2021年人教A版必修4數(shù)學(xué)第2章-平面向量單元測(cè)試卷含答案

2021年人教A版必修4數(shù)學(xué)第2章平面向量單元測(cè)試卷含答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：________

一、選擇題(本題共計(jì)12小題，每題5分，共計(jì)60分，)

1.已知非零向量六》的夾角為仇且滿足(2或+317,而cos9=-2,則

A.-4B.-6C.-7D.-8

2.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a〃匕，那么a-2b等于()

A.(-5,10)B.(5,—10)C.(4,-8)D.(—4,8)

3.平面向量標(biāo)=(1,x),b=(-2,3),若z〃b,則實(shí)數(shù)x的值為()

23

A.-6B.—C.—D.O

32

4.已知點(diǎn)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OA2=OB2=OC2,若而+泉？=2八，且

|幾|=|A|,則晶與立的夾角為()

.7T

A-B.Ec.2DS

6336

5.設(shè)向量Q二二(4,2),b=(1,-1),則(21一1))等于()

A.2B.-2C.-12D.12

6.已知而|=：1,1=(0,2),且：4=1,則向量［與「夾角的大小為()

n

AA.-B.-C.-D.-

6432

7.已知兩個(gè)力Fi=(4,2),尸2=(-2,3)作用于平面內(nèi)某靜止物體的同一點(diǎn)上，為使該

物體仍保持靜止，還需給該物體同一點(diǎn)上再加上一個(gè)力尸3,則尸3=()

A.(—2,-5)B.(2,5)C.(-5,-2)D.(5,2)

8.已知向量2=(3,1),b=(2fc-1,/c),且僅+b)〃工貝味的值是()

333

A.-1B.~C.—D.—

755

9.已知△ABC的一內(nèi)角4=半。為△力"所在平面上一點(diǎn)，滿足|。*=|0B|=|0C|,

設(shè)筋=6而+nA,則m+n的最大值為()

24

A.-B.lC-D.2

33

10.在平行四邊形4BCD中，對(duì)角線4c與BD交于點(diǎn)。，若幾+元)=/1屈)，則實(shí)數(shù);I等

于()

A.4B.3C.2D.1

11.已知等腰梯形ABCD中，AB=2CD=8,/.ADC=120",若我=4元》(0S4S1),

則|總+而|的最小值為()

A.4B.4V2C.4V3D.8

12.已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D,P是△ABC內(nèi)部不同的兩點(diǎn)，且滿足

T[T->T->1T

AD=-(AB+AQ,AP=AD+-BC,則△ADP的面積為()

4<8

A.—B.—C.—D.V3

432

二、填空題(本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分，)

13.已知向量面=2,\b\=1,且二與，的夾角為45。，則最在。方向上的投影為

14.設(shè)向量3=(2,3),向量1=(6,t),若展與冒夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

15.已知向量3=(4m+2,6),/?=(2,m),若向量工b反向，則實(shí)數(shù)m的值為

試卷第2頁(yè)，總18頁(yè)

16.已知AB為單位圓。的一條弦，P為單位圓。上的點(diǎn).若/⑷=|6一4n|(46R)的

最小值為m,當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，山的最大值為%則線段4B的長(zhǎng)度為

三、解答題(本題共計(jì)5小題，每題11分，共計(jì)55分，)

17.已知點(diǎn)a(m,2),B(l,l),C(2,4).

(1)若+最小，求實(shí)數(shù)6的值；

(2)若2與3夾角的余弦值為?，求實(shí)數(shù)m的值.

18.化簡(jiǎn)：

(1)AB+BC+CA

⑵(旗+誦)+BO+OM

(3)OA^OC-^BO+CO

(4)AB-AC+BD-CD

(5)OA-OD+AD

(6)AB-AD-DC

(7)NQ+QP+MN-MP.

19.如圖，扇形。48的圓心角為90。，。4=2,點(diǎn)M為線段04的中點(diǎn)，點(diǎn)N為弧48上任

意一點(diǎn).

(1)若480N=30。，試用向量后,小表示向量加；

(2)求命的取值范圍.

TT

20.已知a=(cosa,sina),b=(cos￡,sin￡),0<p<a<n.

(1)若向一b|=&,求證：a16；

(2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求a,￡的值.

21.已知向量a=(3cos0,sin0),0G［一d向量匕=(四一J

(1)若求6的值；

(2)若。=9求次1夾角的余弦值.

6

試卷第4頁(yè)，總18頁(yè)

參考答案與試題解析

2021年人教A版必修4數(shù)學(xué)第2章平面向量單元測(cè)試卷含答案

一、選擇題(本題共計(jì)12小題，每題5分，共計(jì)60分)

1.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

【解析】

命題意圖本題主要考查向量的模，數(shù)量積的運(yùn)算.

【解答】

解：：(2a+b^1b,

(2a+b),b=0.

即2a?b+=o,

即21aleos。x\b\4-\b\2=0,

解得面=4,

TT

a-b=-8.

故選D.

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】

根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得(-2)6=1X4=4,解可得m的值，即可

得b的坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，向量a=(l,-2),b=

若。〃6,則有-2m=4,解可得m=-2,

則b=(—2,4),

則之一2%=(5,-10).

故選B.

3.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

【解析】

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示與共線定理，列出方程求出x的值.

【解答】

解：平面向量；=(1,x),b=(-2,3),月

由兩個(gè)向量共線的性質(zhì)得1x3-(-2)x=0,

解得x=—|.

故選C.

4.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

【解析】

由題意可得。為△ABC的外心，也是BC的中點(diǎn)，乙4=],設(shè)4C=1,則BC=2,由此

求得4B的值，可得幾與品的夾角的值.

【解答】

解：???點(diǎn)：0為△4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，小2=晶2=左2,

。為AABC的外心；

如圖所示：

A

若4B+4C=24。，則。也是BC的中點(diǎn)，

△ABC為直角三角形，/力=看

???\AC\=\AO\,設(shè)4c=1,則BC=2,

AB=>/BC2-AC2=V3,

/與熊的夾角為兀-NB=兀一三=三.

66

故選

5.

【答案】

A

試卷第6頁(yè)，總18頁(yè)

【考點(diǎn)】

平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律

向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

【解析】

先計(jì)算工一］的坐標(biāo)，再計(jì)算(2友一小工.

【解答】

解：依題易得*-2=(7,5),

所以(2友一］)4=7-5=2.

故選4

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

平面向量數(shù)量積

【解析】

利用向量的夾角公式即可得出.

【解答】

解：向=1,b=(0,2),且:工=1,

TTT-I］

cos<a,==?

向量友與嬴角的大小為全

故選：C.

7.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

向量的三角形法則

【解析】

由題意即可得出三=一(I+三)，代入三的坐標(biāo)即可得出力房的坐標(biāo).

【解答】

根據(jù)題意知，總=—(A+E)=—(2,5)=(-2,-5).

8.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

平行向量的性質(zhì)

向量的加法及其幾何意義

【解析】

根據(jù)題意，求出3+b,再由日+b)〃2求出k的值.

【解答】

解：；a=(3,1),b=(2k-l,/c),

TT

a+b=(2k+2,k+1),

又0+丹〃；，貝ij2k+2-3(k+l)=0,

解得k=-1.

故選4

9.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義

向量在幾何中的應(yīng)用

向量的共線定理

向量的加法及其幾何意義

向量的幾何表示

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：如圖，點(diǎn)。為△ABC外接圓的圓心，延長(zhǎng)4。交BC與點(diǎn)D,

則4D=^-AB+^AC,

■-B,D,C三點(diǎn)共線，

y+^=1,即m+n=4.

當(dāng)4B=AC時(shí)，點(diǎn)。既是外心，也是重心，此時(shí)m+n取得最大值，m+n=|.

故選A

10.

【答案】

試卷第8頁(yè)，總18頁(yè)

c

【考點(diǎn)】

平面向量的基本定理及其意義

【解析】

利用向量的平行四邊形法則、向量共線定理即可得出.

【解答】

解：；在平行四邊形4BCC中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,

AB+AD=AC=2A0,

AB+AD=AA0f

A=2.

故選：C.

11.

【答案】

c

【考點(diǎn)】

向量的共線定理

向量的加法及其幾何意義

【解析】

本題考查共線向量的基本定理、向量加法的坐標(biāo)形式.

【解答】

解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),8(8,0),￡)(2,2V3),AM=AAD^O<A<1),

因?yàn)槎?(2,2次)，

則M(24,2百Q(mào),

故忌=(-2A,-2V3A),=(8-2A,-2V3A),

則總+MB=(8-4A,-4V3A),

12.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

向量在幾何中的應(yīng)用

平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用

【解析】

以A為原點(diǎn)，以BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.由于等邊三角形△的邊長(zhǎng)為

4,可得B,C的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算可得八，AP,利用A4PD的

面積公式即可得出.

【解答】

解：以力為原點(diǎn)，以BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

???等邊三角形△的邊長(zhǎng)為4,

fi(-2,-2V3),C(2,-2V3),

由題知：而=；(6+公)

111

=-[(-2,-2V3)+(2,-2V3)]

4-

=(0,-V3),

TT1T

AP=AD-^-BC

L1

=(0,-V3)+-(4,0)

o

=(p-V3),

AAOP的面積為：

S=l1\ATD\-\DTP\

=-xV3x-

22

=V3

-4,

故選4

二、填空題(本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分)

13.

【答案】

V2

【考點(diǎn)】

向量的投影

試卷第10頁(yè)，總18頁(yè)

【解析】

根據(jù)b在&方向上的投影為聞?cos<a,b>,運(yùn)算求得結(jié)果.

【解答】

解：根據(jù)［在b方向上的投影為|a|?cosV房b>=2xcos45°=y/2.

故答案為：V2.

14.

【答案】

(—8,—4)

【考點(diǎn)】

數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

【解析】

t-?tt(2X64~3tV0

由題意可得a?<0,且a、b不共線，即6^t,由此求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

V2*3

【解答】

若；與6夾角為鈍角，向量展=(2,3),向量1=(6,t),

—TT—(2X6+3t<0

則a-b<0,且a、b不共線16t,求得t<—4,

I2*3

15.

【答案】

-2

【考點(diǎn)】

向量的共線定理

相等向量與相反向量

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：因?yàn)橄蛄抗反向,設(shè)2=46,

所以產(chǎn)+2=2心

(6=Am,

解得?=_3,

(m=—2.

故答案為：—2.

16.

【答案】

4V2

亍

【考點(diǎn)】

向量在幾何中的應(yīng)用

【解析】

設(shè)總=晶，則/(A)=|G-/l而|=|而一扇|=|4|,點(diǎn)C在直線AB上，故f。)的

最小值M為點(diǎn)P到4B的距離，由此可得結(jié)論

【解答】

解：設(shè)九G=A,則/⑷=-九向=i&—前?=|己|,

—>T

XAB=AC,

/.點(diǎn)C在直線48上，

?,.”2)的最小值小為點(diǎn)P到48的距離，

,?mmax=3*

?-1曲=2J1-(?1)2=竽,

故答案為：竽，

三、解答題(本題共計(jì)5小題，每題11分，共計(jì)55分)

17.

【答案】

解：(1)由題意&=(m-2,-2),

CB=(-1,-3),

所以&+a=(m-3,-5),

所以+CB\=V(m-3)2+25,

所以當(dāng)m=3時(shí)，|&+a|最小.

(2)由題意，cos〈&,C^>=學(xué)。=g

|C川|CB|5

所以一筆2)+6_=,，

V(m-2)2+4x7105

整理可得5&xV(m-2)2+4=5(8-m),

將上述等式整理可得

2(zn-2)2+8=(m-8)2,

整理可得加2+87n-48=(m+12)(m—4)=0,

所以m=—12或m—4.

【考點(diǎn)】

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

向量的模

數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】

(1)根據(jù)題意寫(xiě)出4、CB,從而可以寫(xiě)出|&+8|的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出當(dāng)|&+

最小時(shí)m的值.

試卷第12頁(yè)，總18頁(yè)

(2)由題意得到cos〈ckch=卓要=當(dāng),從而可以求出m的值.

|C川|網(wǎng)5

【解答】

解：(1)由題意人=(6一2,—2),

CB=(-1,-3),

所以&+8=(m-3,-5),

所以+CB\=J(m-3尸+25,

所以當(dāng)m=3時(shí)，|21+a|最小.

(2)由題意，cos〈&,8>=學(xué)空>=坐，

|C川|C8|5

所以-(蕓2)+6=￡

V(7n-2)2+4xV105

整理可得5&xJ(/n-2尸+4=5(8-m),

將上述等式整理可得

2(m-2)24-8=(m-8)2,

整理可得沅2Qm-48=(m+12)(m—4)=0,

所以?n=-12或？n=4.

18.

【答案】

解：(1)6+盛+%=融+&=幾一幾=3

(2)(旗+詁)+而+?=而+{MB+BO)+OM=AB+MO-MO=AB；

(3)OA+OCBO-i-CO=(OA-OB)+(OC-OC)=BA+0=BA；

(4)AB-AC-i-BD-CD=(AB-AC)+(^BDDQ=CBBC=0；

(5)OA-OD-i-AD=(iOA-OD>)+AD=DA+AD=DA-DA=0；

(6)AB-AD-DC=(AB-AD)-DC=DB-DC=CB；

(7)NQQP+MN-MP=(^NQ+QP)+(W-MP)=NP+PN=0.

【考點(diǎn)】

向量的減法及其幾何意義

向量的加法及其幾何意義

【解析】

根據(jù)平面向量的加法與減法的運(yùn)算法則，對(duì)每一個(gè)小題進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【解答】

解：⑴應(yīng)+品+21=h1+&=/-A=d；

(2)(6+MB)+BO+OM=AB+{MB+BO)+OM=AB+MO-MO=AB；

(3)OA+OC+BO+CO=(OA-OB)+(OC-OC)=BA+0=BA；

(4)AB-AC+BD-CD=(AB-AC)+(BD+DC)=CB+BC=-0；

(5)OA-OD+AD=(OA-OD)+AD=DA+AD=DA-DA=0；

(6)AB-AD-DC=(^AB-AD)-DC=DB-DC=CB；

(7)NQ+QP+MN-MP=(NQ+QP)+(MN-MP)=NP+P^N=0.

19.

【答案】

解：（1）如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy,

則。(0,0),4(0,2),B(2,0),N(g,1),

所以&=(0,2),Ofi=(2,0),晶=(V3,l).

設(shè)加=xOA+yOB,

=1,

=V3/

_i

=2f

解得

=V3

一2，

所以加=%&+勺Jk

22

(2)設(shè)乙BON=9(0。<B<90"),則N(2cos0,2sin9),M(0,l),

貝ij麻=(2,-1),就=(2cosa2sin0).

所以MB-ON=4cos。—2sin0=2V5cos(0+<p),

其中cosR=爭(zhēng),sinR=汽伊為銳角).

因?yàn)?°<6<90°,

試卷第14頁(yè)，總18頁(yè)

所以9<04-(^<cp+90°.

2遙

則cos(。+<p)max=coscp=-

COS(0+")min=COS(90°+(p)=Sir\(p=—

所以詁?0%的取值范圍為[-2,4].

【考點(diǎn)】

平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

向量在幾何中的應(yīng)用

平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：(1)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy,

則0(0,0),4(0,2),B(2,0),N(V5,1),

-?-?->

所以04=(0,2),0B=(2,0),ON=(V3,1).

設(shè)加=xOA4-yOB,

則f黑2x3=1,

ci

x=",

解得｛%

y=彳，

所以質(zhì)=：&+亨ok

(2)設(shè)/BON=0(0。<e<90°),貝ijN(2cose,2sin0),M(0,l),

則MB=(2,-1),ON=(2cos0,2sin0).

所以MB-ON=4cos61-2sin0=2V5cos(6?+<p),

其中cos,=誓,sinR=g(0為銳角).

因?yàn)?°<6<90。，

所以W<0+</><(p+90°.

則COS(0+9)max=COS。=等，

COS(0+0)min=COS(900+9)=S\n(p=-y,

所以麻?。曲的取值范圍為[一2,4].

20.

【答案】

TT

解：(1)由a=(cosa,sina),b=(cos/?,sin/?),

fT

則a—b=(cosa—cos/?,sina—sin/?),

->T

由|a—二(cosa—cosy?)2+(sina—sin/?)2=2—2(cosacos/?+sinasin/?)=2,

得cosacosy?+sinasin/?=0.

所以展?b=0.即；1b；

,T—

(2)由Q+b=(cosa+cos￡,sina+sin￡)=(0,1)

得了a：cy=0部①2+②2得…s(a—夕)=4

tsma+sin/?=1②2

因?yàn)镺V0Va<：7r,所以0<[一夕<兀.

22

所以a—/?="7T>(X=~7T4~/7,

代入②得：sin(|zr+夕)+sin^=ycos/?4-|sin/?=sin(^4-/?)=1.

因?yàn)?所以g+0=].

所以，a=|TT//?=7.

66

【考點(diǎn)】

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

向量的模

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

兩角和與差的余弦公式

求兩角和與差的正弦

【解析】

試卷第16頁(yè)，總18頁(yè)

(1)由給出的向量乙b的坐標(biāo)，求出Q-b的坐標(biāo)，由模等于戈列式得到cosacos/?+

sinasin/?=0,由此得到結(jié)論；

(2)由向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算求出之+匕，由■+b=(0,1)列式整理得到a—/?=|兀，結(jié)

合給出的角的范圍即可求得a,￡的值.

【解答】

T