廣西南寧市某中學(xué)2023屆高三模擬（三）數(shù)學(xué)（理）試題（含答案與解析）

□□□□□□□□匚2023口口口口口口口口口口

□□□□□

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息；

2.請將答案正確填寫在答題卡上.

卷I（選擇題）

一、選擇題（本題共計(jì)12小題，每題5分，共計(jì)60分,）

1設(shè)全集。={X€2|兇<2},A={x|x+l〈O,xeU},B={—2,0,2},則&A)B=

A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-l,2]u{-2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=—!—（其中i為虛數(shù)單位），I是z的共聊復(fù)數(shù)，則z+W=（

)

1-1

1+i

B.1

A.-1C.iD.T

3.某統(tǒng)計(jì)部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖.

3535

3030

2525

2()20

1515

1010

55

00

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為小相關(guān)系數(shù)為七

3535

3030

2525

2()20

1515

1010

55

()

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為々

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)比較，正確的是)

A.r4<r2<r]<r3B.r2<r4<r]<r3C.弓D.〃<弓

181877

A.——B.——C.D.

25252525

5.在數(shù)列｛為｝中，4=1,數(shù)列,十+1，是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)S,,為｛凡｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論

埼送的是()

7

C.數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列D.S3>-

8

6.設(shè)隨機(jī)變量百服從正態(tài)分布N(3,4),若<2a-1)=>a+4),則。的值為()

15

A.-B.1C.2D.-

32

7.如圖，在正方體ABCD-A4G2中，尸為棱GA上的動點(diǎn)，則直線PB與平面CGRO所成角(過

點(diǎn)8作平面的垂線，設(shè)垂足為。.連接P0,直線PB與直線P0相交所形成不大于90的角)的

正弦值的范圍是()

AW，也]B□，回c『運(yùn)回D『返回

32J[23J|_32J[63

8.已知函數(shù)/(x)=sin2x+百cos2x的圖象向左平移。個(gè)單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)的

圖象關(guān)于y軸對稱，則SI的最小值為()

71—K廣汽—5萬

A.—B.-C.-D.—

126312

9.若函數(shù)/(x)=f—l與g(x)=alnx—1的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)〃的最大值為()

A.2eB.eC.5/eD.e2

10.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例,引入數(shù)列：1』,2,3,5,8,…，該數(shù)列從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等

于前兩項(xiàng)和，即遞推關(guān)系式為%+2=??+1+%，〃wN*,故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列,又稱“兔子數(shù)列”.已知

滿足上述遞推關(guān)系式的數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為a“，其中AB的值可由％

小二1

和的得到，比如兔子數(shù)列中q=1，4=1代入解得A=不利用以上信息計(jì)算

）.（國表示不超過X的最大整數(shù)）（)

A.10B.11C.12D.13

「v2

H.已知雙曲線G：與一方=i（a>o,8〉o）與拋物線G：y2=2〃x（〃>o）有公共焦點(diǎn)尸，過點(diǎn)F作雙

曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，延長E4與拋物線G相交于點(diǎn)8,若點(diǎn)A滿足BB=4E4,雙曲

線G的離心率為e,則/=（）

A.空B.^±1C.73D.也+1

32

12.已知函數(shù)/（幻=之學(xué)0〃<0）送（%）=弛仁2,設(shè)方程/（g（x））+^=0的3個(gè)實(shí)根分別為

3廠xm

Xi，%,.且玉<X2<工3，則g（X1）+2g（x2）+3g（%3）的值可能為（）

223

A.—B.-C.—D.一

eeee

卷n（非選擇題）

二、填空題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分）

2x-y>0

13.點(diǎn)P（x,y）滿足不等式組<x+y—2W0,點(diǎn)A（2,l）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。尸.。4的取值范圍是

x-2y-2<0

14.如圖，在菱形中，AB=2。ZBAD=60°,沿對角線8。將△A3。折起，使點(diǎn)/,。之間

的距離為3亞，若P，。分別為線段8。，。上的動點(diǎn)，則線段尸。的最小值為.

22

15.雙曲線C:=l(a>0力>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4B,P為C上一點(diǎn)，若點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為1,

a~h~

|PA|=拒,|PB|=2,則C的離心率為.

16.已知函數(shù)g(x)=3x+cos(-2x)-\n(>]x2+\-x)+3,若g(ax-2e'+2)<3在xe(0,+oo)上恒成

立，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

三、解答題(本題共計(jì)5小題，每題12分，共計(jì)60分)

17.已知的內(nèi)角4B,。的對邊分別是。，b,c,的面積為S,且滿足

4S+bc-tan(B+C)=O.

(1)求角[的大??；

(2)若a=4,求~9。周長的最大值.

18.已知四棱錐P-ABC。的底面A8C。是正方形，側(cè)棱24,平面ABC。，點(diǎn)/在棱DP上,且

0M=2MP，點(diǎn)N是在棱PC上的動點(diǎn)(不為端點(diǎn)).

(1)若N是棱尸C中點(diǎn)，求證：PB〃平面4MN；

(2)若AP=AO=3,當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線以與平面所成角的正弦值取得最大值.

19.全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行.為做好考試的評價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽

取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,

60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中加值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；

(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80),[80,90),[90,100]的三組中抽取了11人,

再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記J為3人中成績在［80,90)的人數(shù)，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望；

20已知函數(shù)〃x)=ln(l+3x)-o￥(aNO)

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：++…+/(e為自然對數(shù)的底數(shù)，neN*).

21.已知橢圓。:與+左=1(。>人>0)過點(diǎn)1,手)，且離心率為孝.

(1)求橢圓c的方程；

(2)已知直線/：y=mx+2與橢圓交于不同的兩點(diǎn)尸，Q,那么在x軸上是否存在點(diǎn)"，使=

且若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

(二)選考題共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分.

x=3cos6—1

22.已知曲線C的參數(shù)方程為{..八_(。為參數(shù)),

y=3sin，+2

(1)求曲線C的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀；

(2)設(shè)P為曲線。上的動點(diǎn)，且有0(0,0),A(l,0),求|PO5+|PA『的取值范圍.

23.已知函數(shù)/(X)=|X-4|T,reR,且關(guān)于x的不等式/(x+2)<2的解集為(―1,5).

(1)求/的值；

a2b2c2

(2)設(shè)。，b,c均為正實(shí)數(shù)，S.a+b+c=t,求證：—+—+—>1.

bca

參考答案

一、選擇題(本題共計(jì)12小題,每題5分，共計(jì)60分,)

I設(shè)全集"一{xeZ|W<2},A={x|x+140,xeU},§={一2,0,2},貝九&4)_8=()

A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-l,21u{-2}

【答案】C

【解析】

【分析】先求補(bǔ)集再求并集即可.

【詳解】因?yàn)閁={xeZ||Xw2}={-2,—1,0,1,2},A={x|x+lW0,xeU}={-2,—1},

所以電4={0,1,2},所以@A)B={-2,0,1,2}.

故選：C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)2=-L（其中i為虛數(shù)單位），I是Z的共物復(fù)數(shù)，則z+W=（）

1-1

1+i

C.i

A.-1B.1D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用共輒復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合復(fù)數(shù)加法法則即可求解.

1l+i11.-ii

【詳解】z=口(l-i)x(l+i)=5+A所以z=5一

所以z+W='+Li+L_J_i=J_+_L=i.

222222

故選：B.

3.某統(tǒng)計(jì)部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖.

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

00

101520253035101520253035

相關(guān)系數(shù)為小相關(guān)系數(shù)為A

3535

3030

2525

2()20

1515

1010

55

00

5101520253035101520253035

相關(guān)系數(shù)為「3相關(guān)系數(shù)為々

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(

A.r4<r2<r}<r3B.r2<r4<r]<r3C.r2<r4<r3<r]D.r4<r2<r3<r]

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得相關(guān)性的強(qiáng)弱，即可比較大小.

【詳解】由圖可知：好4所對應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且可對應(yīng)的相關(guān)性比4對應(yīng)的相關(guān)性要

強(qiáng)，故0<4</，卬9所對應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知弓<0,因此

乃<〃<G<6,

故選：c

4.設(shè)sin(a+工473(71.

-----cosa,則cosI——2a()

I65

1818C.-2D

A------B.—-士

252525

【答案】D

【解析】

竽—cosa進(jìn)行化簡，可得

【分析】利用和差角的正弦公式和輔助角公式對sina+-

l6

4

COS--再利用二倍角的余弦公式即可得到答案

也+c°s>=WLc°saMna

【詳解】解：sina+—I=sin^-.立+cosa*=巫，所以

I625225

4

sina?—+cosa?=-BPcos

2255

71)271小=2x3-1」

所以cos--2a\-2cos

2525

故選：D

q=l，數(shù)列4是公比為2的等比數(shù)歹ij,

5.在數(shù)列｛4｝中,設(shè)S,為｛4｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論

UJ

錯誤的是（）

111

B.a=—+—

2"-1〃2"2

7

C.數(shù)列｛a,,｝為遞減數(shù)列D.S,>-

38

【答案】B

【解析】

1,

【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求一+1,進(jìn)而可求?！?，然后結(jié)合單調(diào)性定義及數(shù)列的求和分別

%

檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷和選擇.

1,數(shù)列」-+11是公比為2的等比數(shù)列,

【詳解】因?yàn)閝

則，+1=2-2"T=2",所以41

，故A正確，B錯誤;

2"-]

因?yàn)閥=2*—1(x21)是單調(diào)增函數(shù)，故y=_L(xNl)是單調(diào)減函數(shù),

2—1

故數(shù)列｛g｝是減數(shù)列，故C正確；

$3=4+…=1+阜」

故D正確.

378

故選：B.

6.設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(3,4),若PC<2?！?)=>。+4),則a的值為()

15

A.-B.1C.2D.-

32

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即得解.

【詳解】???隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(3,4),

2a-1+a+4

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可得------------------=3,

2

解得＜2=1.

故選：B.

7.如圖，在正方體ABC￡)-A4GR中，P為棱GA上的動點(diǎn)，則直線PB與平面CGA。所成角(過

點(diǎn)6作平面CG2。的垂線，設(shè)垂足為0.連接產(chǎn)。，直線與直線尸。相交所形成不大于90的角)的

正弦值的范圍是()

V6V3

D.T'B

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意連接尸C,可知NCP8為直線P8與平面所成的角，進(jìn)而求得，8的值，從而代

入sinNCPB=—化簡即可得正弦值的范圍.

PB

【詳解】連接PC，則ZBPC為直線PB與平面CCQ。所成的角,

設(shè)正方體ABCD-ABCQi的棱長為a,PC,=x(O<x<a),

口PB=JBC2+PC?=JBC?+PC：+CC「=d2a2+3,

-J7五

即直線P8與平面CG2。所成角的正弦值的范圍是W

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=sin2x+百cos2x的圖象向左平移。個(gè)單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)的

圖象關(guān)于N軸對稱，則I勿的最小值為()

7i?re?n?5%

A.—B.-C.-D.—

126312

【答案】A

【解析】

【分析】首先將函數(shù)/(X)化簡為“一角一函數(shù)”的形式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求出函數(shù)g(x)的解

析式，然后利用函數(shù)圖象的對稱性建立8的關(guān)系式，求其最小值.

【詳解】/(x)=sin2x+GCOS2X=2sin|2x+—\,

jl/7兀t?

所以g(x)=f(x+夕)=2sin2(x+9)+§=2sin[2x+2°+§J,

3

7TTT

由題意可得，g(x)為偶函數(shù)，所以2Q+—=七r+—/GZ),

32

解得e=4+^(ZeZ),又e>0,所以9的最小值為《

故選：A.

9.若函數(shù)/(x)=f-1與g(x)=alnx-1的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)〃的最大值為()

A.2eB.eC.yfeD.g2

【答案】A

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義將公共切線的斜率分別由兩函數(shù)上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)占,今表示，并據(jù)此建立關(guān)系，

將。由切點(diǎn)坐標(biāo)巧表示，進(jìn)而將。轉(zhuǎn)化為關(guān)于々的函數(shù)，通過求導(dǎo)求其最大值.

【詳解】由題意得，f'(x)=2x,g'(x)=@.

X

設(shè)公切線與1的圖象切于點(diǎn)(西，片-1),

與g(x)=alnx-l的圖象切于點(diǎn)(七,alnx2-1),

.ca(。由々-1)-(片-1)<zlnx,-%,2

??2%=—=------------------------=-------------，

x2x2-Xjx2-x｛

：.a=2%赴HO，，2%=2中2mx2看,

々一玉

X)=2X2-2X2Inx2,/.a=2x1x2=Inx2.

設(shè)〃(x)=4x2-4x2\nx,則h(x)=4x(1—2Inx),

J/z(x)在(0,五)上單調(diào)遞增，在(五,+0。)上單調(diào)遞減，

?'?力(初皿=h(yfc)—2e,

?,?實(shí)數(shù)。的最大值為2e,

故選：A.

10.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1J2,3,5,8,…，該數(shù)列從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等

于前兩項(xiàng)的和，即遞推關(guān)系式為%+2=4用+%,〃WN,故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”.已知

n

滿足上述遞推關(guān)系式的數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為。〃二A?+3?，其中A8的值可由q

1

和的得到，比如兔子數(shù)列中q=1，4=1代入解得小二利用以上信息計(jì)算

A=不

V54-1Y

=（）.（［可表示不超過X的最大整數(shù)）（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題不妨設(shè)A=8=l,求出％,々，進(jìn)而得到的，通過｛4｝的第五項(xiàng)，即可得到

之間的關(guān)系，根據(jù)的范圍可大致判斷的范圍，進(jìn)而選出選項(xiàng).

【詳解】解：由題意可令A(yù)=5=l,

所以將數(shù)列｛4｝逐個(gè)列舉可得:

=7,%=44+%=11，

'1+小丫

故[MJ=11.

故選:B

22

H.已知雙曲線G：+-方=1（〃>0,人〉0）與拋物線6：、2=2。4/?>0）有公共焦點(diǎn)/,過點(diǎn)尸作雙

曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A,延長E4與拋物線。2相交于點(diǎn)8,若點(diǎn)A滿足EB=4E4,雙曲

線G的離心率為e,則e?=（）

A.巫B.^±1C.上D.G+1

32

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線和拋物線的焦點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、三角形面積的等積性、雙曲線離心率公式進(jìn)

行求解即可.

2

【詳解】如圖，因?yàn)殡p曲線和拋物線a共焦點(diǎn)，故可得/+從=2

4

1be

又F(c,O)到y(tǒng)="X的距離d=7K=8，即|AF|=)，又EB=4E4，則忸可=4仇易得=a.

設(shè)點(diǎn)B（x,y）,則48=x+5,解得x=46—5；則由等面積法可知：|x|BF|x|0A|=|x|（9F|xy,

8ab（,nSab|12abb

解得y=一，則84。一與,一，則4=分+二〃，%=——，又點(diǎn)A在漸近線y=-x上,

PI2pJ4pa

labb（,1,c

即"-b+-p,即8。2=42。+/?~,又p=2c,

P八4J

所以2a2—0?=2機(jī)=（2/—。2）2=4c，2（c2_a2）,

化簡得4a4=3C3故/=殛

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)三角形面積的等積性是解題的關(guān)鍵.

12.已知函數(shù)/(x)=三學(xué)(祖<0),g(x)=2E(—x),設(shè)方程y(g(x))+J_=。的3個(gè)實(shí)根分別為

3rxm

XvX2,Xy,且玉<%2<w，則g(X1)+2g(X2)+3g(%3)的值可能為()

2233

A.—B.-C.—D.—

eeee

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究g。)的單調(diào)性、極值及區(qū)間值域，由題設(shè)可知3/+〃a-2〃/=0在

(—8,0).(0,”)上必有兩個(gè)不等的實(shí)根小，2(假設(shè)4>。2)且。=一和出=彳，結(jié)合g(X)的性質(zhì)有

2

—<—<0且L=g(X)=g(M)，4=8(&)，進(jìn)而求目標(biāo)式的值，即可確定答案.

e3

【詳解】由題設(shè)，g(x)=21n(一X)的定義域?yàn)?-8,0),且g十%)=2口

XX

???當(dāng)x￡(-8,-e)時(shí)，g\x)<0,即g(x)遞減；當(dāng)x￡(-e,o)時(shí)，g'(x)>0,即g(x)遞增.

2

Ag(x)>g(-e)=一一，又不在(—8,一e)上逐漸變小時(shí)g(x)逐漸趨近于0,當(dāng)—lvx<0時(shí)

e

g(x)>g(—1)=0且隨x趨向于0,g。)趨向無窮大.

?.?/5)的定義域?yàn)閧m了二0},由/\力+~1=0可得：3/+〃優(yōu)-2/=0在(-8,0)1(0,+8)上必有兩個(gè)

m

2m

不等的實(shí)根￡/2(假設(shè)tx>t2)且tx=-m,t2=—(m<0),

1222次

???令，=g(x),要使/。)+—=0的3個(gè)實(shí)根，貝北￡。+8)、re(—,0),即一一〈二［<0,可得

mee32

3

——<m<0.

e

???由為<々<￡知：，2=用(內(nèi))=g(々)，。=且(工3)，

3

g(玉)+2g(/)+3gH)=3(4+L)=-me(0,-).

故選：B.

【點(diǎn)睛】首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，根據(jù)/(g(x))+,=0有3個(gè)實(shí)根，則3/+〃a—2//=0在

m

2/77

(-8,0)(0,一)上必有兩個(gè)不等的實(shí)根4=—根4=3-，結(jié)合g(x)的值域求機(jī)的范圍且

=g(X1)=g(%2)、4=g(%3)，即可求目標(biāo)式的范圍.

卷II(非選擇題)

二、填空題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分）

'2x-y>0

13.點(diǎn)P（x,y）滿足不等式組<x+y—2<0，點(diǎn)A（2,l）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。尸.。4的取值范圍是

X—2y—2W0

O

【答案】一]，4

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可知需求z=2x+y中的z的取值范圍；由約束條件可得可行域，將問題

轉(zhuǎn)化為y=-2x+z在V軸截距取值范圍的求解問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.

UU

【詳解】OP=（%,>'）>。4=（2,1）,OPOA=2x+y,

令z=2x+y,則z的取值范圍即為y=-2x+z在y軸截距的取值范圍；

由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示，

2x-y=0

x-2y-2=0/\l\\x+y-2=0

/\\y=-2x

由圖象可知：當(dāng)y=-2x+z過。點(diǎn)時(shí)，z取得最小值；過點(diǎn)。時(shí)，Z取得最大值:

y—2___

山《2x一-2y），一=20=。得：'「-34’即。（鳥,2一§4、}

，一3

由1x，-+2廣y-22==。0得：[xy==2?！碐/O、）；

448..「81

?f_§=_],2,皿=4+n0=4,;.z十§,41

一「8J

即OP-。4的取值范圍為一§，4.

~Q-

故答案為：一〈4-

14.如圖，在菱形/8CO中，AB=26NBAD=6()°,沿對角線8。將△A8L>折起，使點(diǎn)4C之間

的距離為3后，若P，。分別為線段8。，C4上的動點(diǎn)，則線段P0的最小值為

【解析】

【分析】取8。的中點(diǎn)E,連接/E,EC,則AEL8D，EC上BD,同時(shí)可證得AELEC.□□以E為原

點(diǎn),分別以E8,EC,4所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)0,0),

CQ=/lC4=(O,—3432),求出尸。的坐標(biāo)，配方后可得最小值.

【詳解】取8。的中點(diǎn)￡,連接/E,EC,則A￡_L3D，ECVBD,AE=EC=3.

因?yàn)锳C=3直，所以AE?+CE=AC2,即AELEC.

以E為原點(diǎn)，分別以￡8,EC,以所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系石一孫z,

則網(wǎng)60,0),C(0,3,0),A(0,0,3),O卜60,01設(shè)P(a,0,0),CQ=404=(0,-3/1,34),

所以PQ=PC+CQ=(—a,3,0)+(0,—3/1,34)=(—a,3—32,3/1),

從而有=J42+(3—34)2+(32『=J42—+1,

【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量法求空間兩點(diǎn)間距離，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系各，引入?yún)?shù)設(shè)

P(a,0,0),CQ=4C4=(O,-343/1).考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

15.雙曲線C:=l(a>0,6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,尸為C上一點(diǎn)，若點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為1,

7b2

IPA|=后,|PB|=2,則C的離心率為.

【答案】叵

6

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)與雙曲線頂點(diǎn)連線斜率的關(guān)系，結(jié)合雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，由|PA|〉|PB|,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，

設(shè)P(%,l),即.—《=1=>*=/(]+*),A(-a,0),8(a,0),

,,1111b2

kpA.kpB='=-22=i=~

xo+axo-axo-a。2(1+4)_/a，

所以---=r，即=所以c的離心率為Jl+.

V13^1V4^1a2a26\a26

742

故答案為：--

6

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用雙曲線上的點(diǎn)與雙曲線頂點(diǎn)連線斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

16.已知函數(shù)g(x)=3x+cos2x)-\n(y]x2+\-x)+3,若g(ax-2e*+2)<3在xe(0,+oo)上恒成

立，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】0<a<2

【解析】

【分析】

先分析g(x)的單調(diào)性，然后將問題轉(zhuǎn)化為g{ax-2ex+2)<g(0)在(0,+e)上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)采用

分類討論的方法求解出。的取值范圍.

(冗\(yùn)_____(]、

【詳解】因?yàn)間(x)=3x+cos2一2x+3=3x+sin2x-ln-----------+3,

令y=3x+sin2x,所以y=3+2cos2x>0,所以y=3x+sin2x在(0,+8)上單調(diào)遞增，

(i、

又因?yàn)閥=ln—在(0,+。)上單調(diào)遞減，所以g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

+1

又因?yàn)間(。)=3x0+sin0—lnl+3=3,

所以g(ax—2e'+2)<3在(0,+向上恒成立Og(分一2"+2)<g(0)在(0,+少)上恒成立，

所以以一2"+2<0在(。,+8)上恒成立，所以2e*-奴一2>0在(。,+8)上恒成立，

設(shè)〃（x）=2Z-ox-2,所以〃'（x）=2e*-a,且2e、>2，

當(dāng)a<2時(shí)，h'（x）=2ex-a>0,所以〃（x）在（0,+8）上遞增,所以〃（x）>〃（0）=0,滿足；

當(dāng)a>2時(shí)，令〃'（X）=2^,-0=0,所以x=l嗎，所以〃（X）在（0,In；）上單調(diào)遞減，在（1吟,+8）上

單調(diào)遞增，

所以〃（1吟]<〃（0）=0,這與&（x）>0矛盾，所以不滿足，

綜上可知：0<。<2,

故答案為：0<aV2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：

（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的

關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；

（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范

圍最后取并集.

三、解答題（本題共計(jì)5小題，每題12分，共計(jì)60分）

17.已知的內(nèi)角B,C的對邊分別是。，b,c,一ABC的面積為S,且滿足

4S+3tan（B+C）=0.

（1）求角力的大??；

（2）若a=4,求「ABC周長的最大值.

【答案】（1）A=]

（2）12

【解析】

【分析】（1）由4S+機(jī):^211（3+。）=。結(jié)合三角形面積公式可化簡得到cosA=g,即可求得答案；

（2）利用余弦定理得到。2+。2-16=比，進(jìn)而化為（b+c）2=16+3bc,結(jié)合基本不等式求得

h+c<S,即可得cABC周長的最大值.

【小問1詳解】

A+B+C=71

/.4S=-/2ctan（B+C）=-Z?ctan（7i-A）=/?ctanA,

?sinA

則2Z?csinA=he-----,

cosA

Ae(0,7i),/.sincosA=—,

又，AG(0,K),A=^；

【小問2詳解】

..兀

:a=4,4=丁

/72+4—cr1

由余弦定理得cosA='=-,

2bc2

即"+c?-16=bc，(Z?+c)2=16+3bc,

所以9+C)2_]6=3AW3X色J,(當(dāng)且僅當(dāng)。=c=4時(shí)取“=”),

12

故W(8+C)W16,b+c<S,

.'b+c的最大值為8,a+/?+c的最大值為12,

.'ABC周長的最大值為12.

18.已知四棱錐P-ABC。的底面ABC。是正方形，側(cè)棱E4L平面ABC。，點(diǎn)M在棱DP±,且

DM=2MP，點(diǎn)N是在棱尸C上的動點(diǎn)(不為端點(diǎn)).

(1)若N是棱PC中點(diǎn)，求證：PB”平面4MN；

(2)若AP=AD=3,當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線均與平面所成角的正弦值取得最大值.

【答案】(1)證明見解析

(2)好

5

【解析】

【分析】(1)結(jié)合三角形的重心、”對應(yīng)邊成比例，兩直線平行”以及線面平行的判定定理證得〃平面

AMN-

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PN=APC,求得直線以與平面所成角的正弦值，結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)求得其最大值.

小問1詳解】

設(shè)ACBD=O,連接P0交/N于點(diǎn)G,

連接。G并延長交P8于點(diǎn)兒連接例G,

在三角形PAC中，O,N分別是AC,PC的中點(diǎn)，

所以G是三角形24。的重心，所以上=2,

GO

PG

在三角形PBD中，。是8。的中點(diǎn)，一=2,

GO

所以點(diǎn)G為△P8D重心，所以0G=2G"，且“是PB的中點(diǎn),

又?：DM=2MP，

：.MG//PH即MG//PB,又MGu平面AMN,P8平面AMN,

所以PB〃平面ZMM

??,四邊形力88是正方形，且Q4J_平面/8cD,

：.AB,AD、4尸兩兩垂直，

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正方形建立空間直角坐標(biāo)系4-町z,

如圖所示，則點(diǎn)4(0,0,0),P(0,0,3),C(3,3,0),M(0,1,2),

則”=(0,0,3),AM=(0,1,2),PC=(3,3,-3),

設(shè)PN=2PC(0<2<1),則