤3}，∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴M*N＝{y|－3≤y<0或y>3}．答案：(1)D

(2){y|－3≤y<0或y>3}探究點二集合間的基本關系(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值組成的集合．(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值組成的集合．總結反思：判斷集合與集合的關系，基本方法是歸納并判斷元素與集合的關系．對于用描述法表示的集合，要緊緊抓住代表元素及它的屬性，可將元素列舉出來直觀發(fā)現(xiàn)或通過元素特征，求同存異，定性分析．要特別注意?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集在解題中的應用．【變式訓練】2.已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}．若B?A，求實數a的值．探究點三集合的基本運算已知全集為R，集合A＝{t|t使得{x|x2＋2tx－4t－3≥0}＝R}，集合B＝{t|t使得{x|x2＋2tx－2t＝0}≠?}，其中x，t均為實數．(1)求A∩B和?R(A∪B)；(2)設m為整數，g(m)＝m2－3，求M＝{(m，g(m))|g(m)∈A∩B}．解析：(1)由{x|x2＋2tx－4t－3≥0}＝R，得Δ＝4t2＋4(4t＋3)≤0，即t2＋4t＋3≤0，∴－3≤t≤－1，即A＝{t|－3≤t≤－1}，又由{x|x2＋2tx－2t＝0}≠?，∴Δ＝4t2＋8t≥0，即t≤－2或t≥0，即B＝{t|t≤－2或t≥0}，故A∩B＝{t|－3≤t≤－2}，A∪B＝{t|t≤－1或t≥0}，∴?R(A∪B)＝{t|－1<t<0}．(2)依題意得：－3≤m2－3≤－2，∴0≤m2≤1，又m∈Z，∴m＝0，±1，∴M＝{(0，－3)，(1，－2)，(－1，－2)}．總結反思：在進行集合的運算時，先看清集合的元素和所滿足的條件，再把所給集合化為最簡形式，并合理轉化求解，必要時充分利用數軸、Venn圖、圖象等工具使問題直觀化，并運用分類討論、數形結合等思想方法，使運算更加直觀、簡潔．【變式訓練】3.設全集是實數集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)當a＝－4時，求A∩B和A∪B；(2)若(?RA)∩B＝B，求實數a的取值范圍．1．集合的概念(1)解題時要注意集合中元素的三個性質的應用，特別是無序性和互異性，要進行解題后的檢測，注意符號語言與文字語言之間的相互轉化．(2)解題時要注意空集的特殊地位，討論時要防止遺漏．2．集合的運算(1)兩個集合的交、并、補的運算分別與邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”對應，但不能等同和混淆．(2)五個關系式A?B，A∩B＝A，A∪B＝B，?UB??UA以及A∩(?UB)＝?是兩兩等價的.集合與新定義A，B是非空集合，如果a∈A，b∈B，滿足|a－b|∈A∪B，則稱a，b是集合A，B的一對“基因元”．如果A＝{2，3，5，9}，B＝{1，3，6，8}，則集合A，B中“基因元”的對數是(

)

A．8B．10C．13D．16解析：因為A＝{2，3，5，9}，B＝{1，3，6，8}，所以2，1；2，3；2，8；3，1；3，6；3，8；5，3；5，6；5，8；9，1；9，3；9，6；9，8都是A，B中的“基因元”，共13對，故選C.思維提升：本題主要考查考生對“基因元”這一新定義以及集合的交集運算等概念的理解和應用，雖然為“新定義”問題，但是解題思路還是常規(guī)的，非常符合新課標高考的考查思想．【跟蹤體驗】1．(2015·東莞模擬)對任意實數x，y，定義運算x?y＝ax＋by＋xcy，其中a，b，c是常數，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算．已知1?2＝3，2?3＝4，并且有一個非零常數m，使得?x∈R，都有x?m＝x，則3?4的值是(

)A．－4B．4C．－3D．32．(2015·淮安模擬)設集合Sn＝{1，2，3，…，n}，若X?Sn，把X的所有元素的乘積稱為X的容量(若X中只有一個元素，則該元素的數值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0)．若X的容量為奇(偶)數，則稱X為Sn的奇(偶)子集．則S4的所有奇子集的容量之和為________．1.2.[友情提示]每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真對待它們吧！進入“課時達標1.1”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內容以活頁形式分冊裝訂！課時作業(yè)1.11．2命題及其關系、充分條件與必要條件最新考綱1.理解命題的概念．

2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系．

3．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義．1．命題的概念在數學中用語言、符號或式子表達的，可以__________的陳述句叫做命題．其中__________的語句叫真命題，________________________________________________________________________的語句叫假命題．2．四種命題及其關系(1)四種命題間的逆否關系(2)四種命題的真假關系判斷真假判斷為真判斷為假①兩個命題互為逆否命題，它們有________的真假性；②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性______．【思考探究】一個命題的“否命題”與“否定”是同一個命題嗎？相同沒有關系提示：不是．命題的否命題既否定命題的條件又否定命題的結論，而命題的否定僅是否定命題的結論．3．充分條件與必要條件(1)如果p?q，則p是q的__________，q是p的__________；(2)如果p?q，q?p，則p是q的____________．充分條件必要條件充要條件答案：1．A

2.C

3.A

4.1

5.(1，4)探究點一命題及其關系與命題的真假判定)寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．(1)實數的平方是非負數；(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形．解析：(1)逆命題：若一個數的平方是非負數，則這個數是實數．真命題．否命題：若一個數不是實數，則它的平方不是非負數．真命題．逆否命題：若一個數的平方不是非負數，則這個數不是實數．真命題．(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高．真命題．否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等．真命題．逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．假命題．總結反思：在判斷四種命題之間的關系時，首先要分清命題的條件與結論，再比較每個命題的條件與結論之間的關系，要注意四種命題關系的相對性，一個命題定為原命題，也就相應地有了它的“逆命題”“否命題”和“逆否命題”．能判斷真假的陳述句稱之為命題．因此命題有真有假，判斷數學命題的真假需要相關的數學知識和推理方法，同時四種命題間有著下列相應的真假結論：原命題為真，它的逆命題不一定為真，它的否命題也不一定為真，但它的逆否命題一定為真．【變式訓練】1.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假：(1)面積相等的兩個三角形是全等三角形；(2)若x2＋y2＝0，則實數x、y全為零；(3)若3－2x－x2＞0，則x＜－1或x＞3.解析：(1)原命題是假命題；逆命題：兩個全等三角形的面積相等，真命題；否命題：面積不相等的兩個三角形不是全等三角形，真命題；逆否命題：兩個不全等的三角形的面積不相等，假命題．(2)原命題是真命題；逆命題：若實數x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題；否命題：若x2＋y2≠0，則實數x，y不全為零，真命題；逆否命題：若實數x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題．(3)由3－2x－x2＞0得x2＋2x－3＜0，∴－3＜x＜1，∴原命題是假命題；逆命題：若x＜－1或x＞3，則3－2x－x2＞0，假命題；否命題：若3－2x－x2≤0，則－1≤x≤3，假命題；逆否命題：若－1≤x≤3，則3－2x－x2≤0，假命題．探究點二充分條件與必要條件的判定)指出下列各小題中，p是q的什么條件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；(4)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC.解析：(1)∵(x－2)(x－3)＝0?/x－2＝0(可能x－3＝0)，但x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，∴p是q的必要不充分條件．(2)∵四邊形的對角線相等?/四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形?/四邊形的對角線相等，∴p是q的既不充分也不必要條件．(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0?/(x－1)2＋(y－2)2＝0.∴p是q的充分不必要條件．(4)∵在△ABC中，大邊對大角，大角對大邊．∴∠A＞∠B?BC＞AC，同時，BC＞AC?∠A＞∠B，∴p是q的充要條件．總結反思：充分條件、必要條件、充要條件的判定方法(1)定義法①分清條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論；②找推式：判斷“p?q”及“q?p”的真假；③下結論：根據推式及定義下結論．(2)等價轉化法條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷．【變式訓練】2.判斷下列各題中p是q的什么條件．(1)p：|x|≥2，q：x2－x－2≥0；(2)p：直線a2x－y＋6＝0與直線4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直，q：a＝－1；(3)p：cosA>cosB，q：A<B.探究點三充分條件與必要條件的應用)總結反思：解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式求解．1．當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保留大前提．2．判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結構，可以先把命題改寫成“若p則q”的形式．3．判斷條件之間的關系要注意條件之間關系的方向，正理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言．4．寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關鍵是分清原命題的條件和結論，然后按定義來寫；在判斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定．等價轉換思想在充要條件中的應用思維提升：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件，即可轉化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何種條件．【跟蹤體驗】1．給定兩個命題p，q，若綈p是q的必要而不充分條件，則p是q的(

)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．已知命題p：x2＋2x－3>0；命題q：x>a，且q的一個充分不必要條件是p，則a的取值范圍是(

)A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]1.解析：因為p是q的必要而不充分條件，則p是q的充分不必要條件．答案：A2．解析：因為p是q的充分不必要條件，所以p是q的必要不充分條件．由題知p：x>1或x<－3.設A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，則B

A，所以a≥1.答案：A[友情提示]每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真對待它們吧！進入“課時達標1.2”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內容以活頁形式分冊裝訂！課時作業(yè)1.21.3簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞最新考綱1.了解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義．

2．理解全稱量詞和存在量詞的意義．

3．能正確地對含一個量詞的命題進行否定.1．簡單的邏輯聯(lián)結詞(1)用聯(lián)結詞“且”聯(lián)結命題p和命題q，記做________，讀做“________”．(2)用聯(lián)結詞“或”聯(lián)結命題p和命題q，記做________，讀做“________”．(3)對一個命題p全盤否定記做________，讀做“非p”或“p的否定”．(4)命題p∧q，p∨q，p的真假判斷．“p且q”，有假則_____；“p或q”，有真則_____；“p”，真假_____．p∧q

p且q

p∨q

p或q

﹁p假真相反2．全稱量詞與存在量詞(1)短語____________________在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“____”表示．含有全稱量詞的命題，叫做__________，可用符號簡記為__________，它的否定______________．(2)短語______________________在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“____”表示．含有存在量詞的命題，叫做______．可用符號簡記為________，它的否定__________________．“所有的”“任意一個”?全稱命題?x∈M，p(x)?x∈M，﹁p(x)“存在一個”“至少有一個”?

特稱命題?x∈M，p(x)

?x∈M，﹁p(x)探究點一含有邏輯聯(lián)結詞的命題的構成與分解及命題的真假判斷解析：(1)①p∧q：5是奇數且是12的約數，假命題；p∨q：5是奇數或是12的約數，真命題；

p∶5不是奇數，假命題．②p∧q：相等向量的模相等且方向相同，真命題；p∨q：相等向量的模相等或方向相同，真命題；

p：相等向量的模不相等，假命題．(2)①是p∧q形式的命題，真命題，其中p：正方體的各條棱長相等，q：正方體的對角線互相平分；②是p∨q形式的命題，假命題，其中p：負數的平方小于0，q：負數的平方等于0.總結反思：(1)含有邏輯聯(lián)結詞的命題的構成與分解一個命題可以是不含任何邏輯聯(lián)結詞的簡單形式，也可以是含有邏輯聯(lián)結詞的較復雜形式．判斷有關命題的真假時，往往需要弄清命題的構成形式，這時不但要看一個命題中是否含有邏輯聯(lián)結詞，更重要的是要看命題的內容結構中是否含有邏輯聯(lián)結的真正含義．(2)含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷①確定命題的構成形式；②判斷其中命題p、q的真假；③確定“p∧q”“p∨q”“p”形式命題的真假．【變式訓練】

1.下列結論錯誤的是(

)A．命題“若p則q”與命題“若q則p”同真同假B．命題p：?x∈[0，1]，ex≥1，命題q：?x∈R，x2＋x＋1＜0，則p∨q為真C．“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真命題D．若p∨q為假命題，則p、q均為假命題解析：∵A中兩個命題互為逆否命題，∴它們同真同假，A正確；B中的命題p是真命題，而q是假命題，∴p∨q也為真命題，B正確；C中原命題是真命題，但它的逆命題“若a＜b，則am2＜bm2”是假命題，即C錯誤；D中命題是真命題．故選C.答案：C探究點二全(特)稱命題的真假判斷與否定)總結反思：全(特)稱命題的真假判斷(1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判斷全稱命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成立即可；(2)要判斷一個特稱命題為真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題．全(特)稱命題的否定對一個全(特)稱命題的否定是全部否定，而不是部分否定．(1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結論否定；而命題的否定，則直接否定結論即可．(2)要判斷“﹁p”的真假，可以直接判斷，也可以先判斷“p”的真假，再利用“p”與“﹁p”的真假相反判斷．【變式訓練】2.指出下列命題是全稱命題還是特稱命題，寫出它們的否定形式，并判斷真假：(1)每個指數函數都是單調函數；(2)能夠被3整除的整數，能夠被6整除；(3)存在實數θ使f(x)＝sin(2x＋θ)是偶函數．解析：(1)全稱命題，指數函數或是減函數，或是增函數，∴是真命題，它的否定形式是“存在指數函數不是單調函數”，這是一個假命題．(2)全稱命題，由于3能被3整除，但不能被6整除，∴是假命題，它的否定形式是“存在能被3整除的整數不能被6整除”，是真命題．(3)特稱命題，如θ＝＋2kπ(k∈Z)時，函數f(x)＝sin(2x＋θ)是偶函數，∴是真命題，它的否定形式是“對任意實數θ，函數f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函數”，是假命題．探究點三含邏輯聯(lián)結詞命題真假性的應用)已知命題p：關于實數