角量表示、轉(zhuǎn)動定律課件

一、剛體的運動剛體：在討論問題時可以忽略由于受力而引起的======形狀和體積的改變的物體的理想模型。（用質(zhì)心運動討論）4-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動的角量描述剛體在運動中，其上任意兩點的連線始終保持平行。（下一頁）1、平動：2、轉(zhuǎn)動：對點、對軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動）一般剛體的運動是既有平動又有轉(zhuǎn)動：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動各質(zhì)元均作圓周運動，其圓心都在一條固定不動的直線（轉(zhuǎn)軸）上。各質(zhì)元的線量一般不同（因為半徑不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。定軸轉(zhuǎn)動：剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動。轉(zhuǎn)軸（下一頁)）二、定軸轉(zhuǎn)動的角量描述轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線量（速度、加速度）一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同∴描述剛體整體的運動用角量最方便。（下一頁）剛體運動學(xué)中所用的角量關(guān)系如下：角量方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動方向一致減速轉(zhuǎn)動方向相反（下一頁）線速度與角速度的關(guān)系：角速度角加速度在剛體作勻變速轉(zhuǎn)動（角加速度是常量）時，相應(yīng)公式:（下一頁）非勻變速轉(zhuǎn)動時：（例如T1-18）類似于勻變速直線運動，但是切記！線量速度、加速度角量角速度、角加速度三、角量與線量的關(guān)系一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，其上各質(zhì)點的角量都相同；各點的線速度

v與各點到轉(zhuǎn)軸的距離

r

成正比，距離越遠(yuǎn)，線速度越大；同樣，距離越遠(yuǎn)處，其切向加速度和法向加速度也越大。。（下面作一下課本P149，T4-2）P112例1、P113例2，請同學(xué)們課下自己看看。求：⑴t=6·0s時的轉(zhuǎn)速；

⑵角加速隨時間變化的規(guī)律；⑶啟動后6·0s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。解：⑴根據(jù)題意轉(zhuǎn)速隨時間的變化關(guān)系，將t=6·0s

代入，即得：（下一頁）課本P149，T4-2，某種電動機(jī)啟動后轉(zhuǎn)速隨時間變化式中的關(guān)系為：⑶

t=6·0s時轉(zhuǎn)過的角度為則t=6·0s時電動機(jī)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)下面學(xué)習(xí)“轉(zhuǎn)動定律”⑵角加速度隨時間變化的規(guī)律為：4-2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律一、力對轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面方向：右手螺旋法則（下一頁）=力×力臂力矩大?。?1)力f

在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)(2)力f

在轉(zhuǎn)動平面外取其在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力產(chǎn)生力矩。課本P116例1

有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直。求水作用在大壩上的力以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的軸的力矩。分析：這是由壓強(qiáng)求壓力，但是壓強(qiáng)是隨著水深變化的量，不能用“壓強(qiáng)×表面積”來計算；然而在水深相同y處，壓強(qiáng)P相等，可在此處取一高為dy，長為壩長L的表面積dA=Ldy，其上壓強(qiáng)為P=P0+g（h-y），可認(rèn)為是個不變量，則此面積元上的水壓力dF=PdA。又由于水作用在壩面上的力方向均相同，所以垂直作用在大壩表面上的合力，由水底到水面積分可求得。同樣，求力矩也要在水深為y

處，先求出dF的力矩dM=ydF，再積分求得合力矩。解：（下一頁）合力矩為問題：如遇特大洪水，為保證大壩安全，用什么措施可減少水壩所受的力矩？——水深不可改變，即水壓力的大小改變不了；但正壓力的方向是可以改變的。大壩迎水表面修建得坡度緩一些，水壓力對大壩基點Q的力矩即可減少。（下一頁）對

mi用牛頓第二定律：切向分量式為：Fisin

i+fisin

i=

miait二、轉(zhuǎn)動定律zOri

mifi

iFi

i兩邊乘以riait=ri

（下一頁）在剛體上任取一質(zhì)量元△mi，受到外力Fi，內(nèi)力fi

。外力矩內(nèi)力矩對所有質(zhì)元的同樣的式子求和：一對內(nèi)力的力矩之和為零，所以有令J＝∑

miri2，稱為剛體對于定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量用M表示合外力矩則有M＝J

只與剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律∑Firi

sin

i+∑firi

sin

i

=(∑

miri2)∑Firi

sin

i

=（∑

miri2）

（下一頁）M＝J

與地位相當(dāng)m:反映質(zhì)點的平動慣性，J:反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性三、轉(zhuǎn)動慣量J與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀（下一頁）

力矩M是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力F是使物體平動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生加速度的原因?！ぁぁぁOamamaamm●一可忽略質(zhì)量的輕質(zhì)平面正方形框架，邊長為a，其四個頂點上分別有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，求此質(zhì)點系繞垂直于正方形平面且過其中心的軸OZ的轉(zhuǎn)動慣量。Z’Z”●若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一個頂點●若轉(zhuǎn)軸平移至正方形的一邊中點（下一頁）例如：若質(zhì)量連續(xù)分布在（SI）中，J的單位：kgm2質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布（下一頁）解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。ROdm注意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，才能較簡便地用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量（下一頁）1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。

軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。在圓環(huán)上任取質(zhì)量元

dm2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤

的===轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：任取半徑為r寬為dr的同心細(xì)圓環(huán),（下一頁）可見，轉(zhuǎn)動慣量與其厚度l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是

。3、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同

軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=

dx（下一頁）4、求半徑為R、質(zhì)量為

m的球體繞其直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量J。ORrZm解：在球體上沿垂直于轉(zhuǎn)軸OZ取一半徑====為r、高為dz

的小球臺，其質(zhì)量為：其繞OZ軸的轉(zhuǎn)動慣量為：（下一頁）（見P121表4-2）四、平行軸定理前例3中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，=======JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。=======兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：J＝JC＋md2。（下一頁）這個結(jié)論稱為平行軸定理。例：右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為L、圓半徑為R）（下一頁）解：棒mL饒其端點的轉(zhuǎn)動慣量Z球饒Z

軸的轉(zhuǎn)動慣量球繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例１、一個質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時的速度和此時滑輪的角速度。解：（下一頁）（滑輪的慣性不能忽略）mg例2、一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。

求閘瓦對輪子的壓力N為多大？

（假設(shè)飛輪的質(zhì)量都集中在

輪緣上）μ=0.50.F

0（下一頁）解：飛輪勻減速制動時有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。

0Nfr（下一頁）例3、一根長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺

角時，重力矩為：（下一頁）

XOdmgdmxLl重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。必須是勻質(zhì)細(xì)直棒。mgC

dmgXOdmxc（下一頁）（下一頁）則積分得m2m1aaMR如圖，一細(xì)而輕的繩索跨過一定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1

和m2的物體，且m1＞m2。設(shè)定滑輪是一質(zhì)量為M，半徑為R的圓盤。繩的質(zhì)量略去不計，且繩與滑輪無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。如果略去滑輪的運動，將會得到什么結(jié)果？解：分別作出滑輪M、物體m1和m2的受力圖。m1gT1m2gT2T1T2應(yīng)用牛頓第二定律對M：（T1–T2）R=J

⑶

應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律（下一頁）對m1：m1g–T1=m1a⑴對m2：T2–m2g=m2a⑵NP（N、P是對平衡力）故m1和m2兩物體運動的加速度大小相等，但方向相反。由于繩索質(zhì)量不計，且長度不變，且由角量與線量的關(guān)系，有：a=R