初中數(shù)學(xué)競(jìng)方程部分強(qiáng)化練習(xí)7

初中數(shù)學(xué)競(jìng)方程部分強(qiáng)化練習(xí)7

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

xy4-yz=63

”，的正整數(shù)解的組數(shù)是（）.

{xz+yz=23

A.1B.2C.3D.4

2.下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（）

A.；/+8=0B.4?-16=0C.x3+x=lD.x2=y2

2X

3.口袋中有20個(gè)球，其中白球9個(gè)，紅球5個(gè)，黑球6個(gè).現(xiàn)從中任取10個(gè)球，使

得白球不少于2但不多于8個(gè)，紅球不少于2個(gè)，黑球不多于3個(gè)，那么上述取法的

種數(shù)是（）.

A.14B.16C.18D.20

4.在方程組[=中，x,y,Z是互不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的

[JT+y+z=-36

組數(shù)為（）

A.6B.3C.多于6D.少于3

5.八年級(jí)二班的同學(xué)參加社區(qū)公益活動(dòng)——收集廢舊電池，其中，甲組同學(xué)平均每人

收集17個(gè)，乙組同學(xué)平均每人收集20個(gè)，丙組同學(xué)平均每人收集21個(gè).若這三個(gè)小

組共收集了233個(gè)廢舊電池，則這三個(gè)小組共有學(xué)生（)人.

A.12B.13C.14D.15

6.方程J3+J9+X=取的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

7.已知實(shí)數(shù)。，b滿足a3-3/+5a=l,b3-3h2+5b=5,貝|J〃+Z?=()

A.2B.3C.4D.5

8.將關(guān)于x的一元二次方程/-px+g=0變形為/=px-q,就可以將了表示為關(guān)于x

的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如（px-g）=...,我們將這

種方法稱為'‘降次法”，通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已

知：/-X-1=0,且x>0,則/-的值為（）

A.1-非B.1+非C.3-^5D.3+石

9.若兩個(gè)不同的自然數(shù)“，6組成的數(shù)對(duì)（〃，力滿足它們的算術(shù)平均數(shù)A=4和幾何

平均數(shù)G=^h均為兩位數(shù)，且/和G中的一個(gè)可由另一個(gè)交換個(gè)位和十位數(shù)字得

到，則稱這樣的自然數(shù)對(duì)為“好數(shù)對(duì)”.那么，滿足條件的好數(shù)對(duì)有（）對(duì).

A.1B.2C.3D.4

10.關(guān)于X的方程卜、卜。僅有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）.

A.a>0B.a>4C.2<a<4D.O<?<4

二、填空題

11.方程2（l—3x）4-32=0的木艮是.

12.已知正整數(shù)機(jī)和〃有大于1的最大公約數(shù)，并且滿足加+〃=371,則機(jī)〃=

|x+y|+|x|=4

13.方程\二|?。的解共有

2|x+y|+3|x|=9--------------

14.若實(shí)數(shù)x,y滿足r+y3+；(x+y)=￡,則x+y的最大值為

15.某店將某種超級(jí)VCD按進(jìn)價(jià)提高35%,然后打出“九折”酬賓并外送50元，結(jié)果

每臺(tái)VCD仍獲利208元，那么每臺(tái)超級(jí)VCD的進(jìn)價(jià)為

16.（3x+2）4-,w=0有一個(gè)解為x=7,那么這個(gè)方程的另一個(gè)解為

三、解答題

x+y+J(x+2)(y+3)=34

17.解方程組《

*+2)2+(y+3)2+(x+2)(y+3)=741

4x2+4xy+y2=9

18.解方程組:

x2+5孫—6,2=0

19.所有的整數(shù)a,使得關(guān)于x的一元二次方程Y-x45/-26“-8-（a，-4a+9）=0

的兩根皆為整數(shù).

20.已知a、b均為非負(fù)數(shù)，且滿足3a+2i>-2c=0,4a+b-6c--10,已知

S=3a+b-lc,設(shè)為S的最大值和的最小值分別為x、y.求孫的值.

21.今有濃度為5%,8%,9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為60g,60g,47g,現(xiàn)要配制成濃

度為7%的鹽水100g.間甲鹽水最多可用多少克?最少可用多少克？

22.海關(guān)緝私快艇裝滿汽油后，每艘可航行300海里.現(xiàn)有3艘緝私快艇同時(shí)從海關(guān)

出發(fā)，巡邏后應(yīng)全部返回.為使搜巡范圍更寬，在巡邏至某處后，其中兩船留足自己

返回的用油，將多余的油交給第3只船使用.問(wèn)第3只船的最遠(yuǎn)巡邏距離距海關(guān)多少

海里？

23.一列火車長(zhǎng)x米，勻速通過(guò)300米的隧道，用時(shí)25秒，隧道頂部一盞固定的燈在

火車上照了10秒，求火車的長(zhǎng)度.

24.數(shù)碼不同的兩位數(shù)將其數(shù)碼順序交換后，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的

平方差是完全平方數(shù).求所有這樣的兩位數(shù).

25.已知b,c為整數(shù)，方程5/+云+c=O的兩根都大于T且小于0.求6和c的值.

參考答案：

1.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解選B.理由：由x,y,z均表示正整數(shù)，根據(jù)整數(shù)運(yùn)算的封閉性，由第二個(gè)方程得

z(x+y)=23,而23不是兩個(gè)正整數(shù)(除去I與23)的乘積，故可得《”，或

[x+y=23

Jz=23,

[x+y=l.

而x+y=I不可能是兩個(gè)正整數(shù)的和式，故舍去.

孫+y=63,

把z=l代入題設(shè)方程組得

x+y=23.

因此，原方程組的正整數(shù)解為(X,y,Z)=(20,3,1),(2,21,1).

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)方程的定義，逐個(gè)判斷得結(jié)論.

【詳解】

解：二項(xiàng)方程需滿足：

口方程是整式方程，

口方程只含有一個(gè)未知數(shù)，

口方程共兩項(xiàng)，三個(gè)條件.

U方程A滿足二項(xiàng)方程的條件，

故選項(xiàng)A是二項(xiàng)方程；

方程B不滿足條件口，

方程C不滿足條件口，

方程D不滿足條件口，

故選項(xiàng)B、C、D不是二項(xiàng)方程.

故選：A.

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查了高次方程，掌握二項(xiàng)方程的定義是解決本題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)取出的球中白球、紅球、黑球的個(gè)數(shù)分別為x,歹，z,則x+y+z=10,2<x<8,

24yM5,0<z<3.按z=0,1,2,3依次枚舉可得(x,y,z)等于(5,5,0),(6,4,0),

(7,3,0),(8,2,0)：(4,5,1),(5,4,1),(6,3,1),(7,2,1)；(3,5,2),(4,4,2),(5,3,2),

(6,2,2)；(2,5,3),(3,4,3),(4,3,3),(5,2,3)共16組解.故選B.

4.A

【解析】

【分析】

【詳解】

利用V+V+z3-3種=(X+y+0,+y2+z2-孫-血+同=0,把原方程組轉(zhuǎn)化為解不

定方程3盯z=-36.

因?yàn)閐+V+z?-3xyz

=(x+y+z)^x2+y2+z2-xy-yz-zx)

=0,

^^xy+y3+z}=3xyz,從而得3盯z=-36,

即xyz=-12.

因此x,y,z中一定是兩正一負(fù)，且x+y+z=0.

又12=1*1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3,

則上述兩種組合中，只有12=1x3x4符合條件.

x=1,x=l,x=3,x=3,x=-4,x=-4,

所以y=3,或，、=-4,或,。=1,或，》=-4,或,y=L或，"3,

z=-4,z=3,z=-4,z=1,z=3,z=1.

共有6個(gè)解.故選A.

5.A

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】

【分析】

【詳解】

解選4理由：設(shè)甲、乙、丙三個(gè)小組的學(xué)生人數(shù)分別為x,y,z.由題意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,貝lj

1717

又233=17x+20y+21z<21x+21y+21z,則

233一2

x+y+z>-----=11—

2121

212

于是，11—<x+y+z<13—.

2117

由于x,nz均為正整數(shù)，則

x+y+z=12或x+y+z=13.

(□)當(dāng)x+y+z=13時(shí)，由方程組

卜+y+z=13,

[17x+20y+21z=233汨去x,得3y+4z=12,此方程無(wú)正整數(shù)解.

(□)當(dāng)x+y+z=12時(shí)，由方程組

x+y+z=\2,

消去z,得4x+y=19,此方程有正整數(shù)解.

17x+20y+21z=233

故x+y+z=12,即三個(gè)小組共有學(xué)生12人.

fx+y+z=12,

實(shí)際上，由于x,y,z均為正整數(shù)，并結(jié)合方程組,,in可解得

[4x+y=19,

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

6.B

【解析】

【分析】

【詳解】

令y=09+x,則且x=/-9,原方程變?yōu)?3+y=獷_9,解得y=l或y=6,

從而可得x=-8或x=27.

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

檢驗(yàn)可知：x=-8是增根，舍去；x=27是原方程的實(shí)數(shù)根.

所以，原方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根.

7.A

【解析】

【分析】

【詳解】

有已知條件可得3-1)3+2(。-1)=-2,(。-1)3+2件-1)=2,兩式相加得

(a-l)3+2(a-l)+(/?-l)3+2(Z?-l)=0,

因式分解得(a+b—2)[(a—l)2—(a-l)(6-l)+S-l)2+2]=0.

因?yàn)?/p>

L-12

(…-3-1)(1)+(1)2+2=[(即1)-臚1可+3/-1)2+2>0,

所以。+人一2=0,因此。+/?=2.

8.B

【解析】

【分析】

由題可知f=x+l,將所求式子變形為xG+1)-2(x+1)+2x+l再求解即可.

【詳解】

解：口/r-1=0,

口/=工+1,

□%5-2f+2x+1

=x(x+1)-2(x+1)+2x+l

=x2+x-2x-2+2x+l

=f+x-1

=(x+1)+x-1

二2x,

□x2-x-1=0,

□a=1,6=-l,c=-1,

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

□A=/?2—4ac=1—4x1x(—1)=5,

解得或x=lz在，

22

□x>0,

,,_1+石

□x=———,

2

□x3-2x2+2x+1=1+75,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查高次方程的解，理解題中所給降次的方法，靈活降次，準(zhǔn)確求一元二次方程的根

是解題的關(guān)鍵.

9.A

【解析】

【分析】

【詳解】

(a+b=2A,

解選A.理由：由題意得,i

[ab=G.

則a,b是關(guān)于x的一元二次方程V-2AX+G2=0的兩根.

解得出力=A±A/A2-G2?

從而，7^石■是自然數(shù).

設(shè)A=10p+q(14p,q49),則G=10q+p.

A2-G2=(A+G)(A-G)=9xll(p+9)(p-^).

要使A?-G?為完全平方數(shù)，必須U|(p+q)或q).

fB1<p-<8,故

所以，ll|(p+q).

又p+qV9+8=17,故p+q=ll.

這就要求。一夕是完全平方數(shù)，而p-q48<32,則可能有p_q=22=4或p-q=r=l.

當(dāng)。-4=4,。+4=11時(shí)，p,q均不為整數(shù)，故夕一夕h4.

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

當(dāng)p-q=l,p+g=ll時(shí)，，得p=6,q=5,止匕時(shí)，A,G分別為65和56.

進(jìn)而求得（“㈤為（98,32）.

故滿足條件的好數(shù)對(duì)只有1對(duì).

10.D

【解析】

【分析】

【詳解】

當(dāng)〃<（）時(shí)，無(wú)解；當(dāng)。=0時(shí)，x=O,不合題意；當(dāng)。>0時(shí)，原方程化為一一=土“，整理

x-1

得

x2-ax+a=00^.X2+ax-a=0

因?yàn)椤醯呐袆e式4=/+4。>0,方程口必有兩個(gè)不同實(shí)根.

而原方程只有兩個(gè)不同實(shí)根，故方程口無(wú)實(shí)根，所以它的判別式A=/-4a>0,解得

0<?<4.

故應(yīng)選D

11.X7=l,X2=——

3

【解析】

【分析】

移項(xiàng)整理得（1-3外4=16,然后兩邊同時(shí)開(kāi)四次方得x-l=±2,由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：口2（1-3》）4-32=0,

□（1-3X）4=16,

□l-3x=±2,

_,1

故答案為X/=l,X2=-.

【點(diǎn)睛】

本題考查高次方程的解法，解題的關(guān)鍵是降次，這里通過(guò)開(kāi)四次方把四次降為了一次.

12.196

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】

【分析】

【詳解】

理由：設(shè)k是加，〃的最大公約數(shù)，則加和〃可以表示為妨(々>1,a,6均為

正整數(shù)).

于是，，/+〃=(fa/)3+kh=k[jca3+b)=371=7x53.

因?yàn)?>1且7與53都是質(zhì)數(shù),k2a3+b>k2a3>k2>k,

所以&=7且上2a3+>=53,

即49x/+b=53.由a,6是正整數(shù)，得a=l/=4.

所以機(jī)=7,”=28.故"V2=7x28=196.

13.4

【解析】

【分析】

【詳解】

?,,.[M+V=4

設(shè)x+y=",.q=v,則｛，

[2w+3v=9

[x+v=±3

解得〃=3#=1,于是:

[x=±l

所以(為,》=(1,2),(1,7),(—1,4)或(—1,一2),共4組.故應(yīng)填4.

14.3

【解析】

【分析】

【詳解】

由1+>3+；(_￥+>)=￡可得*+田卜2-孫+力+；(*+>)=￡,

即(x+y)[2f+J+；卜冷.

令x+y=k,注意至|」》2_孫+'2+工=(》_2]+3y2+工>0,故x+y=A>0.

4I2)44

又因?yàn)閒一個(gè)+：/+!=(x+y)2-3盯+!,故由□式可得二一3%玳+!攵=:，

4442

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

所以肛=

3k

,31，15

于是，x,了可看作關(guān)于/的一元二次方程/4+42。的兩根,

3k

k.3+-1,k--15

所以A=(一女尸一4----——2,>o，

3k

化簡(jiǎn)得二+"3040,即(03)伊+3&+10)40,所以0<&43.

故x+y的最大值為3.

15.1200元

【解析】

【分析】

【詳解】

解設(shè)每臺(tái)超級(jí)VCD的進(jìn)價(jià)為x元.

題意翻譯

（每臺(tái)）按進(jìn)價(jià)提高35%每臺(tái)（1+35%）-元

然后打出“九折”酬賓每臺(tái)(1+35%)"-90%

并外送50元每臺(tái)(1+35%)工90%-50元

結(jié)果每臺(tái)VCD獲利208元(1+35%)-A:-9O%-5O-X=208

那么每臺(tái)VCD進(jìn)價(jià)為x=

整理，得二^*=258,二%=1200.

200

即每臺(tái)VCD的進(jìn)價(jià)為1200元故填1200元.

16.x=-10

【解析】

【分析】

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

將x=7代入原方程求出機(jī)的值，再把加的值代回原方程，通過(guò)直接開(kāi)平方法解原方程,

得到方程的兩個(gè)解，可得答案.

【詳解】

將x=7代入方程（2x+3）“一〃7=0,得17J〃?=0,即初=17%

故原方程為：（2x+3）‘-174=0,

移項(xiàng)，得：（2X+3）4=174,

兩邊直接開(kāi)4次方，得：2x+3=17或2x+3=-17,

解得：％=7,x2=-10,

故答案為x=-10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解二項(xiàng)方程，根據(jù)方程的解求得字母"?的值是解題的關(guān)鍵.

173[x.=2一3=2

【解析】

【分析】

先設(shè)〃=x+2,v=y+3,把方程組化簡(jiǎn)為卜:":疝=39,然后再設(shè)“+v=s,利

w+v+wv=741

用完全平方公式化簡(jiǎn)后，再用加減消元可以求出方程組的解.

【詳解】

解：設(shè)x+2="，y+3=v,

H+V+VMV=39

則原方程組變?yōu)?/p>

u2+v2+uv=741

又設(shè)"+v=s,uv=t,則原方程組又變形為:

s+〃=39⑴

?-/=741(2)

由（2）除以（1）得s-4=19⑶，

5=29

由（1）（3）得

f=100'

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

w+v=29u,=25w2=4

解之得匕=4或

MV=100畤=25

x+2=25Jx+2=4

y+3=4或jy+3=25

百二23x=2

???原方程組的解為2

y=i%=22

【點(diǎn)睛】

本題考查的是高次方程組，利用換元的方法把方程化簡(jiǎn)降次，然后用加減消元法可以求出

方程組的解.

1818

x=——x=------

1111x=\x=-\

18.〈1或

33y=iy=-I

y=一y=-

1111

【解析】

【分析】

首先把方程組的每個(gè)方程降次，然后根據(jù)二元一次方程的求解方法，求出原方程組的解即

可.

【詳解】

4x2+4xy+y2=9①

解:

爐+5不，-6y2=0②

由口可得=9,則：2x+y=±3,

由口可得(x+6y)(x-y)=。，則：x=-毋或x=y,

⑴把x=-6y代入2x+y=±3,

1818

x=——x=------

11-11

解得_3或

3

'-TTy=—

11

(2)把x=y代入2'+歹=±3,

x=\x=-l

解得日或

y=-l

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

18

x——

11

原方程組的解是

3

)'=一

11

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了高次方程的求解方法，要熟練掌握，解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化

成二次方程或一次方程.也有的通過(guò)因式分解來(lái)解.

19.6

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)方程的兩根為知弓，于是，反-264-8=耳+々=整數(shù)，

即方程口為整系數(shù)一元二次方程，其根為整數(shù)，則其判別式』必為完全平方數(shù).

設(shè)(5/—26a-8)+4-4a+9)=〃/wN,

即(3〃-7)2-從=21,

故(3。-7—b)(3a-7+/?)=21.

X21=3x7=lx21=(-7)x(-3)=(-21)x(-1),

[■34-7-人=3\3a-l-b=\,\3a-n-b=-l,[3a-7-/?=-21,

貝“a或7,人ci或，Q2或1二.

[3a—7+o=7[3a—7+0=21[3a—7+Z?=—3\3a—/+b=-l.

24

分別解得a=4,6,§,一§.

因。為整數(shù)，且當(dāng)“=4時(shí)，困,-26a-8無(wú)意義,所以，只有。=6,此時(shí)，方程口變?yōu)?/p>

丁-41-21=0,它有兩個(gè)整數(shù)根7和-3.

因此，所求的整數(shù)為a=6.

20.180

【解析】

【分析】

【詳解】

[3a+2〃-2c=0K①

解.V

[4a+。-6c=-10K②

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

由⑵x2-(1)得。=2。-4(3)

把(3)代入(2)得b=6-2c

a=2c-4>0

因?yàn)?。、b、。均為非負(fù)數(shù)，所以｛〃=6-2。20,2<c<3.

c>0

S=3a+b-7c=-3c-6

￡ax=T2,Smin=-15,初=180

21.甲種鹽水最多可用49g,最少可用35g

【解析】

【分析】

【詳解】

x+y+z=100

5%x+8%y+9%z=100x7%

設(shè)3種鹽水應(yīng)分別取xg，）g，zg,<04x460

0<y<60

0<z<47

y=200-4x04200-4x460

解得所以

z