初中數(shù)學(xué)競賽函數(shù)強(qiáng)化練習(xí)5

初中數(shù)學(xué)競賽函數(shù)強(qiáng)化練習(xí)5

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，兩個反比例函數(shù)y=&?和y=8?在第一象限內(nèi)的圖象分別是4和4,設(shè)點(diǎn)P

XX

在4上，PC，x軸于點(diǎn)C,交4于點(diǎn)軸于點(diǎn)。，交4于點(diǎn)B,則四邊形

E4O8的面積為（

B.-k2C.女他D.《一%

2.設(shè)〃M為正整數(shù),A=，(九+3)5—1)+4,人=J(〃+5)A+4,%=J(〃+7)&+4,

4=J（〃+9）4+4,…,4=J（〃+2A+1）4_[+4,…，已知A（）o=2005,則〃的值為

（）.

A.1806B.2005C.3612D.4100

3.已知實(shí)數(shù)x,>滿足關(guān)系式盯一％7=1,則f+），2的最小值為（）

A.3-2V2B.6-472C.1D.6+4正

4.設(shè)b,c是△ABC三邊的長，二次函數(shù)y=（4-g）x2-在x=l取最小值

Q

—貝UAABC是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形

5.設(shè)實(shí)數(shù)x,y,Z滿足x+y+z=l,則M=_\y+2yz+3xz的最大值為（）

I23

A."B.-C.-D.1

234

6.y=|x-l|+|x-2|+|x-3|的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

7.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于第一象限的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖象上，位

4

于第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=-]x<0）的圖象上，且。4,08,貝UtanWO的

值為（）

V2

A.-2C.1D.2

2

8.設(shè)國表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，｛幻=%-[幻，則

2009x831「2010x83]「4017x83

--------+---------+,,,+--------

2009JL2009JL2009).

A.249075B.250958C.174696D.251000

9.若函數(shù)丁=(女+1*+1+公+34_2的圖象與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為T,則攵的值是

()

A.-1B.-2C.-1或2D.—1或一2

10.若。?b,化簡小2\[^-a-b結(jié)果為().

A.\[a-4bB.-\[a-\fbC.4-a+4-bD.0

二、填空題

12.已知二次函數(shù)y=』+2(加+2〃+l)x+(>+4]+50)的圖象在無軸的上方，則滿足

條件的正整數(shù)對(m,n)的個數(shù)為

13.一次函數(shù)丁=以+〃的圖象4關(guān)于直線丁二一不軸對稱的圖象4的函數(shù)解析式是

14.若2。。8個數(shù)—滿足：4=2,心嬴+,+贏肛其中,

n=2,3,2008.那么弓頻可能達(dá)到的最大值是.

15.設(shè)正AABC的邊長為2,例是A8邊上的中點(diǎn)，尸是BC邊上任意一點(diǎn)，PA+PM

的最大值和最小值分別記為s和t,則s2-t2=.

16.如果代數(shù)式加+加+以-5當(dāng)x=-2時的值為7,那么當(dāng)x=2時，該式的值是

三、解答題

17.如圖，在△ABO中，AB=AD,以AB為直徑的圓交AD于點(diǎn)交8。于點(diǎn)0,

延長A0至點(diǎn)C,使OC=AO,連結(jié)C￡),BC.

(1)求證：四邊形A8CO是菱形；

(2)若AM=3,B0=后,求cos/OAB.

18.已知拋物線q:y=-x2-3x+4和拋物線Cz：y=x2-3x-4相交于A,B兩點(diǎn)、，點(diǎn)P

在拋物線G上，且位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間；點(diǎn)。在拋物線Q上，也位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之

間.

(1)求線段的長；

(2)當(dāng)PQ〃y軸時，求PQ長度的最大值.

149

19.已知x,y,z是正數(shù)且x+y+z=l,比較A=-+—+-與5=36的大小，并問A能

xyz

否等于B?

20.已知都是正整數(shù)，且拋物線丫=以2+法+。與x軸有2個不同的交點(diǎn)A和

B,若AB到原點(diǎn)的距離都小于1,求a+0+c的最小值.

21.已知正整數(shù)，*,n滿足＞/〃i-整4+J/W+34=〃，求〃的最大值.

22.求x＞0時，＞=2『士8的最小值.

X

23.函數(shù)y=x2+(2"l)x+G的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)是否都在直線x=l的右側(cè)，若

是，請說明理由；若不一定，請求出兩個交點(diǎn)在直線x=l的右側(cè)時，k的取值范圍.

24.整數(shù)%,與,…,4no滿足條件：%=。，I%||=|x0+11,|%2|=|^+1|,

|程io|=|Zx?+l|＞求|西+電+…+/io|的最小值.

25.一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在

第2層至第33層中某一層停一次.對于每個人來說他往下走一層樓梯感到1分不滿

意，往上走一層樓梯感到3分不滿意.現(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別在第2

至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使32人不滿意的總分達(dá)到最??？最

小值是多少？（有些人可以不坐電梯而直接從樓梯上樓）.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

【詳解】

S四邊形/MOB=S長方形000n-S^OAC-S.OBD.

設(shè)尸(d,b),A(c,d),B(e,f),Jj[!!ab=k,,cd=k2,ef=k2,所以

SmiilKPAoB=PCxPD-^xACxOC-^xBDxOD=ab-cd-^ef=kl-^k2-^k2=kl-k2.

故選：B.

2.A

【解析】

【分析】

【詳解】

A=4〃+1)+2][(〃+1)-2]+4=7(?+1)2-22+4=J(〃+l)2=n+l,

A,=7((M+3)+2][(n+3)-2]+4=7(n+3)2-22+4=J(〃+3)2=〃+3,

A,=J[(〃+5)+25(++5)-2]+4=7(?+5)2-22+4=^(n+5)2=n+5,

同理At=n+7,A5=〃+9,…,A”)="+2x100—1=〃+199=2005=>〃=2(M)5—199=1806.

故選：A.

3.B

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)x+y=r,則由題設(shè)條件可知孫=x+y+l=r+l,所以x,y是關(guān)于m的一元二次方程

加2—〃〃+r+l=0的兩個實(shí)數(shù)根，于是有：A-/2-4(/+l)>0,解得.22+2夜或

?42-20.

又因?yàn)?+丫2=3+?-2孫=產(chǎn)-2。+1)="1)2-3,所以，當(dāng)/=2-2&(即

答案第1頁，共12頁

x=y=l-J5)時，/+了2取得最小值，最小值為(2-2&-1『-3=6-4夜.

4.D

【解析】

【分析】

【詳解】

b八

“一萬>0,b

a>,4,

2a=—b,

*222

解依題意可得6+c=2。，n<3=>a+h=c

23-5)5,c=-b

c=-b3

,b、b8,3

(a——)-c-a——=——b

223

直角三角形.故應(yīng)選D.

注：從前面的例題可以看出，解有關(guān)二次函數(shù)的最值問題，不僅要熟悉有關(guān)二次函數(shù)的性

質(zhì)，還要靈活運(yùn)用相關(guān)的不等式知識、幾何知識等，才能使問題得到順利解決.

5.C

【解析】

【分析】

【詳解】

M=xy+(2y+3x)z=Ay+(2y+3x)(l-x-y)=-3x2-4xy-2y2+3x+2y

=一21y+x-/J―父+彳+萬=—2]y+x——j+—<—,

13

當(dāng)且僅當(dāng)x=],y=0時，M取等號，故“鵬=1,故選c

6.D

【解析】

【分析】

【詳解】

在x=2取得最小值，正確答案為D

答案第2頁，共12頁

7.A

【解析】

【分析】

【詳解】

過點(diǎn)A、8分別作AC_Lx軸，軸，垂足為C、。.由OALOB得NAOB=90。，于是

可得△/紇?40BD,所以tan/A3O=

2

8.A

【解析】

【分析】

【詳解】

(2009+0)x83"]F(2009+1)x83(2009+2008)x83

原式=2009+2009

2009

0x83學(xué)+…+83+1型空出

20092009JL2009

“0x831x832008x83f0x83〕1x83]f2008x83]

83x2009+-----+-----+…+-----------\-H

200920092009120()9J2009)[2,009J

2009x83+3-(1+2+…+2008)-,叱理：83'卜…-[2008：K83]

200912009〔2009-[2009J

[0x83][1x83][2008x83)

=2009x83+83x1004-

[2009J12009J[2009J

顯然，2009與83互質(zhì)，()x83,1x83,…,2008x83除以2009有2009個不同的余數(shù).所以,

0x83[1x83][2008x83)0+1+…+2008

2009+=1004.

12009/I2009J2009

故原式=2009x83+83x1004-1004=166747+82328=249075.

9.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解因x=0時，y=-4代入函數(shù)關(guān)系得-4=公+3%—2,即(％+1)(%+2)=0,所以左二一1或

人二一2.故應(yīng)選D.

注：本題中的函數(shù)可以是一次函數(shù)，也可以是二次函數(shù).不能一開始就默認(rèn)它是二次函

數(shù)，約定％+從而錯誤地選擇了B.

10.C

答案第3頁，共12頁

【解析】

【分析】

【詳解】

依題意所以^y/ab-a—b=yj^-a+\[—b)2=y/-a+\f—b-

故選：C.

11.(1),(4),(5)

【解析】

【分析】

【詳解】

解因?yàn)楦鶕?jù)函數(shù)定義：對x的每一個確定的值，y有唯一確定的值與x對應(yīng)才稱y是x的

函數(shù).而(2)中對每個正數(shù)x,對應(yīng)的y有2個，(3)中對(-，/)內(nèi)每個x,對應(yīng)的y也有

2個，故(2),(3)不是函數(shù)的圖象.而(1),(4),(5)滿足函數(shù)定義的要求.故應(yīng)填

(1),(4),(5).

12.16

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象在x軸的上方，所以A=[2(E+2〃+1)]2-4(1+4/+50)<0,整理得

4mn+2m+4n<49,即(m+1)(2〃+1)?因?yàn)闄C(jī)，,為正整數(shù)，所以

(加+1)(2〃+1)<25.

25

又〃2+1^2,所以2〃+1<萬，故〃<5.

當(dāng)"=1時，，”+叱丁，故，石，符合條件的正整數(shù)對(〃?,〃)有8個；

當(dāng)〃=2時，m+]<5,故旭44,符合條件的正整數(shù)對(弱〃)有4個：

951c

當(dāng)〃=3時，，〃+故加4與，符合條件的正整數(shù)對(加,〃)有2個；

2517

當(dāng)〃=4時，根+14寸，故機(jī)4亍，符合條件的正整數(shù)對(〃7,〃)有F個；

7514

當(dāng)〃=5時，"+"言，故加<]，符合條件的正整數(shù)對(，〃，〃)有1個.

答案第4頁，共12頁

綜合可知：符合條件的正整數(shù)對(〃M)有8+4+2+1+1=16個.

13.y=-x+-

aa

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)與(_y,-x)關(guān)于直線曠=-"對稱，故的解析式為(-x)=a(-y)+8,即

xb

y=一+一.

aa

故答案為：y=-x+—.

aa

2OO82006

14.

2

【解析】

【分析】

【詳解】

于是連續(xù)兩次第②類變換互相抵消，保持原數(shù)不變，并且當(dāng)連續(xù)三次變換依次是“第①類變

換，第②類變換，第①類變換”時，其效果相當(dāng)為進(jìn)行一次第②類變換，故從4=2出發(fā)變

到々008,一共要經(jīng)過2007次變換，相當(dāng)于進(jìn)行若干次第①類變換和至多2次第②類變換，

并且第②類變換只有第一次、最后一次進(jìn)行才可能使最大.其中以前2006次進(jìn)行第①

2006

類變換，最后一次進(jìn)行第②類變換時，物?8達(dá)到最大值9n儂nR一.

2

15.4后

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)镻A4C4,PM<CM,故當(dāng)P處于BC邊頂點(diǎn)C這一極端位置時，PM十PA取最大

值，最大值為5=。例+01=6+2.

如圖4-1,作正VA'BC,設(shè)”為AB的中點(diǎn)，則由APBW=APW得PM』PM,于是

答案第5頁，共12頁

PA+PM=PA+PM'>AM'.

連CM',則ZACM'=ZAC3+N8CM'=600+30°=90°,所以AA7，=+CMJ

立+（后=幣,故PA+AM2PM'=77,并且當(dāng)4、P、“共線時等號成立，即

為+4"的最小值為"近，因此，s2T2=（舊+2尸-（近）2=4內(nèi).故應(yīng)填4G.

16.-17

【解析】

【分析】

【詳解】

解：因?yàn)楫?dāng)一2時，ax5+hx3+cx-5=-32a-8b-2c-5^1,

所以3為+汕+2c=-12,

于是當(dāng)x=2時，ax'+bxi+cx-5=32a+Sb+2c-5=-12-5=-n.

故答案為：-17.

3

17.（1）見解析；（2）|

【解析】

【分析】

（1）利用直徑所對的圓周角可得NAOB=90。，根據(jù)對角線相互平分的四邊形是平行四邊

形，證明ABCC是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）設(shè)。M=x,連接8M,利用勾股定理構(gòu)建方程即可求出ZW,得到45=49=5,根

據(jù)余弦函數(shù)的定義（領(lǐng)邊比斜邊）即可.

【詳解】

（1）證明：是直徑，

???ZAOB=90°,

：.ACLBD,

答案第6頁，共12頁

,/AB=AD,

，BO=DO,

,/AO=CO,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

,/AB=AD,

，四邊形ABC。是菱形

(2)如圖連接設(shè)。M=x.

?；AB是直徑，

二ZAAffi=ZDMfi=90°,

,AB2-AM2=BD2-DM2>

：.(3+X)2-32=(2V5)2-X2,

解得x=2或x=—5(舍去)，

，AB=AD=5,

'：AM=3,

??cos/ZX45=-----=—.

AB5

【點(diǎn)睛】

題目主要考查直徑所對的圓周角是直角、平行四邊形、菱形的判定定理、勾股定理解直角

三角形、求三角函數(shù)的值等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直

角三角形解決問題是解題關(guān)鍵.

18.(1)AB=4jid；(2)P。的最大值為8

【解析】

【分析】

【詳解】

答案第7頁，共12頁

y=-x2-3x+4,

解(1)解方程組《

y=x2-3x-4

所以48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-2,6)和(2,-6),

于是A8="(2+2)2+(6+6)2=彳癡.

(2)如圖，當(dāng)PQ〃y軸時，設(shè)尸、。的坐標(biāo)分別為

P(t,-t2-3t+4),Q(r,t2-3t-4)(-2<t<2),于是尸Q=2(4-/)48,

當(dāng)1=0時，等號成立.所以PQ的最大值為8.

注：本題中用到§4例3后面注(2)中給出的兩點(diǎn)4(.乂),以々,％)之間的距離公式：

22

^=7(xl-x2)+(y,-y2).這個公式以后還要用到.

19.A=B,見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

149

解A=（一+_+一）（冗+y+z）

xyz

l+4+9+g+竺）+（?+罵+（竺+當(dāng)

xyxzyz

=14+2x2+2x3+2x2x3=36=3.

V4xz9x4z9y

故AN3.等號成立當(dāng)且僅當(dāng)一=一，—=—,—=--,即y=2x,z=3x,2x=3y.

xyxzyz

將y=2x,z=3x代入x+y+z=l,得6x=l,所以x==《,z=!時，A=B.

632

總之當(dāng)且僅當(dāng)x=＜，y=：,xz=：時，A=B.

632

20.11,見解析.

【解析】

答案第8頁，共12頁

【分析】

【詳解】

b

Xj+x2=——<0,

a

設(shè)A（M，O）,5（/,O）（Mv%2）,貝I卜=>x,<0,x2<0.

Xj-x=—>0

2a

又△=匕2-4ac>0=Z?>2\Jac.①

又因?yàn)椤?=兇<1。3=上|<1，

c

故一1<X<0,-l<xv0=>—=玉％<l=>c<Q.②

2a

因。>0,拋物線開口向上，故％二—1時，y=a-b+c>0,得bca+c.

而反4+C均為正整數(shù)，故a+cN）+l,于是由①得+1-正了>1,由②

得a-無>1,即右>五+1,于是。>（正+1）22（1+1）2=4,所以4N5.

又b>2\[ac>2,5x1>4,所以b25.

取〃=5力=5,。=1時，y=5x2+5x+l滿足題目條件，故Q+Z?+C的最小值為5+5+1=11.

21.104

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)。=機(jī)—70,則血-104+Ja+104=n,兩邊平方得2々+2，/-i/=".令

/—1042為正整數(shù)），則s一力（〃+3=1042.由于。一力與同奇偶，即同為偶

數(shù)，所以當(dāng)。-6=2時，Q+Z?取最大值52x104.這時，=2（。+匕）=1042為最大，所以〃的

最大值為104.

22.7

【解析】

【分析】

【詳解】

解y=2x'~x+8=2x+--l>2l2x--l

=7.

xxVx

答案第9頁，共12頁

Q

等號當(dāng)且僅當(dāng)2x=-(x>0),即x=2時成立.

x

故x=2時，y取最小值7.

注：本題中求最值的方法是利用已知的不等式，其中應(yīng)用最多的是平均值不等式：

a+b>2\/ab(a>0,b>0).

23.不一定，A:<-2

【解析】

【分析】

【詳解】

解不一定，例如，當(dāng)％=0時，函數(shù)化為y=V-x,它的圖象與x軸的交點(diǎn)為(0,0)和

(1,0),不都在直線％=1的右側(cè).

設(shè)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為々和々，則'+電=-(2%T)，中z=k2.

\>0,

當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件<x「l)+(X2-l)>。，時，拋物線與x軸的交點(diǎn)都在直線x=l的右側(cè).

(x,-l)(x2-l)>0

而(X]—1)+(々-1)=—1)—2=—2k—l,

22

((X]-l)(x,-l)=x(x2-(x,+x2)+l=k+(2k-V)+\=k+2k,

^<1

(2J)2-4公>0,

,I,c

故上述條件可寫為-2&-1>0,o<k<——,<=>k<—2.

2

k2+2k>0

%（-2減k）

所以當(dāng)&<-2時，拋物線與x軸的交點(diǎn)都在直線x=l的右側(cè).

24.|與+七+…+A20M的最小值為7.

【解析】

【分析】

【詳解】

由已知條件可得：X；=x；+2Xo+l,X；=X：+2X1+1,…，X20l0=x2009+2x2009+1'各式相加

整理后得X；OIO=片+2(X()+X]H--FX2009)+2010.

答案第10頁，共12頁

又不=。,故有|為+%2+?--+X2Olo|-2|%2010+2%2010~2010|=~|(^2010+0'_201'|?

因玉+超+…+x刈。為整數(shù)，故(々0K,+1)2為奇數(shù)，又432