同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》曲線積分和曲面積分教學(xué)案

...wd......wd......wd...第十章曲線積分與曲面積分教學(xué)目的：理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。熟練掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計(jì)算曲面積分。知道散度與旋度的概念，并會計(jì)算。會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。教學(xué)重點(diǎn):兩類曲線積分的計(jì)算方法；格林公式及其應(yīng)用；兩類曲面積分的計(jì)算方法；高斯公式、斯托克斯公式；兩類曲線積分與兩類曲面積分的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系；對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算；應(yīng)用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分；應(yīng)用高斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲面積分；應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分?！?0.1對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(xy)處的線密度為(xy)求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量把曲線分成n小段s1s2sn(si也表示弧長)任取(ii)si得第i小段質(zhì)量的近似值(ii)si整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為令max{s1s2sn}0則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會遇到定義設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧函數(shù)f(xy)在L上有界在L上任意插入一點(diǎn)列M1M2Mn1把L分在n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的長度為si又(ii)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)作乘積f(ii)si(i12n)并作和如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值0這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作即其中f(xy)叫做被積函數(shù)L叫做積分弧段設(shè)函數(shù)f(xy)定義在可求長度的曲線L上并且有界將L任意分成n個(gè)弧段s1s2sn并用si表示第i段的弧長在每一弧段si上任取一點(diǎn)(ii)作和令max{s1s2sn}如果當(dāng)0時(shí)這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作即其中f(xy)叫做被積函數(shù)L叫做積分弧段曲線積分的存在性當(dāng)f(xy)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)對弧長的曲線積分是存在的以后我們總假定f(xy)在L上是連續(xù)的根據(jù)對弧長的曲線積分的定義曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值其中(xy)為線密度對弧長的曲線積分的推廣如果L(或)是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2則規(guī)定閉曲線積分如果L是閉曲線那么函數(shù)f(xy)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作對弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則性質(zhì)2假設(shè)積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2則性質(zhì)3設(shè)在L上f(xy)g(xy)則特別地有二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法根據(jù)對弧長的曲線積分的定義如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(xy)則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為另一方面假設(shè)曲線L的參數(shù)方程為x(t)y(t)(t)則質(zhì)量元素為曲線的質(zhì)量為即定理設(shè)f(xy)在曲線弧L上有定義且連續(xù)L的參數(shù)方程為x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且2(t)2(t)0則曲線積分存在且(<)證明〔略〕應(yīng)注意的問題定積分的下限一定要小于上限討論(1)假設(shè)曲線L的方程為y(x)(axb)則?提示L的參數(shù)方程為xxy(x)(axb)(2)假設(shè)曲線L的方程為x(y)(cyd)則?提示L的參數(shù)方程為x(y)yy(cyd)(3)假設(shè)曲的方程為x(t)y(t)z(t)(t)則?提示例1計(jì)算其中L是拋物線yx2上點(diǎn)O(00)與點(diǎn)B(11)之間的一段弧解曲線的方程為yx2(0x1)因此例2計(jì)算半徑為R、中心角為2的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為1)解取坐標(biāo)系如以以下圖則曲線L的參數(shù)方程為xRcosyRsin(<)于是R3(sincos)例3計(jì)算曲線積分其中為螺旋線xacost、yasint、zkt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2的一段弧解在曲線上有x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2并且于是小結(jié)用曲線積分解決問題的步驟(1)建設(shè)曲線積分(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)確定參數(shù)的變化范圍(3)將曲線積分化為定積分(4)計(jì)算定積分§102對坐標(biāo)的曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B試求變力F(xy)所作的功用曲線L上的點(diǎn)AA0A1A2An1AnB把L分成n個(gè)小弧段設(shè)Ak(xkyk)有向線段的長度為sk它與x軸的夾角為k則(k012n1)顯然變力F(xy)沿有向小弧段所作的功可以近似為于是變力F(xy)所作的功從而這里(xy){cossin}是曲線L在點(diǎn)(xy)處的與曲線方向一致的單位切向量把L分成n個(gè)小弧段L1L2Ln變力在Li上所作的功近似為F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi變力在L上所作的功近似為變力在L上所作的功的準(zhǔn)確值其中是各小弧段長度的最大值提示用si{xiyi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量用si表示si的模對坐標(biāo)的曲線積分的定義定義設(shè)函數(shù)f(xy)在有向光滑曲線L上有界把L分成n個(gè)有向小弧段L1L2Ln小弧段Li的起點(diǎn)為(xi1yi1)終點(diǎn)為(xiyi)xixixi1yiyiyi1(i)為Li上任意一點(diǎn)為各小弧段長度的最大值如果極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分記作即如果極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分記作即設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線{cossin}是與曲線方向一致的單位切向量函數(shù)P(xy)、Q(xy)在L上有定義如果以下二式右端的積分存在我們就定義前者稱為函數(shù)P(xy)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分后者稱為函數(shù)Q(xy)在有向曲線L上對坐標(biāo)y的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分定義的推廣設(shè)為空間內(nèi)一條光滑有向曲線{coscoscos}是曲線在點(diǎn)(xyz)處的與曲線方向一致的單位切向量函數(shù)P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定義我們定義(假設(shè)各式右端的積分存在)對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)(1)如果把L分成L1和L2則(2)設(shè)L是有向曲線弧L是與L方向相反的有向曲線弧則兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè){cosisini}為與si同向的單位向量我們注意到{xiyi}si所以xicosisiyisinisi即或其中A{PQ}t{cossin}為有向曲線弧L上點(diǎn)(xy)處單位切向量drtds{dxdy}類似地有或其中A{PQR}T{coscoscos}為有向曲線弧上點(diǎn)(xyz)處單們切向量drTds{dxdydz}At為向量A在向量t上的投影二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理設(shè)P(xy)、Q(xy)是定義在光滑有向曲線Lx(t)y(t)上的連續(xù)函數(shù)當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由變到時(shí)點(diǎn)M(xy)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B則討論提示定理假設(shè)P(xy)是定義在光滑有向曲線Lx(t)y(t)(t)上的連續(xù)函數(shù)L的方向與t的增加方向一致則簡要證明不妨設(shè)對應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{(t)(t)}所以從而應(yīng)注意的問題下限a對應(yīng)于L的起點(diǎn)上限對應(yīng)于L的終點(diǎn)不一定小于討論假設(shè)空間曲線由參數(shù)方程xt)y=(t)z(t)給出那么曲線積分若何計(jì)算提示其中對應(yīng)于的起點(diǎn)對應(yīng)于的終點(diǎn)例題例1計(jì)算其中L為拋物線y2x上從點(diǎn)A(11)到點(diǎn)B(11)的一段弧解法一以x為參數(shù)L分為AO和OB兩局部AO的方程為x從1變到0OB的方程為x從0變到1因此第二種方法以y為積分變量L的方程為xy2y從1變到1因此例2計(jì)算(1)L為按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2(2)從點(diǎn)A(a0)沿x軸到點(diǎn)B(a0)的直線段解(1)L的參數(shù)方程為xacosyasin從0變到因此(2)L的方程為y0x從a變到a因此例3計(jì)算(1)拋物線yx2上從O(00)到B(11)的一段弧(2)拋物線xy2上從O(00)到B(11)的一段弧(3)從O(00)到A(10)再到R(11)的有向折線OAB解(1)Lyx2x從0變到1所以(2)Lxy2y從0變到1所以(3)OAy0x從0變到1ABx1y從0變到1011例4計(jì)算其中是從點(diǎn)A(321)到點(diǎn)B(000)的直線段解直線AB的參數(shù)方程為x3ty2txtt從1變到0所以所以例5設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(xy)處受到力F的作用F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比F的方向恒指向原點(diǎn)此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a0)沿橢圓按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)B(0b)求力F所作的功W例5一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下從點(diǎn)A(a0)沿橢圓按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)B(0b)F的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比方向恒指向原點(diǎn)求力F所作的功W解橢圓的參數(shù)方程為xacostybsintt從0變到其中k>0是比例常數(shù)于是三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系由定義得其中F{PQ}T{cossin}為有向曲線弧L上點(diǎn)(xy)處單位切向量drTds{dxdy}類似地有其中F{PQR}T{coscoscos}為有向曲線弧上點(diǎn)(xyz)處單們切向量drTds{dxdydz}§103格林公式及其應(yīng)用一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的局部都屬于D則稱D為平面單連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域D的邊界曲線L我們規(guī)定L的正向如下當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)D內(nèi)在他近處的那一局部總在他的左邊區(qū)域D的邊界曲線的方向定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成函數(shù)P(xy)及Q(xy)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有其中L是D的取正向的邊界曲線簡要證明僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)展證明設(shè)D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因?yàn)檫B續(xù)所以由二重積分的計(jì)算法有另一方面由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有因此設(shè)D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}類似地可證由于D即是X－型的又是Y－型的所以以上兩式同時(shí)成立兩式合并即得應(yīng)注意的問題對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L取PyQx則由格林公式得或例1橢圓xacosybsin所圍成圖形的面積A分析只要就有解設(shè)D是由橢圓x=acosy=bsin所圍成的區(qū)域令則于是由格林公式ab例2設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線證明證令P2xyQx2則因此由格林公式有(為什么二重積分前有“〞號)例3計(jì)算其中D是以O(shè)(00)A(11)B(01)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域分析要使只需P0解令P0則因此由格林公式有例4計(jì)算其中L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向解令則當(dāng)x2y20時(shí)有記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈當(dāng)(00)D時(shí)由格林公式得當(dāng)(00)D時(shí)在D內(nèi)取一圓周lx2y2r2(r>0)由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D1應(yīng)用格林公式得其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針方向于是2解記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈當(dāng)(00)D時(shí)由格林公式得當(dāng)(00)D時(shí)在D內(nèi)取一圓周lx2y2r2(r0)由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D1應(yīng)用格林公式得即其中l(wèi)的方向取順時(shí)針方向于是2分析這里當(dāng)x2y20時(shí)有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域P(xy)、Q(xy)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果對于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L1、L2等式恒成立就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)否則說與路徑有關(guān)設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線則有因?yàn)樗杂幸韵陆Y(jié)論曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分等于零定理2設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域函數(shù)P(xy)及Q(xy)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)〔或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零〕的充分必要條件是等式在G內(nèi)恒成立充分性易證假設(shè)則由格林公式對任意閉曲線L有必要性假設(shè)存在一點(diǎn)M0G使不妨設(shè)>0則由的連續(xù)性存在M0的一個(gè)鄰域U(M0,)使在此鄰域內(nèi)有于是沿鄰域U(M0,)邊界l的閉曲線積分這與閉曲線積分為零相矛盾因此在G內(nèi)應(yīng)注意的問題定理要求區(qū)域G是單連通區(qū)域且函數(shù)P(xy)及Q(xy)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果這兩個(gè)條件之一不能滿足那么定理的結(jié)論不能保證成立破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)例5計(jì)算其中L為拋物線yx2上從O(00)到B(11)的一段弧解因?yàn)樵谡麄€(gè)xOy面內(nèi)都成立所以在整個(gè)xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān)討論設(shè)L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向問是否一定成立提示這里和在點(diǎn)(00)不連續(xù)因?yàn)楫?dāng)x2y20時(shí)所以如果(00)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi)則結(jié)論成立而當(dāng)(00)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí)結(jié)論未必成立三、二元函數(shù)的全微分求積曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)說明曲線積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0y0)與終點(diǎn)(xy)有關(guān)如果與路徑無關(guān)則把它記為即假設(shè)起點(diǎn)(x0y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn)終點(diǎn)(xy)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)則u(xy)為G內(nèi)的的函數(shù)二元函數(shù)u(xy)的全微分為du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy表達(dá)式P(xy)dx+Q(xy)dy與函數(shù)的全微分有一樣的構(gòu)造但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分那么在什么條件下表達(dá)式P(xy)dx+Q(xy)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(xy)的全微分呢當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)若何求出這個(gè)二元函數(shù)呢定理3設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域函數(shù)P(xy)及Q(xy)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則P(xy)dxQ(xy)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(xy)的全微分的充分必要條件是等式在G內(nèi)恒成立簡要證明必要性假設(shè)存在某一函數(shù)u(xy)使得duP(xy)dxQ(xy)dy則有因?yàn)?、連續(xù)所以即充分性因?yàn)樵贕內(nèi)所以積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)在G內(nèi)從點(diǎn)(x0y0)到點(diǎn)(xy)的曲線積分可表示為考慮函數(shù)u(xy)因?yàn)閡(xy)所以類似地有從而duP(xy)dxQ(xy)dy即P(xy)dxQ(xy)dy是某一函數(shù)的全微分求原函數(shù)的公式例6驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分并求出一個(gè)這樣的函數(shù)解這里因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有所以在右半平面內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分取積分路線為從A(10)到B(x0)再到C(xy)的折線則所求函數(shù)為問為什么(x0y0)不取(00)?例6驗(yàn)證在整個(gè)xOy面內(nèi)xy2dxx2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分并求出一個(gè)這樣的函數(shù)解這里Pxy2Qx2y因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有所以在整個(gè)xOy面內(nèi)xy2dxx2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分取積分路線為從O(00)到A(x0)再到B(xy)的折線則所求函數(shù)為思考與練習(xí)1在單連通區(qū)域G內(nèi)如果P(xy)和Q(xy)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且恒有那么(1)在G內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3)在G內(nèi)P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函數(shù)u(xy)的全微分?2在區(qū)域G內(nèi)除M0點(diǎn)外如果P(xy)和Q(xy)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且恒有G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域那么(1)在G1內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G1內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3)在G1內(nèi)P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函數(shù)u(xy)的全微分?3在單連通區(qū)域G內(nèi)如果P(xy)和Q(xy)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)但非常簡單那么(1)若何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分?(2)若何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分?(3)計(jì)算其中L為逆時(shí)針方向的上半圓周(xa)2y2a2y0§104對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題設(shè)為面密度非均勻的物質(zhì)曲面其面密度為(xyz)求其質(zhì)量把曲面分成n個(gè)小塊S1S2Sn(Si也代表曲面的面積)求質(zhì)量的近似值((iii)是Si上任意一點(diǎn))取極限求準(zhǔn)確值(為各小塊曲面直徑的最大值)定義設(shè)曲面是光滑的函數(shù)f(xyz)在上有界把任意分成n小塊S1S2Sn(Si也代表曲面的面積)在Si上任取一點(diǎn)(iii)如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0時(shí)極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xyz)在曲面上對面積的曲面積分或第一類曲面積分記作即其中f(xyz)叫做被積函數(shù)叫做積分曲面對面積的曲面積分的存在性我們指出當(dāng)f(xyz)在光滑曲面上連續(xù)時(shí)對面積的曲面積分是存在的今后總假定f(xyz)在上連續(xù)根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)(xyz)的光滑曲面的質(zhì)量M可表示為(xyz)在上對面積的曲面積分如果是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和例如設(shè)可分成兩片光滑曲面1及2(記作12)就規(guī)定對面積的曲面積分的性質(zhì)(1)設(shè)c1、c2為常數(shù)則(2)假設(shè)曲面可分成兩片光滑曲面1及2則(3)設(shè)在曲面上f(xyz)g(xyz)則(4)其中A為曲面的面積二、對面積的曲面積分的計(jì)算面密度為f(xyz)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為另一方面如果由方程zz(xy)給出在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈那么曲面的面積元素為質(zhì)量元素為根據(jù)元素法曲面的質(zhì)量為因此化曲面積分為二重積分設(shè)曲面由方程zz(xy)給出在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy函數(shù)zz(xy)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)f(xyz)在上連續(xù)則如果積分曲面的方程為yy(zx)Dzx為在zOx面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(xyz)在上對面積的曲面積分為如果積分曲面的方程為xx(yz)Dyz為在yOz面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(xyz)在上對面積的曲面積分為例1計(jì)算曲面積分其中是球面x2y2z2a2被平面zh(0ha)截出的頂部解的方程為Dxyx2y2a2h2因?yàn)樗蕴崾纠?計(jì)算其中是由平面x0y0z0及xyz1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面解整個(gè)邊界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的局部依次記為1、2、3及4于是提示4z1xy§105對坐標(biāo)的曲面積分一、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)有向曲面通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的例如由方程zz(xy)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)設(shè)n(coscoscos)為曲面上的法向量在曲面的上側(cè)cos0在曲面的下側(cè)cos0閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分類似地如果曲面的方程為yy(zx)則曲面分為左側(cè)與右側(cè)在曲面的右側(cè)cos0在曲面的左側(cè)cos0如果曲面的方程為xx(yz)則曲面分為前側(cè)與后側(cè)在曲面的前側(cè)cos0在曲面的后側(cè)cos0設(shè)是有向曲面在上取一小塊曲面S把S投影到xOy面上得一投影區(qū)域這投影區(qū)域的面積記為()xy假定S上各點(diǎn)處的法向量與z軸的夾角的余弦cos有一樣的符號(即cos都是正的或都是負(fù)的)我們規(guī)定S在xOy面上的投影(S)xy為其中cos0也就是()xy0的情形類似地可以定義S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx流向曲面一側(cè)的流量設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))給出是速度場中的一片有向曲面函數(shù)P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)都在上連續(xù)求在單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量即流量如果流體流過平面上面積為A的一個(gè)閉區(qū)域且流體在這閉區(qū)域上各點(diǎn)處的流速為(常向量)v又設(shè)n為該平面的單位法向量那么在單位時(shí)間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個(gè)底面積為A、斜高為|v|的斜柱體當(dāng)(v^n)時(shí)這斜柱體的體積為A|v|cosAvn當(dāng)(v^n)時(shí)顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量為零而Avn0,故Avn當(dāng)(v^n)時(shí)Avn0這時(shí)我們?nèi)园袮vn稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量它表示流體通過閉區(qū)域A實(shí)際上流向n所指一側(cè)且流向n所指一側(cè)的流量為Avn因此不管(v^n)為何值流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均為Avn把曲面分成n小塊S1S2Sn(Si同時(shí)也代表第i小塊曲面的面積)在是光滑的和v是連續(xù)的前提下只要Si的直徑很小我們就可以用Si上任一點(diǎn)(i,i,i)處的流速viv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)k代替Si上其它各點(diǎn)處的流速以該點(diǎn)(i,i,i)處曲面的單位法向量nicosiicosijcosik代替Si上其它各點(diǎn)處的單位法向量從而得到通過Si流向指定側(cè)的流量的近似值為viniSi(i1,2,,n)于是通過流向指定側(cè)的流量但cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy因此上式可以寫成令0取上述和的極限就得到流量的準(zhǔn)確值這樣的極限還會在其它問題中遇到抽去它們的具體意義就得出以下對坐標(biāo)的曲面積分的概念提示把Si看成是一小塊平面其法線向量為ni則通過Si流向指定側(cè)的流量近似地等于一個(gè)斜柱體的體積此斜柱體的斜高為|vi|高為|vi|cos(vi^ni)vini體積為viniSi因?yàn)閚icosiicosijcosikviv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)kviniSi[P(i,i,i)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosi]Si而cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy所以viniSiP(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxR(i,i,i)(Si)xy對于上的一個(gè)小塊顯然在t時(shí)間內(nèi)流過的是一個(gè)彎曲的柱體它的體積近似于以為底而高為(|V|t)cos(V^n)Vnt的柱體的體積VntS這里n(coscoscos)是上的單位法向量S表示的面積所以單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于VnS(P(xyz)cosQ(xyz)cosR(xyz)cos)S如果把曲面分成n小塊i(i12···n)單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于按對面積的曲面積分的定義舍去流體這個(gè)具體的物理內(nèi)容我們就抽象出如下對坐標(biāo)的曲面積分的概念定義設(shè)為光滑的有向曲面函數(shù)R(xyz)在上有界把任意分成n塊小曲面Si(Si同時(shí)也代表第i小塊曲面的面積)在xOy面上的投影為(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一點(diǎn)如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0時(shí)總存在則稱此極限為函數(shù)R(xyz)在有向曲面上對坐標(biāo)x、y的曲面積分:記作即類似地有其中R(xyz)叫做被積函數(shù)叫做積分曲面定義設(shè)是空間內(nèi)一個(gè)光滑的曲面n(coscoscos)是其上的單位法向量V(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))是確在上的向量場如果以下各式右端的積分存在我們定義并稱為P在曲面上對坐標(biāo)y、z的曲面積分為Q在曲面上對坐標(biāo)z、x的曲面積分為R在曲面上對坐標(biāo)y、z的曲面積分其中P、Q、R叫做被積函數(shù)叫做積分曲面以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分的存在性對坐標(biāo)的曲面積分的簡記形式在應(yīng)用上出現(xiàn)較多的是流向指定側(cè)的流量可表示為一個(gè)規(guī)定如果是分片光滑的有向曲面我們規(guī)定函數(shù)在上對坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標(biāo)的曲面積分之和對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分具有與對坐標(biāo)的曲線積分類似的一些性質(zhì)例如(1)如果把分成1和2則(2)設(shè)是有向曲面表示與取相反側(cè)的有向曲面則這是因?yàn)槿绻鹡(coscoscos)是的單位法向量則上的單位法向量是n(coscoscos)二、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法將曲面積分化為二重積分設(shè)積分曲面由方程zz(xy)給出的在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy函數(shù)zz(xy)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)R(xyz)在上連續(xù)則有其中當(dāng)取上側(cè)時(shí)積分前取“〞當(dāng)取下側(cè)時(shí)積分前取“〞這是因?yàn)榘磳ψ鴺?biāo)的曲面積分的定義有當(dāng)取上側(cè)時(shí)cos0所以(Si)xy(i)xy又因(i,i,i)是上的一點(diǎn)故iz(i,i)從而有令0取上式兩端的極限就得到同理當(dāng)取下側(cè)時(shí)有因?yàn)楫?dāng)取上側(cè)時(shí)cos0(Si)xy(i)xy當(dāng)(i,i,i)時(shí)iz(i,i)從而有同理當(dāng)取下側(cè)時(shí)有這是因?yàn)閚(coscoscos)類似地如果由xx(yz)給出則有如果由yy(zx)給出則有應(yīng)注意的問題應(yīng)注意符號確實(shí)定例1計(jì)算曲面積分其中是長方體的整個(gè)外表的外側(cè)((xyz)|0xa0yb0zc)解把的上下面分別記為1和2前后面分別記為3和4左右面分別記為5和61zc(0xa0yb)的上側(cè)2z0(0xa0yb)的下側(cè)3xa(0yb0zc)的前側(cè)4x0(0yb0zc)的后側(cè)5y0(0xa0zc)的左側(cè)6yb(0xa0zc)的右側(cè)除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影為零因此a2bc類似地可得于是所求曲面積分為(abc)abc例2計(jì)算曲面積分其中是球面x2y2z21外側(cè)在x0y0的局部解把有向曲面分成以下兩局部(x0y0)的上側(cè)(x0y0)的下側(cè)1和2在xOy面上的投影區(qū)域都是Dxyx2y21(x0y0)于是三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)積分曲面由方程zz(xy)給出的在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy函數(shù)zz(xy)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)R(xyz)在上連續(xù)如果取上側(cè)則有另一方面因上述有向曲面的法向量的方向余弦為故由對面積的曲面積分計(jì)算公式有由此可見有如果取下側(cè)則有但這時(shí)因此仍有類似地可推得綜合起來有其中cos、cos、cos是有向曲面上點(diǎn)(xyz)處的法向量的方向余弦兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可寫成如下向量的形式或其中A(PQR)n(coscoscos)是有向曲面上點(diǎn)(xyz)處的單位法向量dSndS(dydzdzdxdxdy)稱為有向曲面元An為向量A在向量n上的投影例3計(jì)算曲面積分其中是曲面介于平面z0及z2之間的局部的下側(cè)解由兩類曲面積分之間的關(guān)系可得在曲面上提示曲面上向下的法向量為(xy1))故8解由兩類曲面積分之間的關(guān)系可得8提示§106高斯公式通量與散度一、高斯公式定理1設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有或簡要證明設(shè)是一柱體上邊界曲面為1zz2(x,y)下邊界曲面為2zz1(x,y)側(cè)面為柱面31取下側(cè)2取上側(cè)3取外側(cè)根據(jù)三重積分的計(jì)算法有另一方面有以上三式相加得所以類似地有把以上三式兩端分別相加即得高斯公式例1利用高斯公式計(jì)算曲面積分其中為柱面x2y21及平面z0z3所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)解這里P(yz)xQ0Rxy由高斯公式有例2計(jì)算曲面積分其中為錐面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之間的局部的下側(cè)cos、cos、cos是上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦解設(shè)1為zh(x2y2h2)的上側(cè)則與1一起構(gòu)成一個(gè)閉曲面記它們圍成的空間閉區(qū)域?yàn)橛筛咚构降锰崾径虼颂崾靖鶕?jù)被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性例3設(shè)函數(shù)u(x,