第四節(jié) 函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)

一、函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例第四節(jié)函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)

如何將函數(shù)表示為冪級(jí)數(shù)?怎么做？一、函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)1、泰勒級(jí)數(shù)

將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的問(wèn)題是否就是將函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的問(wèn)題?一個(gè)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)代表一個(gè)函數(shù),即它的和函數(shù):任意一個(gè)函數(shù)能否在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)表示為某一個(gè)冪級(jí)數(shù)的形式呢?即是否有問(wèn)題定理證由定理的條件可知,且其和函數(shù)于是有由數(shù)學(xué)歸納法,得該定理說(shuō)明,冪級(jí)數(shù)的和函數(shù),則該冪級(jí)數(shù)一定是下列形式:

定理和定義給我們提供了什么信息?定義定理和定義告訴我們：處有任意階導(dǎo)數(shù),則它就有一個(gè)相應(yīng)的泰勒級(jí)數(shù)存在.但此泰勒級(jí)數(shù)不一定收斂,

即算收斂,其和函數(shù)也不一定等于就是說(shuō),函數(shù)與它的泰勒級(jí)數(shù)間劃等號(hào)是有條件的.內(nèi)可表示為冪級(jí)數(shù)的形式,則該冪級(jí)數(shù)一定是函數(shù)f(x)

的泰勒級(jí)數(shù).問(wèn)題回憶泰勒中值定理的構(gòu)建過(guò)程由級(jí)數(shù)的部分和及收斂性質(zhì)看出一點(diǎn)什么沒(méi)有?定理證

余下的工作由學(xué)生自己完成.推論證（提示）自己做!馬克勞林級(jí)數(shù)就可寫(xiě)出它的泰勒級(jí)數(shù).但它的泰勒級(jí)數(shù)不一定收斂,只有當(dāng)拉格朗日余項(xiàng)時(shí),泰勒級(jí)數(shù)才收斂于一個(gè)函數(shù)如果能夠展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)形式,則該冪級(jí)數(shù)一定是它的泰勒級(jí)數(shù),且這種展開(kāi)是唯一的.即使收斂,其和函數(shù)2、函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)直接展開(kāi)法間接展開(kāi)法該方法是先求出函數(shù)寫(xiě)出它的泰勒級(jí)數(shù),然后,判斷泰勒公式中的拉格朗日余項(xiàng)是否滿足確定級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.直接展開(kāi)法例1解例2解從一些已知函數(shù)的泰勒展開(kāi)式出發(fā),利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算和解析運(yùn)算性質(zhì),以及進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q來(lái)求出另外一些函數(shù)的泰勒公式的方法,稱(chēng)為間接展開(kāi)法.間接展開(kāi)法常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例3解利用變量代換例4解

將函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).因?yàn)榘褁

換成,得例5解等比級(jí)數(shù)的和例6解將函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).從0到x

積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開(kāi)式對(duì)x

＝1也是成立的,于是收斂例7解將展成的冪級(jí)數(shù).例8解

將展成x－1的冪級(jí)數(shù).例9解內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1)直接展開(kāi)法—利用泰勒公式;(2)間接展開(kāi)法—利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2.常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式式的函數(shù).思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)”有何不同?提示:

后者必需證明前者無(wú)此要求.2.如何求的冪級(jí)數(shù)?提示:備用題1.將下列函數(shù)展開(kāi)成x