2018中考總復(fù)習(xí)專題：二次函數(shù)和相似的結(jié)合

...wd......wd......wd...二次函數(shù)與相似的結(jié)合題型一：動(dòng)點(diǎn)在線段上如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)；〔1〕求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；〔2〕點(diǎn)是該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，求△的面積；〔3〕如果點(diǎn)在線段上，且△與△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)〔在的左側(cè)〕，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為；〔1〕求、的值；〔2〕求的值；〔3〕假設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)；問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似假設(shè)存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A〔-1，0〕，頂點(diǎn)為B.點(diǎn)C〔5，m〕在拋物線上，直線BC交x軸于點(diǎn)E.求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；聯(lián)結(jié)AB，求∠B的正切值；xyABECO〔第24題圖〕點(diǎn)G為線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作CBxyABECO〔第24題圖〕當(dāng)△CGM與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【參考答案】24．〔此題總分值12分，第〔1〕小題4分，第〔2〕小題3分，第〔3〕小題5分〕解：〔1〕∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴.∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A〔-1，0〕，∴.∴拋物線的表達(dá)式為.………………〔2分〕∴頂點(diǎn)B〔1，-2〕.…………………〔1分〕∵點(diǎn)C〔5，m〕在拋物線上，∴.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為〔5，6〕.設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b〔k≠0〕，那么，∴即BC的表達(dá)式為y=2x-4.∴E〔2,0〕.……………〔1分〕〔2〕作CH⊥x軸，垂足為H，作BP⊥x軸，垂足為P，∵C〔5，6〕，A〔-1，0〕，∴CH=6=AH.∴∠CAH=45°.∵B〔1，-2〕，A〔-1，0〕，∴BP=2=AP.∴∠BAP=45°.∴∠CAB=90°.…………〔1分〕∵CH=6=AH，CH⊥x軸，∴∵BP=2=AP，BP⊥x軸，∴∴…………………〔2分〕〔3〕∵∠CAB=90°，∴∠B+∠ACB=90°.∵GM⊥BC，∴∠CGM+∠ACB=90°.∴∠CGM=∠B.………………〔1分〕∵△CGM與△ABE相似，∴∠BAE=∠CMG或∠BAE=∠MCG.情況1：當(dāng)∠BAE=∠CMG時(shí)，∵∠BAE=45°，∴∠CMG=45°.∵GM⊥BC，∴∠MCE=45°.∴∠MCE=∠EAB.∵∠AEB=∠CEM，∴△ABE∽△CME.……………〔1分〕∴.即.∴EM=5.∴M〔7，0〕.……………〔1分〕情況2：當(dāng)∠BAE=∠MCG時(shí)，∵∠BAE=∠CAM，∴∠MCG=∠CAM.∴MC=MA.………………〔1分〕設(shè)M〔x，0〕，∵C〔5，6〕，A〔-1，0〕，∴∴x=5.∴M〔5，0〕.…………〔1分〕題型二：動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上如圖7，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)〕，與軸交于點(diǎn)，且,點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)。求點(diǎn)的坐標(biāo)；聯(lián)結(jié)，求的余切值；設(shè)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上，如果和相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)?！敬鸢浮俊?〕〔2〕3〔3〕【解析】〔1〕∵拋物線與軸的交于點(diǎn)和點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)〕，與軸交于點(diǎn)，,且,∴∴〔2〕(3)由，可得,在AOC和BCD中，,，又;;當(dāng)相似時(shí)，可知;又點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，,可得;;由題意，得直線的表達(dá)式為;設(shè).,解得〔舍去〕點(diǎn)M的坐標(biāo)是題型三：動(dòng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),，為拋物線的頂點(diǎn)?！?〕求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，求的正切值；〔3〕點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△和△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)。【答案】〔1〕；〔2〕〔3〕或【解析】〔1〕∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),∴可解得∴頂點(diǎn)坐標(biāo)〔2〕過(guò)點(diǎn)作垂直于交于點(diǎn)∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∴,,平行于軸∵∴,在等腰直角三角形中,∴在直角三角形中,, ∴∴的正切值為設(shè)拋物線對(duì)稱軸交軸與點(diǎn)∵在直角三角形中，,∴,∴點(diǎn)在點(diǎn)的下方∴當(dāng)與相似時(shí)，有以下兩種情況：當(dāng)時(shí)，即可解得∴當(dāng)時(shí)，即可解得∴綜上所述：或2〕動(dòng)點(diǎn)在平移后的對(duì)稱軸上在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，將此拋物線向下平移個(gè)單位以后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平移后的新拋物線的頂點(diǎn)記為，新拋物線的對(duì)稱軸和線段的交點(diǎn)記為。求平移后得到的新拋物線的表達(dá)式，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；求的正切值；如果點(diǎn)是新拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且和相似，試求點(diǎn)的坐標(biāo)。【答案】〔1〕；〔2〕〔3〕或【解析】〔1〕∵點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，代入得：①又∵拋物線向下平移個(gè)單位以后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平移后的拋物線解析式為：。代入得：②，由①②得：平移后得到的新拋物線的表達(dá)式：，頂點(diǎn)∵、、，易得由勾股定理逆定理得是直角三角形，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)，，易得，∴點(diǎn)只能在對(duì)稱軸點(diǎn)的下方，和相似，有以下兩種情況：①，，，②，，，綜上，或題型四：動(dòng)點(diǎn)在某直線上yAOCBx〔第24題圖〕如圖，拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)，點(diǎn)，軸yAOCBx〔第24題圖〕〔1〕求這條拋物線的解析式；〔2〕求的值；〔3〕假設(shè)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【參考答案】24．解：〔1〕∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)∴……………………1分解得………………2分∴這條拋物線的解析式為………………1分〔2〕過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，又是等腰直角三角形………1分，，點(diǎn)也在該拋物線上過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)……………1分又∵在Rt△中，∴…………………1分∴在Rt△中，……………1分〔3〕過(guò)點(diǎn)D作，垂足為∵點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)∴………………1分∴∴又∵∴是等腰直角三角形∴又∵∴………1分∴當(dāng)△CDE與△ABC相似時(shí)，存在以下兩種情況：……………1分…………1分題型五：動(dòng)點(diǎn)在軸上如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和軸正半軸上的點(diǎn)，=2，．〔1〕求這條拋物線的表達(dá)式；〔2〕聯(lián)結(jié)，求的大小；〔3〕如果點(diǎn)在軸上，且△與△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．圖9圖92017年青浦一模24】，如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，△是以為斜邊的等腰直角三角形.求這個(gè)拋物線的表達(dá)式；求點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)在軸上，假設(shè)以為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】〔1〕〔2〕〔3〕點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】〔1〕由題意可得

代入得過(guò)點(diǎn)作為等腰直角三角形

可證四邊形為正方形,解得在第一象限內(nèi)，可得為等腰直角三角形，那么點(diǎn)在軸左側(cè)

i.，ii.

假設(shè)點(diǎn)在軸右側(cè)，不存在

綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交點(diǎn)和點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié),,。求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；求證：如果點(diǎn)在軸上，且在點(diǎn)的右側(cè)，,求點(diǎn)的坐標(biāo)?！敬鸢浮俊?〕；〔2〕略〔3〕【解析】(1)∵拋物線過(guò)點(diǎn)A()和點(diǎn),∴將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得:可解得∴根據(jù)頂點(diǎn)公式可得代入到求得，，所以有可以求得：,,,在和中，有,在OC上取一點(diǎn)F使得OF=OA，由〔2〕得B(3,0)，C(0,3)，OB=OC，∠OBC=45°，∠CBE=135°OA=OF，∠AFO=45°，∠AFC=135°，∠AFC=∠CBE，又∠BCE=∠ACO，△AFC∽△BCE,,題型六：動(dòng)點(diǎn)在拋物線上如圖1，拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．〔1〕假設(shè)拋物線C1過(guò)點(diǎn)M(2,2)，求實(shí)數(shù)m的值；〔4〕在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1【解析】〔1〕將M(2,2)代入，得．解得m＝4．〔4〕①如圖3，過(guò)點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當(dāng)，即時(shí)，△BCE∽△FBC．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無(wú)解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時(shí)，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．2〕動(dòng)點(diǎn)在直線下方的拋物線24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的任意一點(diǎn)；〔1〕求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；〔2〕聯(lián)結(jié)、，并將△沿軸對(duì)折，得到四邊形，如果四邊形為菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔3〕如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；【正確答案】動(dòng)點(diǎn)在直線上方的拋物線如圖11所示，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．〔1〕求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．〔2〕過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．〔3〕在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．圖11CPB圖11CPByA【解析:】〔1〕令，得解得令，得∴ABC 〔2分〕〔2〕∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=過(guò)點(diǎn)P作PE軸于E，那么APE為等腰直角三角形令OE=，那么PE=∴P∵點(diǎn)P在拋物線上∴解得，〔不合題意，舍去〕∴PE= 4分〕∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE= 6分〕(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=GM第28題圖2CByPA在Rt△PAE中，AE=PE